As inequações racionais são inequações em que a incógnita figura no denominador de uma fracção algébrica. A sua resolução assenta quase por completo no estudo do sinal: não basta saber quando uma expressão se anula, sendo igualmente necessário determinar em que intervalos o numerador e o denominador assumem sinais concordantes ou discordantes.
Índice
- Ideia fundamental do estudo do sinal
- Condições de existência
- Pontos críticos e subdivisão da reta
- Como construir a tabela de sinais
- Multiplicidade dos zeros
- Exemplo completo resolvido
- Erros mais frequentes
Ideia fundamental do estudo do sinal
Consideremos uma inequação do tipo:
\[ \frac{P(x)}{Q(x)} > 0 \]
O sinal da fracção depende simultaneamente do sinal do numerador e do sinal do denominador.
Uma fracção é positiva quando numerador e denominador têm o mesmo sinal; é negativa quando têm sinais opostos.
Em termos formais:
\[ \frac{P(x)}{Q(x)}>0 \]
quando:
\[ \begin{cases} P(x)>0 \\ Q(x)>0 \end{cases} \quad \text{ou} \quad \begin{cases} P(x)<0 \\ Q(x)<0 \end{cases} \]
De forma análoga:
\[ \frac{P(x)}{Q(x)}<0 \]
quando os sinais são discordantes.
Toda a teoria das inequações racionais decorre precisamente desta observação.
Condições de existência
Antes de estudar o sinal da fracção, é necessário determinar para que valores a expressão está definida.
Uma vez que uma fracção não pode ter denominador nulo, deve verificar-se sempre:
\[ Q(x)\neq0 \]
Os valores que anulam o denominador designam-se por:
- valores não admissíveis;
- pontos de exclusão;
- condições de existência.
Estes valores nunca podem pertencer à solução final, mesmo quando eventuais simplificações pareçam eliminá-los.
Por exemplo:
\[ \frac{x^2-4}{x-2} \]
pode escrever-se como:
\[ \frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2 \]
mas:
\[ x=2 \]
continua a ser excluído, pois anulava o denominador da expressão inicial.
Pontos críticos e subdivisão da reta
Os valores que podem originar uma mudança de sinal designam-se pontos críticos.
Estes incluem:
- os zeros do numerador;
- os zeros do denominador.
Consideremos, por exemplo:
\[ \frac{(x-1)(x+2)}{x-3} \]
Os pontos críticos são:
\[ -2,\quad1,\quad3 \]
Estes valores subdividem a reta real em intervalos:
\[ (-\infty,-2),\quad(-2,1),\quad(1,3),\quad(3,+\infty) \]
No interior de cada intervalo, o sinal dos factores permanece constante. Com efeito, um polinómio só pode mudar de sinal ao passar por um dos seus zeros.
Como construir a tabela de sinais
A tabela de sinais constrói-se directamente a partir da factorização da fracção.
Em primeiro lugar, decompõem-se numerador e denominador nos seus factores irredutíveis. De seguida, identificam-se todos os pontos críticos e dispõem-se na reta real por ordem crescente.
Estuda-se então o sinal de cada factor nos vários intervalos determinados pelos pontos críticos.
Consideremos:
\[ \frac{(x-1)(x+2)}{x-3}>0 \]
| Intervalo | \((-\infty,-2)\) | \((-2,1)\) | \((1,3)\) | \((3,+\infty)\) |
|---|---|---|---|---|
| \(x+2\) | \(-\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| \(x-1\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) | \(+\) |
| \(x-3\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) |
| Fracção | \(-\) | \(+\) | \(-\) | \(+\) |
Conhecido o sinal de cada factor, o comportamento da fracção torna-se imediato: o produto de factores com sinais concordantes é positivo, ao passo que sinais discordantes produzem um resultado negativo.
Como a inequação exige:
\[ \frac{(x-1)(x+2)}{x-3}>0 \]
seleccionam-se os intervalos em que a última linha é positiva:
\[ (-2,1)\cup(3,+\infty) \]
Multiplicidade dos zeros
Quando um factor aparece elevado a uma potência, o comportamento do sinal depende da multiplicidade do zero.
Se a multiplicidade for ímpar, o factor atravessa efectivamente o zero e muda de sinal.
Por exemplo:
\[ (x-1)^3 \]
é negativo para:
\[ x<1 \]
e positivo para:
\[ x>1 \]
Uma multiplicidade par, pelo contrário, não produz qualquer mudança de sinal.
Com efeito:
\[ (x-1)^2\geq0 \]
para todo o valor real de \(x\).
Geometricamente, um zero de multiplicidade ímpar atravessa o eixo, ao passo que um zero de multiplicidade par apenas o toca.
Exemplo completo resolvido
Resolvamos a inequação:
\[ \frac{x^2-4x}{x+2}\geq0 \]
O objectivo é determinar para que valores de \(x\) a fracção é positiva ou nula.
Para tal, é necessário:
- factorizar o numerador;
- determinar as condições de existência;
- identificar os pontos críticos;
- construir a tabela de sinais.
Factorização
O numerador possui o factor comum \(x\):
\[ x^2-4x=x(x-4) \]
A inequação passa então a ser:
\[ \frac{x(x-4)}{x+2}\geq0 \]
Nesta forma, o sinal da fracção pode ser estudado separadamente em cada factor:
\[ x,\qquad x-4,\qquad x+2 \]
Condições de existência
O denominador não pode anular-se:
\[ x+2\neq0 \]
logo:
\[ x\neq-2 \]
Este valor deverá ser excluído da solução final, independentemente do sinal da fracção.
Pontos críticos
Os pontos críticos são os valores que anulam o numerador ou o denominador.
Neste caso:
\[ x=0,\qquad x=4,\qquad x=-2 \]
Ordenando-os na reta real obtemos:
\[ -2,\quad0,\quad4 \]
Estes pontos subdividem a reta nos seguintes intervalos:
\[ (-\infty,-2),\quad(-2,0),\quad(0,4),\quad(4,+\infty) \]
No interior de cada intervalo, o sinal de cada factor permanece constante.
Estudo do sinal
Analisemos agora o comportamento de cada factor.
O factor:
\[ x \]
é negativo para \(x<0\) e positivo para \(x>0\).
O factor:
\[ x-4 \]
é negativo para \(x<4\) e positivo para \(x>4\).
Por fim:
\[ x+2 \]
é negativo para \(x<-2\) e positivo para \(x>-2\).
Registemos tudo na tabela de sinais:
| Intervalo | \((-\infty,-2)\) | \((-2,0)\) | \((0,4)\) | \((4,+\infty)\) |
|---|---|---|---|---|
| \(x\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) | \(+\) |
| \(x-4\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) |
| \(x+2\) | \(-\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| Fracção | \(-\) | \(+\) | \(-\) | \(+\) |
A última linha obtém-se multiplicando os sinais dos factores individuais.
Por exemplo, no intervalo:
\[ (-2,0) \]
tem-se:
\[ (-)\cdot(-)\cdot(+)=+ \]
pelo que a fracção é positiva.
Nos intervalos:
\[ (-\infty,-2) \quad\text{e}\quad (0,4) \]
o produto dos sinais é, pelo contrário, negativo.
Determinação da solução
A inequação exige:
\[ \frac{x(x-4)}{x+2}\geq0 \]
pelo que se seleccionam os intervalos em que a fracção é positiva ou nula.
Da tabela obtemos:
\[ (-2,0) \quad\text{e}\quad (4,+\infty) \]
Uma vez que o símbolo presente é:
\[ \geq \]
devem ser incluídos também os zeros do numerador:
\[ x=0,\qquad x=4 \]
O valor:
\[ x=-2 \]
permanece excluído por anular o denominador.
A solução final é portanto:
\[ (-2,0]\cup[4,+\infty) \]
Erros mais frequentes
Esquecer as condições de existência
É o erro mais comum. Os zeros do denominador devem ser sempre excluídos.
Alterar incorrectamente o sentido da inequação
Não é possível multiplicar uma inequação por uma expressão que contenha a incógnita sem conhecer o sinal dessa expressão.
Eliminar valores excluídos durante a simplificação
Mesmo após simplificar factores comuns, os valores que anulavam o denominador original continuam a ser proibidos.
Esquecer os zeros do numerador
Nas inequações com:
\[ \geq \quad\text{ou}\quad \leq \]
os zeros do numerador devem ser incluídos quando admissíveis.
As inequações racionais ilustram com grande clareza de que modo o comportamento de uma função racional depende da distribuição dos seus zeros e dos seus pontos de indefinição.
O estudo do sinal transforma assim um problema aparentemente complexo numa análise ordenada dos intervalos da reta real.
Uma factorização correcta, aliada a uma tabela de sinais construída com rigor, permite abordar até as inequações mais elaboradas de forma sistemática, elegante e segura.