Uma coleção completa de 20 exercícios resolvidos sobre conjuntos numéricos: naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais. Cada exercício mostra como identificar corretamente os conjuntos a que um número pertence, explicando o raciocínio passo a passo.
Recordemos a cadeia fundamental de inclusões:
\[ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \]
Além disso, o conjunto dos números irracionais é:
\[ \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Exercício 1 — nível ★☆☆☆☆
Classifica o seguinte número:
\[ 7 \]
Resultado
\[ 7 \in \mathbb{N},\quad 7 \in \mathbb{Z},\quad 7 \in \mathbb{Q},\quad 7 \in \mathbb{R} \]
Resolução
Análise do número
O número \(7\) é um inteiro positivo. Como pertence ao conjunto dos números naturais, tem-se:
\[ 7 \in \mathbb{N} \]
Pertença aos conjuntos mais amplos
Todo o número natural é também um número inteiro, logo:
\[ 7 \in \mathbb{Z} \]
Além disso, todo o inteiro pode ser escrito como fração com denominador \(1\):
\[ 7=\frac{7}{1} \]
Portanto, \(7\) é também racional:
\[ 7 \in \mathbb{Q} \]
Por fim, todo o número racional é um número real:
\[ 7 \in \mathbb{R} \]
Exercício 2 — nível ★☆☆☆☆
Classifica o seguinte número:
\[ -3 \]
Resultado
\[ -3 \in \mathbb{Z},\quad -3 \in \mathbb{Q},\quad -3 \in \mathbb{R} \]
\[ -3 \notin \mathbb{N} \]
Resolução
Exclusão dos números naturais
O número \(-3\) é negativo. Os números naturais são os números utilizados para contar:
\[ \mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots\} \]
Portanto:
\[ -3 \notin \mathbb{N} \]
Pertença aos inteiros
O conjunto dos números inteiros contém os números naturais, os seus simétricos e o zero:
\[ \mathbb{Z}=\{\dots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots\} \]
Assim:
\[ -3 \in \mathbb{Z} \]
Pertença aos racionais e aos reais
Uma vez que:
\[ -3=\frac{-3}{1} \]
o número \(-3\) é racional e, consequentemente, também é real.
Exercício 3 — nível ★☆☆☆☆
Classifica o seguinte número:
\[ \frac{5}{2} \]
Resultado
\[ \frac{5}{2} \in \mathbb{Q},\quad \frac{5}{2} \in \mathbb{R} \]
\[ \frac{5}{2} \notin \mathbb{N},\quad \frac{5}{2} \notin \mathbb{Z} \]
Resolução
Verificação da forma racional
Um número é racional se puder ser escrito na forma:
\[ \frac{a}{b},\quad a,b\in\mathbb{Z},\quad b\neq 0 \]
O número dado já está expresso como quociente de dois inteiros:
\[ \frac{5}{2} \]
pelo que:
\[ \frac{5}{2}\in\mathbb{Q} \]
Exclusão dos naturais e dos inteiros
Calculando o valor decimal:
\[ \frac{5}{2}=2{,}5 \]
O número não é inteiro, pelo que não pertence nem a \(\mathbb{N}\) nem a \(\mathbb{Z}\).
Exercício 4 — nível ★★☆☆☆
Classifica o seguinte número:
\[ \sqrt{2} \]
Resultado
\[ \sqrt{2}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Resolução
Análise da raiz
O número \(\sqrt{2}\) é a raiz quadrada de \(2\). Como \(2\) não é um quadrado perfeito, a sua raiz não é um número inteiro.
Natureza irracional
O número \(\sqrt{2}\) é o exemplo clássico de número irracional: não pode ser expresso como quociente de dois inteiros.
A sua expansão decimal é infinita e não periódica:
\[ \sqrt{2}=1{,}4142135\dots \]
Portanto:
\[ \sqrt{2}\notin\mathbb{Q} \]
Contudo, \(\sqrt{2}\) é um número real, pelo que:
\[ \sqrt{2}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Exercício 5 — nível ★★☆☆☆
Classifica o seguinte número:
\[ 0 \]
Resultado
\[ 0\in\mathbb{N},\quad 0\in\mathbb{Z},\quad 0\in\mathbb{Q},\quad 0\in\mathbb{R} \]
Resolução
O papel do zero
Segundo a convenção mais difundida no ensino da matemática, o zero pertence ao conjunto dos números naturais:
\[ 0\in\mathbb{N} \]
Pertença aos restantes conjuntos
O zero é também um número inteiro:
\[ 0\in\mathbb{Z} \]
Pode ainda ser escrito como fração:
\[ 0=\frac{0}{1} \]
logo é racional:
\[ 0\in\mathbb{Q} \]
Sendo racional, é também real.
Exercício 6 — nível ★★☆☆☆
Classifica o seguinte número:
\[ -\frac{7}{4} \]
Resultado
\[ -\frac{7}{4}\in\mathbb{Q},\quad -\frac{7}{4}\in\mathbb{R} \]
Resolução
Forma fracionária
O número dado é uma fração com numerador e denominador inteiros:
\[ -\frac{7}{4} \]
Como o denominador é diferente de zero, o número é racional:
\[ -\frac{7}{4}\in\mathbb{Q} \]
Por que razão não é inteiro
Calculando o valor decimal:
\[ -\frac{7}{4}=-1{,}75 \]
O número não é inteiro, pelo que não pertence a \(\mathbb{Z}\) nem, consequentemente, a \(\mathbb{N}\).
Exercício 7 — nível ★★☆☆☆
Classifica o seguinte número:
\[ \pi \]
Resultado
\[ \pi\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Resolução
Natureza do número \(\pi\)
O número \(\pi\) é um número real de grande importância em geometria, definido como o quociente entre o comprimento de uma circunferência e o seu diâmetro.
Irracionalidade
O número \(\pi\) não pode ser expresso como quociente de dois inteiros. A sua expansão decimal é infinita e não periódica:
\[ \pi=3{,}14159265\dots \]
Portanto:
\[ \pi\notin\mathbb{Q} \]
Como \(\pi\) pertence à reta real, conclui-se:
\[ \pi\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Exercício 8 — nível ★★☆☆☆
Classifica o seguinte número:
\[ \sqrt{16} \]
Resultado
\[ \sqrt{16}=4 \]
\[ 4\in\mathbb{N},\quad 4\in\mathbb{Z},\quad 4\in\mathbb{Q},\quad 4\in\mathbb{R} \]
Resolução
Cálculo da raiz
Antes de classificar o número, convém simplificá-lo:
\[ \sqrt{16}=4 \]
Com efeito:
\[ 4^2=16 \]
Classificação
Como \(4\) é um número natural, pertence também a todos os conjuntos seguintes:
\[ 4\in\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R} \]
Exercício 9 — nível ★★★☆☆
Classifica o seguinte número:
\[ 0{,}\overline{3} \]
Resultado
\[ 0{,}\overline{3}\in\mathbb{Q},\quad 0{,}\overline{3}\in\mathbb{R} \]
Resolução
Dízima periódica
O número \(0{,}\overline{3}\) é uma dízima periódica pura, pois o algarismo \(3\) repete-se indefinidamente:
\[ 0{,}\overline{3}=0{,}3333\dots \]
Conversão em fração
Toda a dízima finita ou periódica é um número racional. Neste caso:
\[ 0{,}\overline{3}=\frac{1}{3} \]
Portanto:
\[ 0{,}\overline{3}\in\mathbb{Q} \]
Sendo racional, pertence também a \(\mathbb{R}\).
Exercício 10 — nível ★★★☆☆
Classifica o seguinte número:
\[ 3+\sqrt{2} \]
Resultado
\[ 3+\sqrt{2}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Resolução
Análise dos termos
O número \(3\) é racional, pois:
\[ 3=\frac{3}{1} \]
Já o número \(\sqrt{2}\) é irracional:
\[ \sqrt{2}\notin\mathbb{Q} \]
Soma de um racional com um irracional
A soma de um número racional com um número irracional é sempre irracional.
Com efeito, se \(3+\sqrt{2}\) fosse racional, subtraindo o número racional \(3\) obter-se-ia:
\[ (3+\sqrt{2})-3=\sqrt{2} \]
o que tornaria \(\sqrt{2}\) racional, em contradição com o que já se sabe.
Portanto:
\[ 3+\sqrt{2}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Exercício 11 — nível ★★★☆☆
Classifica o seguinte número:
\[ 2+\frac{1}{2} \]
Resultado
\[ 2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2} \]
\[ \frac{5}{2}\in\mathbb{Q},\quad \frac{5}{2}\in\mathbb{R} \]
Resolução
Soma dos termos
Escrevemos \(2\) como fração com denominador \(2\):
\[ 2=\frac{4}{2} \]
Então:
\[ 2+\frac{1}{2}=\frac{4}{2}+\frac{1}{2}=\frac{5}{2} \]
Classificação
O número \(\frac{5}{2}\) é uma fração de inteiros com denominador não nulo. Logo:
\[ \frac{5}{2}\in\mathbb{Q} \]
Não é, porém, um número inteiro, visto que:
\[ \frac{5}{2}=2{,}5 \]
Exercício 12 — nível ★★★☆☆
Classifica o seguinte número:
\[ \sqrt{18} \]
Resultado
\[ \sqrt{18}=3\sqrt{2} \]
\[ \sqrt{18}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Resolução
Simplificação da raiz
Decompõe-se \(18\) extraindo um quadrado perfeito:
\[ 18=9\cdot 2 \]
Então:
\[ \sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=\sqrt{9}\sqrt{2}=3\sqrt{2} \]
Classificação
O número \(\sqrt{2}\) é irracional. Ao multiplicá-lo pelo racional não nulo \(3\), o resultado continua a ser irracional.
Portanto:
\[ 3\sqrt{2}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Exercício 13 — nível ★★★☆☆
Classifica o seguinte número:
\[ \frac{\sqrt{4}}{2} \]
Resultado
\[ \frac{\sqrt{4}}{2}=1 \]
\[ 1\in\mathbb{N},\quad 1\in\mathbb{Z},\quad 1\in\mathbb{Q},\quad 1\in\mathbb{R} \]
Resolução
Cálculo da raiz
Calcula-se primeiro a raiz quadrada:
\[ \sqrt{4}=2 \]
Substituindo:
\[ \frac{\sqrt{4}}{2}=\frac{2}{2}=1 \]
Classificação
O número \(1\) é natural. Consequentemente, pertence também aos inteiros, aos racionais e aos reais:
\[ 1\in\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R} \]
Exercício 14 — nível ★★★★☆
Classifica o seguinte número:
\[ \sqrt{5}+\sqrt{3} \]
Resultado
\[ \sqrt{5}+\sqrt{3}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Resolução
Análise dos radicais
Os números \(5\) e \(3\) não são quadrados perfeitos, pelo que:
\[ \sqrt{5}\notin\mathbb{Q},\quad \sqrt{3}\notin\mathbb{Q} \]
Atenção: a soma de dois irracionais pode ser racional
Importa sublinhar um ponto delicado: o facto de \(\sqrt{5}\) e \(\sqrt{3}\) serem ambos irracionais não é suficiente para concluir que a sua soma seja irracional. Basta considerar o contraexemplo:
\[ (1+\sqrt{2})+(1-\sqrt{2})=2\in\mathbb{Q} \]
Para demonstrar que \(\sqrt{5}+\sqrt{3}\) é irracional, é necessário um argumento por redução ao absurdo.
Demonstração por redução ao absurdo
Suponhamos, por absurdo, que existe um número racional \(q\in\mathbb{Q}\) tal que:
\[ \sqrt{5}+\sqrt{3}=q \]
Elevando ao quadrado ambos os membros:
\[ \left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^2=q^2 \]
Desenvolvendo o primeiro membro:
\[ 5+2\sqrt{15}+3=q^2 \]
ou seja:
\[ 8+2\sqrt{15}=q^2 \]
Isolando o radical:
\[ \sqrt{15}=\frac{q^2-8}{2} \]
O segundo membro é racional, pois resulta de \(q\in\mathbb{Q}\) através de operações que não saem de \(\mathbb{Q}\). Seguir-se-ia então que \(\sqrt{15}\) seria racional.
A irracionalidade de \(\sqrt{15}\)
Porém, \(15\) não é um quadrado perfeito, pelo que:
\[ \sqrt{15}\notin\mathbb{Q} \]
Chegou-se a uma contradição: a hipótese inicial é falsa.
Conclusão
Portanto:
\[ \sqrt{5}+\sqrt{3}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Exercício 15 — nível ★★★★☆
Classifica o seguinte número:
\[ \left(\sqrt{2}\right)^2 \]
Resultado
\[ \left(\sqrt{2}\right)^2=2 \]
\[ 2\in\mathbb{N},\quad 2\in\mathbb{Z},\quad 2\in\mathbb{Q},\quad 2\in\mathbb{R} \]
Resolução
Simplificação da expressão
Para todo o número real não negativo \(a\), vale a propriedade:
\[ \left(\sqrt{a}\right)^2=a \]
Aplicando-a com \(a=2\):
\[ \left(\sqrt{2}\right)^2=2 \]
Classificação
Embora \(\sqrt{2}\) seja irracional, o seu quadrado é o número natural \(2\). O resultado pertence, portanto, a todos os conjuntos:
\[ 2\in\mathbb{N},\quad 2\in\mathbb{Z},\quad 2\in\mathbb{Q},\quad 2\in\mathbb{R} \]
Exercício 16 — nível ★★★★☆
Classifica o seguinte número:
\[ \frac{1}{\sqrt{2}} \]
Resultado
\[ \frac{1}{\sqrt{2}}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Resolução
Racionalização do denominador
Racionaliza-se o denominador:
\[ \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \]
Classificação
O número \(\sqrt{2}\) é irracional. Ao dividir um irracional pelo racional não nulo \(2\), o resultado continua a ser irracional.
Portanto:
\[ \frac{\sqrt{2}}{2}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
e consequentemente:
\[ \frac{1}{\sqrt{2}}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Exercício 17 — nível ★★★★☆
Classifica o seguinte número:
\[ \sqrt{8}-\sqrt{2} \]
Resultado
\[ \sqrt{8}-\sqrt{2}=\sqrt{2} \]
\[ \sqrt{8}-\sqrt{2}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Resolução
Simplificação do primeiro radical
Decompõe-se \(8\):
\[ 8=4\cdot 2 \]
Então:
\[ \sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2} \]
Redução da expressão
Substituindo na expressão original:
\[ \sqrt{8}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2} \]
Classificação
Como \(\sqrt{2}\) é irracional, a expressão dada é também irracional:
\[ \sqrt{8}-\sqrt{2}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Exercício 18 — nível ★★★★★
Classifica o seguinte número:
\[ \frac{3+\sqrt{2}}{3} \]
Resultado
\[ \frac{3+\sqrt{2}}{3}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Resolução
Separação da fração
Separam-se os dois termos do numerador:
\[ \frac{3+\sqrt{2}}{3}=\frac{3}{3}+\frac{\sqrt{2}}{3} \]
ou seja:
\[ \frac{3+\sqrt{2}}{3}=1+\frac{\sqrt{2}}{3} \]
Natureza do termo \(\frac{\sqrt{2}}{3}\)
Demonstremos que \(\frac{\sqrt{2}}{3}\) é irracional. Suponhamos por absurdo que é racional, isto é, que existe \(q\in\mathbb{Q}\) tal que:
\[ \frac{\sqrt{2}}{3}=q \]
Multiplicando ambos os membros por \(3\):
\[ \sqrt{2}=3q \]
Mas o produto de dois números racionais é racional, logo \(3q\in\mathbb{Q}\). Ter-se-ia então \(\sqrt{2}\in\mathbb{Q}\), o que é absurdo. Portanto:
\[ \frac{\sqrt{2}}{3}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Soma de um racional com um irracional
Como foi demonstrado no Exercício 10, a soma de um número racional com um número irracional é sempre irracional.
Como \(1\in\mathbb{Q}\) e \(\frac{\sqrt{2}}{3}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\), conclui-se:
\[ 1+\frac{\sqrt{2}}{3}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
e portanto:
\[ \frac{3+\sqrt{2}}{3}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Exercício 19 — nível ★★★★★
Classifica o seguinte número:
\[ \sqrt{2}\cdot\sqrt{8} \]
Resultado
\[ \sqrt{2}\cdot\sqrt{8}=4 \]
\[ 4\in\mathbb{N},\quad 4\in\mathbb{Z},\quad 4\in\mathbb{Q},\quad 4\in\mathbb{R} \]
Resolução
Produto de radicais
Como os radicandos são não negativos, podemos aplicar a propriedade:
\[ \sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab} \]
Portanto:
\[ \sqrt{2}\cdot\sqrt{8}=\sqrt{16} \]
e:
\[ \sqrt{16}=4 \]
Observação importante
Ainda que os fatores \(\sqrt{2}\) e \(\sqrt{8}\) sejam irracionais, o seu produto pode ser racional. Neste caso, o resultado é inclusivamente um número natural.
Exercício 20 — nível ★★★★★
Classifica o seguinte número:
\[ \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \]
Resultado
\[ \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=1+\frac{\sqrt{6}}{2} \]
\[ \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Resolução
Separação da fração
Divide-se cada termo do numerador pelo denominador:
\[ \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \]
O primeiro termo vale:
\[ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1 \]
logo:
\[ \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=1+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \]
Racionalização
Racionaliza-se o segundo termo:
\[ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2} \]
Portanto:
\[ \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=1+\frac{\sqrt{6}}{2} \]
Classificação final
O número \(\sqrt{6}\) é irracional, pois \(6\) não é um quadrado perfeito. Consequentemente, \(\frac{\sqrt{6}}{2}\) é também irracional.
A soma do racional \(1\) com o irracional \(\frac{\sqrt{6}}{2}\) é irracional.
Portanto:
\[ \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Conclusão
Para classificar corretamente um número, convém seguir sempre esta ordem:
- simplificar a expressão, se possível;
- verificar se o resultado é um número natural;
- verificar se é um número inteiro;
- verificar se pode ser escrito como fração;
- se não for racional mas pertencer à reta real, classificá-lo como irracional.
A relação fundamental entre os conjuntos numéricos é:
\[ \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R} \]
ao passo que os números irracionais são exatamente os números reais que não são racionais:
\[ \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]