Equações Logarítmicas: Teoria, Método e Exercícios Resolvidos

Uma equação logarítmica é uma equação em que a incógnita surge como argumento de pelo menos um logaritmo. A resolução destas equações exige não só domínio do cálculo algébrico, mas sobretudo o controlo rigoroso das condições de existência: toda a solução formalmente obtida deve ser verificada relativamente ao domínio da equação, sob pena de se introduzirem soluções espúrias.

Índice

• Recordação sobre a Função Logarítmica
• Domínio de uma Equação Logarítmica
• Definição e Método Exponencial
• Propriedades Operativas dos Logaritmos
• Equações Logarítmicas Elementares
• Equações com Soma ou Diferença de Logaritmos
• Equações com Logaritmos Iguais
• Equações com Logaritmos de Bases Diferentes
• Equações Resolvíveis por Substituição
• Soluções Espúrias: Análise e Prevenção
• Esquema Geral de Resolução
• Exercícios Resolvidos
• Interpretação Gráfica

Antes de abordar as equações logarítmicas, é indispensável recordar com rigor as propriedades fundamentais da função logarítmica, uma vez que toda a teoria de resolução delas depende diretamente.

Fixados \( a \in \mathbb{R} \) com \( a > 0 \) e \( a \neq 1 \), a função exponencial \( e_a \colon \mathbb{R} \to (0, +\infty) \), definida por \( e_a(x) = a^x \), é estritamente monótona — crescente se \( a > 1 \), decrescente se \( 0 < a < 1 \) — e portanto bijetiva sobre o seu contradomínio \( (0, +\infty) \). A sua inversa é a função logarítmica de base \( a \):

\[ \log_a \colon (0, +\infty) \longrightarrow \mathbb{R}, \qquad x \longmapsto \log_a x. \]

O domínio natural do logaritmo é \( (0, +\infty) \): o logaritmo de um número não positivo não está definido em \( \mathbb{R} \). Esta restrição é a origem de todas as condições de existência nas equações logarítmicas.

A função \( x \mapsto \log_a x \) herda a monotonicidade estrita da função exponencial:

• é estritamente crescente se \( a > 1 \);
• é estritamente decrescente se \( 0 < a < 1 \).

A monotonicidade estrita implica a injetividade: para todo o \( u, v \in (0, +\infty) \),

\[ \log_a u = \log_a v \quad \Longleftrightarrow \quad u = v. \]

Esta equivalência é o fundamento lógico do método de resolução das equações com logaritmos iguais. Recordamos ainda os valores notáveis:

\[ \log_a 1 = 0, \qquad \log_a a = 1, \qquad \log_a a^k = k \quad \forall\, k \in \mathbb{R}. \]

O domínio de uma equação logarítmica é o conjunto dos valores reais da incógnita para os quais toda a expressão presente na equação está bem definida. Como o logaritmo real só está definido para argumentos estritamente positivos, para cada termo \( \log_a f_i(x) \), ao variar \( i \) no conjunto dos índices que indexam todos os logaritmos presentes na equação, é necessário impor a condição:

\[ f_i(x) > 0. \]

O domínio da equação é a interseção de todas estas condições:

\[ \mathcal{D} = \bigcap_{i \in I} \bigl\{ x \in \mathbb{R} \mid f_i(x) > 0 \bigr\}, \]

onde \( I \) é o conjunto dos índices dos logaritmos presentes na equação.

Regra fundamental. Uma vez determinadas as soluções formais por meio de transformações algébricas, devem conservar-se apenas as que pertençam a \( \mathcal{D} \). Os valores excluídos de \( \mathcal{D} \) tornam indefinido pelo menos um logaritmo e não constituem soluções da equação original, independentemente de satisfazerem as equações algébricas intermédias.

É metodologicamente imprescindível determinar \( \mathcal{D} \) antes de qualquer manipulação algébrica: desta forma tem-se sempre presente o conjunto em que as soluções devem ser procuradas, e evita-se atribuir validade a passos que pressupõem a positividade dos argumentos sem a ter garantido.

A própria definição de logaritmo fornece o método de resolução mais direto. Para \( a > 0 \), \( a \neq 1 \) e \( x > 0 \), tem-se por definição:

\[ \log_a x = b \quad \Longleftrightarrow \quad a^b = x. \]

Esta equivalência permite transformar a equação logarítmica \( \log_a f(x) = k \), com \( k \in \mathbb{R} \), na equação exponencial \( f(x) = a^k \), que já não contém logaritmos. Note-se que a condição \( f(x) > 0 \) é automaticamente satisfeita por toda a solução de \( f(x) = a^k \), dado que \( a^k > 0 \) para todo o \( k \in \mathbb{R} \) e para toda a base admissível \( a \). Todavia, esta observação não dispensa de impor e verificar as condições de domínio estabelecidas em \( \mathcal{D} \): estas podem envolver outros logaritmos presentes na equação original.

Exemplo. Resolver \( \log_3(x-1) = 2 \).

Domínio. A única condição de existência é \( x - 1 > 0 \), logo \( \mathcal{D} = (1, +\infty) \).

Resolução. Aplicando a definição de logaritmo:

\[ x - 1 = 3^2 = 9 \quad \Longrightarrow \quad x = 10. \]

Verificação. \( 10 \in (1, +\infty) \). A solução é aceite.

Conjunto solução: \( \{10\} \).

As seguintes propriedades, válidas para \( a > 0 \), \( a \neq 1 \), para todo o \( x, y > 0 \) e para todo o \( n \in \mathbb{R} \), decorrem diretamente das correspondentes propriedades das potências:

\[ \log_a(xy) = \log_a x + \log_a y, \]

\[ \log_a\!\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y, \]

\[ \log_a(x^n) = n\log_a x. \]

Estas identidades constituem o principal instrumento para reduzir equações com vários logaritmos a formas canónicas resolvíveis. A sua aplicação exige, porém, o cumprimento escrupuloso das hipóteses de validade.

Advertência fundamental. Cada propriedade é válida exclusivamente para argumentos estritamente positivos:

• A propriedade \( \log_a(xy) = \log_a x + \log_a y \) requer \( x > 0 \) e \( y > 0 \) separadamente. O produto \( xy \) pode ser positivo mesmo quando ambos os fatores são negativos; nesse caso \( \log_a(xy) \) estaria definido, mas \( \log_a x \) e \( \log_a y \) não o estariam. A identidade não é portanto aplicável no sentido inverso — de produto para soma — sem garantir a positividade de cada fator.
• A propriedade \( \log_a(x^n) = n\log_a x \) requer \( x > 0 \). Um caso paradigmático é \( \log_a(x^2) = 2\log_a x \): a identidade só é válida para \( x > 0 \), ao passo que para \( x < 0 \) o membro esquerdo está definido (pois \( x^2 > 0 \)) e o membro direito não.

Recordamos ainda a fórmula da mudança de base: para todo o \( b > 0 \), \( b \neq 1 \), e para todo o \( x > 0 \),

\[ \log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}. \]

Esta fórmula é indispensável quando na equação surgem logaritmos com bases diferentes e se pretende reduzi-los à mesma base para aplicar as propriedades operativas ou o princípio de injetividade. A sua utilização sistemática é ilustrada na secção §8.

Uma equação logarítmica diz-se elementar se é redutível, eventualmente após simples manipulações algébricas, à forma canónica:

\[ \log_a f(x) = k, \qquad k \in \mathbb{R}. \]

O método de resolução articula-se nos seguintes passos:

1. Determinar o domínio: \( \mathcal{D} = \{x \in \mathbb{R} \mid f(x) > 0\} \).
2. Aplicar a definição de logaritmo para obter \( f(x) = a^k \).
3. Resolver a equação \( f(x) = a^k \).
4. Verificar que as soluções pertencem a \( \mathcal{D} \) e descartar as eventuais soluções espúrias.

Exemplo. Resolver \( \log_{1/2}(3x - 5) = -3 \).

Domínio. \( 3x - 5 > 0 \Rightarrow x > \tfrac{5}{3} \), logo \( \mathcal{D} = \bigl(\tfrac{5}{3}, +\infty\bigr) \).

Resolução. Aplicando a definição:

\[ 3x - 5 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 2^3 = 8 \quad \Longrightarrow \quad 3x = 13 \quad \Longrightarrow \quad x = \frac{13}{3}. \]

Verificação. \( \tfrac{13}{3} \approx 4{,}33 > \tfrac{5}{3} \). Solução aceite.

Conjunto solução: \( \Bigl\{\dfrac{13}{3}\Bigr\} \).

Quando a equação contém uma soma ou uma diferença de logaritmos com a mesma base, aplicam-se as propriedades do produto e do quociente para reduzir a equação a um único logaritmo, convertendo-a na forma elementar. Como já foi referido, as condições de domínio devem ser impostas sobre os argumentos originais, e não sobre o argumento do logaritmo resultante da fusão.

Exemplo 1. Resolver \( \log_2 x + \log_2(x-2) = 3 \).

Domínio. \( x > 0 \) e \( x - 2 > 0 \), logo \( \mathcal{D} = (2, +\infty) \).

Resolução. Aplicando a propriedade do produto:

\[ \log_2[x(x-2)] = 3 \quad \Longrightarrow \quad x(x-2) = 2^3 = 8. \]

\[ x^2 - 2x - 8 = 0 \quad \Longrightarrow \quad (x-4)(x+2) = 0. \]

As soluções formais são \( x = 4 \) e \( x = -2 \).

Verificação. \( x = 4 \in (2, +\infty) \): aceite. \( x = -2 \notin (2, +\infty) \): solução espúria, descartada.

Conjunto solução: \( \{4\} \).

Exemplo 2. Resolver \( \log_3(x+7) - \log_3(x-1) = 1 \).

Domínio. \( x + 7 > 0 \) e \( x - 1 > 0 \), logo \( \mathcal{D} = (1, +\infty) \).

Resolução. Aplicando a propriedade do quociente:

\[ \log_3\!\left(\frac{x+7}{x-1}\right) = 1 \quad \Longrightarrow \quad \frac{x+7}{x-1} = 3. \]

\[ x + 7 = 3(x-1) \quad \Longrightarrow \quad x + 7 = 3x - 3 \quad \Longrightarrow \quad x = 5. \]

Verificação. \( 5 \in (1, +\infty) \). Solução aceite.

Conjunto solução: \( \{5\} \).

Se a equação tem a forma:

\[ \log_a f(x) = \log_a g(x), \]

a injetividade da função \( t \mapsto \log_a t \) em \( (0, +\infty) \) permite afirmar que, para todo o \( u, v \in (0, +\infty) \):

\[ \log_a u = \log_a v \quad \Longleftrightarrow \quad u = v. \]

Por conseguinte, desde que \( f(x) > 0 \) e \( g(x) > 0 \), a equação logarítmica é equivalente à equação algébrica \( f(x) = g(x) \). Impõe-se, porém, uma precisão lógica: as condições \( f(x) > 0 \) e \( g(x) > 0 \) não são equivalentes em geral, mas tornam-se-o subordinadamente à igualdade \( f(x) = g(x) \). Mais precisamente: se \( x_0 \) satisfaz \( f(x_0) = g(x_0) \), então \( f(x_0) > 0 \Longleftrightarrow g(x_0) > 0 \), pelo que verificar uma das duas condições é suficiente para garantir ambas. Do ponto de vista metodológico, é todavia mais rigoroso impor as duas condições a priori na determinação de \( \mathcal{D} \), sem fazer depender a análise desta implicação.

Exemplo. Resolver \( \log_5(x+1) = \log_5(2x-3) \).

Domínio. \( x + 1 > 0 \) e \( 2x - 3 > 0 \), logo \( \mathcal{D} = \bigl(\tfrac{3}{2}, +\infty\bigr) \).

Resolução. Por injetividade:

\[ x + 1 = 2x - 3 \quad \Longrightarrow \quad x = 4. \]

Verificação. \( 4 > \tfrac{3}{2} \). Solução aceite.

Conjunto solução: \( \{4\} \).

Quando uma equação contém logaritmos com bases diferentes, não é possível aplicar diretamente o princípio de injetividade nem as propriedades operativas. O método padrão consiste em reduzir todos os logaritmos à mesma base mediante a fórmula de mudança de base:

\[ \log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}, \]

onde a base auxiliar \( b \) é escolhida de modo a simplificar os cálculos. As escolhas mais comuns são \( b = 10 \) (logaritmo decimal, denotado \( \lg \)) ou \( b = e \) (logaritmo natural, denotado \( \ln \)). Em muitos casos, porém, é mais conveniente escolher como base comum uma das bases já presentes na equação.

Exemplo 1. Resolver \( \log_2 x + \log_4 x = 3 \).

Domínio. Ambos os logaritmos requerem \( x > 0 \), logo \( \mathcal{D} = (0, +\infty) \).

Resolução. Reduz-se \( \log_4 x \) à base \( 2 \) por meio da mudança de base:

\[ \log_4 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 4} = \frac{\log_2 x}{2}. \]

Substituindo na equação e pondo \( t = \log_2 x \) por brevidade:

\[ t + \frac{t}{2} = 3 \quad \Longrightarrow \quad \frac{3t}{2} = 3 \quad \Longrightarrow \quad t = 2. \]

Regressando à variável original: \( \log_2 x = 2 \Rightarrow x = 4 \).

Verificação. \( 4 \in (0, +\infty) \). Solução aceite.

Conjunto solução: \( \{4\} \).

Exemplo 2. Resolver \( \log_3 x \cdot \log_9 x = 4 \).

Domínio. \( \mathcal{D} = (0, +\infty) \).

Resolução. Reduz-se \( \log_9 x \) à base \( 3 \):

\[ \log_9 x = \frac{\log_3 x}{\log_3 9} = \frac{\log_3 x}{2}. \]

Pondo \( t = \log_3 x \):

\[ t \cdot \frac{t}{2} = 4 \quad \Longrightarrow \quad \frac{t^2}{2} = 4 \quad \Longrightarrow \quad t^2 = 8 \quad \Longrightarrow \quad t = \pm 2\sqrt{2}. \]

Regressando à variável original:

\[ \log_3 x = 2\sqrt{2} \;\Rightarrow\; x = 3^{2\sqrt{2}}, \qquad \log_3 x = -2\sqrt{2} \;\Rightarrow\; x = 3^{-2\sqrt{2}}. \]

Verificação. Ambos os valores são positivos e pertencem a \( \mathcal{D} \). Ambas as soluções são aceites.

Conjunto solução: \( \bigl\{3^{-2\sqrt{2}},\; 3^{2\sqrt{2}}\bigr\} \).

Uma classe importante de equações logarítmicas é aquela em que o logaritmo surge como argumento de uma expressão polinomial. A forma típica é:

\[ P\!\bigl(\log_a f(x)\bigr) = 0, \]

onde \( P \) é um polinómio. O método consiste em pôr \( t = \log_a f(x) \), resolver a equação algébrica \( P(t) = 0 \) em \( t \) e, para cada raiz \( t_k \), resolver finalmente a equação elementar \( \log_a f(x) = t_k \).

Atenção. Cada uma das equações \( \log_a f(x) = t_k \) deve ser resolvida separadamente com a sua própria verificação do domínio. A substituição \( t = \log_a f(x) \) não introduz por si só soluções espúrias, mas a fase final de regresso à variável original pode fazê-lo, caso não se verifique que as soluções encontradas pertencem a \( \mathcal{D} \).

Exemplo 1. Resolver \( (\log_2 x)^2 - 5\log_2 x + 6 = 0 \).

Domínio. \( x > 0 \), logo \( \mathcal{D} = (0, +\infty) \).

Substituição. Seja \( t = \log_2 x \). A equação torna-se:

\[ t^2 - 5t + 6 = 0 \quad \Longrightarrow \quad (t-2)(t-3) = 0 \quad \Longrightarrow \quad t = 2 \;\text{ ou }\; t = 3. \]

Regresso à variável original.

\[ \log_2 x = 2 \;\Rightarrow\; x = 4, \qquad \log_2 x = 3 \;\Rightarrow\; x = 8. \]

Verificação. \( 4, 8 \in (0, +\infty) \). Ambas as soluções são aceites.

Conjunto solução: \( \{4, 8\} \).

Exemplo 2. Resolver \( (\log_3 x)^2 - \log_3(x^4) + 3 = 0 \).

Domínio. \( x > 0 \), logo \( \mathcal{D} = (0, +\infty) \).

Simplificação. Para \( x > 0 \) a propriedade da potência é aplicável: \( \log_3(x^4) = 4\log_3 x \). A equação torna-se:

\[ (\log_3 x)^2 - 4\log_3 x + 3 = 0. \]

Substituição. Seja \( t = \log_3 x \):

\[ t^2 - 4t + 3 = 0 \quad \Longrightarrow \quad (t-1)(t-3) = 0 \quad \Longrightarrow \quad t = 1 \;\text{ ou }\; t = 3. \]

Regresso à variável original.

\[ \log_3 x = 1 \;\Rightarrow\; x = 3, \qquad \log_3 x = 3 \;\Rightarrow\; x = 27. \]

Verificação. \( 3, 27 \in (0, +\infty) \). Ambas as soluções são aceites.

Conjunto solução: \( \{3, 27\} \).

Exemplo 3. Resolver \( 2(\log_5 x)^2 + 3\log_5 x - 2 = 0 \).

Domínio. \( \mathcal{D} = (0, +\infty) \).

Substituição. Seja \( t = \log_5 x \):

\[ 2t^2 + 3t - 2 = 0 \quad \Longrightarrow \quad t = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4}. \]

Logo \( t_1 = \tfrac{1}{2} \) e \( t_2 = -2 \).

Regresso à variável original.

\[ \log_5 x = \frac{1}{2} \;\Rightarrow\; x = 5^{1/2} = \sqrt{5}, \qquad \log_5 x = -2 \;\Rightarrow\; x = 5^{-2} = \frac{1}{25}. \]

Verificação. \( \sqrt{5}, \tfrac{1}{25} \in (0, +\infty) \). Ambas as soluções são aceites.

Conjunto solução: \( \Bigl\{\dfrac{1}{25},\; \sqrt{5}\Bigr\} \).

Define-se solução espúria um valor \( x_0 \) que satisfaz uma equação algébrica obtida no decurso das transformações, mas que não pertence ao domínio \( \mathcal{D} \) da equação logarítmica original. Tal valor torna indefinido pelo menos um logaritmo presente na equação e portanto não é uma solução válida.

As soluções espúrias surgem tipicamente nas três circunstâncias seguintes.

1. Aplicação da propriedade do produto. Escrever \( \log_a f(x) + \log_a g(x) = \log_a[f(x)g(x)] \) exige que \( f(x) > 0 \) e \( g(x) > 0 \) separadamente. O produto \( f(x)g(x) \) pode ser positivo mesmo quando ambos os fatores são negativos; nesse caso o logaritmo do produto estaria definido na equação transformada, mas os logaritmos dos fatores individuais não o estariam na equação original.
2. Aplicação da propriedade da potência. A escrita \( \log_a[f(x)^n] = n\log_a f(x) \) só é válida se \( f(x) > 0 \). Para \( f(x) < 0 \) e \( n \) par, o membro esquerdo está definido ao passo que o direito não: a aplicação da identidade introduz portanto argumentos não admissíveis.
3. Redução a equação polinomial. A resolução de uma equação de grau dois ou superior produz em geral várias raízes; algumas delas podem ficar fora do domínio \( \mathcal{D} \).

Exemplo ilustrativo. Considere-se a equação:

\[ \log_2(x^2 - 5x + 6) = \log_2(x - 2) + 1. \]

Domínio. As condições de existência são \( x^2 - 5x + 6 > 0 \) e \( x - 2 > 0 \). Fatorando: \( (x-2)(x-3) > 0 \) se \( x < 2 \) ou \( x > 3 \). Intersectando com \( x > 2 \), obtém-se \( \mathcal{D} = (3, +\infty) \).

Resolução. Reescreve-se o membro direito usando \( 1 = \log_2 2 \):

\[ \log_2(x^2 - 5x + 6) = \log_2[2(x-2)]. \]

Por injetividade:

\[ x^2 - 5x + 6 = 2x - 4 \quad \Longrightarrow \quad x^2 - 7x + 10 = 0 \quad \Longrightarrow \quad (x-2)(x-5) = 0. \]

Soluções formais: \( x = 2 \) e \( x = 5 \).

Verificação. \( x = 2 \notin (3, +\infty) \): solução espúria, descartada. \( x = 5 \in (3, +\infty) \): aceite.

Conjunto solução: \( \{5\} \).

O esquema seguinte constitui um protocolo completo e rigoroso aplicável a qualquer tipo de equação logarítmica tratada neste artigo.

1. Determinação do domínio. Para cada logaritmo \( \log_a f_i(x) \) presente na equação, onde \( i \) varia no conjunto de índices \( I \) de todos os logaritmos presentes, impor \( f_i(x) > 0 \). Calcular \( \mathcal{D} = \bigcap_{i \in I} \{x \in \mathbb{R} \mid f_i(x) > 0\} \).
2. Redução à mesma base (se necessário). Se estiverem presentes logaritmos com bases diferentes, aplicar a fórmula de mudança de base para os uniformizar.
3. Simplificação mediante as propriedades dos logaritmos. Aplicar as propriedades do produto, do quociente e da potência — lembrando que são válidas apenas para argumentos positivos — para reduzir a equação a uma das formas canónicas: \( \log_a f(x) = k \), ou \( \log_a f(x) = \log_a g(x) \), ou \( P(\log_a f(x)) = 0 \).
4. Eliminação do logaritmo. Na primeira forma, passar à forma exponencial \( f(x) = a^k \). Na segunda, explorar a injetividade: \( f(x) = g(x) \). Na terceira, aplicar a substituição \( t = \log_a f(x) \) e resolver a equação algébrica em \( t \), regressando depois à variável original.
5. Resolução da equação algébrica resultante.
6. Verificação das condições de domínio. Conservar unicamente as soluções pertencentes a \( \mathcal{D} \). Descartar explicitamente as soluções espúrias, justificando a sua exclusão.
7. Escrita do conjunto solução.

Exercício 1. Resolver \( \log_2(x+3) = 4 \).

Domínio. \( x + 3 > 0 \Rightarrow \mathcal{D} = (-3, +\infty) \).

Resolução. \( x + 3 = 2^4 = 16 \Rightarrow x = 13 \).

Verificação. \( 13 \in (-3, +\infty) \). Solução aceite.

Conjunto solução: \( \{13\} \).

Exercício 2. Resolver \( \log_3 x + \log_3(x-1) = 1 \).

Domínio. \( x > 0 \) e \( x - 1 > 0 \Rightarrow \mathcal{D} = (1, +\infty) \).

Resolução.

\[ \log_3[x(x-1)] = 1 \quad \Longrightarrow \quad x(x-1) = 3 \quad \Longrightarrow \quad x^2 - x - 3 = 0. \]

\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}. \]

Verificação. \( x_1 = \dfrac{1+\sqrt{13}}{2} \approx 2{,}30 > 1 \): aceite. \( x_2 = \dfrac{1-\sqrt{13}}{2} < 0 \): solução espúria, descartada.

Conjunto solução: \( \Bigl\{\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}\Bigr\} \).

Exercício 3. Resolver \( \log_5(x+1) = \log_5(2x-3) \).

Domínio. \( x+1 > 0 \) e \( 2x-3 > 0 \Rightarrow \mathcal{D} = \bigl(\tfrac{3}{2}, +\infty\bigr) \).

Resolução. Por injetividade: \( x + 1 = 2x - 3 \Rightarrow x = 4 \).

Verificação. \( 4 > \tfrac{3}{2} \). Solução aceite.

Conjunto solução: \( \{4\} \).

Exercício 4. Resolver \( \log_2(x-1) + \log_2(x-5) = 3 \).

Domínio. \( x-1 > 0 \) e \( x-5 > 0 \Rightarrow \mathcal{D} = (5, +\infty) \).

Resolução.

\[ \log_2[(x-1)(x-5)] = 3 \quad \Longrightarrow \quad (x-1)(x-5) = 8. \]

\[ x^2 - 6x - 3 = 0 \quad \Longrightarrow \quad x = 3 \pm 2\sqrt{3}. \]

Verificação. \( x_1 = 3 + 2\sqrt{3} \approx 6{,}46 > 5 \): aceite. \( x_2 = 3 - 2\sqrt{3} \approx -0{,}46 < 5 \): solução espúria, descartada.

Conjunto solução: \( \{3 + 2\sqrt{3}\} \).

Exercício 5. Resolver \( \log_4(x^2 - 3x) = \log_4(x + 7) \).

Domínio. \( x^2 - 3x > 0 \) e \( x+7 > 0 \). A primeira condição dá \( x < 0 \) ou \( x > 3 \); a segunda dá \( x > -7 \). Logo \( \mathcal{D} = (-7, 0) \cup (3, +\infty) \).

Resolução. Por injetividade: \( x^2 - 3x = x + 7 \Rightarrow x^2 - 4x - 7 = 0 \Rightarrow x = 2 \pm \sqrt{11} \).

Verificação. \( x_1 = 2+\sqrt{11} \approx 5{,}32 \in (3, +\infty) \): aceite. \( x_2 = 2-\sqrt{11} \approx -1{,}32 \in (-7, 0) \): aceite.

Conjunto solução: \( \{2-\sqrt{11},\; 2+\sqrt{11}\} \).

Exercício 6. Resolver \( (\log_2 x)^2 - 5\log_2 x + 6 = 0 \).

Domínio. \( \mathcal{D} = (0, +\infty) \).

Resolução. Seja \( t = \log_2 x \):

\[ t^2 - 5t + 6 = 0 \quad \Longrightarrow \quad t = 2 \;\text{ ou }\; t = 3. \]

\[ \log_2 x = 2 \Rightarrow x = 4, \qquad \log_2 x = 3 \Rightarrow x = 8. \]

Verificação. \( 4, 8 \in (0, +\infty) \). Ambas aceites.

Conjunto solução: \( \{4, 8\} \).

Exercício 7. Resolver \( \log_2 x + \log_4 x = 3 \).

Domínio. \( \mathcal{D} = (0, +\infty) \).

Resolução. \( \log_4 x = \dfrac{\log_2 x}{2} \). Seja \( t = \log_2 x \):

\[ t + \frac{t}{2} = 3 \quad \Longrightarrow \quad t = 2 \quad \Longrightarrow \quad x = 4. \]

Verificação. \( 4 \in (0, +\infty) \). Solução aceite.

Conjunto solução: \( \{4\} \).

A interpretação gráfica das equações logarítmicas fornece uma visão qualitativa do número e da posição das soluções, complementando o tratamento analítico.

Resolver a equação \( \log_a f(x) = k \) equivale geometricamente a determinar as abscissas dos pontos de interseção do gráfico de \( y = \log_a f(x) \) com a reta horizontal \( y = k \). Como a função logarítmica é estritamente monótona, em cada subintervalo conexo do domínio no qual \( f \) é também estritamente monótona, a composição \( \log_a \circ f \) é igualmente monótona estrita, pelo que a equação admite no máximo uma solução em cada um desses intervalos. Este facto permite estabelecer a priori uma cota superior para o número de soluções, antes mesmo de efetuar qualquer cálculo.

Resolver \( \log_a f(x) = \log_a g(x) \) equivale, por sua vez, a encontrar os pontos em que os gráficos de \( y = \log_a f(x) \) e \( y = \log_a g(x) \) se intersectam. Esses pontos devem pertencer ao domínio comum \( \mathcal{D}_f \cap \mathcal{D}_g \) das duas funções; eventuais interseções fora desse domínio não correspondem a soluções da equação original.

A interpretação gráfica torna igualmente evidente por que razão as soluções espúrias não são soluções: correspondem a valores da incógnita para os quais um ou mais ramos do gráfico simplesmente não existem, dado que a função logarítmica não está definida fora de \( (0, +\infty) \). Uma solução espúria não é um ponto do gráfico: é um artefacto algébrico desprovido de conteúdo geométrico no âmbito da equação original.