As inequações irracionais são inequações nas quais a incógnita aparece sob o sinal de raiz. Trata-se de um tema fundamental da álgebra, pois exige o uso simultâneo das propriedades das raízes, do estudo do sinal e das condições de existência.
Ao contrário das inequações polinomiais ou racionais, nas inequações irracionais não basta manipular algebricamente a expressão: cada passo deve respeitar o domínio de definição das raízes envolvidas.
Em particular, quando se elevam ambos os membros ao quadrado, é necessário verificar com rigor que essa transformação é logicamente equivalente à inequação inicial. Uma aplicação incorrecta desta operação pode introduzir soluções que não pertencem ao domínio.
Estudaremos:
- as condições de existência das raízes;
- o método geral de resolução;
- os casos fundamentais;
- as inequações com um único radical;
- as inequações com vários radicais;
- os erros mais comuns a evitar.
Índice
- O que são as inequações irracionais
- Condições de existência
- Inequações do tipo \(\sqrt{A(x)}>B(x)\)
- Inequações do tipo \(\sqrt{A(x)}<B(x)\)
- Inequações com radicais em ambos os membros
- Inequações com vários radicais
- Método geral
- Erros a evitar
O que são as inequações irracionais
Uma inequação irracional é uma inequação na qual a incógnita aparece sob o sinal de raiz.
Por exemplo:
\[ \sqrt{x-1}>2 \]
\[ \sqrt{2x+3}\le x \]
\[ \sqrt{x+1}>\sqrt{2x-3} \]
são todas inequações irracionais.
O aspecto mais delicado destas inequações reside no facto de as raízes quadradas reais só existirem quando o radicando é maior ou igual a zero.
Por esse motivo, antes de qualquer transformação algébrica, é sempre necessário determinar as condições de existência.
Condições de existência
Sempre que apareça uma raiz quadrada:
\[ \sqrt{A(x)}, \]
tem de se verificar necessariamente:
\[ A(x)\ge 0. \]
Esta é a condição fundamental de existência.
Exemplo
Consideremos:
\[ \sqrt{2x-5}>1. \]
A raiz existe apenas se:
\[ 2x-5\ge 0. \]
Resolvendo:
\[ 2x\ge 5 \]
obtemos:
\[ x\ge \frac52. \]
Isto significa que qualquer solução final terá de pertencer ao intervalo:
\[ \left[\frac52,+\infty\right). \]
Inequações do tipo \(\sqrt{A(x)}>B(x)\)
Consideremos uma inequação da forma:
\[ \sqrt{A(x)}>B(x). \]
O método a seguir depende do sinal do segundo membro.
Com efeito, a raiz quadrada é sempre não negativa:
\[ \sqrt{A(x)}\ge 0. \]
Consequentemente:
- se \(B(x)<0\), a inequação fica automaticamente verificada sempre que a raiz exista;
- se \(B(x)\ge 0\), é possível elevar ambos os membros ao quadrado.
Exemplo
Resolvamos:
\[ \sqrt{x+1}>3. \]
Começamos por impor as condições de existência:
\[ x+1\ge 0. \]
Portanto:
\[ x\ge -1. \]
O segundo membro é positivo. Podemos então elevar ao quadrado:
\[ x+1>9. \]
De onde:
\[ x>8. \]
Intersectando com as condições de existência, obtemos:
\[ S=(8,+\infty). \]
Inequações do tipo \(\sqrt{A(x)}<B(x)\)
Consideremos agora:
\[ \sqrt{A(x)}<B(x). \]
Neste caso é preciso ter ainda mais cuidado.
Como a raiz é sempre não negativa, para que uma quantidade não negativa seja menor do que \(B(x)\), é necessário que:
\[ B(x)>0. \]
Só depois de imposta esta condição se pode elevar ao quadrado.
O sistema equivalente é portanto:
\[ \begin{cases} A(x)\ge 0 \\ B(x)>0 \\ A(x)<B(x)^2 \end{cases} \]
Exemplo
Resolvamos:
\[ \sqrt{x-2}<x-4. \]
Impomos as condições:
\[ \begin{cases} x-2\ge 0 \\ x-4>0 \end{cases} \]
ou seja:
\[ \begin{cases} x\ge 2 \\ x>4 \end{cases} \]
A segunda condição implica já a primeira, pelo que basta considerar:
\[ x>4. \]
Podemos agora elevar ao quadrado:
\[ x-2<(x-4)^2. \]
Desenvolvendo:
\[ x-2<x^2-8x+16. \]
Passando tudo para o segundo membro:
\[ 0<x^2-9x+18, \]
isto é:
\[ x^2-9x+18>0. \]
Factorizando:
\[ x^2-9x+18=(x-3)(x-6). \]
A inequação torna-se:
\[ (x-3)(x-6)>0. \]
Do estudo do sinal resulta:
\[ x<3 \quad \text{ou} \quad x>6. \]
Intersectando com a condição \(x>4\), fica:
\[ S=(6,+\infty). \]
Inequações com radicais em ambos os membros
Consideremos inequações do tipo:
\[ \sqrt{A(x)}>\sqrt{B(x)}. \]
Neste caso ambos os radicais têm de existir:
\[ \begin{cases} A(x)\ge 0 \\ B(x)\ge 0 \end{cases} \]
Uma vez impostas estas condições, podemos elevar ao quadrado:
\[ A(x)>B(x). \]
Exemplo
Resolvamos:
\[ \sqrt{x+3}>\sqrt{2x-1}. \]
Impomos as condições de existência:
\[ \begin{cases} x+3\ge 0 \\ 2x-1\ge 0 \end{cases} \]
ou seja:
\[ \begin{cases} x\ge -3 \\ x\ge \frac12 \end{cases} \]
Portanto:
\[ x\ge \frac12. \]
Elevando ao quadrado:
\[ x+3>2x-1. \]
Resolvendo:
\[ 4>x, \]
isto é:
\[ x<4. \]
Intersectando com \(x\ge \frac12\), obtemos:
\[ S=\left[\frac12,4\right). \]
Inequações com vários radicais
Quando uma inequação contém vários radicais na mesma expressão, o procedimento pode exigir elevações sucessivas ao quadrado.
Nestes casos é importante:
- isolar um radical de cada vez;
- impor sempre as condições de existência;
- verificar as soluções finais.
Exemplo
Resolvamos:
\[ \sqrt{x+5}-\sqrt{x-1}>0. \]
Impomos as condições de existência:
\[ \begin{cases} x+5\ge 0 \\ x-1\ge 0 \end{cases} \]
De onde:
\[ \begin{cases} x\ge -5 \\ x\ge 1 \end{cases} \]
Portanto:
\[ x\ge 1. \]
Passamos um radical para o segundo membro:
\[ \sqrt{x+5}>\sqrt{x-1}. \]
Ambos os membros são não negativos, pelo que podemos elevar ao quadrado:
\[ x+5>x-1. \]
Simplificando:
\[ 5>-1. \]
Esta relação é sempre verdadeira.
Consequentemente, a inequação é verificada para todos os valores admitidos pelo domínio:
\[ S=[1,+\infty). \]
Método geral
Para resolver correctamente uma inequação irracional, convém seguir sempre o mesmo esquema.
- Determinar as condições de existência dos radicais.
- Isolar eventualmente um radical.
- Estudar o sinal dos membros da inequação.
- Elevar ao quadrado apenas quando a equivalência estiver garantida.
- Resolver a inequação obtida.
- Intersectar com as condições iniciais.
- Verificar eventuais soluções espúrias.
A verificação final é fundamental, sobretudo nas inequações obtidas após vários elevamentos ao quadrado.
Erros a evitar
Omitir as condições de existência
É o erro mais frequente.
Por exemplo:
\[ \sqrt{x-2}>1 \]
requer necessariamente:
\[ x-2\ge 0. \]
Ignorar esta condição pode conduzir a soluções inválidas.
Elevar ao quadrado sem verificar o sinal
As inequações:
\[ a>b \]
e
\[ a^2>b^2 \]
não são equivalentes em geral.
A elevação ao quadrado preserva a equivalência apenas sob condições de sinal adequadas.
Não verificar as soluções finais
Após elevar ao quadrado podem surgir soluções espúrias.
Por esse motivo, é sempre indispensável verificar o resultado final na inequação original.
As inequações irracionais exigem uma abordagem rigorosa e ordenada. Cada passo deve respeitar simultaneamente o domínio dos radicais e as condições que garantem a equivalência das transformações efectuadas.
O ponto central não é apenas saber elevar ao quadrado, mas compreender quando esse passo é logicamente válido.
Um bom domínio das inequações irracionais é indispensável para o estudo das funções, das intersecções entre gráficos e das inequações mais avançadas da análise matemática.