As inequações com valor absoluto são inequações em que a incógnita aparece no interior de um ou mais valores absolutos. Para as resolver correctamente, não basta aplicar regras mecânicas: é necessário compreender o significado do valor absoluto e transformar cada inequação numa forma equivalente sem módulo.
Recordemos antes de mais a definição de valor absoluto:
\[ |x|= \begin{cases} x, & \text{se } x\ge 0,\\ -x, & \text{se } x<0. \end{cases} \]
Esta definição afirma que o valor absoluto de um número real é sempre não negativo:
\[ |x|\ge 0 \qquad \text{para todo o } x\in\mathbb{R}. \]
Além disso:
\[ |x|=0 \iff x=0. \]
Índice
- Significado geométrico do valor absoluto
- Inequações do tipo \(|A(x)|<k\)
- Inequações do tipo \(|A(x)|\le k\)
- Inequações do tipo \(|A(x)|>k\)
- Inequações do tipo \(|A(x)|\ge k\)
- O que acontece quando o segundo membro é negativo
- Método da definição
- Inequações com vários valores absolutos
- Exemplos resolvidos
Significado geométrico do valor absoluto
O valor absoluto tem um significado geométrico fundamental: representa uma distância na reta real.
Em particular, \(|x|\) representa a distância do ponto \(x\) à origem:
\[ |x|=d(x,0). \]
De forma mais geral, a expressão:
\[ |x-a| \]
representa a distância entre \(x\) e \(a\):
\[ |x-a|=d(x,a). \]
Por exemplo, a inequação:
\[ |x-3|<2 \]
significa que a distância entre \(x\) e \(3\) deve ser inferior a \(2\). Assim, \(x\) deve encontrar-se entre \(3-2\) e \(3+2\), ou seja:
\[ 1<x<5 \]
Esta interpretação é muito útil, pois permite compreender imediatamente a diferença entre inequações do tipo «menor que» e inequações do tipo «maior que».
Inequações do tipo \(|A(x)|<k\)
Consideremos uma inequação da forma:
\[ |A(x)|<k \]
Suponhamos inicialmente que:
\[ k>0 \]
Dizer que \(|A(x)|<k\) significa que \(A(x)\) deve encontrar-se a uma distância inferior a \(k\) de \(0\). Portanto, \(A(x)\) deve estar compreendido entre \(-k\) e \(k\):
\[ |A(x)|<k \iff -k<A(x)<k \]
Assim, uma inequação com valor absoluto menor do que um número positivo transforma-se numa inequação dupla.
Exemplo. Resolver:
\[ |2x-3|<5 \]
Como o segundo membro é positivo, podemos escrever:
\[ -5<2x-3<5 \]
Somando \(3\) a todos os membros:
\[ -2<2x<8 \]
Dividindo por \(2\):
\[ -1<x<4 \]
Portanto, o conjunto-solução é:
\[ S=(-1,4) \]
Inequações do tipo \(|A(x)|\le k\)
Se o símbolo for \(\le\), o raciocínio é o mesmo. Para \(k>0\), tem-se:
\[ |A(x)|\le k \iff -k\le A(x)\le k. \]
Neste caso, os extremos estão incluídos, pois a inequação admite também o caso em que o valor absoluto é exactamente igual a \(k\).
Exemplo. Resolver:
\[ |x-4|\le 2. \]
Escreva-se a inequação equivalente:
\[ -2\le x-4\le 2. \]
Somando \(4\):
\[ 2\le x\le 6. \]
Portanto:
\[ S=[2,6]. \]
Inequações do tipo \(|A(x)|>k\)
Consideremos agora uma inequação da forma:
\[ |A(x)|>k, \]
com:
\[ k>0. \]
Dizer que \(|A(x)|>k\) significa que \(A(x)\) deve encontrar-se a uma distância superior a \(k\) de \(0\). Portanto, \(A(x)\) deve ser inferior a \(-k\) ou superior a \(k\):
\[ |A(x)|>k \iff A(x)<-k \quad \text{ou} \quad A(x)>k. \]
Ao contrário do caso anterior, não obtemos uma inequação dupla, mas a reunião de duas condições alternativas.
Exemplo. Resolver:
\[ |3x+1|>7. \]
Escreva-se:
\[ 3x+1<-7 \quad \text{ou} \quad 3x+1>7. \]
Resolvamos a primeira inequação:
\[ 3x<-8 \iff x<-\frac{8}{3}. \]
Resolvamos a segunda:
\[ 3x>6 \iff x>2. \]
Portanto:
\[ S=\left(-\infty,-\frac{8}{3}\right)\cup(2,+\infty). \]
Inequações do tipo \(|A(x)|\ge k\)
Se o símbolo for \(\ge\), para \(k>0\) tem-se:
\[ |A(x)|\ge k \iff A(x)\le -k \quad \text{ou} \quad A(x)\ge k. \]
Os extremos estão incluídos porque o valor absoluto pode ser igual a \(k\).
Exemplo. Resolver:
\[ |2x+5|\ge 1. \]
Escreva-se:
\[ 2x+5\le -1 \quad \text{ou} \quad 2x+5\ge 1. \]
Primeira inequação:
\[ 2x\le -6 \iff x\le -3. \]
Segunda inequação:
\[ 2x\ge -4 \iff x\ge -2. \]
Portanto:
\[ S=(-\infty,-3]\cup[-2,+\infty). \]
O que acontece quando o segundo membro é negativo
O valor absoluto é sempre maior ou igual a zero. Por isso, quando o segundo membro é negativo, é necessário raciocinar com cuidado.
Se \(k<0\), então:
\[ |A(x)|<k \]
não tem solução, pois um número não negativo não pode ser inferior a um número negativo.
Portanto:
\[ |A(x)|<k, \quad k<0 \implies S=\varnothing \]
Do mesmo modo:
\[ |A(x)|\le k, \quad k<0 \implies S=\varnothing \]
Por outro lado, se \(k<0\), a inequação:
\[ |A(x)|>k \]
é sempre verificada para todos os valores em que \(A(x)\) está definida, pois o valor absoluto é sempre pelo menos \(0\), e portanto é certamente superior a qualquer número negativo.
Portanto:
\[ |A(x)|>k, \quad k<0 \implies S=D \]
onde \(D\) é o domínio da expressão \(A(x)\).
De modo análogo:
\[ |A(x)|\ge k, \quad k<0 \implies S=D \]
Exemplos
A inequação:
\[ |x-1|<-3 \]
não tem solução:
\[ S=\varnothing \]
Por outro lado:
\[ |2x+1|>-5 \]
é verificada para todo o número real:
\[ S=\mathbb{R} \]
Método da definição
Quando a inequação contém um único valor absoluto linear, convém frequentemente usar as regras apresentadas acima. Todavia, na presença de expressões mais complexas ou de vários valores absolutos, é muitas vezes mais seguro recorrer directamente à definição.
A definição geral é:
\[ |A(x)|= \begin{cases} A(x), & \text{se } A(x)\ge 0,\\ -A(x), & \text{se } A(x)<0. \end{cases} \]
Isto significa que, para eliminar o valor absoluto, é necessário saber onde o argumento do módulo é positivo ou negativo.
Por exemplo, consideremos:
\[ |x-2|. \]
O argumento anula-se para:
\[ x-2=0 \iff x=2. \]
Logo:
\[ |x-2|= \begin{cases} -(x-2), & \text{se } x<2,\\ x-2, & \text{se } x\ge 2. \end{cases} \]
ou seja:
\[ |x-2|= \begin{cases} -x+2, & \text{se } x<2,\\ x-2, & \text{se } x\ge 2. \end{cases} \]
Inequações com vários valores absolutos
Quando surgem vários valores absolutos, é necessário identificar todos os pontos em que os argumentos dos módulos se anulam. Esses pontos dividem a reta real em intervalos. Em cada intervalo, cada argumento mantém sinal constante, pelo que cada módulo pode ser eliminado correctamente.
O procedimento geral é o seguinte:
- igualam-se a zero os argumentos dos valores absolutos;
- ordenam-se os pontos obtidos na reta real;
- estuda-se a inequação separadamente em cada intervalo;
- elimina-se cada módulo usando o sinal do argumento;
- resolve-se a inequação obtida;
- intersecta-se o resultado com o intervalo considerado;
- reúnem-se todas as soluções parciais.
Este método é mais extenso, mas também é o mais geral e minimiza o risco de erros.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1. Resolver:
\[ |x+3|<4 \]
Como o segundo membro é positivo, escreva-se:
\[ -4<x+3<4 \]
Subtraindo \(3\):
\[ -7<x<1 \]
Portanto:
\[ S=(-7,1) \]
Exemplo 2. Resolver:
\[ |2x-1|\ge 5 \]
Sendo o segundo membro positivo, obtém-se:
\[ 2x-1\le -5 \quad \text{ou} \quad 2x-1\ge 5 \]
Resolvamos a primeira inequação:
\[ 2x\le -4 \iff x\le -2 \]
Resolvamos a segunda:
\[ 2x\ge 6 \iff x\ge 3 \]
Portanto:
\[ S=(-\infty,-2]\cup[3,+\infty) \]
Exemplo 3. Resolver:
\[ |3x+2|\le 1 \]
Escreva-se:
\[ -1\le 3x+2\le 1 \]
Subtraindo \(2\):
\[ -3\le 3x\le -1 \]
Dividindo por \(3\):
\[ -1\le x\le -\frac{1}{3} \]
Portanto:
\[ S=\left[-1,-\frac{1}{3}\right] \]
Exemplo 4. Resolver:
\[ |x-5|>2 \]
Escreva-se:
\[ x-5<-2 \quad \text{ou} \quad x-5>2 \]
Resolvendo:
\[ x<3 \quad \text{ou} \quad x>7 \]
Portanto:
\[ S=(-\infty,3)\cup(7,+\infty) \]
Exemplo 5. Resolver:
\[ |x+1|+|x-2|\le 4 \]
Os argumentos dos valores absolutos são:
\[ x+1, \qquad x-2 \]
Determinemos os pontos em que se anulam:
\[ x+1=0 \iff x=-1, \qquad x-2=0 \iff x=2 \]
Os pontos críticos são portanto:
\[ -1, \qquad 2 \]
Eles dividem a reta real nos três intervalos:
\[ (-\infty,-1), \qquad [-1,2), \qquad [2,+\infty) \]
Primeiro caso: \(x<-1\)
Se \(x<-1\), então:
\[ x+1<0, \qquad x-2<0 \]
Logo:
\[ |x+1|=-(x+1)=-x-1, \qquad |x-2|=-(x-2)=-x+2 \]
A inequação passa a ser:
\[ -x-1-x+2\le 4 \]
Simplificando:
\[ -2x+1\le 4 \]
Subtraindo \(1\):
\[ -2x\le 3 \]
Dividindo por \(-2\), o sentido da inequação inverte-se:
\[ x\ge -\frac{3}{2} \]
Intersectando com a condição do caso \(x<-1\):
\[ -\frac{3}{2}\le x<-1 \]
Segundo caso: \(-1\le x<2\)
Se \(-1\le x<2\), então:
\[ x+1\ge 0, \qquad x-2<0 \]
Logo:
\[ |x+1|=x+1, \qquad |x-2|=-(x-2)=-x+2 \]
A inequação passa a ser:
\[ x+1-x+2\le 4 \]
ou seja:
\[ 3\le 4 \]
Esta desigualdade é sempre verdadeira, pelo que todo o intervalo considerado é solução:
\[ -1\le x<2 \]
Terceiro caso: \(x\ge 2\)
Se \(x\ge 2\), então:
\[ x+1>0, \qquad x-2\ge 0 \]
Logo:
\[ |x+1|=x+1, \qquad |x-2|=x-2 \]
A inequação passa a ser:
\[ x+1+x-2\le 4 \]
Simplificando:
\[ 2x-1\le 4 \]
Somando \(1\):
\[ 2x\le 5 \]
Dividindo por \(2\):
\[ x\le \frac{5}{2} \]
Intersectando com a condição do caso \(x\ge 2\):
\[ 2\le x\le \frac{5}{2} \]
Reunindo as soluções dos três casos, obtém-se:
\[ S= \left[-\frac{3}{2},-1\right) \cup [-1,2) \cup \left[2,\frac{5}{2}\right] \]
Como estes intervalos são consecutivos, podemos escrever de forma mais simples:
\[ S=\left[-\frac{3}{2},\frac{5}{2}\right] \]
Quadro-resumo
Para \(k>0\), valem as seguintes equivalências:
\[ |A(x)|<k \iff -k<A(x)<k \]
\[ |A(x)|\le k \iff -k\le A(x)\le k \]
\[ |A(x)|>k \iff A(x)<-k \quad \text{ou} \quad A(x)>k \]
\[ |A(x)|\ge k \iff A(x)\le -k \quad \text{ou} \quad A(x)\ge k \]
Se, pelo contrário, \(k<0\), importa recordar que:
\[ |A(x)|\ge 0 \]
Por conseguinte:
\[ |A(x)|<k \quad \text{e} \quad |A(x)|\le k \]
não têm solução, enquanto que:
\[ |A(x)|>k \quad \text{e} \quad |A(x)|\ge k \]
são verdadeiras para todos os valores pertencentes ao domínio da expressão.
As inequações com valor absoluto assentam numa ideia simples mas fundamental: o valor absoluto mede uma distância. Por este motivo, as inequações do tipo \(|A(x)|<k\) ou \(|A(x)|\le k\) descrevem uma condição de proximidade, enquanto as inequações do tipo \(|A(x)|>k\) ou \(|A(x)|\ge k\) descrevem uma condição de afastamento.
Nos casos mais simples, aplicam-se directamente as equivalências fundamentais. Nos casos mais complexos, sobretudo quando surgem vários módulos, o método mais seguro consiste em recorrer à definição de valor absoluto, dividindo a reta real nos intervalos determinados pelos zeros dos argumentos dos módulos.