As frações algébricas são expressões em que surgem polinómios no numerador e no denominador. Constituem uma extensão natural das frações numéricas: assim como uma fração numérica exprime o quociente de dois números, uma fração algébrica exprime o quociente de duas expressões algébricas.
No entanto, ao contrário das frações numéricas, as frações algébricas exigem um cuidado adicional: o denominador pode depender de uma ou mais variáveis e, por conseguinte, pode anular-se para determinados valores. Por este motivo, não basta saber calcular; é necessário determinar previamente para que valores a expressão faz sentido.
Índice
- O que é uma fração algébrica
- Condições de existência e domínio
- Frações algébricas equivalentes
- Simplificação de frações algébricas
- Redução ao mesmo denominador
- Operações com frações algébricas
- Expressões com frações algébricas
- Equações com frações algébricas
- Erros a evitar
O que é uma fração algébrica
Designa-se por fração algébrica uma expressão da forma
\[ \frac{A}{B} \]
em que \(A\) e \(B\) são expressões algébricas com \(B\neq 0\). Nos casos mais correntes, \(A\) e \(B\) são polinómios. A expressão \(A\) denomina-se numerador e \(B\) denomina-se denominador.
Por exemplo,
\[ \frac{x+1}{x-2}, \qquad \frac{x^2-1}{x^2+3x+2}, \qquad \frac{2a-b}{a^2-b^2} \]
são frações algébricas.
O denominador é o elemento central da teoria. Com efeito, uma fração — numérica ou algébrica — não tem significado quando o denominador é nulo. Por esse motivo, antes de transformar ou simplificar uma fração algébrica, é indispensável identificar os valores para os quais o denominador se anula.
Condições de existência e domínio
Uma fração algébrica
\[ \frac{A(x)}{B(x)} \]
está definida para todos os valores da variável em que o denominador é diferente de zero:
\[ B(x)\neq 0. \]
Esta exigência designa-se condição de existência. O conjunto de todos os valores que a satisfazem é o domínio da fração algébrica.
Exemplo
Consideremos a fração
\[ \frac{x+3}{x-5}. \]
O denominador é \(x-5\). Impõe-se que seja diferente de zero:
\[ x-5\neq 0, \]
donde se obtém
\[ x\neq 5. \]
Portanto, a fração está definida para todos os valores reais de \(x\), com exceção de \(5\). O domínio é
\[ \mathbb{R}\setminus\{5\}. \]
Exemplo com denominador fatorável
Consideremos
\[ \frac{x+1}{x^2-4}. \]
O denominador anula-se quando
\[ x^2-4=0. \]
Como
\[ x^2-4=(x-2)(x+2), \]
é necessário que
\[ (x-2)(x+2)\neq 0. \]
Um produto é diferente de zero se e somente se cada um dos seus fatores é diferente de zero. Logo,
\[ x\neq 2 \quad \text{e} \quad x\neq -2. \]
O domínio é
\[ \mathbb{R}\setminus\{-2,2\}. \]
Frações algébricas equivalentes
Duas frações algébricas são equivalentes se tomam o mesmo valor para todo o elemento do seu domínio comum.
A propriedade fundamental é análoga à das frações numéricas: ao multiplicar o numerador e o denominador por uma mesma expressão não nula, obtém-se uma fração equivalente.
Se \(C\neq 0\), então
\[ \frac{A}{B}=\frac{A\cdot C}{B\cdot C}, \qquad B\neq 0,\ C\neq 0. \]
Esta propriedade está na base tanto da simplificação como da redução ao mesmo denominador. A condição \(C\neq 0\) não é um mero pormenor formal: multiplicar ou dividir por uma expressão que se pode anular pode alterar o domínio da fração.
Simplificação de frações algébricas
Simplificar uma fração algébrica consiste em dividir o numerador e o denominador por um mesmo fator comum não nulo. Para o fazer corretamente, é necessário fatorizar previamente o numerador e o denominador.
Não é possível cancelar termos ligados por somas ou diferenças. Apenas se podem cancelar fatores comuns.
Exemplo
Simplifiquemos
\[ \frac{x^2-1}{x^2+2x+1}. \]
Fatorizam-se o numerador e o denominador:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1), \]
\[ x^2+2x+1=(x+1)^2. \]
Assim,
\[ \frac{x^2-1}{x^2+2x+1} = \frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)^2}. \]
O fator \(x+1\) é comum ao numerador e ao denominador. Podemos cancelá-lo, tendo em atenção que \(x+1\neq 0\), ou seja, \(x\neq -1\):
\[ \frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)^2} = \frac{x-1}{x+1}. \]
Portanto,
\[ \frac{x^2-1}{x^2+2x+1} = \frac{x-1}{x+1}, \qquad x\neq -1. \]
Importa observar que a fração simplificada coincide com a fração original apenas no domínio desta última. A simplificação não autoriza a ignorar as condições de existência.
Redução ao mesmo denominador
Para somar ou subtrair frações algébricas, é necessário reduzi-las ao mesmo denominador. O denominador comum mais conveniente é, em geral, o mínimo múltiplo comum dos denominadores, determinado após a sua fatorização completa.
O procedimento é o seguinte:
- fatorizam-se completamente os denominadores;
- determina-se o mínimo denominador comum;
- transforma-se cada fração numa fração equivalente com esse denominador;
- somam-se ou subtraem-se os numeradores.
Exemplo
Reduza ao mesmo denominador
\[ \frac{1}{x-1} \quad \text{e} \quad \frac{2}{x+1}. \]
Os denominadores já se encontram fatorados. O mínimo denominador comum é
\[ (x-1)(x+1). \]
Então,
\[ \frac{1}{x-1} = \frac{x+1}{(x-1)(x+1)} \]
e
\[ \frac{2}{x+1} = \frac{2(x-1)}{(x-1)(x+1)}. \]
As condições de existência são
\[ x\neq 1, \qquad x\neq -1. \]
Operações com frações algébricas
Soma e diferença
Para somar ou subtrair duas frações algébricas com o mesmo denominador, somam-se ou subtraem-se os numeradores e conserva-se o denominador:
\[ \frac{A}{B}+\frac{C}{B} = \frac{A+C}{B}, \qquad B\neq 0. \]
De modo análogo,
\[ \frac{A}{B}-\frac{C}{B} = \frac{A-C}{B}, \qquad B\neq 0. \]
Exemplo
Calculemos
\[ \frac{1}{x-1}+\frac{2}{x+1}. \]
O denominador comum é \((x-1)(x+1)\). Então,
\[ \frac{1}{x-1}+\frac{2}{x+1} = \frac{x+1}{(x-1)(x+1)} + \frac{2(x-1)}{(x-1)(x+1)}. \]
Somamos os numeradores:
\[ \frac{x+1+2(x-1)}{(x-1)(x+1)}. \]
Desenvolvemos o numerador:
\[ x+1+2x-2=3x-1. \]
Portanto,
\[ \frac{1}{x-1}+\frac{2}{x+1} = \frac{3x-1}{(x-1)(x+1)}. \]
As condições de existência são
\[ x\neq 1,\qquad x\neq -1. \]
Produto
O produto de duas frações algébricas obtém-se multiplicando os numeradores entre si e os denominadores entre si:
\[ \frac{A}{B}\cdot \frac{C}{D} = \frac{AC}{BD}, \qquad B\neq 0,\ D\neq 0. \]
Antes de efetuar as multiplicações, é frequentemente vantajoso fatorizar e cancelar eventuais fatores comuns.
Exemplo
Calculemos
\[ \frac{x^2-1}{x^2}\cdot \frac{x}{x+1}. \]
Fatoriza-se:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1). \]
Então,
\[ \frac{x^2-1}{x^2}\cdot \frac{x}{x+1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x^2}\cdot \frac{x}{x+1}. \]
Cancelamos o fator \(x+1\) e um fator \(x\), tendo em conta as condições \(x\neq 0\) e \(x\neq -1\):
\[ \frac{(x-1)(x+1)}{x^2}\cdot \frac{x}{x+1} = \frac{x-1}{x}. \]
Logo,
\[ \frac{x^2-1}{x^2}\cdot \frac{x}{x+1} = \frac{x-1}{x}, \qquad x\neq 0,\ x\neq -1. \]
Quociente
Dividir por uma fração algébrica equivale a multiplicar pelo seu inverso, desde que o divisor seja diferente de zero:
\[ \frac{A}{B}:\frac{C}{D} = \frac{A}{B}\cdot \frac{D}{C} = \frac{AD}{BC}. \]
As condições são
\[ B\neq 0,\qquad D\neq 0,\qquad C\neq 0. \]
A condição \(C\neq 0\) é necessária porque a fração \(\frac{C}{D}\), sendo o divisor, não pode ser igual a zero.
Expressões com frações algébricas
Ao trabalhar com expressões que contêm frações algébricas, convém proceder de forma ordenada. Determinam-se primeiro as condições de existência; só depois se efetuam as operações, respeitando a hierarquia dos parênteses e dos operadores.
Exemplo
Simplifiquemos
\[ \left(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)\cdot \frac{x^2-1}{x}. \]
Determinamos as condições de existência:
\[ x-1\neq 0,\qquad x+1\neq 0,\qquad x\neq 0, \]
ou seja,
\[ x\neq 1,\qquad x\neq -1,\qquad x\neq 0. \]
Trabalhamos agora com a expressão entre parênteses:
\[ \frac{x}{x-1}-\frac{1}{x+1}. \]
O denominador comum é \((x-1)(x+1)\), pelo que
\[ \frac{x}{x-1} = \frac{x(x+1)}{(x-1)(x+1)} \]
e
\[ \frac{1}{x+1} = \frac{x-1}{(x-1)(x+1)}. \]
Portanto,
\[ \frac{x}{x-1}-\frac{1}{x+1} = \frac{x(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}. \]
Desenvolvemos o numerador:
\[ x(x+1)-(x-1)=x^2+x-x+1=x^2+1. \]
A expressão completa torna-se então
\[ \frac{x^2+1}{(x-1)(x+1)}\cdot \frac{x^2-1}{x}. \]
Como
\[ x^2-1=(x-1)(x+1), \]
temos
\[ \frac{x^2+1}{(x-1)(x+1)}\cdot \frac{(x-1)(x+1)}{x}. \]
Cancelando os fatores comuns,
\[ \frac{x^2+1}{x}. \]
Conclui-se portanto que
\[ \left(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)\cdot \frac{x^2-1}{x} = \frac{x^2+1}{x}, \qquad x\neq -1,\ 0,\ 1. \]
Equações com frações algébricas
As equações que contêm frações algébricas designam-se habitualmente equações racionais. A sua resolução requer particular atenção, uma vez que nem todas as soluções obtidas algebricamente são necessariamente admissíveis.
O procedimento correto é o seguinte:
- determinar as condições de existência;
- resolver a equação no respeito dessas condições;
- rejeitar os valores que anulem algum dos denominadores originais.
Exemplo
Resolvamos
\[ \frac{x+1}{x-2}=3. \]
A condição de existência é
\[ x-2\neq 0, \]
ou seja,
\[ x\neq 2. \]
Multiplicamos ambos os membros por \(x-2\), que é diferente de zero no domínio da equação:
\[ x+1=3(x-2). \]
Desenvolvemos:
\[ x+1=3x-6. \]
Agrupamos os termos em \(x\) num membro e os termos independentes no outro:
\[ 1+6=3x-x. \]
Então,
\[ 7=2x, \]
donde
\[ x=\frac{7}{2}. \]
Como \(\frac{7}{2}\neq 2\), a solução é admissível:
\[ S=\left\{\frac{7}{2}\right\}. \]
Exemplo com solução espúria
Resolvamos
\[ \frac{x}{x-1}=\frac{1}{x-1}. \]
A condição de existência é
\[ x-1\neq 0, \]
ou seja,
\[ x\neq 1. \]
Uma vez que as duas frações têm o mesmo denominador, que é diferente de zero no domínio, podemos igualar os numeradores:
\[ x=1. \]
Todavia, \(x=1\) não satisfaz a condição de existência, pois anula o denominador. Este valor deve, portanto, ser rejeitado.
A equação não tem solução:
\[ S=\varnothing. \]
Erros a evitar
O primeiro erro consiste em cancelar termos em vez de fatores. Por exemplo,
\[ \frac{x+2}{x} \]
não pode ser simplificada cancelando \(x\), porque \(x\) não é um fator de todo o numerador: surge apenas como parcela da soma \(x+2\).
O segundo erro consiste em ignorar as condições de existência após uma simplificação. Por exemplo,
\[ \frac{x^2-1}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1, \]
mas esta igualdade só é válida para
\[ x\neq 1. \]
Com efeito, a fração original não está definida em \(x=1\), ao passo que a expressão \(x+1\) estaria. Por isso, enquanto expressões com domínio, as duas escritas não são idênticas se não se conservar a condição \(x\neq 1\).
O terceiro erro consiste em multiplicar ambos os membros de uma equação por uma expressão que pode ser nula sem ter determinado previamente o domínio. Numa equação racional, cada transformação deve ser justificada no âmbito das condições de existência.
As frações algébricas não são simples frações com letras. São expressões racionais cujo significado depende de forma essencial do denominador. Por esse motivo, todo o cálculo deve ser acompanhado da verificação das condições de existência.
Simplificar, somar, multiplicar ou dividir frações algébricas significa aplicar as mesmas propriedades das frações numéricas, mas com maior atenção ao domínio. A regra fundamental é sempre a mesma: as expressões só podem ser transformadas de modo compatível com os valores para os quais estão definidas.
Um conhecimento rigoroso das frações algébricas é indispensável para abordar equações racionais, inequações racionais, funções racionais e numerosos tópicos subsequentes da álgebra e da análise matemática.