A divisão de polinómios é uma das operações fundamentais da álgebra. Permite escrever um polinómio como produto de outro polinómio por um quociente, mais um possível resto.
À primeira vista, pode parecer uma técnica puramente mecânica. Na realidade, a divisão de polinómios é um instrumento teórico central: permite estudar a divisibilidade, identificar fatores, aplicar o teorema do resto, compreender a regra de Ruffini e relacionar as raízes de um polinómio com a sua fatorização.
A ideia de fundo é semelhante à da divisão inteira: dados um dividendo e um divisor, procuram-se um quociente e um resto. No caso dos polinómios, porém, o critério que orienta o processo não é o valor numérico, mas o grau.
Índice
- Definição Formal
- Significado do Quociente e do Resto
- Divisão Larga de Polinómios
- Exemplo Resolvido com Esquema
- Teorema da Divisão Euclidiana
- Divisibilidade de Polinómios
- Teorema do Resto
- Regra de Ruffini
- A Regra de Ruffini Passo a Passo
- Erros Frequentes
- Exercícios com Soluções
- Conclusão
Definição Formal
Sejam \(A(x)\) e \(B(x)\) dois polinómios, com \(B(x)\neq 0\). Dividir \(A(x)\) por \(B(x)\) significa encontrar dois polinómios \(Q(x)\) e \(R(x)\), chamados respectivamente quociente e resto, tais que \(A(x)=B(x)Q(x)+R(x)\), com a condição:
\[ R(x)=0 \quad \text{ou} \quad \deg R(x)<\deg B(x) \]
O polinómio \(A(x)\) chama-se dividendo, o polinómio \(B(x)\) chama-se divisor, \(Q(x)\) é o quociente e \(R(x)\) é o resto.
A condição sobre o grau do resto é essencial. Se o resto tivesse grau maior ou igual ao do divisor, seria ainda possível continuar a divisão. O processo termina apenas quando o que resta tem grau estritamente menor do que o do divisor, ou seja, quando já não pode ser dividido pelo mesmo procedimento.
Por exemplo, \(x^2+3x+2=(x+1)(x+2)+0\). Nesta igualdade, o dividendo é \(x^2+3x+2\), o divisor é \(x+1\), o quociente é \(x+2\) e o resto é \(0\). Como o resto é nulo, a divisão é exata.
Significado do Quociente e do Resto
A identidade \(A(x)=B(x)Q(x)+R(x)\) exprime que o polinómio \(A(x)\) se decompõe em duas partes: uma parte múltipla do divisor \(B(x)\), isto é, \(B(x)Q(x)\), e uma parte residual, isto é, \(R(x)\).
O quociente \(Q(x)\) representa a parte do dividendo que se obtém multiplicando o divisor por outro polinómio. O resto \(R(x)\), por sua vez, representa o que fica depois de subtrair do dividendo todas as contribuições possíveis construídas a partir do divisor.
A analogia com a divisão inteira é útil. Por exemplo, \(17=5\cdot 3+2\). Aqui \(17\) é o dividendo, \(5\) é o divisor, \(3\) é o quociente e \(2\) é o resto. O resto deve ser menor do que o divisor.
Na divisão de polinómios ocorre algo análogo, mas a condição não diz respeito ao valor numérico do resto — diz respeito ao seu grau:
\[ \deg R(x)<\deg B(x) \]
É este o princípio que faz da divisão de polinómios uma verdadeira divisão euclidiana.
Divisão Larga de Polinómios
O método mais geral para dividir dois polinómios é a divisão larga. É o procedimento a usar quando o divisor tem qualquer grau, não necessariamente \(1\).
Antes de começar, é importante escrever os polinómios ordenados segundo as potências decrescentes de \(x\). Se faltar algum termo, deve incluir-se com coeficiente \(0\).
Por exemplo, o polinómio:
\[ x^4-3x+2 \]
deve escrever-se como:
\[ x^4+0x^3+0x^2-3x+2 \]
Esta escrita não altera o polinómio, mas torna o esquema da divisão mais claro e evita erros de alinhamento.
A ideia da divisão larga consiste em eliminar progressivamente o termo de maior grau do dividendo. Em cada passo, observa-se o termo principal do polinómio restante e divide-se pelo termo principal do divisor.
Se \(\deg A(x)<\deg B(x)\), a divisão já está concluída: \(Q(x)=0\) e \(R(x)=A(x)\). Se, pelo contrário, \(\deg A(x)\geq \deg B(x)\), procede-se dividindo o termo principal do dividendo pelo termo principal do divisor. O resultado obtido torna-se o primeiro termo do quociente. De seguida, multiplica-se o divisor por esse termo e subtrai-se o produto do dividendo.
Exemplo Resolvido com Esquema
Dividamos \(2x^3+3x^2-5x+1\) por \(x-2\). O dividendo já está escrito com os termos em ordem decrescente:
\[ 2x^3+3x^2-5x+1 \]
Procuramos dois polinómios \(Q(x)\) e \(R(x)\) tais que:
\[ 2x^3+3x^2-5x+1=(x-2)Q(x)+R(x) \]
Primeiro passo
Dividimos o termo principal do dividendo pelo termo principal do divisor:
\[ \frac{2x^3}{x}=2x^2 \]
O primeiro termo do quociente é \(2x^2\). Multiplicamos o divisor por \(2x^2\):
\[ 2x^2(x-2)=2x^3-4x^2 \]
Para subtrair este polinómio do dividendo, mudamos o sinal de todos os seus termos e somamos:
\[ -(2x^3-4x^2)=-2x^3+4x^2 \]
Incluímos também os termos em falta, de modo a manter o alinhamento das colunas:
\[ -2x^3+4x^2+0x+0 \]
| \(2x^3\) | \(+3x^2\) | \(-5x\) | \(+1\) | \(x-2\) |
| \(-2x^3\) | \(+4x^2\) | \(0x\) | \(0\) | \(2x^2\) |
| \(0x^3\) | \(+7x^2\) | \(-5x\) | \(+1\) |
Após a soma, o termo \(2x^3\) anula-se e fica o resto parcial:
\[ 7x^2-5x+1 \]
Segundo passo
Repetimos o procedimento sobre o resto parcial. Dividimos o seu termo principal pelo termo principal do divisor:
\[ \frac{7x^2}{x}=7x \]
O segundo termo do quociente é \(7x\), pelo que o quociente parcial passa a ser:
\[ 2x^2+7x \]
Multiplicamos o divisor por \(7x\):
\[ 7x(x-2)=7x^2-14x \]
Mudamos o sinal para subtrair:
\[ -(7x^2-14x)=-7x^2+14x \]
Completamos com o termo independente em falta:
\[ -7x^2+14x+0 \]
| \(2x^3\) | \(+3x^2\) | \(-5x\) | \(+1\) | \(x-2\) |
| \(-2x^3\) | \(+4x^2\) | \(0x\) | \(0\) | \(2x^2+7x\) |
| \(0x^3\) | \(+7x^2\) | \(-5x\) | \(+1\) | |
| \(-7x^2\) | \(+14x\) | \(0\) | ||
| \(0x^2\) | \(+9x\) | \(+1\) |
Após a soma, fica o novo resto parcial:
\[ 9x+1 \]
Terceiro passo
Dividimos o termo principal do novo resto parcial pelo termo principal do divisor:
\[ \frac{9x}{x}=9 \]
O terceiro termo do quociente é \(9\), pelo que o quociente fica:
\[ 2x^2+7x+9 \]
Multiplicamos o divisor por \(9\):
\[ 9(x-2)=9x-18 \]
Mudamos o sinal para subtrair:
\[ -(9x-18)=-9x+18 \]
| \(2x^3\) | \(+3x^2\) | \(-5x\) | \(+1\) | \(x-2\) |
| \(-2x^3\) | \(+4x^2\) | \(0x\) | \(0\) | \(2x^2+7x+9\) |
| \(0x^3\) | \(+7x^2\) | \(-5x\) | \(+1\) | |
| \(-7x^2\) | \(+14x\) | \(0\) | ||
| \(0x^2\) | \(+9x\) | \(+1\) | ||
| \(-9x\) | \(+18\) | |||
| \(0x\) | \(+19\) |
O resto final é:
\[ R(x)=19 \]
Como o divisor \(x-2\) tem grau \(1\) e o resto \(19\) tem grau \(0\), tem-se:
\[ \deg 19=0<1=\deg(x-2) \]
A divisão está, portanto, concluída.
Resultado final
Do esquema lemos o quociente:
\[ Q(x)=2x^2+7x+9 \]
e o resto:
\[ R(x)=19 \]
Logo:
\[ 2x^3+3x^2-5x+1=(x-2)(2x^2+7x+9)+19 \]
Verificamos o resultado desenvolvendo o segundo membro:
\[ (x-2)(2x^2+7x+9)+19 \]
\[ =2x^3+7x^2+9x-4x^2-14x-18+19 \]
\[ =2x^3+3x^2-5x+1 \]
A divisão está correta.
Teorema da Divisão Euclidiana
Teorema. Sejam \(A(x)\) e \(B(x)\) dois polinómios, com \(B(x)\neq 0\). Então existem e são únicos dois polinómios \(Q(x)\) e \(R(x)\) tais que \(A(x)=B(x)Q(x)+R(x)\), com:
\[ R(x)=0 \quad \text{ou} \quad \deg R(x)<\deg B(x) \]
Este resultado designa-se por teorema da divisão euclidiana para polinómios (também chamado algoritmo da divisão). A existência é garantida pelo algoritmo da divisão larga; a unicidade significa que, fixados o dividendo e o divisor, não podem existir dois quocientes nem dois restos distintos que satisfaçam as condições do teorema.
Ideia da demonstração da unicidade
Suponhamos que existem duas representações:
\[ A(x)=B(x)Q_1(x)+R_1(x) \]
e:
\[ A(x)=B(x)Q_2(x)+R_2(x) \]
com \(\deg R_1(x)<\deg B(x)\) e \(\deg R_2(x)<\deg B(x)\). Subtraindo membro a membro, obtemos:
\[ B(x)(Q_1(x)-Q_2(x))=R_2(x)-R_1(x) \]
Se \(Q_1(x)\neq Q_2(x)\), o membro esquerdo teria grau pelo menos \(\deg B(x)\), enquanto o membro direito teria grau inferior a \(\deg B(x)\), o que é impossível. Logo \(Q_1(x)=Q_2(x)\) e, consequentemente, \(R_1(x)=R_2(x)\).
Divisibilidade de Polinómios
A divisão permite definir de forma rigorosa a divisibilidade de polinómios. Diz-se que \(B(x)\) divide \(A(x)\), e escreve-se \(B(x)\mid A(x)\), se existir um polinómio \(Q(x)\) tal que:
\[ A(x)=B(x)Q(x) \]
Em termos de divisão:
\[ B(x)\mid A(x) \quad \iff \quad R(x)=0 \]
Quando o resto é nulo, a divisão diz-se exata. Nesse caso, \(B(x)\) é um fator de \(A(x)\) e \(A(x)\) é um múltiplo de \(B(x)\).
Teorema do Resto
Teorema do resto. Quando um polinómio \(P(x)\) é dividido por \(x-a\), o resto da divisão é \(P(a)\).
Com efeito, pelo teorema da divisão euclidiana, podemos escrever:
\[ P(x)=(x-a)Q(x)+R(x) \]
Como o divisor \(x-a\) tem grau \(1\), o resto é uma constante, que denotamos por \(r\):
\[ P(x)=(x-a)Q(x)+r \]
Substituindo \(x=a\), obtemos:
\[ P(a)=(a-a)Q(a)+r=r \]
Portanto, o resto da divisão por \(x-a\) é \(P(a)\). Daqui decorre imediatamente:
\[ x-a\mid P(x) \quad \iff \quad P(a)=0 \]
Ou seja, \(a\) é uma raiz de \(P(x)\) se e só se \(x-a\) é um fator de \(P(x)\).
Regra de Ruffini
A regra de Ruffini é um método abreviado para dividir um polinómio por um binómio de primeiro grau da forma:
\[ x-a \]
Não se trata de uma técnica distinta da divisão larga: a regra de Ruffini é simplesmente uma notação mais compacta do mesmo algoritmo. Em vez de trabalhar diretamente com todos os monómios, utilizam-se apenas os coeficientes do polinómio.
Antes de aplicar a regra de Ruffini, o polinómio deve estar escrito em forma completa com as potências de \(x\) em ordem decrescente. Se faltar algum termo, deve incluir-se com coeficiente \(0\).
Por exemplo:
\[ x^3-4x+1=x^3+0x^2-4x+1 \]
Os coeficientes a utilizar são:
\[ 1,\ 0,\ -4,\ 1 \]
Se o divisor é \(x-a\), o número que se escreve à esquerda no esquema é \(a\). Por exemplo, \(x-3\Rightarrow 3\), enquanto \(x+3=x-(-3)\Rightarrow -3\).
A Regra de Ruffini Passo a Passo
Dividamos \( P(x)=x^3-6x^2+11x-6 \) por \( x-1 \).
Como o divisor é \(x-1\), o número a escrever à esquerda do esquema é \(1\). O polinómio é completo e os seus coeficientes são:
\[ 1,\ -6,\ 11,\ -6 \]
Esquema inicial
\[ \begin{array}{r|rrr|r} 1 & 1 & -6 & 11 & -6 \\ & & & & \\ \hline & & & & \end{array} \]
Primeiro passo
O primeiro coeficiente desce sem se modificar:
\[ \begin{array}{r|rrr|r} 1 & 1 & -6 & 11 & -6 \\ & & & & \\ \hline & 1 & & & \end{array} \]
Segundo passo
Multiplicamos \(1\cdot 1=1\), escrevemos o resultado por baixo do coeficiente seguinte e somamos:
\[ -6+1=-5 \]
\[ \begin{array}{r|rrr|r} 1 & 1 & -6 & 11 & -6 \\ & & 1 & & \\ \hline & 1 & -5 & & \end{array} \]
Terceiro passo
Multiplicamos \(1\cdot(-5)=-5\), escrevemos o resultado por baixo do coeficiente seguinte e somamos:
\[ 11+(-5)=6 \]
\[ \begin{array}{r|rrr|r} 1 & 1 & -6 & 11 & -6 \\ & & 1 & -5 & \\ \hline & 1 & -5 & 6 & \end{array} \]
Quarto passo
Multiplicamos \(1\cdot 6=6\), escrevemos o resultado por baixo do último coeficiente e somamos:
\[ -6+6=0 \]
O esquema completo é:
\[ \begin{array}{r|rrr|r} 1 & 1 & -6 & 11 & -6 \\ & & 1 & -5 & 6 \\ \hline & 1 & -5 & 6 & 0 \end{array} \]
Leitura do resultado
Os valores da linha inferior, excepto o último, são os coeficientes do polinómio quociente:
\[ Q(x)=x^2-5x+6 \]
O último valor é o resto da divisão:
\[ R=0 \]
Como o resto é nulo, a divisão é exata:
\[ x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x^2-5x+6) \]
Erros Frequentes
1. Esquecer os termos em falta
Ao usar a divisão larga ou a regra de Ruffini, o polinómio deve estar completo. Se faltar alguma potência de \(x\), é necessário incluí-la com coeficiente \(0\).
2. Enganar-se no sinal do divisor
Se o divisor é \(x-a\), o número a utilizar no esquema de Ruffini é \(a\). Portanto, \(x-3\Rightarrow 3\), enquanto \(x+3=x-(-3)\Rightarrow -3\).
3. Parar antes do tempo
Na divisão larga, é preciso continuar até que o resto tenha grau estritamente menor do que o do divisor. Se o resto ainda tiver grau maior ou igual, a divisão não está concluída.
4. Confundir o resto com um coeficiente do quociente
No esquema de Ruffini, o último número da linha inferior é o resto, não um coeficiente do quociente. Por isso é conveniente separá-lo visualmente com uma linha vertical.
5. Aplicar a regra de Ruffini a divisores inadequados
A regra de Ruffini, na sua forma padrão, aplica-se diretamente apenas a divisores da forma \(x-a\). Para divisores como \(x^2+1\), é necessário recorrer à divisão larga.
Exercícios com Soluções
Exercício 1. Dividir \(x^2+5x+6\) por \(x+2\).
Solução. Como \(x+2=x-(-2)\), aplicamos a regra de Ruffini com \(-2\):
\[ \begin{array}{r|rr|r} -2 & 1 & 5 & 6 \\ & & -2 & -6 \\ \hline & 1 & 3 & 0 \end{array} \]
Portanto \(Q(x)=x+3\) e \(R=0\). Logo \(x^2+5x+6=(x+2)(x+3)\).
Exercício 2. Dividir \(x^2+1\) por \(x-1\).
Solução. Completamos o polinómio: \(x^2+1=x^2+0x+1\). Aplicamos a regra de Ruffini com \(1\):
\[ \begin{array}{r|rr|r} 1 & 1 & 0 & 1 \\ & & 1 & 1 \\ \hline & 1 & 1 & 2 \end{array} \]
Portanto \(Q(x)=x+1\) e \(R=2\). Com efeito, \(x^2+1=(x-1)(x+1)+2\).
Exercício 3. Usar o teorema do resto para determinar o resto da divisão de \(P(x)=x^3-4x+7\) por \(x-2\).
Solução. O resto é \(P(2)\). Como \(P(x)=x^3+0x^2-4x+7\), calculamos:
\[ P(2)=2^3+0\cdot 2^2-4\cdot 2+7=8-8+7=7 \]
O resto é \(7\).
Exercício 4. Determinar se \(x-3\) divide \(P(x)=x^3-6x^2+11x-6\).
Solução. Pelo teorema do resto, \(x-3\) divide \(P(x)\) se e só se \(P(3)=0\). Calculamos:
\[ P(3)=27-54+33-6=0 \]
Logo \(x-3\mid P(x)\).
Exercício 5. Dividir \(2x^3-x^2+4x-3\) por \(x+1\).
Solução. Como \(x+1=x-(-1)\), aplicamos a regra de Ruffini com \(-1\):
\[ \begin{array}{r|rrr|r} -1 & 2 & -1 & 4 & -3 \\ & & -2 & 3 & -7 \\ \hline & 2 & -3 & 7 & -10 \end{array} \]
Portanto \(Q(x)=2x^2-3x+7\) e \(R=-10\). Logo:
\[ 2x^3-x^2+4x-3=(x+1)(2x^2-3x+7)-10 \]
Exercício 6. Determinar o valor de \(k\) para que \(x-2\) divida \(P(x)=x^3+kx^2-4x+4\).
Solução. É necessário que \(P(2)=0\). Calculamos:
\[ P(2)=8+4k-8+4=4k+4 \]
Impondo \(4k+4=0\), obtemos \(k=-1\).
Exercício 7. Dividir \(x^4-1\) por \(x^2+1\).
Solução. Como o divisor não é da forma \(x-a\), a regra de Ruffini não é diretamente aplicável. Recorremos à divisão larga. Completamos o dividendo:
\[ x^4-1=x^4+0x^3+0x^2+0x-1 \]
Obtém-se:
\[ Q(x)=x^2-1,\qquad R(x)=0 \]
Portanto:
\[ x^4-1=(x^2+1)(x^2-1) \]
Exercício 8. Dividir \(x^3-4x+1\) por \(x+2\) usando a regra de Ruffini.
Solução. Completamos o polinómio:
\[ x^3-4x+1=x^3+0x^2-4x+1 \]
Como \(x+2=x-(-2)\), aplicamos a regra de Ruffini com \(-2\):
\[ \begin{array}{r|rrr|r} -2 & 1 & 0 & -4 & 1 \\ & & -2 & 4 & 0 \\ \hline & 1 & -2 & 0 & 1 \end{array} \]
Portanto \(Q(x)=x^2-2x\) e \(R=1\). Logo:
\[ x^3-4x+1=(x+2)(x^2-2x)+1 \]
Exercício 9. Seja \(P(x)\) um polinómio. Demonstrar que \(x-a\) divide \(P(x)-P(a)\).
Demonstração. Consideremos \(H(x)=P(x)-P(a)\). Pelo teorema do resto, \(x-a\) divide \(H(x)\) se e só se \(H(a)=0\). Ora:
\[ H(a)=P(a)-P(a)=0 \]
Logo:
\[ x-a\mid P(x)-P(a) \]
Conclusão
A divisão de polinómios é muito mais do que um procedimento de cálculo. Através da divisão larga, compreende-se como um polinómio pode ser progressivamente reduzido eliminando os termos de maior grau; através da regra de Ruffini, vê-se como o mesmo procedimento pode ser abreviado quando o divisor é da forma \(x-a\).
O teorema da divisão euclidiana garante que o quociente e o resto existem e são únicos. O teorema do resto mostra ainda que, na divisão por \(x-a\), o resto é simplesmente \(P(a)\). Daqui nasce a ligação fundamental entre raízes, fatores e divisibilidade.
Por este motivo, aprender corretamente a divisão de polinómios significa compreender um dos mecanismos centrais da álgebra: a possibilidade de decompor, analisar e reconstruir os polinómios a partir da sua estrutura interna.