Uma coleção progressiva de 20 exercícios resolvidos sobre equações de grau superior, concebida para ajudar a reconhecer a estrutura da equação antes mesmo de começar os cálculos. Cada exercício mostra não apenas os passos algébricos, mas também a razão pela qual uma determinada técnica pode ser aplicada.
Recordemos que uma equação de grau superior é uma equação polinomial de grau pelo menos \(3\). Na maioria dos casos, não se resolve aplicando uma fórmula geral, mas procurando transformar o polinómio num produto de fatores mais simples.
O princípio fundamental é:
\[ A\cdot B=0 \quad \Longleftrightarrow \quad A=0 \ \text{ou} \ B=0 \]
Por este motivo, o objetivo principal será sempre o mesmo: fatorizar o polinómio e depois igualar cada fator a zero.
Exercício 1 — nível ★☆☆☆☆
Resolver:
\[ x^3-5x^2=0 \]
Resultado
\[ S=\{0,5\} \]
Resolução
Observação inicial
A equação é de terceiro grau, porque o maior expoente da variável é \(3\). No entanto, não devemos procurar imediatamente fórmulas gerais: antes de tudo, é necessário observar a estrutura do polinómio.
Temos:
\[ x^3-5x^2=0 \]
Os dois termos \(x^3\) e \(-5x^2\) têm um fator comum. De facto:
\[ x^3=x^2\cdot x \]
e:
\[ -5x^2=x^2\cdot(-5) \]
Colocação do fator comum em evidência
Como ambos os termos contêm \(x^2\), podemos colocar \(x^2\) em evidência:
\[ x^3-5x^2=x^2(x-5) \]
A equação torna-se então:
\[ x^2(x-5)=0 \]
Aplicação do princípio do anulamento do produto
Agora temos um produto igual a zero. Um produto é igual a zero se pelo menos um dos seus fatores for igual a zero.
Portanto:
\[ x^2=0 \]
ou:
\[ x-5=0 \]
Resolução das equações obtidas
Da primeira equação:
\[ x^2=0 \]
segue necessariamente:
\[ x=0 \]
Da segunda equação:
\[ x-5=0 \]
obtemos:
\[ x=5 \]
Conclusão
As soluções da equação são:
\[ S=\{0,5\} \]
Observemos que \(x=0\) vem do fator \(x^2\). Como conjunto das soluções, porém, escrevemo-lo apenas uma vez.
Exercício 2 — nível ★☆☆☆☆
Resolver:
\[ x^4-9x^2=0 \]
Resultado
\[ S=\{-3,0,3\} \]
Resolução
Análise da estrutura
A equação é:
\[ x^4-9x^2=0 \]
Também neste caso os dois termos têm um fator comum. De facto:
\[ x^4=x^2\cdot x^2 \]
e:
\[ -9x^2=x^2\cdot(-9) \]
Podemos então colocar \(x^2\) em evidência.
Primeira fatorização
Colocando \(x^2\) em evidência, obtemos:
\[ x^4-9x^2=x^2(x^2-9) \]
Logo, a equação torna-se:
\[ x^2(x^2-9)=0 \]
Nova fatorização
O fator:
\[ x^2-9 \]
ainda não está completamente fatorizado. De facto, \(9=3^2\), portanto:
\[ x^2-9=x^2-3^2 \]
Aplicamos a fórmula da diferença de quadrados:
\[ a^2-b^2=(a-b)(a+b) \]
No nosso caso, \(a=x\) e \(b=3\), logo:
\[ x^2-9=(x-3)(x+3) \]
Forma fatorizada completa
A equação torna-se:
\[ x^2(x-3)(x+3)=0 \]
Agora o polinómio está escrito como produto de fatores.
Anulamento dos fatores
Pelo princípio do anulamento do produto, devemos igualar cada fator a zero:
\[ x^2=0 \]
ou:
\[ x-3=0 \]
ou:
\[ x+3=0 \]
Resolução
Da primeira equação:
\[ x^2=0 \]
segue:
\[ x=0 \]
Da segunda:
\[ x-3=0 \]
segue:
\[ x=3 \]
Da terceira:
\[ x+3=0 \]
segue:
\[ x=-3 \]
Conclusão
As soluções são:
\[ S=\{-3,0,3\} \]
Exercício 3 — nível ★☆☆☆☆
Resolver:
\[ x^3-8=0 \]
Resultado
\[ S=\{2\} \]
Resolução
Reconhecimento da estrutura
A equação é:
\[ x^3-8=0 \]
Aqui não há um fator comum a colocar em evidência. No entanto, não é necessário recorrer a métodos gerais: podemos reconhecer uma diferença de cubos, pois:
\[ 8=2^3 \]
Portanto:
\[ x^3-8=x^3-2^3 \]
Fórmula da diferença de cubos
Recordemos a fórmula:
\[ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) \]
No nosso caso:
\[ a=x,\qquad b=2 \]
Por isso:
\[ x^3-2^3=(x-2)(x^2+2x+4) \]
Equação fatorizada
A equação torna-se:
\[ (x-2)(x^2+2x+4)=0 \]
Agora podemos anular os fatores separadamente.
Primeiro fator
Do fator:
\[ x-2=0 \]
obtemos:
\[ x=2 \]
Segundo fator
Consideremos agora:
\[ x^2+2x+4=0 \]
Esta é uma equação do segundo grau. Para saber se tem soluções reais, calculamos o discriminante:
\[ \Delta=b^2-4ac \]
Aqui:
\[ a=1,\qquad b=2,\qquad c=4 \]
portanto:
\[ \Delta=2^2-4\cdot1\cdot4 \]
isto é:
\[ \Delta=4-16=-12 \]
Como o discriminante é negativo, a equação não tem soluções reais.
Conclusão
A única solução real da equação inicial é:
\[ S=\{2\} \]
Exercício 4 — nível ★★☆☆☆
Resolver:
\[ x^4-16=0 \]
Resultado
\[ S=\{-2,2\} \]
Resolução
Primeiro reconhecimento
A equação é:
\[ x^4-16=0 \]
Observamos que \(x^4\) pode ser escrito como um quadrado:
\[ x^4=(x^2)^2 \]
Além disso:
\[ 16=4^2 \]
Portanto, o polinómio é uma diferença de quadrados:
\[ x^4-16=(x^2)^2-4^2 \]
Primeira fatorização
Aplicamos:
\[ a^2-b^2=(a-b)(a+b) \]
com:
\[ a=x^2,\qquad b=4 \]
Obtemos:
\[ x^4-16=(x^2-4)(x^2+4) \]
Verificação da fatorização
Não devemos parar cedo demais. O fator:
\[ x^2-4 \]
ainda é uma diferença de quadrados, porque:
\[ 4=2^2 \]
Logo:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]
Forma final
A equação torna-se:
\[ (x-2)(x+2)(x^2+4)=0 \]
Anulamento dos fatores
Igualamos cada fator a zero.
Do primeiro fator:
\[ x-2=0 \]
obtemos:
\[ x=2 \]
Do segundo fator:
\[ x+2=0 \]
obtemos:
\[ x=-2 \]
Resta:
\[ x^2+4=0 \]
isto é:
\[ x^2=-4 \]
Esta equação não tem soluções reais, porque o quadrado de um número real não pode ser negativo.
Conclusão
As soluções reais são:
\[ S=\{-2,2\} \]
Exercício 5 — nível ★★☆☆☆
Resolver:
\[ x^4-5x^2+4=0 \]
Resultado
\[ S=\{-2,-1,1,2\} \]
Resolução
Reconhecimento da equação biquadrática
A equação é:
\[ x^4-5x^2+4=0 \]
Notamos que aparecem apenas potências pares de \(x\), juntamente com um termo independente:
\[ x^4,\qquad x^2,\qquad 4 \]
Não aparecem potências ímpares de \(x\), como \(x^3\) ou \(x\). Isto sugere o uso de uma substituição.
Substituição
Pomos:
\[ y=x^2 \]
Então:
\[ x^4=(x^2)^2=y^2 \]
Substituindo na equação inicial, obtemos:
\[ y^2-5y+4=0 \]
Transformámos a equação de quarto grau numa equação do segundo grau na variável \(y\).
Resolução da equação em \(y\)
Devemos resolver:
\[ y^2-5y+4=0 \]
Procuramos dois números cujo produto seja \(4\) e cuja soma seja \(-5\). Esses números são \(-1\) e \(-4\), pois:
\[ (-1)(-4)=4 \]
e:
\[ -1-4=-5 \]
Portanto:
\[ y^2-5y+4=(y-1)(y-4) \]
A equação torna-se:
\[ (y-1)(y-4)=0 \]
Assim:
\[ y-1=0 \]
ou:
\[ y-4=0 \]
isto é:
\[ y=1 \qquad \text{ou} \qquad y=4 \]
Regresso à variável inicial
Agora devemos recordar que:
\[ y=x^2 \]
Portanto, os dois valores encontrados para \(y\) geram duas equações em \(x\).
De:
\[ y=1 \]
obtemos:
\[ x^2=1 \]
logo:
\[ x=\pm1 \]
De:
\[ y=4 \]
obtemos:
\[ x^2=4 \]
logo:
\[ x=\pm2 \]
Conclusão
As soluções são:
\[ x=-2,\quad x=-1,\quad x=1,\quad x=2 \]
Portanto:
\[ S=\{-2,-1,1,2\} \]
Observação importante
Nas equações biquadráticas, é preciso ter cuidado ao regressar da variável \(y\) à variável \(x\). De \(x^2=4\), por exemplo, não se obtém apenas \(x=2\), mas também \(x=-2\).
Exercício 6 — nível ★★☆☆☆
Resolver:
\[ x^6-9x^3=0 \]
Resultado
\[ S=\left\{0,\sqrt[3]{9}\right\} \]
Resolução
Análise inicial
A equação é:
\[ x^6-9x^3=0 \]
O grau da equação é \(6\), porque o maior expoente da variável é \(6\). No entanto, a estrutura é bastante simples: ambos os termos contêm uma potência comum de \(x\).
De facto:
\[ x^6=x^3\cdot x^3 \]
e:
\[ -9x^3=x^3\cdot(-9) \]
Colocação do fator comum em evidência
Podemos então colocar \(x^3\) em evidência:
\[ x^6-9x^3=x^3(x^3-9) \]
A equação torna-se:
\[ x^3(x^3-9)=0 \]
Princípio do anulamento do produto
Agora temos um produto igual a zero. Portanto, pelo menos um dos fatores deve ser igual a zero:
\[ x^3=0 \]
ou:
\[ x^3-9=0 \]
Resolução do primeiro fator
Da primeira equação:
\[ x^3=0 \]
segue:
\[ x=0 \]
De facto, o único número real cujo cubo é zero é precisamente \(0\).
Resolução do segundo fator
Consideremos agora:
\[ x^3-9=0 \]
Passamos \(9\) para o segundo membro:
\[ x^3=9 \]
Para determinar \(x\), extraímos a raiz cúbica:
\[ x=\sqrt[3]{9} \]
Esta é uma solução real, pois a raiz cúbica de um número real está sempre definida no conjunto dos números reais.
Conclusão
As soluções reais da equação são:
\[ S=\left\{0,\sqrt[3]{9}\right\} \]
Exercício 7 — nível ★★☆☆☆
Resolver:
\[ x^4+2x^2-3=0 \]
Resultado
\[ S=\{-1,1\} \]
Resolução
Reconhecimento da forma
A equação é:
\[ x^4+2x^2-3=0 \]
Observamos que aparecem apenas potências pares da variável:
\[ x^4,\qquad x^2,\qquad 1 \]
Isto sugere tratá-la como uma equação biquadrática, isto é, como uma equação do segundo grau em relação a \(x^2\).
Substituição
Pomos:
\[ y=x^2 \]
Então:
\[ x^4=(x^2)^2=y^2 \]
Substituindo na equação inicial, obtemos:
\[ y^2+2y-3=0 \]
Resolução da equação em \(y\)
Devemos resolver:
\[ y^2+2y-3=0 \]
Procuramos dois números cujo produto seja \(-3\) e cuja soma seja \(2\). Os números são \(3\) e \(-1\), pois:
\[ 3\cdot(-1)=-3 \]
e:
\[ 3+(-1)=2 \]
Portanto:
\[ y^2+2y-3=(y+3)(y-1) \]
A equação torna-se:
\[ (y+3)(y-1)=0 \]
Assim:
\[ y+3=0 \]
ou:
\[ y-1=0 \]
isto é:
\[ y=-3 \qquad \text{ou} \qquad y=1 \]
Regresso à variável \(x\)
Recordemos que:
\[ y=x^2 \]
Logo, o valor \(y=-3\) conduz a:
\[ x^2=-3 \]
Esta equação não tem soluções reais, porque o quadrado de um número real não pode ser negativo.
O valor \(y=1\), por sua vez, conduz a:
\[ x^2=1 \]
de onde:
\[ x=\pm1 \]
Conclusão
As soluções reais são, portanto:
\[ S=\{-1,1\} \]
Exercício 8 — nível ★★☆☆☆
Resolver:
\[ x^3+3x^2-4x-12=0 \]
Resultado
\[ S=\{-3,-2,2\} \]
Resolução
Observação inicial
A equação é:
\[ x^3+3x^2-4x-12=0 \]
Não há um fator comum a todos os termos. No entanto, os termos podem ser agrupados dois a dois de forma útil.
Escrevemos:
\[ x^3+3x^2-4x-12=(x^3+3x^2)+(-4x-12) \]
Fatorização por agrupamento
No primeiro grupo:
\[ x^3+3x^2 \]
podemos colocar \(x^2\) em evidência:
\[ x^3+3x^2=x^2(x+3) \]
No segundo grupo:
\[ -4x-12 \]
podemos colocar \(-4\) em evidência:
\[ -4x-12=-4(x+3) \]
Portanto:
\[ x^3+3x^2-4x-12=x^2(x+3)-4(x+3) \]
Colocação do fator binomial comum em evidência
Agora aparece o mesmo fator \((x+3)\) em ambos os termos:
\[ x^2(x+3)-4(x+3) \]
Podemos colocar \((x+3)\) em evidência:
\[ x^2(x+3)-4(x+3)=(x+3)(x^2-4) \]
Nova fatorização
O fator:
\[ x^2-4 \]
é uma diferença de quadrados:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]
Por isso:
\[ x^3+3x^2-4x-12=(x+3)(x-2)(x+2) \]
Equação fatorizada
A equação torna-se:
\[ (x+3)(x-2)(x+2)=0 \]
Anulamento dos fatores
Igualamos cada fator a zero:
\[ x+3=0 \]
ou:
\[ x-2=0 \]
ou:
\[ x+2=0 \]
Obtemos, respetivamente:
\[ x=-3,\qquad x=2,\qquad x=-2 \]
Conclusão
As soluções são:
\[ S=\{-3,-2,2\} \]
Exercício 9 — nível ★★★☆☆
Resolver:
\[ x^3-6x^2+11x-6=0 \]
Resultado
\[ S=\{1,2,3\} \]
Resolução
Observação inicial
A equação é:
\[ x^3-6x^2+11x-6=0 \]
Não é imediatamente fatorizável por colocação de um fator comum em evidência nem por produtos notáveis. Nestes casos, para um polinómio com coeficientes inteiros, uma estratégia natural consiste em procurar eventuais raízes racionais.
Procura de uma raiz racional
Se um polinómio com coeficientes inteiros admite uma raiz inteira, essa raiz deve ser um divisor do termo independente. O termo independente é \(-6\), por isso tentamos os divisores de \(6\):
\[ \pm1,\quad \pm2,\quad \pm3,\quad \pm6 \]
Denotemos:
\[ P(x)=x^3-6x^2+11x-6 \]
Calculamos \(P(1)\):
\[ P(1)=1^3-6\cdot1^2+11\cdot1-6 \]
isto é:
\[ P(1)=1-6+11-6=0 \]
Portanto, \(x=1\) é uma raiz do polinómio.
Significado da raiz encontrada
Se \(x=1\) é uma raiz, então o polinómio é divisível por:
\[ x-1 \]
Isto significa que podemos escrever:
\[ x^3-6x^2+11x-6=(x-1)Q(x) \]
onde \(Q(x)\) é um polinómio do segundo grau.
Divisão por Ruffini
Dividimos o polinómio por \(x-1\). Os coeficientes do polinómio são:
\[ 1,\quad -6,\quad 11,\quad -6 \]
Aplicando a regra de Ruffini com a raiz \(1\), obtém-se como quociente:
\[ x^2-5x+6 \]
Logo:
\[ x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x^2-5x+6) \]
Fatorização do trinómio do segundo grau
Agora devemos fatorizar:
\[ x^2-5x+6 \]
Procuramos dois números cujo produto seja \(6\) e cuja soma seja \(-5\). Os números são \(-2\) e \(-3\), pois:
\[ (-2)(-3)=6 \]
e:
\[ -2-3=-5 \]
Portanto:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]
Forma completamente fatorizada
A equação inicial torna-se:
\[ (x-1)(x-2)(x-3)=0 \]
Aplicação do princípio do anulamento do produto
Um produto é nulo se pelo menos um dos seus fatores for nulo. Portanto:
\[ x-1=0 \]
ou:
\[ x-2=0 \]
ou:
\[ x-3=0 \]
De onde:
\[ x=1,\qquad x=2,\qquad x=3 \]
Conclusão
As soluções da equação são:
\[ S=\{1,2,3\} \]
Exercício 10 — nível ★★★☆☆
Resolver:
\[ x^6-13x^3+36=0 \]
Resultado
\[ S=\left\{\sqrt[3]{4},\sqrt[3]{9}\right\} \]
Resolução
Reconhecimento da estrutura trinomial
A equação é:
\[ x^6-13x^3+36=0 \]
Observamos que os expoentes presentes são \(6\), \(3\) e \(0\). Em particular:
\[ x^6=(x^3)^2 \]
Isto sugere uma substituição análoga à usada nas equações do segundo grau.
Substituição
Pomos:
\[ y=x^3 \]
Então:
\[ x^6=(x^3)^2=y^2 \]
Substituindo na equação, obtemos:
\[ y^2-13y+36=0 \]
Resolução da equação em \(y\)
Fatorizamos o trinómio:
\[ y^2-13y+36 \]
Procuramos dois números com produto \(36\) e soma \(-13\). Os números são \(-4\) e \(-9\), pois:
\[ (-4)(-9)=36 \]
e:
\[ -4-9=-13 \]
Portanto:
\[ y^2-13y+36=(y-4)(y-9) \]
A equação torna-se:
\[ (y-4)(y-9)=0 \]
Assim:
\[ y=4 \qquad \text{ou} \qquad y=9 \]
Regresso à variável inicial
Como pusemos:
\[ y=x^3 \]
devemos resolver:
\[ x^3=4 \]
ou:
\[ x^3=9 \]
No conjunto dos números reais, toda a equação da forma \(x^3=a\) tem uma única solução real:
\[ x=\sqrt[3]{a} \]
Portanto, obtemos:
\[ x=\sqrt[3]{4} \]
ou:
\[ x=\sqrt[3]{9} \]
Conclusão
As soluções reais são:
\[ S=\left\{\sqrt[3]{4},\sqrt[3]{9}\right\} \]
Exercício 11 — nível ★★★☆☆
Resolver:
\[ x^5-4x^3=0 \]
Resultado
\[ S=\{-2,0,2\} \]
Resolução
Análise inicial
A equação é:
\[ x^5-4x^3=0 \]
O maior expoente é \(5\), portanto trata-se de uma equação de quinto grau. No entanto, não devemos deixar-nos enganar pelo grau: o polinómio tem um fator comum evidente.
De facto:
\[ x^5=x^3\cdot x^2 \]
e:
\[ -4x^3=x^3\cdot(-4) \]
Colocação em evidência
Colocamos \(x^3\) em evidência:
\[ x^5-4x^3=x^3(x^2-4) \]
A equação torna-se:
\[ x^3(x^2-4)=0 \]
Fatorização do segundo fator
O fator:
\[ x^2-4 \]
é uma diferença de quadrados, pois \(4=2^2\). Logo:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]
Portanto:
\[ x^5-4x^3=x^3(x-2)(x+2) \]
Forma fatorizada da equação
A equação reescreve-se como:
\[ x^3(x-2)(x+2)=0 \]
Anulamento dos fatores
Agora igualamos cada fator a zero:
\[ x^3=0 \]
ou:
\[ x-2=0 \]
ou:
\[ x+2=0 \]
Da primeira equação obtemos:
\[ x=0 \]
Da segunda:
\[ x=2 \]
Da terceira:
\[ x=-2 \]
Conclusão
As soluções são:
\[ S=\{-2,0,2\} \]
Embora \(x=0\) venha do fator \(x^3\), no conjunto das soluções escreve-se apenas uma vez.
Exercício 12 — nível ★★★☆☆
Resolver:
\[ x^4-10x^2+9=0 \]
Resultado
\[ S=\{-3,-1,1,3\} \]
Resolução
Reconhecimento da estrutura
A equação é:
\[ x^4-10x^2+9=0 \]
Aparecem apenas potências pares de \(x\): \(x^4\), \(x^2\) e o termo independente. Isto indica que a equação é biquadrática.
Substituição
Pomos:
\[ y=x^2 \]
Então:
\[ x^4=(x^2)^2=y^2 \]
Substituindo, obtemos:
\[ y^2-10y+9=0 \]
Resolução da equação em \(y\)
Procuramos dois números com produto \(9\) e soma \(-10\). Os números são \(-1\) e \(-9\), pois:
\[ (-1)(-9)=9 \]
e:
\[ -1-9=-10 \]
Portanto:
\[ y^2-10y+9=(y-1)(y-9) \]
A equação torna-se:
\[ (y-1)(y-9)=0 \]
Daí:
\[ y=1 \qquad \text{ou} \qquad y=9 \]
Regresso à variável inicial
Como \(y=x^2\), devemos resolver:
\[ x^2=1 \]
ou:
\[ x^2=9 \]
Da primeira equação:
\[ x=\pm1 \]
Da segunda:
\[ x=\pm3 \]
Conclusão
As soluções são:
\[ S=\{-3,-1,1,3\} \]
Exercício 13 — nível ★★★☆☆
Resolver:
\[ x^3+x^2-4x-4=0 \]
Resultado
\[ S=\{-2,-1,2\} \]
Resolução
Observação inicial
A equação é:
\[ x^3+x^2-4x-4=0 \]
Não existe um fator comum a todos os quatro termos. Nestes casos, pode ser útil tentar uma fatorização por agrupamento, agrupando os termos de modo a fazer aparecer o mesmo fator.
Agrupamento dos termos
Escrevemos:
\[ x^3+x^2-4x-4=(x^3+x^2)+(-4x-4) \]
No primeiro grupo, podemos colocar \(x^2\) em evidência:
\[ x^3+x^2=x^2(x+1) \]
No segundo grupo, podemos colocar \(-4\) em evidência:
\[ -4x-4=-4(x+1) \]
Portanto:
\[ x^3+x^2-4x-4=x^2(x+1)-4(x+1) \]
Colocação do fator comum em evidência
Agora ambos os termos contêm o fator \((x+1)\):
\[ x^2(x+1)-4(x+1) \]
Colocando \((x+1)\) em evidência, obtemos:
\[ x^2(x+1)-4(x+1)=(x+1)(x^2-4) \]
Fatorização da diferença de quadrados
O fator:
\[ x^2-4 \]
é uma diferença de quadrados:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]
Portanto:
\[ x^3+x^2-4x-4=(x+1)(x-2)(x+2) \]
Equação fatorizada
A equação torna-se:
\[ (x+1)(x-2)(x+2)=0 \]
Anulamento dos fatores
Igualamos cada fator a zero:
\[ x+1=0 \]
ou:
\[ x-2=0 \]
ou:
\[ x+2=0 \]
Obtemos:
\[ x=-1,\qquad x=2,\qquad x=-2 \]
Conclusão
As soluções são:
\[ S=\{-2,-1,2\} \]
Exercício 14 — nível ★★★★☆
Resolver:
\[ x^3-3x^2-4x+12=0 \]
Resultado
\[ S=\{-2,2,3\} \]
Resolução
Análise do polinómio
A equação é:
\[ x^3-3x^2-4x+12=0 \]
Também aqui não há um fator comum a todos os termos. Tentamos então agrupar os termos de modo a obter um fator binomial comum.
Fatorização por agrupamento
Agrupamos assim:
\[ x^3-3x^2-4x+12=(x^3-3x^2)+(-4x+12) \]
No primeiro grupo, colocamos \(x^2\) em evidência:
\[ x^3-3x^2=x^2(x-3) \]
No segundo grupo, colocamos \(-4\) em evidência:
\[ -4x+12=-4(x-3) \]
Portanto:
\[ x^3-3x^2-4x+12=x^2(x-3)-4(x-3) \]
Colocação do fator comum em evidência
O fator comum é \((x-3)\). Colocando-o em evidência:
\[ x^2(x-3)-4(x-3)=(x-3)(x^2-4) \]
Fatorização completa
Como:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]
obtemos:
\[ x^3-3x^2-4x+12=(x-3)(x-2)(x+2) \]
Resolução
A equação torna-se:
\[ (x-3)(x-2)(x+2)=0 \]
Pelo princípio do anulamento do produto:
\[ x-3=0 \]
ou:
\[ x-2=0 \]
ou:
\[ x+2=0 \]
Logo:
\[ x=3,\qquad x=2,\qquad x=-2 \]
Conclusão
Escrevendo as soluções por ordem crescente:
\[ S=\{-2,2,3\} \]
Exercício 15 — nível ★★★★☆
Resolver:
\[ x^4+x^2-6=0 \]
Resultado
\[ S=\{-\sqrt{2},\sqrt{2}\} \]
Resolução
Reconhecimento da forma biquadrática
A equação é:
\[ x^4+x^2-6=0 \]
Aparecem apenas \(x^4\), \(x^2\) e o termo independente. Podemos então introduzir uma nova variável:
\[ y=x^2 \]
Desta substituição segue:
\[ x^4=(x^2)^2=y^2 \]
Equação na nova variável
Substituindo \(x^2\) por \(y\) e \(x^4\) por \(y^2\), a equação torna-se:
\[ y^2+y-6=0 \]
Transformámos assim uma equação de quarto grau numa equação do segundo grau.
Fatorização do trinómio
Procuramos dois números cujo produto seja \(-6\) e cuja soma seja \(1\). Os números são \(3\) e \(-2\), pois:
\[ 3\cdot(-2)=-6 \]
e:
\[ 3+(-2)=1 \]
Portanto:
\[ y^2+y-6=(y+3)(y-2) \]
A equação torna-se:
\[ (y+3)(y-2)=0 \]
Soluções em \(y\)
Pelo princípio do anulamento do produto:
\[ y+3=0 \]
ou:
\[ y-2=0 \]
Logo:
\[ y=-3 \qquad \text{ou} \qquad y=2 \]
Regresso à variável \(x\)
Agora recordamos que:
\[ y=x^2 \]
O valor \(y=-3\) produz:
\[ x^2=-3 \]
Esta equação não tem soluções reais, porque o quadrado de um número real é sempre maior ou igual a zero.
O valor \(y=2\) produz, por sua vez:
\[ x^2=2 \]
de onde:
\[ x=\pm\sqrt{2} \]
Conclusão
As soluções reais da equação inicial são:
\[ S=\{-\sqrt{2},\sqrt{2}\} \]
Exercício 16 — nível ★★★★☆
Resolver:
\[ x^3-2x^2-x+2=0 \]
Resultado
\[ S=\{-1,1,2\} \]
Resolução
Observação inicial
A equação é:
\[ x^3-2x^2-x+2=0 \]
Não podemos colocar um fator comum em evidência a partir de todos os termos. Tentamos então agrupar os termos:
\[ x^3-2x^2-x+2=(x^3-2x^2)+(-x+2) \]
Fatorização por agrupamento
No primeiro grupo, colocamos \(x^2\) em evidência:
\[ x^3-2x^2=x^2(x-2) \]
No segundo grupo, colocamos \(-1\) em evidência:
\[ -x+2=-(x-2) \]
Portanto:
\[ x^3-2x^2-x+2=x^2(x-2)-(x-2) \]
Colocação do binómio comum em evidência
Ambos os termos contêm o fator \((x-2)\). Colocando-o em evidência, obtemos:
\[ x^2(x-2)-(x-2)=(x-2)(x^2-1) \]
Fatorização da diferença de quadrados
O fator:
\[ x^2-1 \]
é uma diferença de quadrados, pois:
\[ 1=1^2 \]
Logo:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1) \]
Consequentemente:
\[ x^3-2x^2-x+2=(x-2)(x-1)(x+1) \]
Equação fatorizada
A equação torna-se:
\[ (x-2)(x-1)(x+1)=0 \]
Anulamento dos fatores
Igualamos cada fator a zero:
\[ x-2=0 \]
ou:
\[ x-1=0 \]
ou:
\[ x+1=0 \]
Obtemos:
\[ x=2,\qquad x=1,\qquad x=-1 \]
Conclusão
Escrevendo as soluções por ordem crescente:
\[ S=\{-1,1,2\} \]
Exercício 17 — nível ★★★★☆
Resolver:
\[ x^4-2x^3-7x^2+8x+12=0 \]
Resultado
\[ S=\{-2,-1,2,3\} \]
Resolução
Escolha da estratégia
O polinómio:
\[ x^4-2x^3-7x^2+8x+12 \]
não apresenta um fator comum evidente e não é imediatamente reconhecível através de um produto notável. Nestes casos, podemos procurar raízes racionais.
Denotemos:
\[ P(x)=x^4-2x^3-7x^2+8x+12 \]
Procura de uma raiz inteira
Como o termo independente é \(12\), eventuais raízes inteiras devem ser procuradas entre os divisores de \(12\):
\[ \pm1,\quad \pm2,\quad \pm3,\quad \pm4,\quad \pm6,\quad \pm12 \]
Tentemos \(x=2\):
\[ P(2)=2^4-2\cdot2^3-7\cdot2^2+8\cdot2+12 \]
Calculamos cada termo:
\[ 2^4=16,\qquad -2\cdot2^3=-16,\qquad -7\cdot2^2=-28,\qquad 8\cdot2=16 \]
Portanto:
\[ P(2)=16-16-28+16+12=0 \]
Logo, \(x=2\) é uma raiz e o polinómio é divisível por \(x-2\).
Primeira divisão por Ruffini
Dividindo:
\[ x^4-2x^3-7x^2+8x+12 \]
por \(x-2\), obtemos:
\[ x^3-7x-6 \]
Portanto:
\[ P(x)=(x-2)(x^3-7x-6) \]
Fatorização do polinómio cúbico
Agora devemos fatorizar:
\[ x^3-7x-6 \]
Procuramos outra raiz inteira. Tentemos \(x=3\):
\[ 3^3-7\cdot3-6=27-21-6=0 \]
Portanto, \(x=3\) é uma raiz do polinómio cúbico e podemos dividir por \(x-3\).
Segunda divisão por Ruffini
Dividindo:
\[ x^3-7x-6 \]
por \(x-3\), obtemos:
\[ x^2+3x+2 \]
Logo:
\[ x^3-7x-6=(x-3)(x^2+3x+2) \]
Fatorização final
Fatorizamos:
\[ x^2+3x+2 \]
Procuramos dois números com produto \(2\) e soma \(3\). São \(1\) e \(2\), portanto:
\[ x^2+3x+2=(x+1)(x+2) \]
O polinómio inicial é então:
\[ P(x)=(x-2)(x-3)(x+1)(x+2) \]
Resolução da equação
A equação torna-se:
\[ (x-2)(x-3)(x+1)(x+2)=0 \]
Portanto:
\[ x=2,\qquad x=3,\qquad x=-1,\qquad x=-2 \]
Conclusão
Por ordem crescente:
\[ S=\{-2,-1,2,3\} \]
Exercício 18 — nível ★★★★★
Resolver:
\[ x^6-7x^3-8=0 \]
Resultado
\[ S=\{-1,2\} \]
Resolução
Reconhecimento da estrutura
A equação é:
\[ x^6-7x^3-8=0 \]
Os expoentes presentes são \(6\), \(3\) e \(0\). Como:
\[ x^6=(x^3)^2 \]
podemos tratar a equação como uma equação do segundo grau na quantidade \(x^3\).
Substituição
Pomos:
\[ y=x^3 \]
Então:
\[ x^6=y^2 \]
A equação torna-se:
\[ y^2-7y-8=0 \]
Resolução da equação em \(y\)
Fatorizamos:
\[ y^2-7y-8 \]
Procuramos dois números com produto \(-8\) e soma \(-7\). Os números são \(-8\) e \(1\), pois:
\[ (-8)\cdot1=-8 \]
e:
\[ -8+1=-7 \]
Portanto:
\[ y^2-7y-8=(y-8)(y+1) \]
A equação torna-se:
\[ (y-8)(y+1)=0 \]
Assim:
\[ y=8 \]
ou:
\[ y=-1 \]
Regresso à variável \(x\)
Como:
\[ y=x^3 \]
obtemos duas equações:
\[ x^3=8 \]
ou:
\[ x^3=-1 \]
Da primeira:
\[ x=\sqrt[3]{8}=2 \]
Da segunda:
\[ x=\sqrt[3]{-1}=-1 \]
Conclusão
As soluções reais são:
\[ S=\{-1,2\} \]
Exercício 19 — nível ★★★★★
Resolver:
\[ (x-1)^2(x+2)=0 \]
Resultado
\[ S=\{-2,1\} \]
Resolução
Equação já fatorizada
A equação é:
\[ (x-1)^2(x+2)=0 \]
Neste caso, o polinómio já está escrito como produto de fatores. Não precisamos, portanto, de fatorizar mais: podemos aplicar diretamente o princípio do anulamento do produto.
Anulamento dos fatores
O produto é nulo se pelo menos um dos fatores for nulo. Portanto:
\[ (x-1)^2=0 \]
ou:
\[ x+2=0 \]
Primeiro fator
Da primeira equação:
\[ (x-1)^2=0 \]
segue que:
\[ x-1=0 \]
e, portanto:
\[ x=1 \]
A potência ao quadrado indica que a raiz \(x=1\) aparece duas vezes na fatorização. Dizemos então que \(x=1\) é uma raiz dupla.
Segundo fator
Da segunda equação:
\[ x+2=0 \]
obtemos:
\[ x=-2 \]
Conclusão
Como conjunto das soluções, escrevemos cada valor apenas uma vez:
\[ S=\{-2,1\} \]
A multiplicidade da raiz \(1\) é importante no estudo do gráfico do polinómio, mas não altera o conjunto das soluções.
Exercício 20 — nível ★★★★★
Resolver:
\[ x^4-4x^3+4x^2=0 \]
Resultado
\[ S=\{0,2\} \]
Resolução
Análise inicial
A equação é:
\[ x^4-4x^3+4x^2=0 \]
Todos os termos contêm pelo menos o fator \(x^2\). De facto:
\[ x^4=x^2\cdot x^2 \]
\[ -4x^3=x^2\cdot(-4x) \]
\[ 4x^2=x^2\cdot4 \]
Colocação do fator comum em evidência
Colocamos \(x^2\) em evidência:
\[ x^4-4x^3+4x^2=x^2(x^2-4x+4) \]
A equação torna-se:
\[ x^2(x^2-4x+4)=0 \]
Reconhecimento do quadrado de um binómio
Consideremos o trinómio:
\[ x^2-4x+4 \]
Este é um quadrado perfeito, pois:
\[ x^2-4x+4=x^2-2\cdot x\cdot2+2^2 \]
logo:
\[ x^2-4x+4=(x-2)^2 \]
Forma fatorizada completa
A equação torna-se:
\[ x^2(x-2)^2=0 \]
Anulamento dos fatores
Igualamos os fatores a zero:
\[ x^2=0 \]
ou:
\[ (x-2)^2=0 \]
Da primeira equação:
\[ x=0 \]
Da segunda:
\[ x-2=0 \]
logo:
\[ x=2 \]
Conclusão
As soluções são:
\[ S=\{0,2\} \]
Ambas as raízes têm multiplicidade \(2\), porque aparecem os fatores quadráticos \(x^2\) e \((x-2)^2\).