O produto cartesiano é uma construção fundamental da teoria dos conjuntos. Dados dois conjuntos \(A\) e \(B\), ele permite formar um novo conjunto cujos elementos são pares ordenados, ou seja, pares nos quais não importa apenas quais elementos aparecem, mas também a ordem em que aparecem.
Esta ideia está na base de muitas noções centrais da matemática. As relações entre conjuntos, as funções, os gráficos de funções e os espaços cartesianos podem, de facto/fato, ser descritos de modo rigoroso precisamente por meio do produto cartesiano.
O nome remete ao plano cartesiano e à obra de René Descartes. No plano cartesiano, cada ponto é associado a um par ordenado de números reais; do mesmo modo, o produto cartesiano formaliza a ideia de construir todos os pares ordenados possíveis escolhendo o primeiro elemento num conjunto e o segundo elemento noutro.
Nesta página, introduzimos a definição de produto cartesiano, estudamos as suas principais propriedades e mostramos como esta construção conduz naturalmente aos conceitos de relação, função e espaço cartesiano.
Índice
- Definição formal
- Pares ordenados e a importância da ordem
- Propriedades fundamentais
- Propriedades em relação às operações entre conjuntos
- Interpretação geométrica
- Produto cartesiano de vários conjuntos
- Relações e funções
- Aprofundamento sobre a cardinalidade
- Conclusão
Definição formal
Sejam \(A\) e \(B\) dois conjuntos. O produto cartesiano de \(A\) e \(B\), denotado por \(A \times B\), é o conjunto de todos os pares ordenados \((a,b)\) tais que o primeiro elemento pertence a \(A\) e o segundo elemento pertence a \(B\).
Em símbolos:
\[ A \times B = \{(a,b) \mid a \in A \ \text{e} \ b \in B\}. \]
Assim, formar o produto cartesiano \(A \times B\) significa associar cada elemento de \(A\) a cada elemento de \(B\), respeitando a ordem das componentes.
Exemplo
Consideremos os conjuntos
\[ A=\{1,2\}, \qquad B=\{x,y\}. \]
O produto cartesiano \(A \times B\) é dado por
\[ A \times B=\{(1,x),(1,y),(2,x),(2,y)\}. \]
Cada par tem como primeira componente um elemento de \(A\) e como segunda componente um elemento de \(B\). Por exemplo, \((1,x)\) pertence a \(A \times B\), enquanto \((x,1)\) não pertence a \(A \times B\), pois \(x\) não é um elemento de \(A\) nem \(1\) é um elemento de \(B\).
Pares ordenados e a importância da ordem
No produto cartesiano, os elementos não são simples conjuntos de dois elementos, mas sim pares ordenados. Isto significa que a posição das componentes é essencial.
Dois pares ordenados são iguais se e somente se as respetivas/respectivas componentes forem iguais:
\[ (a,b)=(c,d) \quad \Longleftrightarrow \quad a=c \quad \text{e} \quad b=d. \]
Em particular, em geral tem-se
\[ (a,b) \neq (b,a). \]
A igualdade \((a,b)=(b,a)\) só pode ocorrer no caso particular em que \(a=b\). Por este motivo, ao trabalhar com o produto cartesiano, não basta saber quais elementos aparecem no par: é também necessário saber qual elemento ocupa a primeira posição e qual ocupa a segunda.
Definição conjuntista de par ordenado
Do ponto de vista intuitivo, um par ordenado é um par de elementos escritos numa certa ordem. No entanto, dentro da teoria dos conjuntos, também é possível definir pares ordenados utilizando apenas a noção de conjunto.
Uma definição clássica, devida a Kuratowski, é a seguinte:
\[ (a,b):=\{\{a\},\{a,b\}\}. \]
Esta definição não é usada nos cálculos habituais, mas desempenha um papel teórico importante: permite construir os pares ordenados inteiramente dentro da teoria dos conjuntos e garante a propriedade fundamental
\[ (a,b)=(c,d) \quad \Longleftrightarrow \quad a=c \quad \text{e} \quad b=d. \]
Deste modo, o produto cartesiano não é assumido como objeto intuitivo, mas sim reduzido a uma construção rigorosa fundamentada nos conjuntos.
Propriedades fundamentais
O produto cartesiano possui algumas propriedades elementares que convém conhecer desde já. Estas decorrem diretamente da definição e do facto/fato de que os elementos de \(A \times B\) são pares ordenados.
Cardinalidade do produto cartesiano
Se \(A\) e \(B\) são conjuntos finitos, o número de elementos do produto cartesiano é dado pelo produto das cardinalidades:
\[ |A \times B|=|A|\cdot |B|. \]
De facto/fato, para construir um par ordenado \((a,b)\), pode escolher-se a primeira componente de \(|A|\) maneiras e, para cada uma dessas escolhas, a segunda componente de \(|B|\) maneiras.
Por exemplo, se \(A\) tem \(2\) elementos e \(B\) tem \(3\) elementos, então \(A \times B\) tem \(2\cdot 3=6\) elementos.
Produto cartesiano com o conjunto vazio
O produto cartesiano \(A \times B\) é vazio se e somente se pelo menos um dos dois conjuntos \(A\) e \(B\) for vazio:
\[ A \times B=\varnothing \quad \Longleftrightarrow \quad A=\varnothing \ \text{ou} \ B=\varnothing. \]
De facto/fato, se \(A=\varnothing\), não é possível escolher a primeira componente do par. Se \(B=\varnothing\), não é possível escolher a segunda componente. Em ambos os casos, não é possível formar nenhum par ordenado.
Em particular:
\[ A \times \varnothing=\varnothing \qquad \text{e} \qquad \varnothing \times A=\varnothing. \]
O produto cartesiano não é comutativo
Em geral, o produto cartesiano não é comutativo. Isto significa que, em geral, \(A \times B\) e \(B \times A\) não são o mesmo conjunto.
A razão é que os elementos de \(A \times B\) têm como primeira componente um elemento de \(A\) e como segunda componente um elemento de \(B\), enquanto os elementos de \(B \times A\) têm as componentes na ordem oposta.
Por exemplo, se
\[ A=\{1,2\}, \qquad B=\{x\}, \]
então
\[ A \times B=\{(1,x),(2,x)\}, \]
enquanto
\[ B \times A=\{(x,1),(x,2)\}. \]
Os dois produtos cartesianos são diferentes, porque os pares ordenados \((1,x)\) e \((x,1)\) não coincidem.
Mais precisamente, tem-se
\[ A \times B = B \times A \quad \Longleftrightarrow \quad A=B \ \text{ou} \ A=\varnothing \ \text{ou} \ B=\varnothing. \]
Assim, o produto cartesiano só é comutativo em casos particulares: quando os dois conjuntos coincidem, ou quando pelo menos um deles é vazio.
Monotonia em relação à inclusão
O produto cartesiano é compatível com a inclusão entre conjuntos. Se
\[ A \subseteq A' \qquad \text{e} \qquad B \subseteq B', \]
então
\[ A \times B \subseteq A' \times B'. \]
De facto/fato, se \((a,b)\in A \times B\), então \(a\in A\) e \(b\in B\). Como \(A\subseteq A'\) e \(B\subseteq B'\), segue-se que \(a\in A'\) e \(b\in B'\). Logo, \((a,b)\in A'\times B'\).
Esta propriedade exprime um facto/fato natural: ao aumentar os conjuntos de partida, também aumenta o produto cartesiano.
Propriedades em relação às operações entre conjuntos
O produto cartesiano comporta-se de modo regular em relação a certas operações entre conjuntos, como a interseção/interseção, a união e a diferença. As propriedades seguintes são consequências diretas da definição de produto cartesiano.
Interseção
Para quaisquer conjuntos \(A\), \(B\) e \(C\) tem-se:
\[ A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C). \]
Demonstremos a igualdade verificando as duas inclusões.
Seja \((a,x)\in A\times(B\cap C)\). Então \(a\in A\) e \(x\in B\cap C\), logo \(x\in B\) e \(x\in C\). Segue-se que \((a,x)\in A\times B\) e \((a,x)\in A\times C\), ou seja,
\[ (a,x)\in (A\times B)\cap(A\times C). \]
Ficou assim provado que
\[ A\times(B\cap C)\subseteq (A\times B)\cap(A\times C). \]
Reciprocamente, seja \((a,x)\in (A\times B)\cap(A\times C)\). Então \((a,x)\in A\times B\) e \((a,x)\in A\times C\), donde \(a\in A\), \(x\in B\) e \(x\in C\). Logo \(x\in B\cap C\), e portanto
\[ (a,x)\in A\times(B\cap C). \]
Fica assim demonstrada também a inclusão oposta, pelo que
\[ A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C). \]
União
O produto cartesiano é também distributivo em relação à união:
\[ A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C). \]
De facto/fato, um par \((a,x)\) pertence a \(A\times(B\cup C)\) se e somente se \(a\in A\) e \(x\in B\cup C\), ou seja, se e somente se \(a\in A\) e \(x\) pertence a pelo menos um dos conjuntos \(B\) e \(C\).
No primeiro caso, \((a,x)\in A\times B\); no segundo, \((a,x)\in A\times C\). Por conseguinte,
\[ (a,x)\in (A\times B)\cup(A\times C). \]
O raciocínio inverso mostra a outra inclusão, ficando assim demonstrada a igualdade.
Diferença
Vale também a propriedade relativa à diferença entre conjuntos:
\[ A \times (B \setminus C) = (A \times B) \setminus (A \times C). \]
De facto/fato, um par \((a,x)\) pertence a \(A\times(B\setminus C)\) se e somente se \(a\in A\), \(x\in B\) e \(x\notin C\).
Isto equivale a dizer que \((a,x)\in A\times B\), mas \((a,x)\notin A\times C\). Portanto,
\[ (a,x)\in (A\times B)\setminus(A\times C). \]
Obtém-se assim a identidade:
\[ A \times (B \setminus C) = (A \times B) \setminus (A \times C). \]
Um erro frequente
É preciso ter cuidado para não aplicar incorretamente as propriedades distributivas. Em geral, não é verdade que
\[ (A \cup C) \times (B \cup D) = (A \times B) \cup (C \times D). \]
Consideremos, por exemplo,
\[ A=\{1\}, \qquad C=\{2\}, \qquad B=\{3\}, \qquad D=\{4\}. \]
Então
\[ (A\cup C)\times(B\cup D)=\{1,2\}\times\{3,4\} \]
e, portanto,
\[ (A\cup C)\times(B\cup D)=\{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)\}. \]
Por outro lado,
\[ (A\times B)\cup(C\times D)=\{(1,3)\}\cup\{(2,4)\} =\{(1,3),(2,4)\}. \]
Os dois conjuntos não coincidem: no primeiro aparecem também os pares \((1,4)\) e \((2,3)\), que não pertencem ao segundo.
A fórmula correta para a interseção de dois produtos cartesianos é, em vez disso,
\[ (A\cap C)\times(B\cap D)=(A\times B)\cap(C\times D). \]
De facto/fato, um par pertence ao membro da esquerda se e somente se a sua primeira componente pertencer tanto a \(A\) como a \(C\), e a sua segunda componente pertencer tanto a \(B\) como a \(D\). Esta é precisamente a condição para pertencer simultaneamente a \(A\times B\) e a \(C\times D\).
Interpretação geométrica
Quando os conjuntos considerados são subconjuntos de \(\mathbb{R}\), o produto cartesiano assume uma interpretação geométrica natural no plano cartesiano.
Se \(A\subseteq \mathbb{R}\) e \(B\subseteq \mathbb{R}\), então \(A\times B\) é o conjunto de todos os pontos do plano cuja abcissa/abscissa pertence a \(A\) e cuja ordenada pertence a \(B\):
\[ A\times B=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid x\in A \ \text{e} \ y\in B\}. \]
Nesta interpretação, a primeira componente do par ordenado representa a coordenada horizontal, ou seja, a abcissa/abscissa, enquanto a segunda componente representa a coordenada vertical, ou seja, a ordenada.
Exemplos
O produto cartesiano
\[ [0,1]\times[0,1] \]
representa o quadrado unitário fechado do plano, formado por todos os pontos \((x,y)\) tais que \(0\leq x\leq 1\) e \(0\leq y\leq 1\).
Por outro lado,
\[ \mathbb{R}\times\mathbb{R} \]
coincide com todo o plano cartesiano \(\mathbb{R}^2\), pois tanto a primeira como a segunda componente podem ser escolhidas livremente entre todos os números reais.
Mais geralmente, se \(A\) e \(B\) são intervalos reais, o produto cartesiano \(A\times B\) determina uma região retangular do plano, eventualmente aberta, fechada ou ilimitada, consoante o tipo de intervalos considerados.
Produto cartesiano de vários conjuntos
A definição de produto cartesiano estende-se naturalmente a mais de dois conjuntos. Se \(A_1,A_2,\dots,A_n\) são \(n\) conjuntos, o seu produto cartesiano é o conjunto de todas as \(n\)-uplas ordenadas
\[ (a_1,a_2,\dots,a_n) \]
tais que a primeira componente pertence a \(A_1\), a segunda pertence a \(A_2\), e assim sucessivamente até à última componente, que pertence a \(A_n\).
Em símbolos:
\[ A_1\times A_2\times \cdots \times A_n = \{(a_1,a_2,\dots,a_n) \mid a_i\in A_i \ \text{para todo} \ i=1,\dots,n\}. \]
Também neste caso a ordem das componentes é essencial: a primeira componente deve pertencer ao primeiro conjunto, a segunda ao segundo conjunto, e assim por diante.
Potências cartesianas
Quando todos os conjuntos coincidem com um mesmo conjunto \(A\), utiliza-se uma notação mais compacta. Por exemplo:
\[ A^2=A\times A, \qquad A^3=A\times A\times A. \]
Mais geralmente, \(A^n\) denota o produto cartesiano de \(A\) consigo próprio/mesmo \(n\) vezes:
\[ A^n=\underbrace{A\times A\times \cdots \times A}_{n \ \text{vezes}}. \]
Os elementos de \(A^n\) são, portanto, \(n\)-uplas ordenadas de elementos de \(A\).
Espaços cartesianos
Um caso particularmente importante obtém-se tomando \(A=\mathbb{R}\). Deste modo define-se o espaço cartesiano real \(n\)-dimensional:
\[ \mathbb{R}^n= \underbrace{\mathbb{R}\times\mathbb{R}\times\cdots\times\mathbb{R}}_{n \ \text{vezes}}. \]
Por exemplo, \(\mathbb{R}^2\) é o plano cartesiano, cujos elementos são pares ordenados \((x,y)\), enquanto \(\mathbb{R}^3\) é o espaço tridimensional, cujos elementos são ternos/triplos ordenados \((x,y,z)\).
O produto cartesiano é associativo?
Quando o produto cartesiano é inicialmente definido como uma operação entre dois conjuntos, convém fazer uma precisão. Os conjuntos
\[ (A\times B)\times C \qquad \text{e} \qquad A\times(B\times C) \]
não são literalmente iguais.
De facto/fato, os elementos de \((A\times B)\times C\) têm a forma
\[ ((a,b),c), \]
enquanto os elementos de \(A\times(B\times C)\) têm a forma
\[ (a,(b,c)). \]
Estes dois objetos têm uma estrutura formal distinta. Existe, porém, uma correspondência biunívoca natural entre eles e os ternos/triplos ordenados \((a,b,c)\):
\[ ((a,b),c) \longleftrightarrow (a,b,c) \longleftrightarrow (a,(b,c)). \]
Por este motivo, quando o contexto é claro, escreve-se simplesmente
\[ A\times B\times C \]
e interpreta-se como o conjunto dos ternos/triplos ordenados \((a,b,c)\), com \(a\in A\), \(b\in B\) e \(c\in C\).
Relações e funções
Uma das principais razões pelas quais o produto cartesiano é tão importante é que ele permite definir de modo rigoroso as relações e as funções entre conjuntos.
Relações
Sejam \(A\) e \(B\) dois conjuntos. Uma relação entre \(A\) e \(B\) é um subconjunto do produto cartesiano \(A\times B\).
Em símbolos, uma relação \(R\) entre \(A\) e \(B\) é um conjunto tal que
\[ R\subseteq A\times B. \]
Isto significa que os elementos de \(R\) são alguns dos pares ordenados \((a,b)\), com \(a\in A\) e \(b\in B\). Quando \((a,b)\in R\), diz-se que \(a\) está relacionado com \(b\).
Assim, o produto cartesiano \(A\times B\) contém todos os pares ordenados possíveis, enquanto uma relação seleciona apenas alguns desses pares.
Funções
Uma função de \(A\) em \(B\) é uma relação particular entre \(A\) e \(B\). Precisamente, uma função \(f:A\to B\) é uma relação \(f\subseteq A\times B\) tal que a cada elemento de \(A\) é associado um e um só elemento de \(B\).
Em símbolos:
\[ \forall a\in A, \ \exists! \, b\in B \ \text{tal que} \ (a,b)\in f. \]
O símbolo \(\exists!\) significa «existe e é único». Assim, a condição anterior afirma duas coisas em simultâneo:
- para todo \(a\in A\) existe pelo menos um elemento \(b\in B\) associado a \(a\);
- esse elemento \(b\) é único.
A primeira condição exclui que algum elemento de \(A\) fique sem imagem. A segunda condição exclui que um mesmo elemento de \(A\) seja associado a dois ou mais elementos distintos de \(B\).
Gráfico de uma função
Se \(f:A\to B\) é uma função, o seu gráfico é o conjunto dos pares ordenados formados por cada elemento do domínio e a sua imagem:
\[ G_f=\{(a,f(a))\mid a\in A\}. \]
O gráfico de \(f\) é, portanto, um subconjunto do produto cartesiano \(A\times B\):
\[ G_f\subseteq A\times B. \]
No caso das funções reais de variável real, isto é, das funções \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), o gráfico é um subconjunto do plano cartesiano:
\[ G_f=\{(x,f(x))\mid x\in\mathbb{R}\}\subseteq \mathbb{R}\times\mathbb{R}. \]
Deste modo, o produto cartesiano constitui a ligação entre a definição conjuntista de função e a sua representação geométrica no plano.
O critério da reta vertical
Geometricamente, o gráfico de uma função real de variável real satisfaz o critério da reta vertical. Isto significa que, fixado um valor da variável independente \(x\), pode existir no máximo um único valor correspondente da variável dependente \(y\).
Em particular, se \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), então toda reta vertical \(x=a\), com \(a\in\mathbb{R}\), interseta/intercepta o gráfico da função num único ponto.
Se, pelo contrário, uma reta vertical intersetasse/interceptasse o gráfico em dois pontos distintos, então ao mesmo valor \(a\) corresponderiam dois valores diferentes de \(y\). Nesse caso, já não se trataria de uma função.
Quantas funções existem entre dois conjuntos finitos?
Se \(A\) e \(B\) são conjuntos finitos, o conjunto de todas as funções de \(A\) em \(B\) denota-se por \(B^A\).
A sua cardinalidade é
\[ |B^A|=|B|^{|A|}. \]
De facto/fato, para definir uma função \(f:A\to B\), é preciso escolher um elemento de \(B\) como imagem de cada elemento de \(A\). Se \(A\) tem \(|A|\) elementos e, para cada um deles, existem \(|B|\) escolhas possíveis, então o número total de funções é \(|B|^{|A|}\).
Esta fórmula deve ser distinguida da do produto cartesiano:
\[ |A\times B|=|A|\cdot |B|. \]
No produto cartesiano, escolhe-se uma primeira componente em \(A\) e uma segunda componente em \(B\). Já para construir uma função de \(A\) em \(B\), escolhe-se um elemento de \(B\) para cada elemento de \(A\). Por este motivo, surge uma potência, e não um produto.
Aprofundamento sobre a cardinalidade
Para conjuntos finitos, a cardinalidade do produto cartesiano é descrita pela fórmula
\[ |A\times B|=|A|\cdot |B|. \]
Esta fórmula tem um significado muito concreto: se \(A\) tem um certo número de elementos e \(B\) tem um certo número de elementos, então o produto cartesiano \(A\times B\) contém todos os pares ordenados possíveis obtidos ao escolher uma primeira componente em \(A\) e uma segunda componente em \(B\).
Quando se passa aos conjuntos infinitos, porém, a noção de cardinalidade torna-se mais delicada. Neste caso, já não é possível contar simplesmente os elementos um a um, mas sim comparar os conjuntos por meio de correspondências biunívocas.
Dois conjuntos têm a mesma cardinalidade quando existe uma correspondência biunívoca entre eles, isto é, uma função que associa a cada elemento do primeiro conjunto um único elemento do segundo, de modo que cada elemento do segundo seja imagem de um único elemento do primeiro.
Um resultado fundamental da teoria dos conjuntos afirma que
\[ |\mathbb{R}\times\mathbb{R}|=|\mathbb{R}|. \]
Isto significa que o plano cartesiano \(\mathbb{R}^2\) e a reta real \(\mathbb{R}\) têm a mesma cardinalidade. Por outras palavras, do ponto de vista do número de elementos, existe uma correspondência biunívoca entre os pontos de uma reta e os pontos de um plano.
O mesmo vale, mais geralmente, para todo espaço cartesiano real \(\mathbb{R}^n\), com \(n\geq 1\):
\[ |\mathbb{R}^n|=|\mathbb{R}|. \]
Esta cardinalidade é denotada por \(\mathfrak{c}\) e é chamada cardinalidade do contínuo.
É importante não confundir a cardinalidade com a estrutura geométrica. O facto/fato de \(\mathbb{R}\) e \(\mathbb{R}^2\) terem a mesma cardinalidade não significa que uma reta e um plano sejam geometricamente a mesma coisa. Eles têm a mesma quantidade de pontos em sentido conjuntista, mas possuem propriedades geométricas e topológicas profundamente diferentes.
Este exemplo mostra que o produto cartesiano, embora seja uma construção simples na sua definição, conduz rapidamente a questões muito profundas da matemática.
Conclusão
O produto cartesiano é uma construção essencial da teoria dos conjuntos. A partir de conjuntos dados, permite formar conjuntos de pares ordenados e, mais geralmente, de \(n\)-uplas ordenadas.
A sua importância não depende apenas da definição em si, mas sobretudo das estruturas que permite construir. As relações entre conjuntos, as funções, os gráficos de funções e os espaços cartesianos podem, de facto/fato, ser descritos de modo rigoroso por meio do produto cartesiano.
Por este motivo, compreender bem o produto cartesiano significa adquirir uma ferramenta básica que reaparece em muitas áreas da matemática, da álgebra à geometria, da análise à teoria dos conjuntos.