Nesta colectânea apresentamos 20 exercícios resolvidos sobre inequações polinomiais de grau superior, ordenados por dificuldade crescente. Cada exercício mostra como factorizar o polinómio, determinar os zeros, estudar o sinal dos factores e determinar correctamente o conjunto solução.
O princípio fundamental é sempre o mesmo: uma inequação polinomial resolve-se estudando o sinal do polinómio. Quando o polinómio se encontra factorizado, o sinal global obtém-se combinando o sinal de cada um dos factores.
Exercício 1 — nível ★☆☆☆☆
Resolver a inequação:
\[ x^3-x>0 \]
Solução
\[ x\in(-1,0)\cup(1,+\infty) \]
Resolução
Factorizamos o polinómio colocando \(x\) em evidência:
\[ x^3-x=x(x^2-1) \]
A diferença de quadrados \(x^2-1\) decompõe-se como:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1) \]
Assim, a inequação torna-se:
\[ x(x-1)(x+1)>0 \]
Os zeros são:
\[ x=-1,\qquad x=0,\qquad x=1 \]
Estes valores dividem a recta real nos intervalos:
\[ (-\infty,-1),\quad (-1,0),\quad (0,1),\quad (1,+\infty) \]
Estudamos o sinal do produto \(x(x-1)(x+1)\):
| Intervalo | Sinal do produto |
|---|---|
| \((-\infty,-1)\) | \(-\) |
| \((-1,0)\) | \(+\) |
| \((0,1)\) | \(-\) |
| \((1,+\infty)\) | \(+\) |
A inequação exige que o produto seja positivo, ou seja:
\[ x(x-1)(x+1)>0 \]
Seleccionamos portanto os intervalos com sinal positivo. Uma vez que a inequação é estrita, os zeros não se incluem.
A solução é:
\[ x\in(-1,0)\cup(1,+\infty) \]
Exercício 2 — nível ★☆☆☆☆
Resolver a inequação:
\[ x^3-4x\leq 0 \]
Solução
\[ x\in(-\infty,-2]\cup[0,2] \]
Resolução
Colocamos \(x\) em evidência:
\[ x^3-4x=x(x^2-4) \]
Decompomos a diferença de quadrados:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]
Obtemos:
\[ x(x-2)(x+2)\leq 0 \]
Os zeros são:
\[ x=-2,\qquad x=0,\qquad x=2 \]
Estudamos o sinal do produto nos quatro intervalos determinados pelos zeros.
| Intervalo | Sinal |
|---|---|
| \((-\infty,-2)\) | \(-\) |
| \((-2,0)\) | \(+\) |
| \((0,2)\) | \(-\) |
| \((2,+\infty)\) | \(+\) |
A inequação exige:
\[ x(x-2)(x+2)\leq 0 \]
Devemos portanto considerar os intervalos em que o produto é negativo ou nulo.
Uma vez que a inequação contém o símbolo \(\leq\), incluímos também os zeros.
A solução é:
\[ x\in(-\infty,-2]\cup[0,2] \]
Exercício 3 — nível ★☆☆☆☆
Resolver a inequação:
\[ x^3-9x\geq 0 \]
Solução
\[ x\in[-3,0]\cup[3,+\infty) \]
Resolução
Colocamos \(x\) em evidência:
\[ x^3-9x=x(x^2-9) \]
Decompomos:
\[ x^2-9=(x-3)(x+3) \]
A inequação torna-se:
\[ x(x-3)(x+3)\geq 0 \]
Os zeros são:
\[ -3,\qquad 0,\qquad 3 \]
Sendo todos zeros simples, o sinal muda ao atravessar cada um deles.
| Intervalo | Sinal |
|---|---|
| \((-\infty,-3)\) | \(-\) |
| \((-3,0)\) | \(+\) |
| \((0,3)\) | \(-\) |
| \((3,+\infty)\) | \(+\) |
A inequação exige sinal positivo ou nulo.
Incluímos portanto os zeros e consideramos os intervalos positivos:
\[ x\in[-3,0]\cup[3,+\infty) \]
Exercício 4 — nível ★★☆☆☆
Resolver a inequação:
\[ x^3+2x^2-3x<0 \]
Solução
\[ x\in(-\infty,-3)\cup(0,1) \]
Resolução
Colocamos \(x\) em evidência:
\[ x^3+2x^2-3x=x(x^2+2x-3) \]
Factorizamos o trinómio:
\[ x^2+2x-3=(x+3)(x-1) \]
Assim:
\[ x(x+3)(x-1)<0 \]
Os zeros são:
\[ x=-3,\qquad x=0,\qquad x=1 \]
Estudamos o sinal:
| Intervalo | Sinal |
|---|---|
| \((-\infty,-3)\) | \(-\) |
| \((-3,0)\) | \(+\) |
| \((0,1)\) | \(-\) |
| \((1,+\infty)\) | \(+\) |
A inequação exige que o produto seja negativo.
Uma vez que o símbolo é \(<\), os zeros não se incluem.
A solução é:
\[ x\in(-\infty,-3)\cup(0,1) \]
Exercício 5 — nível ★★☆☆☆
Resolver a inequação:
\[ x^4-5x^2+4\leq 0 \]
Solução
\[ x\in[-2,-1]\cup[1,2] \]
Resolução
A inequação contém apenas potências pares de \(x\). Fazemos:
\[ t=x^2 \]
Obtemos:
\[ t^2-5t+4\leq 0 \]
Factorizamos o trinómio:
\[ t^2-5t+4=(t-1)(t-4) \]
Assim:
\[ (t-1)(t-4)\leq 0 \]
O produto é menor ou igual a zero quando:
\[ 1\leq t\leq 4 \]
Como \(t=x^2\), temos de resolver:
\[ 1\leq x^2\leq 4 \]
Esta dupla inequação é equivalente a:
\[ |x|\geq 1 \qquad \text{e} \qquad |x|\leq 2 \]
Portanto:
\[ x\in[-2,-1]\cup[1,2] \]
Exercício 6 — nível ★★☆☆☆
Resolver a inequação:
\[ x^4-1>0 \]
Solução
\[ x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty) \]
Resolução
Factorizamos o polinómio como diferença de quadrados:
\[ x^4-1=(x^2-1)(x^2+1) \]
Factorizamos novamente:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1) \]
Assim:
\[ x^4-1=(x-1)(x+1)(x^2+1) \]
Observamos que:
\[ x^2+1>0 \qquad \forall x\in\mathbb{R} \]
O sinal do produto depende portanto apenas de:
\[ (x-1)(x+1) \]
A inequação é então equivalente a:
\[ (x-1)(x+1)>0 \]
O produto é positivo fora dos zeros \(-1\) e \(1\):
\[ x<-1 \qquad \text{ou} \qquad x>1 \]
Uma vez que a inequação é estrita, os zeros não se incluem.
A solução é:
\[ x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty) \]
Exercício 7 — nível ★★☆☆☆
Resolver a inequação:
\[ (x-2)^2(x+1)<0 \]
Solução
\[ x\in(-\infty,-1) \]
Resolução
O polinómio já se encontra factorizado:
\[ (x-2)^2(x+1)<0 \]
Os zeros são:
\[ x=2 \qquad \text{e} \qquad x=-1 \]
A raiz \(x=2\) tem multiplicidade \(2\), pelo que não provoca mudança de sinal.
O factor \((x-2)^2\) é sempre não negativo e anula-se apenas para \(x=2\).
Para \(x\neq 2\), o seu sinal é positivo. Assim, fora de \(x=2\), o sinal do produto depende do factor:
\[ x+1 \]
Temos:
\[ x+1<0 \iff x<-1 \]
Além disso, uma vez que a inequação é estrita, os zeros não se incluem.
A solução é:
\[ x\in(-\infty,-1) \]
Exercício 8 — nível ★★☆☆☆
Resolver a inequação:
\[ (x+2)^2(x-3)\geq 0 \]
Solução
\[ x\in\{-2\}\cup[3,+\infty) \]
Resolução
A inequação é:
\[ (x+2)^2(x-3)\geq 0 \]
Os zeros são:
\[ x=-2 \qquad \text{e} \qquad x=3 \]
O factor \((x+2)^2\) é um quadrado, pelo que:
\[ (x+2)^2\geq 0 \qquad \forall x\in\mathbb{R} \]
É nulo apenas para \(x=-2\), sendo positivo para todo o \(x\neq -2\).
Para \(x\neq -2\), o sinal do produto depende portanto do factor:
\[ x-3 \]
Temos:
\[ x-3\geq 0 \iff x\geq 3 \]
Além disso, o produto anula-se também para \(x=-2\). Uma vez que a inequação contém o símbolo \(\geq\), devemos incluir também esse valor.
A solução é:
\[ x\in\{-2\}\cup[3,+\infty) \]
Exercício 9 — nível ★★★☆☆
Resolver a inequação:
\[ x^4-6x^2+8>0 \]
Solução
\[ x\in(-\infty,-2)\cup(-\sqrt{2},\sqrt{2})\cup(2,+\infty) \]
Resolução
A inequação contém apenas potências pares de \(x\). Fazemos:
\[ t=x^2 \]
Obtemos:
\[ t^2-6t+8>0 \]
Factorizamos o trinómio:
\[ t^2-6t+8=(t-2)(t-4) \]
Assim:
\[ (t-2)(t-4)>0 \]
O produto é positivo fora dos zeros \(2\) e \(4\), portanto:
\[ t<2 \qquad \text{ou} \qquad t>4 \]
Como \(t=x^2\), temos de resolver:
\[ x^2<2 \qquad \text{ou} \qquad x^2>4 \]
A primeira inequação dá:
\[ -\sqrt{2}<x<\sqrt{2} \]
A segunda inequação dá:
\[ x<-2 \qquad \text{ou} \qquad x>2 \]
Reunindo os resultados, obtemos:
\[ x\in(-\infty,-2)\cup(-\sqrt{2},\sqrt{2})\cup(2,+\infty) \]
Exercício 10 — nível ★★★☆☆
Resolver a inequação:
\[ x^4-10x^2+9\geq 0 \]
Solução
\[ x\in(-\infty,-3]\cup[-1,1]\cup[3,+\infty) \]
Resolução
Fazemos:
\[ t=x^2 \]
A inequação torna-se:
\[ t^2-10t+9\geq 0 \]
Factorizamos o trinómio:
\[ t^2-10t+9=(t-1)(t-9) \]
Assim:
\[ (t-1)(t-9)\geq 0 \]
O produto é não negativo quando:
\[ t\leq 1 \qquad \text{ou} \qquad t\geq 9 \]
Como \(t=x^2\), obtemos:
\[ x^2\leq 1 \qquad \text{ou} \qquad x^2\geq 9 \]
Resolvemos:
\[ x^2\leq 1 \iff -1\leq x\leq 1 \]
e:
\[ x^2\geq 9 \iff x\leq -3 \quad \text{ou} \quad x\geq 3 \]
A solução é portanto:
\[ x\in(-\infty,-3]\cup[-1,1]\cup[3,+\infty) \]
Exercício 11 — nível ★★★☆☆
Resolver a inequação:
\[ x^3-3x^2-4x+12\geq 0 \]
Solução
\[ x\in[-2,2]\cup[3,+\infty) \]
Resolução
Factorizamos por agrupamento:
\[ x^3-3x^2-4x+12=x^2(x-3)-4(x-3) \]
Colocamos em evidência o factor comum \(x-3\):
\[ x^2(x-3)-4(x-3)=(x-3)(x^2-4) \]
Decompomos a diferença de quadrados:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]
A inequação passa então a ser:
\[ (x-3)(x-2)(x+2)\geq 0 \]
Os zeros são:
\[ x=-2,\qquad x=2,\qquad x=3 \]
Estudamos o sinal do produto.
| Intervalo | Sinal |
|---|---|
| \((-\infty,-2)\) | \(-\) |
| \((-2,2)\) | \(+\) |
| \((2,3)\) | \(-\) |
| \((3,+\infty)\) | \(+\) |
A inequação exige sinal positivo ou nulo. Uma vez que o símbolo é \(\geq\), incluímos também os zeros.
A solução é:
\[ x\in[-2,2]\cup[3,+\infty) \]
Exercício 12 — nível ★★★☆☆
Resolver a inequação:
\[ x^3+3x^2-4\leq 0 \]
Solução
\[ x\in(-\infty,1] \]
Resolução
Procuramos uma raiz inteira do polinómio:
\[ P(x)=x^3+3x^2-4 \]
Verificamos \(x=1\):
\[ P(1)=1+3-4=0 \]
Logo, \(x=1\) é uma raiz e \(x-1\) é um factor do polinómio.
Dividindo \(x^3+3x^2+0x-4\) por \(x-1\), obtemos:
\[ x^3+3x^2-4=(x-1)(x^2+4x+4) \]
O trinómio factoriza-se como quadrado perfeito:
\[ x^2+4x+4=(x+2)^2 \]
Portanto:
\[ x^3+3x^2-4=(x-1)(x+2)^2 \]
A inequação torna-se:
\[ (x-1)(x+2)^2\leq 0 \]
O factor \((x+2)^2\) é sempre não negativo e anula-se apenas para \(x=-2\).
Para \(x\neq -2\), o sinal do produto depende do factor \(x-1\).
Temos:
\[ x-1\leq 0 \iff x\leq 1 \]
Todavia, é necessário raciocinar com atenção: para \(x<1\) o factor \(x-1\) é negativo, enquanto \((x+2)^2\) é positivo, excepto no ponto \(x=-2\), onde o produto vale zero.
Além disso, para \(x=1\) o produto é nulo.
Por conseguinte, a inequação é satisfeita para todos os valores \(x\leq 1\).
A solução correcta é:
\[ x\in(-\infty,1] \]
Exercício 13 — nível ★★★★☆
Resolver a inequação:
\[ x^4-2x^3-x^2+2x\geq 0 \]
Solução
\[ x\in(-\infty,-1]\cup[0,1]\cup[2,+\infty) \]
Resolução
Factorizamos colocando \(x\) em evidência:
\[ x^4-2x^3-x^2+2x=x(x^3-2x^2-x+2) \]
Factorizamos o polinómio cúbico por agrupamento:
\[ x^3-2x^2-x+2=x^2(x-2)-1(x-2) \]
Colocando \(x-2\) em evidência, obtemos:
\[ x^3-2x^2-x+2=(x-2)(x^2-1) \]
Decompomos:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1) \]
Assim:
\[ x^4-2x^3-x^2+2x=x(x-2)(x-1)(x+1) \]
A inequação torna-se:
\[ x(x-2)(x-1)(x+1)\geq 0 \]
Os zeros são:
\[ -1,\qquad 0,\qquad 1,\qquad 2 \]
Estudamos o sinal do produto.
| Intervalo | Sinal |
|---|---|
| \((-\infty,-1)\) | \(+\) |
| \((-1,0)\) | \(-\) |
| \((0,1)\) | \(+\) |
| \((1,2)\) | \(-\) |
| \((2,+\infty)\) | \(+\) |
Os sinais podem ser verificados com um valor de teste; como todos os zeros são simples, o sinal muda ao atravessar cada um deles. Por exemplo, para \(x=3\), todos os factores são positivos, pelo que o sinal no último intervalo é positivo. Uma vez que todos os zeros são simples, o sinal muda ao atravessar cada um deles.
A inequação exige:
\[ x(x-2)(x-1)(x+1)\geq 0 \]
Devemos portanto tomar os intervalos com sinal positivo ou nulo.
A solução é:
\[ x\in(-\infty,-1]\cup[0,1]\cup[2,+\infty) \]
Exercício 14 — nível ★★★★☆
Resolver a inequação:
\[ x^5-x^4-4x^3+4x^2<0 \]
Solução
\[ x\in(-\infty,-2)\cup(1,2) \]
Resolução
Colocamos \(x^2\) em evidência:
\[ x^5-x^4-4x^3+4x^2=x^2(x^3-x^2-4x+4) \]
Factorizamos o polinómio entre parênteses por agrupamento:
\[ x^3-x^2-4x+4=x^2(x-1)-4(x-1) \]
Colocando \(x-1\) em evidência, obtemos:
\[ x^3-x^2-4x+4=(x-1)(x^2-4) \]
Decompomos a diferença de quadrados:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]
Assim:
\[ x^5-x^4-4x^3+4x^2=x^2(x-1)(x-2)(x+2) \]
A inequação torna-se:
\[ x^2(x-1)(x-2)(x+2)<0 \]
Os zeros são:
\[ -2,\qquad 0,\qquad 1,\qquad 2 \]
O valor \(x=0\) tem multiplicidade \(2\), pelo que o sinal não muda ao atravessar \(0\).
Os restantes zeros têm multiplicidade ímpar, pelo que o sinal muda ao atravessá-los.
Estudamos o sinal do produto. Como \(x=0\) tem multiplicidade par, o sinal não muda em \(0\). Ao atravessar os zeros simples \(-2\), \(1\) e \(2\), o sinal muda.
| Intervalo | Sinal |
|---|---|
| \((-\infty,-2)\) | \(-\) |
| \((-2,0)\) | \(+\) |
| \((0,1)\) | \(+\) |
| \((1,2)\) | \(-\) |
| \((2,+\infty)\) | \(+\) |
A inequação exige sinal negativo. Uma vez que o símbolo é \(<\), os zeros não se incluem.
A solução é:
\[ x\in(-\infty,-2)\cup(1,2) \]
Exercício 15 — nível ★★★★☆
Resolver a inequação:
\[ (x-1)^3(x+2)^2\leq 0 \]
Solução
\[ x\in(-\infty,1] \]
Resolução
A inequação já se encontra escrita como produto de factores:
\[ (x-1)^3(x+2)^2\leq 0 \]
Os zeros são:
\[ x=1,\qquad x=-2 \]
A raiz \(x=1\) tem multiplicidade \(3\), portanto é de multiplicidade ímpar e o sinal muda ao atravessá-la.
A raiz \(x=-2\) tem multiplicidade \(2\), portanto é de multiplicidade par e o sinal não muda ao atravessá-la.
Observamos ainda que:
\[ (x+2)^2\geq 0 \]
para todo o \(x\in\mathbb{R}\). Para \(x\neq -2\), este factor é positivo. Assim, fora do zero \(x=-2\), o sinal do produto depende do factor:
\[ (x-1)^3 \]
Como uma potência de expoente ímpar conserva o sinal da base, temos:
\[ (x-1)^3<0 \iff x<1 \]
Além disso, o produto anula-se para \(x=-2\) e para \(x=1\). Uma vez que a inequação contém o símbolo \(\leq\), os zeros devem ser incluídos.
A solução é portanto:
\[ x\in(-\infty,1] \]
Exercício 16 — nível ★★★★☆
Resolver a inequação:
\[ x^6-7x^3+6>0 \]
Solução
\[ x\in(-\infty,1)\cup(\sqrt[3]{6},+\infty) \]
Resolução
O polinómio contém as potências \(x^6\) e \(x^3\). Fazemos:
\[ t=x^3 \]
Então:
\[ x^6=(x^3)^2=t^2 \]
A inequação torna-se:
\[ t^2-7t+6>0 \]
Factorizamos o trinómio:
\[ t^2-7t+6=(t-1)(t-6) \]
Assim:
\[ (t-1)(t-6)>0 \]
O produto é positivo quando os dois factores têm o mesmo sinal, ou seja:
\[ t<1 \qquad \text{ou} \qquad t>6 \]
Voltando à variável \(x\), obtemos:
\[ x^3<1 \qquad \text{ou} \qquad x^3>6 \]
Uma vez que a função \(x\mapsto x^3\) é estritamente crescente em \(\mathbb{R}\), podemos extrair a raiz cúbica sem alterar o sentido das inequações:
\[ x<1 \qquad \text{ou} \qquad x>\sqrt[3]{6} \]
Como a inequação é estrita, os extremos não se incluem.
A solução é:
\[ x\in(-\infty,1)\cup(\sqrt[3]{6},+\infty) \]
Exercício 17 — nível ★★★★☆
Resolver a inequação:
\[ x^4-16x^2<0 \]
Solução
\[ x\in(-4,0)\cup(0,4) \]
Resolução
Colocamos \(x^2\) em evidência:
\[ x^4-16x^2=x^2(x^2-16) \]
Decompomos a diferença de quadrados:
\[ x^2-16=(x-4)(x+4) \]
A inequação torna-se:
\[ x^2(x-4)(x+4)<0 \]
Os zeros são:
\[ x=-4,\qquad x=0,\qquad x=4 \]
O valor \(x=0\) é um zero de multiplicidade \(2\), por provir do factor \(x^2\). Portanto, em \(x=0\) o sinal não muda.
Além disso:
\[ x^2\geq 0 \]
para todo o \(x\in\mathbb{R}\), sendo positivo para \(x\neq 0\). Fora de \(x=0\), o sinal do produto depende portanto de:
\[ (x-4)(x+4) \]
O produto \((x-4)(x+4)\) é negativo entre as duas raízes:
\[ -4<x<4 \]
Todavia, devemos excluir \(x=0\), pois nesse ponto o produto inicial vale \(0\), ao passo que a inequação exige um valor estritamente negativo.
A solução é:
\[ x\in(-4,0)\cup(0,4) \]
Exercício 18 — nível ★★★★☆
Resolver a inequação:
\[ (x^2-3x+2)(x^2+2x+5)\geq 0 \]
Solução
\[ x\in(-\infty,1]\cup[2,+\infty) \]
Resolução
Estudamos separadamente os dois factores:
\[ x^2-3x+2 \qquad \text{e} \qquad x^2+2x+5 \]
O primeiro trinómio factoriza-se facilmente:
\[ x^2-3x+2=(x-1)(x-2) \]
Consideremos agora o segundo trinómio:
\[ x^2+2x+5 \]
Calculamos o discriminante:
\[ \Delta=2^2-4\cdot1\cdot5=4-20=-16 \]
O discriminante é negativo e o coeficiente de \(x^2\) é positivo. Por conseguinte:
\[ x^2+2x+5>0 \qquad \forall x\in\mathbb{R} \]
A inequação é portanto equivalente a:
\[ (x-1)(x-2)\geq 0 \]
O produto de dois factores lineares é não negativo fora dos zeros:
\[ x\leq 1 \qquad \text{ou} \qquad x\geq 2 \]
Uma vez que o símbolo é \(\geq\), incluímos também os zeros.
A solução é:
\[ x\in(-\infty,1]\cup[2,+\infty) \]
Exercício 19 — nível ★★★★★
Resolver a inequação:
\[ x^5-5x^4+6x^3\leq 0 \]
Solução
\[ x\in(-\infty,0]\cup[2,3] \]
Resolução
Colocamos \(x^3\) em evidência:
\[ x^5-5x^4+6x^3=x^3(x^2-5x+6) \]
Factorizamos o trinómio:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]
Assim:
\[ x^5-5x^4+6x^3=x^3(x-2)(x-3) \]
A inequação torna-se:
\[ x^3(x-2)(x-3)\leq 0 \]
Os zeros são:
\[ x=0,\qquad x=2,\qquad x=3 \]
O zero \(x=0\) tem multiplicidade \(3\), pelo que é de multiplicidade ímpar e o sinal muda ao atravessá-lo.
Também \(x=2\) e \(x=3\) são zeros simples, pelo que o sinal muda ao atravessar cada um deles.
Estudamos o sinal nos vários intervalos:
| Intervalo | Sinal |
|---|---|
| \((-\infty,0)\) | \(-\) |
| \((0,2)\) | \(+\) |
| \((2,3)\) | \(-\) |
| \((3,+\infty)\) | \(+\) |
A inequação exige:
\[ x^3(x-2)(x-3)\leq 0 \]
Devemos portanto tomar os intervalos em que o produto é negativo ou nulo.
Uma vez que o símbolo é \(\leq\), incluímos também os zeros.
A solução é:
\[ x\in(-\infty,0]\cup[2,3] \]
Exercício 20 — nível ★★★★★
Resolver a inequação:
\[ x^4-3x^3-4x^2+12x\leq 0 \]
Solução
\[ x\in[-2,0]\cup[2,3] \]
Resolução
Colocamos \(x\) em evidência:
\[ x^4-3x^3-4x^2+12x=x(x^3-3x^2-4x+12) \]
Factorizamos o polinómio cúbico por agrupamento:
\[ x^3-3x^2-4x+12=x^2(x-3)-4(x-3) \]
Colocamos em evidência o factor comum \(x-3\):
\[ x^2(x-3)-4(x-3)=(x-3)(x^2-4) \]
Decompomos a diferença de quadrados:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]
Assim:
\[ x^4-3x^3-4x^2+12x=x(x-3)(x-2)(x+2) \]
A inequação torna-se:
\[ x(x-3)(x-2)(x+2)\leq 0 \]
Os zeros são:
\[ x=-2,\qquad x=0,\qquad x=2,\qquad x=3 \]
Todos os zeros são simples, pelo que o sinal muda ao atravessar cada um deles.
Estudamos o sinal do produto:
| Intervalo | Sinal |
|---|---|
| \((-\infty,-2)\) | \(+\) |
| \((-2,0)\) | \(-\) |
| \((0,2)\) | \(+\) |
| \((2,3)\) | \(-\) |
| \((3,+\infty)\) | \(+\) |
A inequação exige sinal negativo ou nulo.
Uma vez que o símbolo é \(\leq\), incluímos também os zeros.
A solução é:
\[ x\in[-2,0]\cup[2,3] \]