Uma coleção progressiva de 20 exercícios resolvidos sobre frações algébricas, concebida para aprender a determinar corretamente as condições de existência, simplificar frações, efetuar operações e evitar os erros mais frequentes.
Em cada exercício, o objetivo central não é apenas realizar os cálculos, mas compreender por que cada passo é justificado. As frações algébricas dependem essencialmente do denominador: antes de as transformar, é sempre necessário determinar para que valores estão definidas.
Exercício 1 — nível ★☆☆☆☆
Determinar as condições de existência da fração:
\[ \frac{x+1}{x-3} \]
Resultado
\[ x\neq 3 \]
Resolução
Uma fração algébrica está definida apenas quando o denominador é diferente de zero. Devemos então impor:
\[ x-3\neq 0. \]
Resolvendo a condição, obtemos:
\[ x\neq 3. \]
Isto significa que a fração está definida para todos os números reais exceto \(3\).
O domínio é portanto:
\[ \mathbb{R}\setminus\{3\}. \]
Exercício 2 — nível ★☆☆☆☆
Determinar o domínio da fração:
\[ \frac{2x-1}{x^2-9} \]
Resultado
\[ x\neq -3, \qquad x\neq 3 \]
Resolução
O denominador da fração deve ser diferente de zero:
\[ x^2-9\neq 0. \]
Para estudar esta condição, fatoriza-se o polinómio:
\[ x^2-9=(x-3)(x+3). \]
A condição torna-se então:
\[ (x-3)(x+3)\neq 0. \]
Um produto é diferente de zero se e só se nenhum dos seus fatores é nulo. Devemos pois impor:
\[ x-3\neq 0 \qquad \text{e} \qquad x+3\neq 0. \]
Obtemos:
\[ x\neq 3, \qquad x\neq -3. \]
O domínio da fração é:
\[ \mathbb{R}\setminus\{-3,3\}. \]
Exercício 3 — nível ★☆☆☆☆
Simplificar a fração:
\[ \frac{x^2-4}{x^2+4x+4} \]
Resultado
\[ \frac{x-2}{x+2}, \qquad x\neq -2 \]
Resolução
Para simplificar uma fração algébrica, devemos primeiro fatorizar o numerador e o denominador.
O numerador é uma diferença de quadrados:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2). \]
O denominador é um quadrado perfeito:
\[ x^2+4x+4=(x+2)^2. \]
A fração torna-se então:
\[ \frac{x^2-4}{x^2+4x+4} = \frac{(x-2)(x+2)}{(x+2)^2}. \]
Antes de simplificar, devemos impor a condição de existência:
\[ (x+2)^2\neq 0. \]
Donde:
\[ x+2\neq 0, \qquad x\neq -2. \]
Podemos agora simplificar o fator comum \(x+2\):
\[ \frac{(x-2)(x+2)}{(x+2)^2} = \frac{x-2}{x+2}. \]
Portanto:
\[ \frac{x^2-4}{x^2+4x+4} = \frac{x-2}{x+2}, \qquad x\neq -2. \]
A condição \(x\neq -2\) deve ser mantida também após a simplificação.
Exercício 4 — nível ★☆☆☆☆
Simplificar:
\[ \frac{3x^2}{6x} \]
Resultado
\[ \frac{x}{2}, \qquad x\neq 0 \]
Resolução
Mesmo quando uma fração algébrica parece muito simples, a primeira verificação diz sempre respeito ao denominador. Neste caso o denominador é:
\[ 6x. \]
Uma fração está definida apenas se o denominador é diferente de zero, pelo que devemos impor:
\[ 6x\neq 0. \]
Como \(6\) é diferente de zero, o produto \(6x\) anula-se apenas quando \(x=0\). Portanto:
\[ x\neq 0. \]
Podemos agora proceder à simplificação. Escrevemos o numerador evidenciando os seus fatores:
\[ 3x^2=3\cdot x\cdot x. \]
O denominador também pode ser escrito como:
\[ 6x=6\cdot x. \]
Logo:
\[ \frac{3x^2}{6x} = \frac{3\cdot x\cdot x}{6\cdot x}. \]
O fator \(x\) surge tanto no numerador como no denominador. Podemos simplificá-lo porque já estabelecemos que \(x\neq 0\). Se \(x\) fosse igual a zero, o denominador inicial anular-se-ia e a fração não teria sentido.
Fica:
\[ \frac{3x}{6}. \]
Simplificamos agora o coeficiente numérico:
\[ \frac{3x}{6}=\frac{x}{2}. \]
Logo:
\[ \frac{3x^2}{6x} = \frac{x}{2}, \qquad x\neq 0. \]
A condição \(x\neq 0\) deve ser mantida. Com efeito, a fração inicial não está definida para \(x=0\), ao passo que a expressão \(\frac{x}{2}\) o estaria. Sem a condição de existência perder-se-ia, portanto, informação essencial.
Exercício 5 — nível ★★☆☆☆
Simplificar:
\[ \frac{x^2+5x}{x^2-25} \]
Resultado
\[ \frac{x}{x-5}, \qquad x\neq -5,\ 5 \]
Resolução
Para simplificar uma fração algébrica devemos transformar o numerador e o denominador em produtos. Só assim podemos identificar eventuais fatores comuns.
Consideremos o numerador:
\[ x^2+5x. \]
Os dois termos têm em comum o fator \(x\). Colocando-o em evidência, obtemos:
\[ x^2+5x=x(x+5). \]
Consideremos agora o denominador:
\[ x^2-25. \]
Trata-se de uma diferença de quadrados, uma vez que:
\[ 25=5^2. \]
Portanto:
\[ x^2-25=x^2-5^2=(x-5)(x+5). \]
A fração pode então reescrever-se assim:
\[ \frac{x^2+5x}{x^2-25} = \frac{x(x+5)}{(x-5)(x+5)}. \]
Antes de simplificar o fator comum \(x+5\), devemos determinar as condições de existência da fração inicial. O denominador deve ser diferente de zero:
\[ x^2-25\neq 0. \]
Usando a fatorização que acabámos de encontrar, esta condição torna-se:
\[ (x-5)(x+5)\neq 0. \]
Um produto é diferente de zero se nenhum dos seus fatores é nulo. Logo:
\[ x-5\neq 0 \qquad \text{e} \qquad x+5\neq 0. \]
Donde:
\[ x\neq 5 \qquad \text{e} \qquad x\neq -5. \]
Podemos agora simplificar o fator comum \(x+5\):
\[ \frac{x(x+5)}{(x-5)(x+5)} = \frac{x}{x-5}. \]
Portanto:
\[ \frac{x^2+5x}{x^2-25} = \frac{x}{x-5}, \qquad x\neq -5,\ 5. \]
O valor \(x=-5\) deve permanecer excluído mesmo que o fator \(x+5\) tenha sido eliminado da expressão final. A simplificação altera a forma da fração, mas não modifica o domínio da fração inicial.
Exercício 6 — nível ★★☆☆☆
Simplificar:
\[ \frac{x^2-3x}{x^2-6x+9} \]
Resultado
\[ \frac{x}{x-3}, \qquad x\neq 3 \]
Resolução
Para simplificar corretamente a fração, devemos primeiro fatorizar o numerador e o denominador.
Comecemos pelo numerador:
\[ x^2-3x. \]
Ambos os termos contêm o fator \(x\). Colocando \(x\) em evidência, obtemos:
\[ x^2-3x=x(x-3). \]
Consideremos agora o denominador:
\[ x^2-6x+9. \]
Este trinómio é um quadrado perfeito. Com efeito:
\[ (x-3)^2=x^2-6x+9. \]
Portanto:
\[ x^2-6x+9=(x-3)^2. \]
A fração torna-se:
\[ \frac{x^2-3x}{x^2-6x+9} = \frac{x(x-3)}{(x-3)^2}. \]
Antes de simplificar, devemos impor a condição de existência. O denominador inicial não pode ser igual a zero:
\[ x^2-6x+9\neq 0. \]
Como:
\[ x^2-6x+9=(x-3)^2, \]
a condição torna-se:
\[ (x-3)^2\neq 0. \]
Um quadrado é diferente de zero se e só se a sua base é diferente de zero. Logo:
\[ x-3\neq 0. \]
Donde:
\[ x\neq 3. \]
Podemos agora simplificar um fator \(x-3\):
\[ \frac{x(x-3)}{(x-3)^2} = \frac{x}{x-3}. \]
Obtemos pois:
\[ \frac{x^2-3x}{x^2-6x+9} = \frac{x}{x-3}, \qquad x\neq 3. \]
A condição \(x\neq 3\) não é um detalhe secundário: para \(x=3\) o denominador da fração inicial anula-se, pelo que esse valor não pode ser admitido.
Exercício 7 — nível ★★☆☆☆
Reduzir ao mesmo denominador:
\[ \frac{2}{x} \qquad \text{e} \qquad \frac{3}{x+1} \]
Resultado
\[ \frac{2(x+1)}{x(x+1)} \qquad \text{e} \qquad \frac{3x}{x(x+1)}, \qquad x\neq -1,\ 0 \]
Resolução
Reduzir duas frações ao mesmo denominador significa transformá-las em frações equivalentes com um denominador comum. Esta operação é indispensável, por exemplo, quando se pretende somar ou subtrair frações algébricas.
Os denominadores das duas frações são:
\[ x \qquad \text{e} \qquad x+1. \]
Antes de construir o denominador comum, determinemos as condições de existência. Devemos impor:
\[ x\neq 0 \qquad \text{e} \qquad x+1\neq 0. \]
A segunda condição equivale a:
\[ x\neq -1. \]
As condições globais são pois:
\[ x\neq 0, \qquad x\neq -1. \]
Como os denominadores \(x\) e \(x+1\) não têm fatores comuns, o mínimo denominador comum é o seu produto:
\[ x(x+1). \]
Consideremos a primeira fração:
\[ \frac{2}{x}. \]
Para obter o denominador \(x(x+1)\), devemos multiplicar numerador e denominador pelo fator em falta, \(x+1\):
\[ \frac{2}{x} = \frac{2(x+1)}{x(x+1)}. \]
Consideremos agora a segunda fração:
\[ \frac{3}{x+1}. \]
Neste caso o fator em falta é \(x\), logo:
\[ \frac{3}{x+1} = \frac{3x}{x(x+1)}. \]
As duas frações reduzidas ao mesmo denominador são pois:
\[ \frac{2(x+1)}{x(x+1)} \qquad \text{e} \qquad \frac{3x}{x(x+1)}, \qquad x\neq -1,\ 0. \]
As condições de existência garantem que os fatores usados nos denominadores não são nulos. Por este motivo, as transformações efetuadas produzem frações equivalentes no domínio comum.
Exercício 8 — nível ★★☆☆☆
Calcular:
\[ \frac{1}{x-2}+\frac{3}{x+2} \]
Resultado
\[ \frac{4(x-1)}{(x-2)(x+2)}, \qquad x\neq -2,\ 2 \]
Resolução
Para somar duas frações algébricas com denominadores diferentes, devemos primeiro reduzi-las ao mesmo denominador. Antes de efetuar qualquer transformação, porém, determinemos as condições de existência.
Os denominadores são:
\[ x-2 \qquad \text{e} \qquad x+2. \]
Devemos então impor:
\[ x-2\neq 0 \qquad \text{e} \qquad x+2\neq 0. \]
Destas condições obtemos:
\[ x\neq 2 \qquad \text{e} \qquad x\neq -2. \]
O denominador comum mais conveniente é o produto dos dois denominadores:
\[ (x-2)(x+2). \]
Na primeira fração falta o fator \(x+2\). Multiplicamos então numerador e denominador por \(x+2\):
\[ \frac{1}{x-2} = \frac{x+2}{(x-2)(x+2)}. \]
Na segunda fração falta o fator \(x-2\). Multiplicamos numerador e denominador por \(x-2\):
\[ \frac{3}{x+2} = \frac{3(x-2)}{(x-2)(x+2)}. \]
As duas frações têm agora o mesmo denominador, pelo que podemos somar os numeradores e conservar o denominador comum:
\[ \frac{1}{x-2}+\frac{3}{x+2} = \frac{x+2+3(x-2)}{(x-2)(x+2)}. \]
Desenvolvemos o numerador:
\[ x+2+3(x-2)=x+2+3x-6. \]
Reduzimos os termos semelhantes:
\[ x+2+3x-6=4x-4. \]
Portanto:
\[ \frac{1}{x-2}+\frac{3}{x+2} = \frac{4x-4}{(x-2)(x+2)}. \]
Podemos colocar \(4\) em evidência no numerador:
\[ 4x-4=4(x-1). \]
Logo:
\[ \frac{1}{x-2}+\frac{3}{x+2} = \frac{4(x-1)}{(x-2)(x+2)}, \qquad x\neq -2,\ 2. \]
Não há mais simplificações, pois o fator \(x-1\) não aparece no denominador. As condições \(x\neq -2\) e \(x\neq 2\) devem por sua vez permanecer indicadas, uma vez que provêm dos denominadores iniciais.
Exercício 9 — nível ★★☆☆☆
Calcular:
\[ \frac{x}{x+1}-\frac{1}{x-1} \]
Resultado
\[ \frac{x^2-2x-1}{(x+1)(x-1)}, \qquad x\neq -1,\ 1 \]
Resolução
A expressão contém uma diferença entre frações algébricas. Como sempre, começamos pelas condições de existência, ou seja, pelos valores que não podem ser atribuídos à variável.
Os denominadores são:
\[ x+1 \qquad \text{e} \qquad x-1. \]
Devemos impor:
\[ x+1\neq 0 \qquad \text{e} \qquad x-1\neq 0. \]
Logo:
\[ x\neq -1 \qquad \text{e} \qquad x\neq 1. \]
O denominador comum é:
\[ (x+1)(x-1). \]
Na primeira fração falta o fator \(x-1\), logo:
\[ \frac{x}{x+1} = \frac{x(x-1)}{(x+1)(x-1)}. \]
Na segunda fração falta o fator \(x+1\), logo:
\[ \frac{1}{x-1} = \frac{x+1}{(x+1)(x-1)}. \]
Podemos agora subtrair os numeradores. É importante conservar os parênteses, pois o sinal menos distribui-se por todo o numerador da segunda fração:
\[ \frac{x}{x+1}-\frac{1}{x-1} = \frac{x(x-1)-(x+1)}{(x+1)(x-1)}. \]
Desenvolvemos o numerador:
\[ x(x-1)-(x+1)=x^2-x-x-1. \]
Reduzimos os termos semelhantes:
\[ x^2-x-x-1=x^2-2x-1. \]
Obtemos pois:
\[ \frac{x}{x+1}-\frac{1}{x-1} = \frac{x^2-2x-1}{(x+1)(x-1)}. \]
O numerador não contém nem o fator \(x+1\) nem o fator \(x-1\), pelo que não é possível simplificar.
Portanto:
\[ \frac{x}{x+1}-\frac{1}{x-1} = \frac{x^2-2x-1}{(x+1)(x-1)}, \qquad x\neq -1,\ 1. \]
Exercício 10 — nível ★★☆☆☆
Calcular:
\[ \frac{x^2-1}{x}\cdot \frac{2x}{x+1} \]
Resultado
\[ 2(x-1), \qquad x\neq -1,\ 0 \]
Resolução
Num produto de frações algébricas quase sempre convém fatorizar os polinómios antes de multiplicar. Desta forma podemos identificar imediatamente eventuais fatores comuns e simplificar os cálculos.
Antes, porém, determinemos as condições de existência. Os denominadores presentes são:
\[ x \qquad \text{e} \qquad x+1. \]
Devemos então impor:
\[ x\neq 0 \qquad \text{e} \qquad x+1\neq 0. \]
A segunda condição equivale a:
\[ x\neq -1. \]
Logo as condições de existência são:
\[ x\neq 0, \qquad x\neq -1. \]
Consideremos agora o produto:
\[ \frac{x^2-1}{x}\cdot \frac{2x}{x+1}. \]
O numerador \(x^2-1\) é uma diferença de quadrados:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1). \]
Substituindo esta fatorização, obtemos:
\[ \frac{x^2-1}{x}\cdot \frac{2x}{x+1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x}\cdot \frac{2x}{x+1}. \]
Neste ponto podemos simplificar o fator \(x+1\), que aparece no numerador da primeira fração e no denominador da segunda.
Esta simplificação é válida porque no domínio impusemos \(x+1\neq 0\), ou seja, \(x\neq -1\).
Podemos também simplificar o fator \(x\), que aparece no denominador da primeira fração e no numerador da segunda. Esta operação é igualmente válida porque impusemos \(x\neq 0\).
Após as simplificações fica:
\[ 2(x-1). \]
Portanto:
\[ \frac{x^2-1}{x}\cdot \frac{2x}{x+1} = 2(x-1), \qquad x\neq -1,\ 0. \]
Mesmo que o resultado final seja um polinómio, as condições de existência não devem ser esquecidas: a expressão inicial não estava definida para \(x=0\) nem para \(x=-1\).
Exercício 11 — nível ★★★☆☆
Calcular:
\[ \frac{x^2-4}{x^2-2x}:\frac{x+2}{x} \]
Resultado
\[ 1, \qquad x\neq -2,\ 0,\ 2 \]
Resolução
A expressão contém uma divisão entre frações algébricas. Nestes casos é necessário verificar não só que os denominadores sejam diferentes de zero, mas também que a fração divisor seja diferente de zero.
O denominador da primeira fração é:
\[ x^2-2x. \]
Fatoriza-se colocando \(x\) em evidência:
\[ x^2-2x=x(x-2). \]
Devemos então impor:
\[ x(x-2)\neq 0. \]
Donde:
\[ x\neq 0, \qquad x\neq 2. \]
O denominador da segunda fração é também \(x\), pelo que reencontramos a condição:
\[ x\neq 0. \]
Devemos agora considerar uma condição adicional: a fração \(\frac{x+2}{x}\) é o divisor. Como não se pode dividir por zero, deve verificar-se:
\[ \frac{x+2}{x}\neq 0. \]
No domínio em que \(x\neq 0\), uma fração é igual a zero se e só se o seu numerador é igual a zero. Devemos então impor:
\[ x+2\neq 0. \]
Donde:
\[ x\neq -2. \]
As condições globais são:
\[ x\neq -2,\qquad x\neq 0,\qquad x\neq 2. \]
Podemos agora transformar a divisão em multiplicação pela fração recíproca:
\[ \frac{x^2-4}{x^2-2x}:\frac{x+2}{x} = \frac{x^2-4}{x^2-2x}\cdot \frac{x}{x+2}. \]
Fatorizam-se os polinómios presentes:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]
e
\[ x^2-2x=x(x-2). \]
Substituindo, obtemos:
\[ \frac{x^2-4}{x^2-2x}\cdot \frac{x}{x+2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x(x-2)}\cdot \frac{x}{x+2}. \]
Neste ponto podemos simplificar os fatores comuns. O fator \(x-2\) aparece no numerador e no denominador, o fator \(x+2\) aparece no numerador e no denominador, e o mesmo sucede com \(x\).
Todas estas simplificações são válidas porque excluímos os valores que tornariam nulos esses fatores:
\[ x\neq 2,\qquad x\neq -2,\qquad x\neq 0. \]
Após as simplificações fica:
\[ 1. \]
Logo:
\[ \frac{x^2-4}{x^2-2x}:\frac{x+2}{x} = 1, \qquad x\neq -2,\ 0,\ 2. \]
O resultado final é uma constante, mas a expressão inicial não estava definida para \(x=-2\), \(x=0\) e \(x=2\). Por este motivo as condições de existência devem permanecer indicadas.
Exercício 12 — nível ★★★☆☆
Simplificar:
\[ \frac{x^2+2x+1}{x^2-1} \]
Resultado
\[ \frac{x+1}{x-1}, \qquad x\neq -1,\ 1 \]
Resolução
Para simplificar uma fração algébrica devemos primeiro fatorizar o numerador e o denominador. Só após esta operação podemos identificar os fatores comuns a simplificar.
Consideremos o numerador:
\[ x^2+2x+1. \]
Este trinómio é o quadrado do binómio \(x+1\), com efeito:
\[ (x+1)^2=x^2+2x+1. \]
Portanto:
\[ x^2+2x+1=(x+1)^2. \]
Consideremos agora o denominador:
\[ x^2-1. \]
Trata-se de uma diferença de quadrados:
\[ x^2-1=x^2-1^2. \]
Aplicando a fórmula da diferença de quadrados, obtemos:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1). \]
A fração torna-se:
\[ \frac{x^2+2x+1}{x^2-1} = \frac{(x+1)^2}{(x-1)(x+1)}. \]
Antes de simplificar o fator comum \(x+1\), devemos determinar as condições de existência da fração inicial:
\[ x^2-1\neq 0. \]
Usando a fatorização:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1), \]
obtemos:
\[ (x-1)(x+1)\neq 0. \]
Um produto é diferente de zero se e só se nenhum dos seus fatores é nulo. Portanto:
\[ x-1\neq 0 \qquad \text{e} \qquad x+1\neq 0. \]
Donde:
\[ x\neq 1 \qquad \text{e} \qquad x\neq -1. \]
Podemos agora simplificar um fator \(x+1\):
\[ \frac{(x+1)^2}{(x-1)(x+1)} = \frac{x+1}{x-1}. \]
Portanto:
\[ \frac{x^2+2x+1}{x^2-1} = \frac{x+1}{x-1}, \qquad x\neq -1,\ 1. \]
O valor \(x=-1\) deve permanecer excluído mesmo que o fator \(x+1\) tenha sido simplificado. Com efeito, a fração inicial não estava definida para \(x=-1\).
Exercício 13 — nível ★★★☆☆
Calcular:
\[ \frac{2}{x-1}+\frac{x}{x^2-1} \]
Resultado
\[ \frac{3x+2}{x^2-1}, \qquad x\neq -1,\ 1 \]
Resolução
A expressão contém uma soma de frações algébricas. Para somar frações com denominadores diferentes, devemos primeiro reduzi-las ao mesmo denominador.
Mas antes determinemos as condições de existência. Os denominadores são:
\[ x-1 \qquad \text{e} \qquad x^2-1. \]
Devemos impor:
\[ x-1\neq 0 \qquad \text{e} \qquad x^2-1\neq 0. \]
Fatoriza-se:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1). \]
As condições tornam-se então:
\[ x-1\neq 0 \qquad \text{e} \qquad (x-1)(x+1)\neq 0. \]
Daqui obtemos:
\[ x\neq 1, \qquad x\neq -1. \]
O denominador comum mais conveniente é:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1). \]
A segunda fração já tem este denominador:
\[ \frac{x}{x^2-1}. \]
A primeira fração, por sua vez, tem denominador \(x-1\). Para obter o denominador \((x-1)(x+1)\), devemos multiplicar numerador e denominador por \(x+1\):
\[ \frac{2}{x-1} = \frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)}. \]
Podemos agora somar:
\[ \frac{2}{x-1}+\frac{x}{x^2-1} = \frac{2(x+1)+x}{(x-1)(x+1)}. \]
Desenvolvemos o numerador:
\[ 2(x+1)+x=2x+2+x. \]
Reduzimos os termos semelhantes:
\[ 2x+2+x=3x+2. \]
Portanto:
\[ \frac{2}{x-1}+\frac{x}{x^2-1} = \frac{3x+2}{(x-1)(x+1)}. \]
Como \((x-1)(x+1)=x^2-1\), podemos também escrever:
\[ \frac{3x+2}{(x-1)(x+1)} = \frac{3x+2}{x^2-1}. \]
Logo:
\[ \frac{2}{x-1}+\frac{x}{x^2-1} = \frac{3x+2}{x^2-1}, \qquad x\neq -1,\ 1. \]
Não é possível simplificar mais, pois o numerador \(3x+2\) não tem fatores comuns com o denominador.
Exercício 14 — nível ★★★☆☆
Simplificar a expressão:
\[ \left(\frac{x}{x+2}-\frac{2}{x}\right)\cdot \frac{x(x+2)}{x-2} \]
Resultado
\[ \frac{x^2-2x-4}{x-2}, \qquad x\neq -2,\ 0,\ 2 \]
Resolução
A expressão contém um parêntesis com uma diferença entre frações algébricas e depois um produto. Antes de realizar os cálculos, devemos determinar as condições de existência.
Os denominadores presentes são:
\[ x+2,\qquad x,\qquad x-2. \]
Devemos então impor:
\[ x+2\neq 0,\qquad x\neq 0,\qquad x-2\neq 0. \]
Donde:
\[ x\neq -2,\qquad x\neq 0,\qquad x\neq 2. \]
Simplificamos primeiro o parêntesis:
\[ \frac{x}{x+2}-\frac{2}{x}. \]
O denominador comum é:
\[ x(x+2). \]
Na primeira fração falta o fator \(x\), logo:
\[ \frac{x}{x+2} = \frac{x^2}{x(x+2)}. \]
Na segunda fração falta o fator \(x+2\), logo:
\[ \frac{2}{x} = \frac{2(x+2)}{x(x+2)}. \]
Subtraindo as duas frações, obtemos:
\[ \frac{x}{x+2}-\frac{2}{x} = \frac{x^2-2(x+2)}{x(x+2)}. \]
Desenvolvemos o numerador:
\[ x^2-2(x+2)=x^2-2x-4. \]
Portanto o parêntesis é igual a:
\[ \frac{x^2-2x-4}{x(x+2)}. \]
A expressão inicial torna-se:
\[ \frac{x^2-2x-4}{x(x+2)}\cdot \frac{x(x+2)}{x-2}. \]
Podemos agora simplificar o fator comum \(x(x+2)\), que aparece no denominador da primeira fração e no numerador da segunda.
Esta simplificação é válida porque nas condições de existência já excluímos \(x=0\) e \(x=-2\), ou seja, os valores que anulariam esses fatores.
Fica:
\[ \frac{x^2-2x-4}{x-2}. \]
Não é possível simplificar mais com \(x-2\), pois o numerador \(x^2-2x-4\) não tem \(x-2\) como fator. Com efeito, substituindo \(x=2\), obtém-se:
\[ 2^2-2\cdot 2-4=4-4-4=-4\neq 0. \]
Logo:
\[ \left(\frac{x}{x+2}-\frac{2}{x}\right)\cdot \frac{x(x+2)}{x-2} = \frac{x^2-2x-4}{x-2}, \qquad x\neq -2,\ 0,\ 2. \]
Exercício 15 — nível ★★★☆☆
Resolver a equação fracionária:
\[ \frac{x+1}{x-3}=2 \]
Resultado
\[ S=\{7\} \]
Resolução
Numa equação fracionária o primeiro passo consiste sempre em determinar as condições de existência. Com efeito, os valores que anulam os denominadores não podem ser soluções da equação.
Neste caso o denominador é:
\[ x-3. \]
Devemos então impor:
\[ x-3\neq 0. \]
Donde:
\[ x\neq 3. \]
Podemos agora resolver a equação:
\[ \frac{x+1}{x-3}=2. \]
Multiplicamos ambos os membros por \(x-3\). Esta operação é válida porque estamos a trabalhar no domínio da equação, onde \(x-3\neq 0\).
Obtemos:
\[ x+1=2(x-3). \]
Desenvolvemos o segundo membro:
\[ x+1=2x-6. \]
Transportamos os termos em \(x\) para um lado e os termos independentes para o outro:
\[ 1+6=2x-x. \]
Logo:
\[ 7=x. \]
Encontrámos o valor \(x=7\). Devemos agora verificar que satisfaz a condição de existência.
Como:
\[ 7\neq 3, \]
o valor encontrado é aceitável.
Portanto:
\[ S=\{7\}. \]
Exercício 16 — nível ★★★☆☆
Resolver a equação fracionária:
\[ \frac{x}{x-1}=\frac{2}{x-1} \]
Resultado
\[ S=\{2\} \]
Resolução
Antes de resolver a equação, determinemos as condições de existência. O denominador é \(x-1\), pelo que deve ser diferente de zero:
\[ x-1\neq 0. \]
Donde:
\[ x\neq 1. \]
No domínio da equação os dois membros têm o mesmo denominador:
\[ x-1. \]
Como este denominador é diferente de zero, podemos igualar os numeradores:
\[ x=2. \]
Neste ponto devemos verificar se o valor encontrado é compatível com a condição de existência.
A condição exige:
\[ x\neq 1. \]
Como \(2\neq 1\), o valor \(x=2\) é aceitável.
Logo o conjunto de soluções é:
\[ S=\{2\}. \]
Exercício 17 — nível ★★★★☆
Resolver a equação fracionária:
\[ \frac{x+2}{x-1}=\frac{3x}{x-1} \]
Resultado
\[ S=\varnothing \]
Resolução
Antes de resolver a equação devemos determinar as condições de existência. Mesmo que os denominadores sejam iguais, não podemos omitir este passo.
O denominador comum é:
\[ x-1. \]
Devemos então impor:
\[ x-1\neq 0. \]
Donde:
\[ x\neq 1. \]
No domínio da equação o denominador \(x-1\) é diferente de zero. Podemos então igualar os numeradores:
\[ x+2=3x. \]
Transportamos os termos em \(x\) para um lado:
\[ 2=3x-x. \]
Logo:
\[ 2=2x. \]
Dividindo por \(2\), obtemos:
\[ x=1. \]
O valor encontrado deve, porém, ser confrontado com a condição de existência. Tínhamos imposto:
\[ x\neq 1. \]
O valor \(x=1\) não é pois aceitável, pois anula o denominador inicial:
\[ 1-1=0. \]
Por conseguinte, o valor encontrado deve ser rejeitado.
A equação não tem solução:
\[ S=\varnothing. \]
Exercício 18 — nível ★★★★☆
Resolver a equação fracionária:
\[ \frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}=1 \]
Resultado
\[ S= \left\{ \frac{1-\sqrt{5}}{2}, \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right\} \]
Resolução
Começamos pelas condições de existência. Os denominadores presentes na equação são:
\[ x \qquad \text{e} \qquad x+1. \]
Devemos então impor:
\[ x\neq 0 \qquad \text{e} \qquad x+1\neq 0. \]
A segunda condição equivale a:
\[ x\neq -1. \]
Logo:
\[ x\neq 0, \qquad x\neq -1. \]
Resolvemos agora a equação:
\[ \frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}=1. \]
O denominador comum é:
\[ x(x+1). \]
No domínio da equação este produto é diferente de zero. Podemos então multiplicar ambos os membros por \(x(x+1)\).
Multiplicando o primeiro termo por \(x(x+1)\), obtemos:
\[ \frac{1}{x}\cdot x(x+1)=x+1. \]
Multiplicando o segundo termo por \(x(x+1)\), obtemos:
\[ \frac{1}{x+1}\cdot x(x+1)=x. \]
Multiplicando o segundo membro por \(x(x+1)\), obtemos:
\[ 1\cdot x(x+1)=x(x+1). \]
A equação torna-se então:
\[ x+1+x=x(x+1). \]
Somamos os termos semelhantes no primeiro membro:
\[ 2x+1=x(x+1). \]
Desenvolvemos o segundo membro:
\[ 2x+1=x^2+x. \]
Transportamos todos os termos para o segundo membro:
\[ 0=x^2+x-2x-1. \]
Reduzindo os termos semelhantes:
\[ 0=x^2-x-1. \]
Devemos então resolver:
\[ x^2-x-1=0. \]
Aplicamos a fórmula resolutiva da equação do segundo grau:
\[ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}. \]
Neste caso:
\[ a=1,\qquad b=-1,\qquad c=-1. \]
Pelo que:
\[ x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-1)}}{2\cdot 1}. \]
Simplificando:
\[ x=\frac{1\pm\sqrt{1+4}}{2}. \]
Logo:
\[ x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}. \]
Devemos agora verificar que os valores encontrados são compatíveis com as condições de existência. As condições eram:
\[ x\neq 0, \qquad x\neq -1. \]
Os dois valores
\[ \frac{1-\sqrt{5}}{2} \qquad \text{e} \qquad \frac{1+\sqrt{5}}{2} \]
não são nem \(0\) nem \(-1\), pelo que ambos são aceitáveis.
Portanto:
\[ S= \left\{ \frac{1-\sqrt{5}}{2}, \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right\}. \]
Exercício 19 — nível ★★★★☆
Simplificar:
\[ \frac{x^2-5x+6}{x^2-4}\cdot \frac{x+2}{x-3} \]
Resultado
\[ 1, \qquad x\neq -2,\ 2,\ 3 \]
Resolução
A expressão contém um produto de frações algébricas. Antes de efetuar o produto convém fatorizar todos os polinómios. No entanto, as condições de existência devem ser determinadas a partir dos denominadores da expressão inicial.
Os denominadores são:
\[ x^2-4 \qquad \text{e} \qquad x-3. \]
Devemos então impor:
\[ x^2-4\neq 0 \qquad \text{e} \qquad x-3\neq 0. \]
Fatoriza-se o primeiro denominador:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2). \]
A condição \(x^2-4\neq 0\) torna-se então:
\[ (x-2)(x+2)\neq 0. \]
Um produto é diferente de zero se nenhum dos seus fatores é nulo. Logo:
\[ x-2\neq 0 \qquad \text{e} \qquad x+2\neq 0. \]
Donde:
\[ x\neq 2 \qquad \text{e} \qquad x\neq -2. \]
Da segunda condição obtemos por sua vez:
\[ x-3\neq 0 \qquad \Longrightarrow \qquad x\neq 3. \]
As condições de existência globais são pois:
\[ x\neq -2,\qquad x\neq 2,\qquad x\neq 3. \]
Passemos agora à simplificação. Fatoriza-se o numerador da primeira fração:
\[ x^2-5x+6. \]
Procuramos dois números cujo produto seja \(6\) e cuja soma seja \(-5\). Esses números são \(-2\) e \(-3\). Portanto:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Além disso, como já vimos:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2). \]
A expressão torna-se:
\[ \frac{(x-2)(x-3)}{(x-2)(x+2)}\cdot \frac{x+2}{x-3}. \]
Neste ponto podemos simplificar os fatores comuns.
O fator \(x-2\) aparece no numerador e no denominador da primeira fração. Podemos simplificá-lo porque excluímos \(x=2\).
O fator \(x+2\) aparece no denominador da primeira fração e no numerador da segunda. Podemos simplificá-lo porque excluímos \(x=-2\).
O fator \(x-3\) aparece no numerador da primeira fração e no denominador da segunda. Podemos simplificá-lo porque excluímos \(x=3\).
Após estas simplificações não resta nenhum fator variável:
\[ 1. \]
Portanto:
\[ \frac{x^2-5x+6}{x^2-4}\cdot \frac{x+2}{x-3} = 1, \qquad x\neq -2,\ 2,\ 3. \]
Mesmo que o resultado final seja a constante \(1\), não podemos esquecer as condições de existência. A expressão inicial, com efeito, não está definida para \(x=-2\), \(x=2\) e \(x=3\).
Exercício 20 — nível ★★★★★
Simplificar a expressão:
\[ \left(\frac{x+1}{x^2-1}-\frac{1}{x-1}\right):\frac{x}{x+1} \]
Resultado
\[ 0, \qquad x\neq -1,\ 0,\ 1 \]
Resolução
Esta expressão contém primeiro uma diferença entre frações algébricas e depois uma divisão por outra fração. Por este motivo as condições de existência devem ser determinadas com especial atenção.
Os denominadores presentes são:
\[ x^2-1,\qquad x-1,\qquad x+1. \]
Devemos então impor:
\[ x^2-1\neq 0,\qquad x-1\neq 0,\qquad x+1\neq 0. \]
Fatoriza-se:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1). \]
As condições sobre os denominadores conduzem pois a:
\[ x\neq 1 \qquad \text{e} \qquad x\neq -1. \]
Existe, porém, uma condição adicional. A fração
\[ \frac{x}{x+1} \]
é o divisor da expressão. Dividir por uma fração equivale a multiplicar pela sua recíproca, mas isso só é possível se a fração divisor for diferente de zero.
Devemos então impor:
\[ \frac{x}{x+1}\neq 0. \]
No domínio em que \(x+1\neq 0\), uma fração é igual a zero se e só se o seu numerador é igual a zero. Devemos portanto excluir também:
\[ x=0. \]
As condições globais são:
\[ x\neq -1,\qquad x\neq 0,\qquad x\neq 1. \]
Trabalhamos agora sobre o parêntesis:
\[ \frac{x+1}{x^2-1}-\frac{1}{x-1}. \]
Fatoriza-se o denominador da primeira fração:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1). \]
Logo:
\[ \frac{x+1}{x^2-1} = \frac{x+1}{(x-1)(x+1)}. \]
No domínio da expressão sabemos que \(x+1\neq 0\). Podemos então simplificar o fator comum \(x+1\):
\[ \frac{x+1}{(x-1)(x+1)} = \frac{1}{x-1}. \]
O parêntesis torna-se:
\[ \frac{1}{x-1}-\frac{1}{x-1}. \]
A diferença entre duas frações iguais é zero:
\[ \frac{1}{x-1}-\frac{1}{x-1}=0. \]
A expressão inicial reduz-se então a:
\[ 0:\frac{x}{x+1}. \]
Pelas condições de existência impusemos que:
\[ \frac{x}{x+1}\neq 0. \]
Portanto a divisão é válida e o resultado é:
\[ 0. \]
Logo:
\[ \left(\frac{x+1}{x^2-1}-\frac{1}{x-1}\right):\frac{x}{x+1} = 0, \qquad x\neq -1,\ 0,\ 1. \]
O resultado final é zero, mas a expressão inicial não está definida para \(x=-1\), \(x=0\) e \(x=1\). Estes valores devem portanto permanecer excluídos.