Um sistema de inequações é formado por duas ou mais inequações que devem ser verificadas simultaneamente.
Resolver um sistema de inequações significa determinar todos e somente os valores da incógnita que satisfazem simultaneamente cada condição imposta pelo sistema.
Do ponto de vista conjuntista, a solução de um sistema obtém-se através da intersecção dos conjuntos solução de cada uma das inequações.
Índice
- Definição de sistema de inequações
- Princípio fundamental
- Intersecção dos conjuntos solução
- Interpretação gráfica na recta real
- Sistemas de inequações lineares
- Sistemas com inequações do segundo grau
- Sistemas com inequações racionais
- Exemplo completo com estudo do sinal
- Sistemas impossíveis e sistemas universalmente verificados
- Erros mais comuns
- Esquema geral de resolução
Definição de sistema de inequações
Um sistema de inequações é um conjunto de condições expressas por meio de inequações que devem ser verificadas simultaneamente pela mesma incógnita.
Por exemplo:
\[ \begin{cases} x-1>0,\\ 2x+3\le 7. \end{cases} \]
Uma solução do sistema é um número real que torna verdadeiras ambas as inequações.
Não é, portanto, suficiente satisfazer apenas uma das condições: todas as inequações do sistema devem ser verificadas em simultâneo.
Se denotarmos por:
\[ S_1 \]
o conjunto solução da primeira inequação e por:
\[ S_2 \]
o da segunda, então a solução do sistema será:
\[ S=S_1\cap S_2. \]
Princípio fundamental
O princípio fundamental dos sistemas de inequações afirma que:
o conjunto solução de um sistema é a intersecção dos conjuntos solução de cada uma das inequações.
Este princípio decorre directamente do significado da palavra «sistema»: todas as condições devem ser verdadeiras em simultâneo.
Para resolver correctamente um sistema, convém portanto:
- resolver separadamente cada inequação;
- determinar os respectivos conjuntos solução;
- calcular a intersecção final.
O erro mais frequente consiste precisamente em esquecer este último passo.
Intersecção dos conjuntos solução
Consideremos o sistema:
\[ \begin{cases} x>1,\\ x\le 4. \end{cases} \]
A primeira inequação tem como solução:
\[ S_1=(1,+\infty). \]
A segunda inequação tem como solução:
\[ S_2=(-\infty,4]. \]
A solução do sistema é:
\[ S=S_1\cap S_2. \]
Procuramos portanto os números que pertencem simultaneamente a ambos os conjuntos.
Obtemos:
\[ S=(1,4]. \]
Com efeito:
- os números devem ser estritamente maiores do que \(1\);
- devem simultaneamente ser menores ou iguais a \(4\).
A intersecção representa, portanto, a parte comum dos dois conjuntos solução.
Interpretação gráfica na recta real
Nos sistemas de inequações é muito útil representar os conjuntos solução na recta real.
Isto permite visualizar imediatamente a parte comum das soluções.
Consideremos:
\[ \begin{cases} x\ge -2,\\ x<3. \end{cases} \]
A primeira inequação representa todos os números maiores ou iguais a \(-2\).
O símbolo:
\[ \ge \]
indica que o extremo pertence ao conjunto solução.
A segunda inequação representa, por sua vez, todos os números menores do que \(3\).
O símbolo:
\[ < \]
indica que \(3\) não pertence à solução.
Intersectando, obtemos:
\[ [-2,3). \]
Graficamente, esta solução corresponde à parte da recta compreendida entre \(-2\) e \(3\), incluindo o primeiro extremo mas excluindo o segundo.
Sistemas de inequações lineares
Os sistemas mais simples são os compostos por inequações de primeiro grau.
Consideremos:
\[ \begin{cases} 2x-1>3,\\ x+4\le 9. \end{cases} \]
Resolvamos a primeira inequação:
\[ 2x-1>3. \]
Somando \(1\) a ambos os membros:
\[ 2x>4. \]
Dividindo por \(2\), obtemos:
\[ x>2. \]
Resolvamos agora a segunda inequação:
\[ x+4\le 9. \]
Subtraindo \(4\), obtemos:
\[ x\le 5. \]
Devemos portanto intersectar:
\[ x>2 \]
com:
\[ x\le 5. \]
Obtemos:
\[ S=(2,5]. \]
A solução contém, portanto, todos os números estritamente maiores do que \(2\) e simultaneamente menores ou iguais a \(5\).
Sistemas com inequações do segundo grau
Um sistema pode conter também inequações do segundo grau.
Consideremos:
\[ \begin{cases} x^2-4>0,\\ x-1\le 0. \end{cases} \]
Resolvamos a primeira inequação:
\[ x^2-4>0. \]
Decomponhamos a diferença de quadrados:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2). \]
Obtemos portanto:
\[ (x-2)(x+2)>0. \]
Um produto é estritamente positivo quando os factores têm o mesmo sinal.
Estudemos então o sinal do produto nos vários intervalos determinados pelos zeros dos factores.
- se \(x<-2\), ambos os factores são negativos e, portanto, o produto é positivo;
- se \(-2
2\), os="" dois="" factores="" têm="" sinais="" contrários="" e,="" portanto,="" o="" produto="" é="" negativo;="" ="" li=""> - se \(x>2\), ambos os factores são positivos e, portanto, o produto é positivo.
A solução da primeira inequação é portanto:
\[ (-\infty,-2)\cup(2,+\infty). \]
Resolvamos agora a segunda inequação:
\[ x-1\le 0. \]
Obtemos:
\[ x\le 1. \]
Intersectemos agora os dois conjuntos solução:
\[ \left[(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)\right]\cap(-\infty,1]. \]
A intersecção dos dois conjuntos solução é:
\[ S=(-\infty,-2). \]
Com efeito, os números maiores do que \(2\) não podem pertencer à solução, pois devem ser simultaneamente menores ou iguais a \(1\).
Sistemas com inequações racionais
Nos sistemas com inequações racionais é necessário prestar particular atenção às condições de existência.
Consideremos:
\[ \begin{cases} \dfrac{x+1}{x-2}>0,\\ x<5. \end{cases} \]
A fracção não está definida quando o denominador é nulo.
Devemos portanto impor:
\[ x\ne 2. \]
Estudemos agora o sinal da fracção:
\[ \frac{x+1}{x-2}>0. \]
Os zeros do numerador e do denominador são:
\[ x=-1, \qquad x=2. \]
Uma fracção é estritamente positiva quando o numerador e o denominador têm ambos o mesmo sinal.
Obtemos portanto:
\[ x<-1 \qquad \text{ou} \qquad x>2. \]
A segunda inequação impõe:
\[ x<5. \]
Intersectando:
\[ (-\infty,-1)\cup(2,+\infty) \]
com:
\[ (-\infty,5), \]
obtemos:
\[ S=(-\infty,-1)\cup(2,5). \]
O valor:
\[ x=5 \]
não pertence à solução, pois a segunda inequação impõe a condição estrita:
\[ x<5. \]
Além disso:
\[ x=2 \]
deve ser excluído, pois anula o denominador.
Exemplo completo com estudo do sinal
Consideremos o sistema:
\[ \begin{cases} \dfrac{x^2-4}{x-1}\ge 0,\\ x<3. \end{cases} \]
Decomponhamos o numerador:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2). \]
Obtemos:
\[ \frac{(x-2)(x+2)}{x-1}\ge 0. \]
Os pontos críticos são:
\[ x=-2, \qquad x=1, \qquad x=2. \]
O valor:
\[ x=1 \]
deve ser excluído, pois anula o denominador.
Estudemos agora o sinal da fracção nos vários intervalos determinados pelos pontos críticos.
- para \(x<-2\), a fracção é negativa;
- para \(-2
1\), a="" fracção="" é="" positiva;="" ="" li=""> - para \(1
2\), a="" fracção="" é="" negativa;="" ="" li=""> - para \(x>2\), a fracção é positiva.
Como a inequação é:
\[ \ge 0, \]
devemos incluir também os zeros do numerador:
\[ x=-2, \qquad x=2. \]
A solução da primeira inequação é portanto:
\[ [-2,1)\cup[2,+\infty). \]
A segunda inequação impõe:
\[ x<3. \]
Intersectando, obtemos:
\[ S=[-2,1)\cup[2,3). \]
Sistemas impossíveis e sistemas universalmente verificados
Um sistema pode ser:
- impossível, se não existir qualquer solução;
- universalmente verificado, se todos os números reais satisfizerem o sistema.
Consideremos:
\[ \begin{cases} x>3,\\ x<1. \end{cases} \]
Nenhum número real pode ser simultaneamente maior do que \(3\) e menor do que \(1\).
A intersecção é portanto vazia:
\[ S=\varnothing. \]
Consideremos agora:
\[ \begin{cases} x^2+1>0,\\ x^2+2>0. \end{cases} \]
Como:
\[ x^2\ge 0 \]
para todo o número real, ambas as inequações são sempre verdadeiras.
A solução é portanto:
\[ S=\mathbb{R}. \]
Erros mais comuns
Nos sistemas de inequações os erros mais frequentes são:
- esquecer de intersectar os conjuntos solução;
- reunir as soluções em vez de as intersectar;
- inverter erroneamente o sentido da inequação;
- esquecer as condições de existência nas inequações racionais;
- cometer erros no estudo do sinal.
Um erro muito comum consiste em esquecer que o sentido da inequação se inverte quando se multiplica ou divide por um número negativo.
Por exemplo:
\[ -2x>4. \]
Dividindo por \(-2\), é necessário inverter o sentido:
\[ x<-2. \]
Escrever:
\[ x>-2 \]
seria errado.
Esquema geral de resolução
Em geral, para resolver correctamente um sistema de inequações, convém seguir sempre este esquema:
- resolver separadamente cada inequação;
- determinar com precisão os conjuntos solução;
- representar eventualmente as soluções na recta real;
- calcular a intersecção dos conjuntos obtidos;
- escrever o resultado final sob a forma de intervalo ou de reunião de intervalos.
Este procedimento permite abordar correctamente a grande maioria dos sistemas de inequações estudados em álgebra.