Uma coleção progressiva de 20 exercícios resolvidos sobre o princípio da indução matemática, concebida para compreender de forma rigorosa o funcionamento das demonstrações por indução. Cada exercício ilustra com clareza:
- como verificar corretamente a base de indução;
- como formular a hipótese de indução;
- como utilizar a hipótese sem cometer erros lógicos;
- como demonstrar a passagem do caso \(n\) para o caso \(n+1\).
O objetivo não é apenas verificar fórmulas, mas compreender a estrutura lógica da demonstração por indução e aprender a desenvolver raciocínios rigorosos passo a passo.
Exercício 1 — nível ★☆☆☆☆
Demonstrar por indução que:
\[ 1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2} \]
Demonstração
Base de indução
Verificamos antes de mais a propriedade para \(n=1\).
O membro esquerdo vale:
\[ 1 \]
O membro direito vale:
\[ \frac{1(1+1)}{2}=\frac{2}{2}=1 \]
Os dois membros coincidem. A propriedade é, portanto, verdadeira para \(n=1\).
Hipótese de indução
Suponhamos agora que a fórmula é verdadeira para um certo número natural \(n\). Esta suposição denomina-se hipótese de indução.
Supomos, portanto:
\[ 1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2} \]
É fundamental compreender que não estamos a supor a fórmula verdadeira para todos os números naturais, mas apenas para um valor arbitrário \(n\).
Passo de indução
Temos de demonstrar que, se a fórmula é válida para \(n\), então também o é para \(n+1\).
Por outras palavras, temos de provar:
\[ 1+2+3+\dots+n+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2} \]
Partimos do membro esquerdo:
\[ 1+2+3+\dots+n+(n+1) \]
Neste ponto utilizamos a hipótese de indução, que nos permite substituir a soma dos primeiros \(n\) números pela expressão já conhecida:
\[ \frac{n(n+1)}{2} \]
Obtemos assim:
\[ 1+2+\dots+n+(n+1) = \frac{n(n+1)}{2}+(n+1) \]
O nosso objetivo é agora transformar esta expressão na fórmula esperada:
\[ \frac{(n+1)(n+2)}{2} \]
Para tal, colocamos em evidência o fator comum \(n+1\):
\[ \frac{n(n+1)}{2}+(n+1) = (n+1)\left(\frac{n}{2}+1\right) \]
Escrevemos agora \(1\) como \(\frac{2}{2}\), de modo a poder somar as frações:
\[ \frac{n}{2}+1 = \frac{n}{2}+\frac{2}{2} = \frac{n+2}{2} \]
Substituindo, obtemos:
\[ (n+1)\left(\frac{n+2}{2}\right) = \frac{(n+1)(n+2)}{2} \]
Demonstrámos, portanto, que:
\[ 1+2+\dots+n+(n+1) = \frac{(n+1)(n+2)}{2} \]
Conclusão
A propriedade é verdadeira para \(n=1\) e demonstrámos que a validade da fórmula para \(n\) implica a sua validade para \(n+1\).
Pelo princípio da indução matemática, concluímos que:
\[ 1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2} \]
para todo o número natural \(n\geq1\).
Exercício 2 — nível ★☆☆☆☆
Demonstrar por indução que:
\[ 1+3+5+\dots+(2n-1)=n^2 \]
Demonstração
Interpretação da fórmula
O membro esquerdo representa a soma dos primeiros \(n\) números ímpares:
\[ 1,3,5,7,\dots \]
A fórmula afirma que essa soma é sempre igual ao quadrado de \(n\).
Base de indução
Verificamos a fórmula para \(n=1\).
O membro esquerdo vale:
\[ 1 \]
O membro direito vale:
\[ 1^2=1 \]
Os dois membros coincidem. A propriedade é, portanto, verdadeira para \(n=1\).
Hipótese de indução
Suponhamos agora que a fórmula é verdadeira para um certo número natural \(n\).
Supomos, portanto:
\[ 1+3+5+\dots+(2n-1)=n^2 \]
Passo de indução
Temos de demonstrar que também se verifica:
\[ 1+3+5+\dots+(2n-1)+(2n+1)=(n+1)^2 \]
É importante observar por que razão aparece o termo \(2n+1\).
Com efeito:
\[ 2(n+1)-1=2n+2-1=2n+1 \]
Logo, \(2n+1\) é exatamente o número ímpar seguinte.
Partimos agora do membro esquerdo:
\[ 1+3+5+\dots+(2n-1)+(2n+1) \]
Utilizamos a hipótese de indução para substituir a parte inicial da soma:
\[ n^2+(2n+1) \]
Obtemos assim:
\[ n^2+2n+1 \]
Reconhecemos um quadrado perfeito:
\[ n^2+2n+1=(n+1)^2 \]
Demonstrámos assim que:
\[ 1+3+5+\dots+(2n-1)+(2n+1)=(n+1)^2 \]
Conclusão
A propriedade é verdadeira para \(n=1\) e o passo de indução foi verificado.
Pelo princípio da indução matemática:
\[ 1+3+5+\dots+(2n-1)=n^2 \]
para todo o \(n\geq1\).
Exercício 3 — nível ★★☆☆☆
Demonstrar por indução que:
\[ 1+2+4+8+\dots+2^n=2^{n+1}-1 \]
Demonstração
Interpretação da fórmula
O membro esquerdo representa a soma das primeiras potências de \(2\):
\[ 2^0+2^1+2^2+\dots+2^n \]
A fórmula afirma que esta soma pode ser escrita na forma fechada:
\[ 2^{n+1}-1 \]
Base de indução
Verificamos a propriedade para \(n=0\).
O membro esquerdo vale:
\[ 2^0=1 \]
O membro direito vale:
\[ 2^{0+1}-1=2^1-1=2-1=1 \]
Os dois membros coincidem. A propriedade é, portanto, verdadeira para \(n=0\).
Hipótese de indução
Suponhamos agora que a fórmula é verdadeira para um certo número natural \(n\).
Supomos, portanto:
\[ 1+2+4+\dots+2^n=2^{n+1}-1 \]
Passo de indução
Temos de demonstrar que também se verifica:
\[ 1+2+4+\dots+2^n+2^{n+1}=2^{n+2}-1 \]
Partimos do membro esquerdo:
\[ 1+2+4+\dots+2^n+2^{n+1} \]
Utilizamos a hipótese de indução para substituir a soma inicial:
\[ (2^{n+1}-1)+2^{n+1} \]
Agrupamos os termos semelhantes:
\[ 2^{n+1}+2^{n+1}-1 \]
Uma vez que:
\[ 2^{n+1}+2^{n+1}=2\cdot2^{n+1} \]
obtemos:
\[ 2\cdot2^{n+1}-1 \]
Aplicando as propriedades das potências:
\[ 2\cdot2^{n+1}=2^{n+2} \]
segue-se que:
\[ 2^{n+2}-1 \]
Demonstrámos, portanto, que:
\[ 1+2+4+\dots+2^n+2^{n+1}=2^{n+2}-1 \]
Conclusão
A propriedade é verdadeira para \(n=0\) e o passo de indução foi verificado.
Pelo princípio da indução matemática:
\[ 1+2+4+8+\dots+2^n=2^{n+1}-1 \]
para todo o \(n\geq0\).
Exercício 4 — nível ★★☆☆☆
Demonstrar por indução que:
\[ 1^2+2^2+3^2+\dots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]
Demonstração
Significado da fórmula
A fórmula fornece uma expressão fechada para a soma dos quadrados dos primeiros \(n\) números naturais.
Em vez de somar cada parcela separadamente:
\[ 1^2+2^2+3^2+\dots+n^2 \]
podemos calcular diretamente:
\[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]
Base de indução
Verificamos a propriedade para \(n=1\).
O membro esquerdo vale:
\[ 1^2=1 \]
O membro direito vale:
\[ \frac{1(1+1)(2\cdot1+1)}{6} \]
Simplificando:
\[ \frac{1\cdot2\cdot3}{6}=\frac{6}{6}=1 \]
A propriedade é, portanto, verdadeira para \(n=1\).
Hipótese de indução
Suponhamos agora que a fórmula é verdadeira para um certo número natural \(n\).
Supomos, portanto:
\[ 1^2+2^2+3^2+\dots+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]
Passo de indução
Temos de demonstrar que também se verifica:
\[ 1^2+2^2+\dots+n^2+(n+1)^2 = \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6} \]
Partimos do membro esquerdo:
\[ 1^2+2^2+\dots+n^2+(n+1)^2 \]
Utilizamos agora a hipótese de indução:
\[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2 \]
Para poder somar os termos, escrevemos tudo com denominador \(6\):
\[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{6(n+1)^2}{6} \]
Obtemos:
\[ \frac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6} \]
Observamos que ambos os termos do numerador contêm o fator \(n+1\). Colocamo-lo em evidência:
\[ \frac{(n+1)\left[n(2n+1)+6(n+1)\right]}{6} \]
Desenvolvemos agora a expressão entre parênteses retos:
\[ n(2n+1)+6(n+1) \]
Multiplicamos:
\[ 2n^2+n+6n+6 \]
Agrupamos os termos semelhantes:
\[ 2n^2+7n+6 \]
Temos agora de fatorizar este trinómio.
Procuramos dois números cujo produto seja:
\[ 2\cdot6=12 \]
e cuja soma seja:
\[ 7 \]
Esses números são \(3\) e \(4\). Obtemos, portanto:
\[ 2n^2+7n+6=(n+2)(2n+3) \]
Substituindo:
\[ \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6} \]
que é exatamente a fórmula a demonstrar.
Conclusão
A propriedade é verdadeira para \(n=1\) e o passo de indução foi demonstrado.
Pelo princípio da indução matemática:
\[ 1^2+2^2+3^2+\dots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]
para todo o \(n\geq1\).
Exercício 5 — nível ★★☆☆☆
Demonstrar por indução que:
\[ 1^3+2^3+3^3+\dots+n^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 \]
Demonstração
Significado da fórmula
A fórmula afirma que a soma dos cubos dos primeiros \(n\) números naturais é igual ao quadrado da soma dos primeiros \(n\) números naturais.
Com efeito:
\[ 1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2} \]
e, portanto, o membro direito:
\[ \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 \]
é precisamente o quadrado desta quantidade.
Base de indução
Verificamos a propriedade para \(n=1\).
O membro esquerdo vale:
\[ 1^3=1 \]
O membro direito vale:
\[ \left(\frac{1(1+1)}{2}\right)^2 = \left(\frac{2}{2}\right)^2 = 1^2 = 1 \]
Os dois membros coincidem. A propriedade é verdadeira para \(n=1\).
Hipótese de indução
Suponhamos que a fórmula é verdadeira para um certo número natural \(n\).
Supomos, portanto:
\[ 1^3+2^3+3^3+\dots+n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 \]
Esta é a única informação de que dispomos no passo de indução: não podemos supor diretamente a fórmula para \(n+1\), pois é precisamente isso que temos de demonstrar.
Passo de indução
Temos de demonstrar que:
\[ 1^3+2^3+3^3+\dots+n^3+(n+1)^3 = \left(\frac{(n+1)(n+2)}{2}\right)^2 \]
Partimos do membro esquerdo:
\[ 1^3+2^3+3^3+\dots+n^3+(n+1)^3 \]
Aplicamos a hipótese de indução à soma dos primeiros \(n\) cubos:
\[ \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2+(n+1)^3 \]
Desenvolvemos o primeiro termo de modo a identificar melhor os fatores comuns:
\[ \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4} \]
Obtemos assim:
\[ \frac{n^2(n+1)^2}{4}+(n+1)^3 \]
Ambos os termos contêm o fator \((n+1)^2\). Colocamo-lo em evidência:
\[ (n+1)^2\left(\frac{n^2}{4}+n+1\right) \]
Temos agora de transformar a expressão entre parênteses num quadrado perfeito. Reduzimos tudo ao denominador \(4\):
\[ \frac{n^2}{4}+n+1 = \frac{n^2}{4}+\frac{4n}{4}+\frac{4}{4} \]
pelo que:
\[ \frac{n^2}{4}+n+1 = \frac{n^2+4n+4}{4} \]
O numerador é um quadrado perfeito:
\[ n^2+4n+4=(n+2)^2 \]
Portanto:
\[ \frac{n^2}{4}+n+1 = \frac{(n+2)^2}{4} \]
Substituindo na nossa expressão:
\[ (n+1)^2\cdot\frac{(n+2)^2}{4} \]
Escrevemos o produto como quadrado:
\[ \frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4} = \left(\frac{(n+1)(n+2)}{2}\right)^2 \]
Obtivemos exatamente a fórmula requerida para \(n+1\).
Conclusão
A propriedade é verdadeira para \(n=1\) e demonstrámos que, se é válida para \(n\), então também o é para \(n+1\).
Pelo princípio da indução matemática:
\[ 1^3+2^3+3^3+\dots+n^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 \]
para todo o \(n\geq1\).
Exercício 6 — nível ★★☆☆☆
Demonstrar por indução que \(5^n-1\) é divisível por \(4\), para todo o \(n\geq1\).
Demonstração
Significado da propriedade
Dizer que \(5^n-1\) é divisível por \(4\) significa que existe um número inteiro \(k\) tal que:
\[ 5^n-1=4k \]
Numa demonstração por indução sobre a divisibilidade, a hipótese de indução traduz-se quase sempre precisamente nesta forma.
Base de indução
Verificamos a propriedade para \(n=1\).
Calculamos:
\[ 5^1-1=5-1=4 \]
Como \(4\) é divisível por \(4\), a propriedade é verdadeira para \(n=1\).
Hipótese de indução
Suponhamos que a propriedade é verdadeira para um certo \(n\geq1\).
Isto significa que \(5^n-1\) é divisível por \(4\). Logo, existe um inteiro \(k\) tal que:
\[ 5^n-1=4k \]
Esta forma é muito importante: permite-nos fazer uso concreto da hipótese de indução nos cálculos.
Passo de indução
Temos de demonstrar que \(5^{n+1}-1\) também é divisível por \(4\).
Partimos da expressão:
\[ 5^{n+1}-1 \]
Escrevemos \(5^{n+1}\) como \(5\cdot5^n\):
\[ 5^{n+1}-1=5\cdot5^n-1 \]
Queremos fazer aparecer \(5^n-1\), que é precisamente a expressão que figura na hipótese de indução.
Para isso, reescrevemos:
\[ 5\cdot5^n-1=5(5^n-1)+4 \]
Verificamos mentalmente o passo:
\[ 5(5^n-1)+4=5\cdot5^n-5+4=5\cdot5^n-1 \]
Podemos agora aplicar a hipótese de indução:
\[ 5^n-1=4k \]
pelo que:
\[ 5(5^n-1)+4=5\cdot4k+4 \]
Colocamos \(4\) em evidência:
\[ 5\cdot4k+4=4(5k+1) \]
Como \(5k+1\) é um número inteiro, a expressão \(4(5k+1)\) é divisível por \(4\).
Logo, \(5^{n+1}-1\) é divisível por \(4\).
Conclusão
A propriedade é verdadeira para \(n=1\) e demonstrámos que, se \(5^n-1\) é divisível por \(4\), então \(5^{n+1}-1\) também o é.
Pelo princípio da indução matemática, \(5^n-1\) é divisível por \(4\) para todo o \(n\geq1\).
Exercício 7 — nível ★★☆☆☆
Demonstrar por indução que \(7^n-1\) é divisível por \(6\), para todo o \(n\geq1\).
Demonstração
Significado da propriedade
Dizer que \(7^n-1\) é divisível por \(6\) significa que \(7^n-1\) é um múltiplo de \(6\).
Em símbolos, temos de demonstrar que existe um inteiro \(k\) tal que:
\[ 7^n-1=6k \]
Base de indução
Verificamos a propriedade para \(n=1\).
Calculamos:
\[ 7^1-1=7-1=6 \]
Como \(6\) é divisível por \(6\), a propriedade é verdadeira para \(n=1\).
Hipótese de indução
Suponhamos que a propriedade é verdadeira para um certo \(n\geq1\).
Isto significa que \(7^n-1\) é divisível por \(6\). Logo, existe um inteiro \(k\) tal que:
\[ 7^n-1=6k \]
O objetivo do passo de indução será fazer aparecer precisamente a expressão \(7^n-1\), que é aquela que podemos substituir usando a hipótese de indução.
Passo de indução
Temos de demonstrar que \(7^{n+1}-1\) é divisível por \(6\).
Partimos de:
\[ 7^{n+1}-1 \]
Escrevemos \(7^{n+1}\) como \(7\cdot7^n\):
\[ 7^{n+1}-1=7\cdot7^n-1 \]
Reescrevemos esta expressão de modo a fazer aparecer \(7^n-1\):
\[ 7\cdot7^n-1=7(7^n-1)+6 \]
Com efeito:
\[ 7(7^n-1)+6=7\cdot7^n-7+6=7\cdot7^n-1 \]
Usando a hipótese de indução \(7^n-1=6k\), obtemos:
\[ 7(7^n-1)+6=7\cdot6k+6 \]
Colocamos o fator \(6\) em evidência:
\[ 7\cdot6k+6=6(7k+1) \]
Como \(7k+1\) é um inteiro, \(6(7k+1)\) é divisível por \(6\).
Logo, \(7^{n+1}-1\) é divisível por \(6\).
Conclusão
A propriedade é verdadeira para \(n=1\) e demonstrámos que a divisibilidade por \(6\) se transmite do caso \(n\) para o caso \(n+1\).
Pelo princípio da indução matemática, \(7^n-1\) é divisível por \(6\) para todo o \(n\geq1\).
Exercício 8 — nível ★★★☆☆
Demonstrar por indução que:
\[ 11^n-4^n \]
é divisível por \(7\), para todo o \(n\geq1\).
Demonstração
Significado da propriedade
Temos de demonstrar que a diferença \(11^n-4^n\) é sempre um múltiplo de \(7\).
Por outras palavras, queremos provar que existe um inteiro \(k\) tal que:
\[ 11^n-4^n=7k \]
Este exercício é ligeiramente mais delicado do que os anteriores, pois envolve duas potências distintas. No passo de indução teremos, portanto, de transformar a expressão com cuidado, de modo a fazer aparecer \(11^n-4^n\).
Base de indução
Verificamos a propriedade para \(n=1\).
Calculamos:
\[ 11^1-4^1=11-4=7 \]
Como \(7\) é divisível por \(7\), a propriedade é verdadeira para \(n=1\).
Hipótese de indução
Suponhamos que a propriedade é verdadeira para um certo \(n\geq1\).
Supomos, portanto, que \(11^n-4^n\) é divisível por \(7\). Equivalentemente, existe um inteiro \(k\) tal que:
\[ 11^n-4^n=7k \]
No passo seguinte teremos de utilizar precisamente esta informação.
Passo de indução
Temos de demonstrar que:
\[ 11^{n+1}-4^{n+1} \]
é divisível por \(7\).
Escrevemos as potências no passo seguinte:
\[ 11^{n+1}-4^{n+1}=11\cdot11^n-4\cdot4^n \]
Queremos fazer aparecer \(11^n-4^n\). Para isso, somamos e subtraímos o mesmo termo \(11\cdot4^n\):
\[ 11\cdot11^n-4\cdot4^n = 11\cdot11^n-11\cdot4^n+11\cdot4^n-4\cdot4^n \]
Este passo não altera o valor da expressão, uma vez que adicionámos e subtraímos a mesma quantidade.
Colocamos agora \(11\) em evidência nos dois primeiros termos, e \(4^n\) nos dois últimos:
\[ 11(11^n-4^n)+(11-4)4^n \]
Como \(11-4=7\), obtemos:
\[ 11(11^n-4^n)+7\cdot4^n \]
Podemos agora aplicar a hipótese de indução:
\[ 11^n-4^n=7k \]
Substituindo:
\[ 11(11^n-4^n)+7\cdot4^n = 11\cdot7k+7\cdot4^n \]
Colocamos \(7\) em evidência:
\[ 11\cdot7k+7\cdot4^n = 7(11k+4^n) \]
Como \(11k+4^n\) é um inteiro, a expressão é divisível por \(7\).
Portanto:
\[ 7\mid(11^{n+1}-4^{n+1}) \]
Conclusão
A propriedade é verdadeira para \(n=1\) e o passo de indução foi demonstrado.
Pelo princípio da indução matemática, \(11^n-4^n\) é divisível por \(7\) para todo o \(n\geq1\).
Exercício 9 — nível ★★★☆☆
Demonstrar por indução que:
\[ 2^n \geq n+1 \]
para todo o \(n\geq0\).
Demonstração
Significado da propriedade
A desigualdade afirma que a potência \(2^n\) cresce pelo menos tão rapidamente quanto a expressão linear \(n+1\).
Numa demonstração por indução sobre desigualdades, o ponto delicado consiste em usar a hipótese de indução sem inverter o sentido da desigualdade.
Base de indução
Verificamos a propriedade para \(n=0\).
O membro esquerdo vale:
\[ 2^0=1 \]
O membro direito vale:
\[ 0+1=1 \]
Portanto:
\[ 2^0\geq0+1 \]
A propriedade é verdadeira para \(n=0\).
Hipótese de indução
Suponhamos que a propriedade é verdadeira para um certo \(n\geq0\).
Supomos, portanto:
\[ 2^n\geq n+1 \]
Esta hipótese diz-nos que podemos substituir \(2^n\) por uma quantidade não inferior a \(n+1\).
Passo de indução
Temos de demonstrar que:
\[ 2^{n+1}\geq n+2 \]
Partimos do membro esquerdo:
\[ 2^{n+1} \]
Escrevemo-lo como:
\[ 2^{n+1}=2\cdot2^n \]
Como pela hipótese de indução \(2^n\geq n+1\), multiplicando ambos os membros por \(2\), que é positivo, o sentido da desigualdade mantém-se:
\[ 2\cdot2^n\geq2(n+1) \]
Portanto:
\[ 2^{n+1}\geq2n+2 \]
Temos agora de comparar \(2n+2\) com \(n+2\), uma vez que o objetivo é obter \(n+2\).
Como \(n\geq0\), tem-se:
\[ 2n+2\geq n+2 \]
Com efeito, a diferença entre os dois membros é:
\[ (2n+2)-(n+2)=n\geq0 \]
Combinando as duas desigualdades:
\[ 2^{n+1}\geq2n+2\geq n+2 \]
portanto:
\[ 2^{n+1}\geq n+2 \]
Conclusão
A propriedade é verdadeira para \(n=0\) e demonstrámos que, se é válida para \(n\), então também o é para \(n+1\).
Pelo princípio da indução matemática:
\[ 2^n\geq n+1 \]
para todo o \(n\geq0\).
Exercício 10 — nível ★★★☆☆
Demonstrar por indução que:
\[ 3^n>n \]
para todo o \(n\geq1\).
Demonstração
Significado da propriedade
A desigualdade afirma que a potência \(3^n\) é sempre maior do que o expoente \(n\), para todo o \(n\geq1\).
Embora a propriedade seja intuitivamente evidente, pois as potências de \(3\) crescem muito rapidamente, o objetivo é demonstrá-la de forma rigorosa recorrendo à indução.
Base de indução
Verificamos a propriedade para \(n=1\).
O membro esquerdo vale:
\[ 3^1=3 \]
O membro direito vale:
\[ 1 \]
Como:
\[ 3>1 \]
a propriedade é verdadeira para \(n=1\).
Hipótese de indução
Suponhamos que a propriedade é verdadeira para um certo \(n\geq1\).
Supomos, portanto:
\[ 3^n>n \]
Esta é a informação de que nos serviremos para demonstrar a desigualdade no passo seguinte.
Passo de indução
Temos de demonstrar que:
\[ 3^{n+1}>n+1 \]
Partimos de:
\[ 3^{n+1} \]
Escrevemos:
\[ 3^{n+1}=3\cdot3^n \]
Usando a hipótese de indução \(3^n>n\) e multiplicando por \(3>0\), obtemos:
\[ 3\cdot3^n>3n \]
Portanto:
\[ 3^{n+1}>3n \]
Temos agora de comparar \(3n\) com \(n+1\).
Para \(n\geq1\), tem-se:
\[ 3n>n+1 \]
Com efeito:
\[ 3n-(n+1)=2n-1 \]
e, se \(n\geq1\), então:
\[ 2n-1\geq1>0 \]
Logo:
\[ 3n>n+1 \]
Combinando:
\[ 3^{n+1}>3n>n+1 \]
portanto:
\[ 3^{n+1}>n+1 \]
Conclusão
A propriedade é verdadeira para \(n=1\) e o passo de indução foi demonstrado.
Pelo princípio da indução matemática:
\[ 3^n>n \]
para todo o \(n\geq1\).
Exercício 11 — nível ★★★★☆
Demonstrar por indução que:
\[ 2^n < n! \]
para todo o \(n\geq4\).
Demonstração
Significado da propriedade
A desigualdade compara uma potência com um fatorial.
O fatorial \(n!\) é o produto:
\[ n!=1\cdot2\cdot3\cdot\dots\cdot n \]
A propriedade afirma que, a partir de \(n=4\), o fatorial é sempre maior do que \(2^n\).
Base de indução
Verificamos a propriedade para \(n=4\).
O membro esquerdo vale:
\[ 2^4=16 \]
O membro direito vale:
\[ 4!=1\cdot2\cdot3\cdot4=24 \]
Como:
\[ 16<24 \]
a propriedade é verdadeira para \(n=4\).
Hipótese de indução
Suponhamos que a propriedade é verdadeira para um certo \(n\geq4\).
Supomos, portanto:
\[ 2^n < n! \]
Esta hipótese permite-nos comparar \(2^n\) com \(n!\). No passo seguinte teremos de comparar \(2^{n+1}\) com \((n+1)!\).
Passo de indução
Temos de demonstrar que:
\[ 2^{n+1}<(n+1)! \]
Partimos do membro esquerdo:
\[ 2^{n+1} \]
Escrevemo-lo como:
\[ 2^{n+1}=2\cdot2^n \]
Pela hipótese de indução sabemos que:
\[ 2^n < n! \]
Multiplicando ambos os membros por \(2>0\), obtemos:
\[ 2\cdot2^n<2\cdot n! \]
Portanto:
\[ 2^{n+1}<2\cdot n! \]
Temos agora de relacionar \(2\cdot n!\) com \((n+1)!\). Recordamos que:
\[ (n+1)!=(n+1)\cdot n! \]
Como \(n\geq4\), tem-se:
\[ n+1\geq5 \]
portanto:
\[ 2 < n+1 \]
Multiplicando por \(n!>0\), obtemos:
\[ 2\cdot n!<(n+1)\cdot n! \]
ou seja:
\[ 2\cdot n!<(n+1)! \]
Combinando as duas desigualdades:
\[ 2^{n+1}<2\cdot n!<(n+1)! \]
logo:
\[ 2^{n+1}<(n+1)! \]
Conclusão
A propriedade é verdadeira para \(n=4\) e demonstrámos que, se é válida para \(n\), então também o é para \(n+1\).
Pelo princípio da indução matemática:
\[ 2^n < n! \]
para todo o \(n\geq4\).
Exercício 12 — nível ★★★★☆
Demonstrar por indução que:
\[ 4^n\geq3n+1 \]
para todo o \(n\geq0\).
Demonstração
Significado da propriedade
A propriedade compara um crescimento exponencial, representado por \(4^n\), com um crescimento linear, representado por \(3n+1\).
A indução permite-nos demonstrar que esta desigualdade é válida para todo o número natural \(n\geq0\), sem precisar de verificar cada caso individualmente.
Base de indução
Verificamos a propriedade para \(n=0\).
O membro esquerdo vale:
\[ 4^0=1 \]
O membro direito vale:
\[ 3\cdot0+1=1 \]
Os dois membros são iguais, portanto:
\[ 4^0\geq3\cdot0+1 \]
A propriedade é verdadeira para \(n=0\).
Hipótese de indução
Suponhamos que a propriedade é verdadeira para um certo \(n\geq0\).
Supomos, portanto:
\[ 4^n\geq3n+1 \]
Temos de usar esta informação para demonstrar a desigualdade no passo seguinte.
Passo de indução
Temos de demonstrar que:
\[ 4^{n+1}\geq3(n+1)+1 \]
Como:
\[ 4^{n+1}=4\cdot4^n \]
podemos aplicar a hipótese de indução. Uma vez que \(4>0\), ao multiplicar por \(4\) o sentido da desigualdade não se altera:
\[ 4\cdot4^n\geq4(3n+1) \]
Portanto:
\[ 4^{n+1}\geq12n+4 \]
Queremos agora obter:
\[ 3(n+1)+1 \]
Desenvolvemos esta expressão:
\[ 3(n+1)+1=3n+3+1=3n+4 \]
Temos, portanto, de comparar \(12n+4\) com \(3n+4\).
Como \(n\geq0\), tem-se:
\[ 12n+4\geq3n+4 \]
Com efeito:
\[ (12n+4)-(3n+4)=9n\geq0 \]
Portanto:
\[ 12n+4\geq3n+4=3(n+1)+1 \]
Combinando:
\[ 4^{n+1}\geq12n+4\geq3(n+1)+1 \]
logo:
\[ 4^{n+1}\geq3(n+1)+1 \]
Conclusão
A propriedade é verdadeira para \(n=0\) e demonstrámos que a sua validade para \(n\) implica a sua validade para \(n+1\).
Pelo princípio da indução matemática:
\[ 4^n\geq3n+1 \]
para todo o \(n\geq0\).
Exercício 13 — nível ★★★★☆
Demonstrar por indução que:
\[ 1+3+3^2+\dots+3^n=\frac{3^{n+1}-1}{2} \]
para todo o \(n\geq0\).
Demonstração
Significado da fórmula
O membro esquerdo é a soma das primeiras potências de \(3\), a partir de \(3^0=1\):
\[ 1+3+3^2+\dots+3^n \]
A fórmula afirma que esta soma pode ser calculada diretamente através de:
\[ \frac{3^{n+1}-1}{2} \]
Base de indução
Verificamos a propriedade para \(n=0\).
O membro esquerdo vale:
\[ 1 \]
O membro direito vale:
\[ \frac{3^{0+1}-1}{2} = \frac{3-1}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]
Os dois membros coincidem. A propriedade é verdadeira para \(n=0\).
Hipótese de indução
Suponhamos que a fórmula é verdadeira para um certo \(n\geq0\).
Supomos, portanto:
\[ 1+3+3^2+\dots+3^n=\frac{3^{n+1}-1}{2} \]
Passo de indução
Temos de demonstrar que:
\[ 1+3+3^2+\dots+3^n+3^{n+1} = \frac{3^{n+2}-1}{2} \]
Partimos do membro esquerdo:
\[ 1+3+3^2+\dots+3^n+3^{n+1} \]
Aplicamos a hipótese de indução à parte inicial da soma:
\[ \frac{3^{n+1}-1}{2}+3^{n+1} \]
Reduzimos ao mesmo denominador:
\[ \frac{3^{n+1}-1}{2}+\frac{2\cdot3^{n+1}}{2} \]
Somamos os numeradores:
\[ \frac{3^{n+1}-1+2\cdot3^{n+1}}{2} \]
Agrupamos agora os termos com \(3^{n+1}\):
\[ 3^{n+1}+2\cdot3^{n+1}=3\cdot3^{n+1} \]
Portanto:
\[ \frac{3\cdot3^{n+1}-1}{2} \]
Pela propriedade das potências:
\[ 3\cdot3^{n+1}=3^{n+2} \]
Obtemos, pois:
\[ \frac{3^{n+2}-1}{2} \]
que é exatamente a fórmula no passo \(n+1\).
Conclusão
A propriedade é verdadeira para \(n=0\) e demonstrámos que, se é válida para \(n\), então também o é para \(n+1\).
Pelo princípio da indução matemática:
\[ 1+3+3^2+\dots+3^n=\frac{3^{n+1}-1}{2} \]
para todo o \(n\geq0\).
Exercício 14 — nível ★★★★☆
Demonstrar por indução que:
\[ 8^n-1 \]
é divisível por \(7\), para todo o \(n\geq1\).
Demonstração
Significado da propriedade
Temos de demonstrar que \(8^n-1\) é sempre um múltiplo de \(7\).
Equivalentemente, temos de mostrar que existe um inteiro \(k\) tal que:
\[ 8^n-1=7k \]
Base de indução
Verificamos a propriedade para \(n=1\).
Calculamos:
\[ 8^1-1=8-1=7 \]
Como \(7\) é divisível por \(7\), a propriedade é verdadeira para \(n=1\).
Hipótese de indução
Suponhamos que a propriedade é verdadeira para um certo \(n\geq1\).
Então existe um inteiro \(k\) tal que:
\[ 8^n-1=7k \]
No passo de indução teremos de fazer aparecer a expressão \(8^n-1\), de modo a poder aplicar a hipótese de indução.
Passo de indução
Temos de demonstrar que \(8^{n+1}-1\) é divisível por \(7\).
Partimos de:
\[ 8^{n+1}-1 \]
Escrevemos \(8^{n+1}\) como:
\[ 8^{n+1}=8\cdot8^n \]
Portanto:
\[ 8^{n+1}-1=8\cdot8^n-1 \]
Reescrevemos a expressão fazendo aparecer \(8^n-1\):
\[ 8\cdot8^n-1=8(8^n-1)+7 \]
Com efeito:
\[ 8(8^n-1)+7=8\cdot8^n-8+7=8\cdot8^n-1 \]
Usando a hipótese de indução \(8^n-1=7k\), obtemos:
\[ 8(8^n-1)+7=8\cdot7k+7 \]
Colocamos \(7\) em evidência:
\[ 8\cdot7k+7=7(8k+1) \]
Como \(8k+1\) é um número inteiro, a expressão \(7(8k+1)\) é divisível por \(7\).
Logo, \(8^{n+1}-1\) é divisível por \(7\).
Conclusão
A propriedade é verdadeira para \(n=1\) e demonstrámos que a divisibilidade se transmite do caso \(n\) para o caso \(n+1\).
Pelo princípio da indução matemática, \(8^n-1\) é divisível por \(7\) para todo o \(n\geq1\).
Exercício 15 — nível ★★★★☆
Demonstrar por indução que:
\[ 9^n-1 \]
é divisível por \(8\), para todo o \(n\geq1\).
Demonstração
Significado da propriedade
Temos de demonstrar que \(9^n-1\) é sempre um múltiplo de \(8\).
Em símbolos, queremos demonstrar que existe um inteiro \(k\) tal que:
\[ 9^n-1=8k \]
Base de indução
Verificamos a propriedade para \(n=1\).
Calculamos:
\[ 9^1-1=9-1=8 \]
Como \(8\) é divisível por \(8\), a propriedade é verdadeira para \(n=1\).
Hipótese de indução
Suponhamos que a propriedade é verdadeira para um certo \(n\geq1\).
Então existe um inteiro \(k\) tal que:
\[ 9^n-1=8k \]
Passo de indução
Temos de demonstrar que \(9^{n+1}-1\) é divisível por \(8\).
Partimos de:
\[ 9^{n+1}-1 \]
Escrevemos:
\[ 9^{n+1}=9\cdot9^n \]
portanto:
\[ 9^{n+1}-1=9\cdot9^n-1 \]
Queremos fazer aparecer \(9^n-1\), que é a expressão controlada pela hipótese de indução.
Reescrevemos:
\[ 9\cdot9^n-1=9(9^n-1)+8 \]
Com efeito:
\[ 9(9^n-1)+8=9\cdot9^n-9+8=9\cdot9^n-1 \]
Usando a hipótese de indução:
\[ 9^n-1=8k \]
obtemos:
\[ 9(9^n-1)+8=9\cdot8k+8 \]
Colocamos \(8\) em evidência:
\[ 9\cdot8k+8=8(9k+1) \]
Como \(9k+1\) é um inteiro, a expressão é divisível por \(8\).
Logo, \(9^{n+1}-1\) é divisível por \(8\).
Conclusão
A propriedade é verdadeira para \(n=1\) e o passo de indução foi demonstrado.
Pelo princípio da indução matemática, \(9^n-1\) é divisível por \(8\) para todo o \(n\geq1\).
Exercício 16 — nível ★★★★★
Demonstrar por indução que:
\[ 1\cdot1!+2\cdot2!+3\cdot3!+\dots+n\cdot n!=(n+1)!-1 \]
para todo o \(n\geq1\).
Demonstração
Significado da fórmula
O membro esquerdo é uma soma cujos termos têm a forma:
\[ k\cdot k! \]
A fórmula afirma que esta soma se simplifica de forma surpreendentemente compacta:
\[ (n+1)!-1 \]
O ponto central deste exercício consiste em reconhecer como o termo seguinte \((n+1)(n+1)!\) se combina com \((n+1)!\).
Base de indução
Verificamos a propriedade para \(n=1\).
O membro esquerdo vale:
\[ 1\cdot1!=1 \]
O membro direito vale:
\[ (1+1)!-1=2!-1=2-1=1 \]
Os dois membros coincidem. A propriedade é verdadeira para \(n=1\).
Hipótese de indução
Suponhamos que a fórmula é verdadeira para um certo \(n\geq1\).
Supomos, portanto:
\[ 1\cdot1!+2\cdot2!+\dots+n\cdot n!=(n+1)!-1 \]
Passo de indução
Temos de demonstrar que:
\[ 1\cdot1!+2\cdot2!+\dots+n\cdot n!+(n+1)(n+1)!=(n+2)!-1 \]
Partimos do membro esquerdo:
\[ 1\cdot1!+2\cdot2!+\dots+n\cdot n!+(n+1)(n+1)! \]
Aplicamos a hipótese de indução à soma até \(n\):
\[ (n+1)!-1+(n+1)(n+1)! \]
Colocamos agora o fator comum \((n+1)!\) em evidência:
\[ (n+1)!+(n+1)(n+1)!-1 \]
Nos dois primeiros termos aparece \((n+1)!\), portanto:
\[ (n+1)!\left[1+(n+1)\right]-1 \]
Simplificamos o parêntesis:
\[ 1+(n+1)=n+2 \]
pelo que:
\[ (n+1)!(n+2)-1 \]
Como:
\[ (n+2)!=(n+2)(n+1)! \]
obtemos:
\[ (n+2)!-1 \]
que é exatamente a fórmula requerida para o passo \(n+1\).
Conclusão
A propriedade é verdadeira para \(n=1\) e demonstrámos que, se é válida para \(n\), então também o é para \(n+1\).
Pelo princípio da indução matemática:
\[ 1\cdot1!+2\cdot2!+3\cdot3!+\dots+n\cdot n!=(n+1)!-1 \]
para todo o \(n\geq1\).
Exercício 17 — nível ★★★★★
Demonstrar por indução que:
\[ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{2^n} = 2-\frac{1}{2^n} \]
para todo o \(n\geq0\).
Demonstração
Significado da fórmula
O membro esquerdo é uma soma de potências negativas de \(2\), ou seja, uma série geométrica:
\[ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{2^n} \]
A fórmula afirma que esta soma é igual a:
\[ 2-\frac{1}{2^n} \]
O termo \(\frac{1}{2^n}\) mede a distância entre a soma parcial e o valor \(2\).
Base de indução
Verificamos a propriedade para \(n=0\).
O membro esquerdo contém apenas o primeiro termo:
\[ 1 \]
O membro direito vale:
\[ 2-\frac{1}{2^0}=2-1=1 \]
Os dois membros coincidem. A propriedade é verdadeira para \(n=0\).
Hipótese de indução
Suponhamos que a fórmula é verdadeira para um certo \(n\geq0\).
Supomos, portanto:
\[ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{2^n} = 2-\frac{1}{2^n} \]
Esta hipótese descreve a soma até ao termo \(\frac{1}{2^n}\). No passo seguinte teremos de acrescentar o novo termo \(\frac{1}{2^{n+1}}\).
Passo de indução
Temos de demonstrar que:
\[ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{2^n}+\frac{1}{2^{n+1}} = 2-\frac{1}{2^{n+1}} \]
Partimos do membro esquerdo:
\[ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{2^n}+\frac{1}{2^{n+1}} \]
Aplicamos a hipótese de indução à soma até \(\frac{1}{2^n}\):
\[ 2-\frac{1}{2^n}+\frac{1}{2^{n+1}} \]
Simplificamos agora os dois últimos termos:
\[ -\frac{1}{2^n}+\frac{1}{2^{n+1}} \]
Observamos que:
\[ \frac{1}{2^n}=\frac{2}{2^{n+1}} \]
pois \(2^{n+1}=2\cdot2^n\).
Portanto:
\[ -\frac{1}{2^n}+\frac{1}{2^{n+1}} = -\frac{2}{2^{n+1}}+\frac{1}{2^{n+1}} \]
Somamos as frações:
\[ -\frac{2}{2^{n+1}}+\frac{1}{2^{n+1}} = -\frac{1}{2^{n+1}} \]
Por conseguinte:
\[ 2-\frac{1}{2^n}+\frac{1}{2^{n+1}} = 2-\frac{1}{2^{n+1}} \]
Obtivemos exatamente a fórmula requerida para \(n+1\).
Conclusão
A propriedade é verdadeira para \(n=0\) e o passo de indução foi demonstrado.
Pelo princípio da indução matemática:
\[ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{2^n} = 2-\frac{1}{2^n} \]
para todo o \(n\geq0\).
Exercício 18 — nível ★★★★★
Demonstrar por indução que:
\[ \sum_{k=1}^{n} k(k+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3} \]
para todo o \(n\geq1\).
Demonstração
Significado da fórmula
O símbolo:
\[ \sum_{k=1}^{n} k(k+1) \]
denota a soma dos termos da forma \(k(k+1)\), quando \(k\) varia de \(1\) a \(n\).
Explicitamente:
\[ \sum_{k=1}^{n} k(k+1) = 1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4+\dots+n(n+1) \]
A fórmula afirma que esta soma pode ser escrita na forma fechada:
\[ \frac{n(n+1)(n+2)}{3} \]
Base de indução
Verificamos a propriedade para \(n=1\).
O membro esquerdo vale:
\[ \sum_{k=1}^{1} k(k+1)=1(1+1)=2 \]
O membro direito vale:
\[ \frac{1(1+1)(1+2)}{3} = \frac{1\cdot2\cdot3}{3} = 2 \]
Os dois membros coincidem. A propriedade é verdadeira para \(n=1\).
Hipótese de indução
Suponhamos que a fórmula é verdadeira para um certo \(n\geq1\).
Supomos, portanto:
\[ \sum_{k=1}^{n} k(k+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3} \]
Esta hipótese descreve a soma até ao termo \(n(n+1)\). No passo seguinte teremos de acrescentar o termo correspondente a \(k=n+1\).
Passo de indução
Temos de demonstrar que:
\[ \sum_{k=1}^{n+1} k(k+1)=\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3} \]
Escrevemos a soma até \(n+1\) separando o último termo:
\[ \sum_{k=1}^{n+1} k(k+1) = \sum_{k=1}^{n} k(k+1)+(n+1)(n+2) \]
Aplicamos agora a hipótese de indução:
\[ \frac{n(n+1)(n+2)}{3}+(n+1)(n+2) \]
Os dois termos têm em comum o fator \((n+1)(n+2)\). Colocamo-lo em evidência:
\[ (n+1)(n+2)\left(\frac{n}{3}+1\right) \]
Transformamos agora o parêntesis:
\[ \frac{n}{3}+1=\frac{n}{3}+\frac{3}{3}=\frac{n+3}{3} \]
Substituindo:
\[ (n+1)(n+2)\cdot\frac{n+3}{3} \]
ou seja:
\[ \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3} \]
Obtivemos exatamente a fórmula requerida para \(n+1\).
Conclusão
A propriedade é verdadeira para \(n=1\) e o passo de indução foi demonstrado.
Pelo princípio da indução matemática:
\[ \sum_{k=1}^{n} k(k+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3} \]
para todo o \(n\geq1\).
Exercício 19 — nível ★★★★★
Demonstrar por indução que:
\[ 2^n>n^2 \]
para todo o \(n\geq5\).
Demonstração
Significado da propriedade
A desigualdade compara um crescimento exponencial, \(2^n\), com um crescimento polinomial, \(n^2\).
A propriedade não é verdadeira para todos os valores iniciais de \(n\). Por exemplo, para \(n=2\) tem-se \(2^2=4\) e \(2^2=4\), pelo que a desigualdade estrita não se verifica.
Por esta razão, a demonstração por indução parte de \(n=5\).
Base de indução
Verificamos a propriedade para \(n=5\).
O membro esquerdo vale:
\[ 2^5=32 \]
O membro direito vale:
\[ 5^2=25 \]
Como:
\[ 32>25 \]
a propriedade é verdadeira para \(n=5\).
Hipótese de indução
Suponhamos que a propriedade é verdadeira para um certo \(n\geq5\).
Supomos, portanto:
\[ 2^n>n^2 \]
Temos de usar esta informação para demonstrar a desigualdade no passo seguinte.
Passo de indução
Temos de demonstrar que:
\[ 2^{n+1}>(n+1)^2 \]
Partimos do membro esquerdo:
\[ 2^{n+1} \]
Escrevemos:
\[ 2^{n+1}=2\cdot2^n \]
Pela hipótese de indução sabemos que:
\[ 2^n>n^2 \]
Multiplicando por \(2>0\), obtemos:
\[ 2\cdot2^n>2n^2 \]
Portanto:
\[ 2^{n+1}>2n^2 \]
Temos agora de mostrar que \(2n^2\) é maior do que \((n+1)^2\). Com efeito, se:
\[ 2n^2>(n+1)^2 \]
então, combinando as duas desigualdades, obteremos:
\[ 2^{n+1}>2n^2>(n+1)^2 \]
Verificamos, pois, que:
\[ 2n^2>(n+1)^2 \]
Passamos tudo para o membro esquerdo:
\[ 2n^2-(n+1)^2 \]
Desenvolvemos o quadrado:
\[ (n+1)^2=n^2+2n+1 \]
pelo que:
\[ 2n^2-(n+1)^2 = 2n^2-(n^2+2n+1) \]
ou seja:
\[ n^2-2n-1 \]
Escrevemos esta expressão numa forma conveniente:
\[ n^2-2n-1=(n-1)^2-2 \]
Como \(n\geq5\), temos \(n-1\geq4\), logo:
\[ (n-1)^2\geq4^2=16 \]
Por conseguinte:
\[ (n-1)^2-2\geq16-2=14>0 \]
Portanto:
\[ 2n^2-(n+1)^2>0 \]
e logo:
\[ 2n^2>(n+1)^2 \]
Combinando:
\[ 2^{n+1}>2n^2>(n+1)^2 \]
obtemos:
\[ 2^{n+1}>(n+1)^2 \]
Conclusão
A propriedade é verdadeira para \(n=5\) e demonstrámos que, se é válida para \(n\), então também o é para \(n+1\).
Pelo princípio da indução matemática:
\[ 2^n>n^2 \]
para todo o \(n\geq5\).
Exercício 20 — nível ★★★★★
Demonstrar por indução que todo o número natural \(n\geq2\) é primo ou produto de números primos.
Demonstração
Significado da propriedade
Esta propriedade constitui uma forma essencial do teorema fundamental da aritmética: todo o número natural maior ou igual a \(2\) pode ser decomposto em fatores primos.
Neste exercício utilizaremos a indução forte. Ao contrário da indução ordinária, na indução forte, para demonstrar a propriedade para \(n\), podemos supor que ela é verdadeira para todos os números naturais compreendidos entre \(2\) e \(n-1\).
Esta forma de indução é natural neste contexto, pois se um número não é primo, escreve-se como produto de dois números menores.
Base de indução
Verificamos a propriedade para \(n=2\).
O número \(2\) é primo.
Logo, a propriedade é verdadeira para \(n=2\).
Hipótese de indução forte
Suponhamos que a propriedade é verdadeira para todos os números naturais \(m\) tais que:
\[ 2\leq m\leq n \]
Isto significa que todo o número natural compreendido entre \(2\) e \(n\) é primo ou produto de números primos.
Passo de indução
Temos de demonstrar que a propriedade é válida para \(n+1\).
Consideremos, portanto, o número \(n+1\).
Há duas possibilidades.
Primeiro caso: \(n+1\) é primo
Se \(n+1\) é primo, então a propriedade é imediatamente verdadeira.
Com efeito, a propriedade exige que o número seja primo ou produto de primos; neste caso é diretamente primo.
Segundo caso: \(n+1\) não é primo
Se \(n+1\) não é primo, então por definição existem dois números naturais \(a\) e \(b\), ambos maiores do que \(1\), tais que:
\[ n+1=ab \]
Além disso, como \(a>1\) e \(b>1\), ambos os fatores são estritamente menores do que \(n+1\).
Portanto:
\[ 2\leq a\leq n \qquad \text{e} \qquad 2\leq b\leq n \]
Neste ponto podemos aplicar a hipótese de indução forte tanto a \(a\) como a \(b\).
Por hipótese, \(a\) é primo ou produto de números primos.
Do mesmo modo, \(b\) é primo ou produto de números primos.
Como:
\[ n+1=ab \]
e tanto \(a\) como \(b\) são primos ou produtos de primos, segue-se que \(n+1\) também é produto de números primos.
Conclusão
Demonstrámos que, se a propriedade é válida para todos os números de \(2\) a \(n\), então também o é para \(n+1\).
Como a propriedade é verdadeira para \(n=2\), pelo princípio da indução forte concluímos que todo o número natural \(n\geq2\) é primo ou produto de números primos.