Uma coleção progressiva de 20 exercícios resolvidos sobre inequações irracionais, concebida para aprender a resolver corretamente inequações com radicais, prestando atenção às condições de existência, ao sinal dos membros e às eventuais soluções espúrias.
Em cada exercício, não nos limitaremos a elevar ao quadrado, mas justificaremos por que razão tal passo é legítimo. Este é o ponto central das inequações irracionais: a elevação ao quadrado nem sempre é uma transformação equivalente se não se verificarem previamente as condições adequadas.
Exercício 1 — nível ★☆☆☆☆
Resolver:
\[ \sqrt{x-2}\gt 3. \]
Resultado
\[ S=(11,+\infty). \]
Resolução
O radical existe se:
\[ x-2\ge 0. \]
Logo:
\[ x\ge 2. \]
Como o segundo membro é positivo, podemos elevar ao quadrado:
\[ x-2\gt 9. \]
Donde:
\[ x\gt 11. \]
Intersectando com o domínio, obtemos:
\[ S=(11,+\infty). \]
Exercício 2 — nível ★☆☆☆☆
Resolver:
\[ \sqrt{2x+1}\le 5. \]
Resultado
\[ S=\left[-\frac{1}{2},12\right]. \]
Resolução
A condição de existência é:
\[ 2x+1\ge 0. \]
Logo:
\[ x\ge -\frac{1}{2}. \]
O segundo membro é positivo, pelo que podemos elevar ao quadrado:
\[ 2x+1\le 25. \]
Donde:
\[ 2x\le 24. \]
Portanto:
\[ x\le 12. \]
Intersectando as condições:
\[ S=\left[-\frac{1}{2},12\right]. \]
Exercício 3 — nível ★☆☆☆☆
Resolver:
\[ \sqrt{x+4}\lt 2. \]
Resultado
\[ S=[-4,0). \]
Resolução
O radical existe se:
\[ x+4\ge 0. \]
Logo:
\[ x\ge -4. \]
O segundo membro é positivo, pelo que podemos elevar ao quadrado:
\[ x+4\lt 4. \]
Donde:
\[ x\lt 0. \]
Intersectando com o domínio:
\[ S=[-4,0). \]
Exercício 4 — nível ★★☆☆☆
Resolver:
\[ \sqrt{x+1}\ge x-1. \]
Resultado
\[ S=[-1,3]. \]
Resolução
O radical existe se:
\[ x+1\ge 0. \]
Logo:
\[ x\ge -1. \]
O primeiro membro é sempre não negativo. Estudamos, pois, o sinal do segundo membro \(x-1\).
Primeiro caso: \(x-1\le 0\)
Se:
\[ x-1\le 0, \]
então:
\[ x\le 1. \]
Neste caso, o segundo membro é não positivo, ao passo que o radical é não negativo. A inequação fica, portanto, verificada para:
\[ -1\le x\le 1. \]
Segundo caso: \(x-1\gt 0\)
Se:
\[ x-1\gt 0, \]
então:
\[ x\gt 1. \]
Neste caso, ambos os membros são não negativos, pelo que podemos elevar ao quadrado:
\[ x+1\ge (x-1)^2. \]
Desenvolvendo:
\[ x+1\ge x^2-2x+1. \]
Passando tudo para o segundo membro:
\[ 0\ge x^2-3x. \]
Equivalentemente:
\[ x^2-3x\le 0. \]
Fatorizamos:
\[ x^2-3x=x(x-3). \]
Resolvemos:
\[ x(x-3)\le 0. \]
Obtemos:
\[ 0\le x\le 3. \]
Intersectando com \(x\gt 1\), vem:
\[ 1\lt x\le 3. \]
Reunindo os dois casos:
\[ [-1,1]\cup(1,3]=[-1,3]. \]
Portanto:
\[ S=[-1,3]. \]
Exercício 5 — nível ★★☆☆☆
Resolver:
\[ \sqrt{x-2}\lt x-4. \]
Resultado
\[ S=(6,+\infty). \]
Resolução
O radical existe se:
\[ x-2\ge 0. \]
Logo:
\[ x\ge 2. \]
Como o primeiro membro é não negativo, é necessário que:
\[ x-4\gt 0. \]
Portanto:
\[ x\gt 4. \]
Podemos agora elevar ao quadrado:
\[ x-2\lt (x-4)^2. \]
Desenvolvendo:
\[ x-2\lt x^2-8x+16. \]
Passando tudo para o segundo membro:
\[ 0\lt x^2-9x+18. \]
Fatorizamos:
\[ x^2-9x+18=(x-3)(x-6). \]
Portanto:
\[ (x-3)(x-6)\gt 0. \]
Obtemos:
\[ x\lt 3 \quad \text{ou} \quad x\gt 6. \]
Intersectando com \(x\gt 4\), resta:
\[ S=(6,+\infty). \]
Exercício 6 — nível ★★☆☆☆
Resolver:
\[ \sqrt{2x-1}\le x+1. \]
Resultado
\[ S=\left[\frac{1}{2},+\infty\right). \]
Resolução
A condição de existência é:
\[ 2x-1\ge 0. \]
Logo:
\[ x\ge \frac{1}{2}. \]
No domínio encontrado, \(x+1\gt 0\). Podemos, pois, elevar ao quadrado:
\[ 2x-1\le (x+1)^2. \]
Desenvolvendo:
\[ 2x-1\le x^2+2x+1. \]
Subtraindo \(2x-1\) de ambos os membros:
\[ 0\le x^2+2. \]
Esta inequação é sempre verdadeira. Resta apenas o domínio:
\[ S=\left[\frac{1}{2},+\infty\right). \]
Exercício 7 — nível ★★☆☆☆
Resolver:
\[ \sqrt{x+3}\ge 2x-1. \]
Resultado
\[ S=\left[-3,\frac{5+\sqrt{57}}{8}\right]. \]
Resolução
O radical existe se:
\[ x+3\ge 0. \]
Logo:
\[ x\ge -3. \]
Se \(2x-1\le 0\), ou seja, \(x\le \frac{1}{2}\), a inequação é automaticamente verificada no domínio:
\[ -3\le x\le \frac{1}{2}. \]
Se, pelo contrário, \(2x-1\gt 0\), ou seja, \(x\gt \frac{1}{2}\), podemos elevar ao quadrado:
\[ x+3\ge (2x-1)^2. \]
Desenvolvendo:
\[ x+3\ge 4x^2-4x+1. \]
Passando tudo para o segundo membro:
\[ 4x^2-5x-2\le 0. \]
Resolvemos a equação associada:
\[ 4x^2-5x-2=0. \]
O discriminante é:
\[ \Delta=57. \]
As raízes são:
\[ x=\frac{5-\sqrt{57}}{8} \quad \text{e} \quad x=\frac{5+\sqrt{57}}{8}. \]
Portanto:
\[ \frac{5-\sqrt{57}}{8}\le x\le \frac{5+\sqrt{57}}{8}. \]
Intersectando com \(x\gt \frac{1}{2}\), obtemos:
\[ \frac{1}{2}\lt x\le \frac{5+\sqrt{57}}{8}. \]
Reunindo os dois casos:
\[ S=\left[-3,\frac{5+\sqrt{57}}{8}\right]. \]
Exercício 8 — nível ★★☆☆☆
Resolver:
\[ \sqrt{x+5}\gt \sqrt{2x-1}. \]
Resultado
\[ S=\left[\frac{1}{2},6\right). \]
Resolução
As condições de existência são:
\[ \begin{cases} x+5\ge 0,\\ 2x-1\ge 0. \end{cases} \]
Logo:
\[ x\ge \frac{1}{2}. \]
Ambos os membros são raízes quadradas, portanto não negativos, pelo que podemos elevar ao quadrado:
\[ x+5\gt 2x-1. \]
Donde:
\[ x\lt 6. \]
Intersectando com o domínio:
\[ S=\left[\frac{1}{2},6\right). \]
Exercício 9 — nível ★★★☆☆
Resolver:
\[ \sqrt{x^2-1}\le 2. \]
Resultado
\[ S=[-\sqrt{5},-1]\cup[1,\sqrt{5}]. \]
Resolução
O radical existe se:
\[ x^2-1\ge 0. \]
Ou seja:
\[ x\le -1 \quad \text{ou} \quad x\ge 1. \]
Podemos elevar ao quadrado:
\[ x^2-1\le 4. \]
Portanto:
\[ x^2\le 5. \]
Donde:
\[ -\sqrt{5}\le x\le \sqrt{5}. \]
Intersectando com o domínio:
\[ S=[-\sqrt{5},-1]\cup[1,\sqrt{5}]. \]
Exercício 10 — nível ★★★☆☆
Resolver:
\[ \sqrt{x^2-4x}\ge x-2. \]
Resultado
\[ S=(-\infty,0]. \]
Resolução
O radical existe se:
\[ x^2-4x\ge 0. \]
Fatorizamos:
\[ x^2-4x=x(x-4). \]
Logo:
\[ x\le 0 \quad \text{ou} \quad x\ge 4. \]
Se \(x\le 0\), então \(x-2\lt 0\), ao passo que o radical é não negativo. Todos esses valores são, portanto, soluções.
Se \(x\ge 4\), podemos elevar ao quadrado:
\[ x^2-4x\ge (x-2)^2. \]
Desenvolvendo:
\[ x^2-4x\ge x^2-4x+4. \]
Donde:
\[ 0\ge 4, \]
o que é falso. Portanto:
\[ S=(-\infty,0]. \]
Exercício 11 — nível ★★★☆☆
Resolver:
\[ \sqrt{x^2-4x}\le x-2. \]
Resultado
\[ S=[4,+\infty). \]
Resolução
Do domínio:
\[ x^2-4x\ge 0 \]
obtemos:
\[ x\le 0 \quad \text{ou} \quad x\ge 4. \]
Além disso, como o primeiro membro é não negativo, é necessário que:
\[ x-2\ge 0. \]
Portanto:
\[ x\ge 2. \]
Intersectando, resta:
\[ x\ge 4. \]
Elevamos ao quadrado:
\[ x^2-4x\le (x-2)^2. \]
Portanto:
\[ x^2-4x\le x^2-4x+4. \]
Donde:
\[ 0\le 4. \]
Sempre verdadeiro. Portanto:
\[ S=[4,+\infty). \]
Exercício 12 — nível ★★★☆☆
Resolver:
\[ \sqrt{3x+1}\gt x+1. \]
Resultado
\[ S=(0,1). \]
Resolução
O radical existe se:
\[ 3x+1\ge 0. \]
Logo:
\[ x\ge -\frac{1}{3}. \]
No domínio, \(x+1\gt 0\). Podemos, pois, elevar ao quadrado:
\[ 3x+1\gt (x+1)^2. \]
Desenvolvendo:
\[ 3x+1\gt x^2+2x+1. \]
Passando tudo para o segundo membro:
\[ x^2-x\lt 0. \]
Fatorizamos:
\[ x(x-1)\lt 0. \]
Logo:
\[ 0\lt x\lt 1. \]
Portanto:
\[ S=(0,1). \]
Exercício 13 — nível ★★★★☆
Resolver:
\[ \sqrt{x+2}+1\gt x. \]
Resultado
\[ S=\left[-2,\frac{3+\sqrt{13}}{2}\right). \]
Resolução
O radical existe se:
\[ x+2\ge 0. \]
Logo:
\[ x\ge -2. \]
Transportamos o \(1\) para o segundo membro:
\[ \sqrt{x+2}\gt x-1. \]
Se \(x-1\lt 0\), ou seja, \(x\lt 1\), a inequação fica verificada para:
\[ -2\le x\lt 1. \]
Se \(x\ge 1\), elevamos ao quadrado:
\[ x+2\gt (x-1)^2. \]
Portanto:
\[ x+2\gt x^2-2x+1. \]
Passando tudo para o segundo membro:
\[ x^2-3x-1\lt 0. \]
As raízes são:
\[ x=\frac{3-\sqrt{13}}{2} \quad \text{e} \quad x=\frac{3+\sqrt{13}}{2}. \]
Portanto:
\[ \frac{3-\sqrt{13}}{2}\lt x\lt \frac{3+\sqrt{13}}{2}. \]
Intersectando com \(x\ge 1\), obtemos:
\[ 1\le x\lt \frac{3+\sqrt{13}}{2}. \]
Reunindo os dois casos:
\[ S=\left[-2,\frac{3+\sqrt{13}}{2}\right). \]
Exercício 14 — nível ★★★★☆
Resolver:
\[ \sqrt{x+4}+\sqrt{x-1}\gt 5. \]
Resultado
\[ S=(5,+\infty). \]
Resolução
As condições de existência são:
\[ \begin{cases} x+4\ge 0,\\ x-1\ge 0. \end{cases} \]
Logo:
\[ x\ge 1. \]
A função:
\[ f(x)=\sqrt{x+4}+\sqrt{x-1} \]
é crescente no domínio. Resolvemos a equação:
\[ \sqrt{x+4}+\sqrt{x-1}=5. \]
Isolamos:
\[ \sqrt{x+4}=5-\sqrt{x-1}. \]
Elevando ao quadrado:
\[ x+4=25-10\sqrt{x-1}+x-1. \]
Portanto:
\[ x+4=x+24-10\sqrt{x-1}. \]
Donde:
\[ \sqrt{x-1}=2. \]
Logo:
\[ x=5. \]
Como a função é crescente e a inequação é estrita:
\[ S=(5,+\infty). \]
Exercício 15 — nível ★★★★☆
Resolver:
\[ \sqrt{x+4}-\sqrt{x-1}\le 1. \]
Resultado
\[ S=[5,+\infty). \]
Resolução
O domínio é:
\[ x\ge 1. \]
Transportamos o segundo radical para o segundo membro:
\[ \sqrt{x+4}\le 1+\sqrt{x-1}. \]
O segundo membro é positivo, pelo que podemos elevar ao quadrado:
\[ x+4\le \left(1+\sqrt{x-1}\right)^2. \]
Desenvolvendo:
\[ x+4\le x+2\sqrt{x-1}. \]
Subtraindo \(x\):
\[ 4\le 2\sqrt{x-1}. \]
Portanto:
\[ 2\le \sqrt{x-1}. \]
Elevando ao quadrado:
\[ 4\le x-1. \]
Donde:
\[ x\ge 5. \]
Portanto:
\[ S=[5,+\infty). \]
Exercício 16 — nível ★★★★☆
Resolver:
\[ \sqrt{2x+3}\ge \sqrt{x+1}+1. \]
Resultado
\[ S=\{-1\}\cup[3,+\infty). \]
Resolução
O domínio é:
\[ x\ge -1. \]
Elevamos ao quadrado:
\[ 2x+3\ge \left(\sqrt{x+1}+1\right)^2. \]
Portanto:
\[ 2x+3\ge x+2+2\sqrt{x+1}. \]
Donde:
\[ x+1\ge 2\sqrt{x+1}. \]
Fazemos a substituição:
\[ t=\sqrt{x+1}. \]
Então \(t\ge 0\) e:
\[ t^2\ge 2t. \]
Portanto:
\[ t(t-2)\ge 0. \]
Como \(t\ge 0\), obtemos:
\[ t=0 \quad \text{ou} \quad t\ge 2. \]
Logo:
\[ x=-1 \quad \text{ou} \quad x\ge 3. \]
Portanto:
\[ S=\{-1\}\cup[3,+\infty). \]
Exercício 17 — nível ★★★★☆
Resolver:
\[ \sqrt{x+6}\gt x. \]
Resultado
\[ S=[-6,3). \]
Resolução
O domínio é:
\[ x\ge -6. \]
Se \(x\lt 0\), a inequação fica automaticamente verificada:
\[ -6\le x\lt 0. \]
Se \(x\ge 0\), elevamos ao quadrado:
\[ x+6\gt x^2. \]
Portanto:
\[ x^2-x-6\lt 0. \]
Fatorizamos:
\[ x^2-x-6=(x-3)(x+2). \]
Obtemos:
\[ -2\lt x\lt 3. \]
Intersectando com \(x\ge 0\):
\[ 0\le x\lt 3. \]
Reunindo:
\[ S=[-6,3). \]
Exercício 18 — nível ★★★★★
Resolver:
\[ \sqrt{x+1}+\sqrt{x+4}\le 5. \]
Resultado
\[ S=\left[-1,\frac{96}{25}\right]. \]
Resolução
O domínio é:
\[ x\ge -1. \]
A função:
\[ f(x)=\sqrt{x+1}+\sqrt{x+4} \]
é crescente no domínio. Resolvemos a equação:
\[ \sqrt{x+1}+\sqrt{x+4}=5. \]
Isolamos:
\[ \sqrt{x+4}=5-\sqrt{x+1}. \]
Elevando ao quadrado:
\[ x+4=25-10\sqrt{x+1}+x+1. \]
Portanto:
\[ x+4=x+26-10\sqrt{x+1}. \]
Donde:
\[ \sqrt{x+1}=\frac{11}{5}. \]
Elevando ao quadrado:
\[ x+1=\frac{121}{25}. \]
Portanto:
\[ x=\frac{96}{25}. \]
Como \(f\) é crescente:
\[ S=\left[-1,\frac{96}{25}\right]. \]
Exercício 19 — nível ★★★★★
Resolver:
\[ \sqrt{x+2}\ge x. \]
Resultado
\[ S=[-2,2]. \]
Resolução
O domínio é:
\[ x\ge -2. \]
Se \(x\lt 0\), a inequação fica verificada:
\[ -2\le x\lt 0. \]
Se \(x\ge 0\), elevamos ao quadrado:
\[ x+2\ge x^2. \]
Portanto:
\[ x^2-x-2\le 0. \]
Fatorizamos:
\[ x^2-x-2=(x-2)(x+1). \]
Obtemos:
\[ -1\le x\le 2. \]
Intersectando com \(x\ge 0\):
\[ 0\le x\le 2. \]
Reunindo:
\[ S=[-2,2]. \]
Exercício 20 — nível ★★★★★
Resolver:
\[ \sqrt{x+3}-\sqrt{x-1}\ge 1. \]
Resultado
\[ S=\left[1,\frac{13}{4}\right]. \]
Resolução
O domínio é:
\[ x\ge 1. \]
Transportamos o segundo radical para o segundo membro:
\[ \sqrt{x+3}\ge 1+\sqrt{x-1}. \]
Elevamos ao quadrado:
\[ x+3\ge \left(1+\sqrt{x-1}\right)^2. \]
Desenvolvendo:
\[ x+3\ge x+2\sqrt{x-1}. \]
Subtraindo \(x\):
\[ 3\ge 2\sqrt{x-1}. \]
Portanto:
\[ \sqrt{x-1}\le \frac{3}{2}. \]
Elevando ao quadrado:
\[ x-1\le \frac{9}{4}. \]
Donde:
\[ x\le \frac{13}{4}. \]
Intersectando com o domínio:
\[ S=\left[1,\frac{13}{4}\right]. \]