Nesta secção apresentamos uma colecção de 20 exercícios resolvidos sobre funções, concebidos para uma compreensão rigorosa e progressiva dos conceitos fundamentais relacionados com a definição de função, o domínio, o contradomínio e a imagem de uma função.
Os exercícios estão ordenados por dificuldade crescente e acompanhados de uma resolução completa passo a passo, com explicações detalhadas e particular atenção aos raciocínios teóricos fundamentais.
Em particular, aprenderemos a:
- reconhecer quando uma correspondência define efectivamente uma função;
- determinar o domínio de uma função;
- distinguir correctamente contradomínio e imagem;
- estudar os valores efectivamente assumidos por uma função.
Recordemos que uma função é uma correspondência que associa a cada elemento do domínio um e um só elemento do contradomínio.
Será ainda fundamental distinguir correctamente:
- o domínio, isto é, o conjunto dos elementos para os quais a função está definida;
- o contradomínio, isto é, o conjunto no qual a função toma valores;
- a imagem, isto é, o conjunto dos valores efectivamente assumidos pela função.
Exercício 1 — nível ★☆☆☆☆
Consideremos a função:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=2x-1. \]
Determine:
- o domínio;
- o contradomínio;
- a imagem da função.
Resultado
\[ \mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R} \]
\[ \mathrm{Cd}(f)=\mathbb{R} \]
\[ \mathrm{Im}(f)=\mathbb{R} \]
Resolução
A função dada é:
\[ f(x)=2x-1. \]
Trata-se de uma função polinomial de grau um. As funções polinomiais estão definidas para todo o número real, uma vez que não surgem denominadores, radicais ou logaritmos que possam impor restrições.
Por conseguinte:
\[ \mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}. \]
Da notação:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \]
deduzimos que o contradomínio escolhido é:
\[ \mathrm{Cd}(f)=\mathbb{R}. \]
Estudemos agora a imagem da função.
Pondo:
\[ y=2x-1, \]
e resolvendo em ordem a \(x\), obtemos:
\[ x=\frac{y+1}{2}. \]
Este valor existe para todo o \(y\in\mathbb{R}\). Isto significa que todo o número real é assumido pela função.
Portanto:
\[ \mathrm{Im}(f)=\mathbb{R}. \]
Exercício 2 — nível ★☆☆☆☆
Consideremos a função:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=x^2. \]
Determine:
- o domínio;
- o contradomínio;
- a imagem da função.
Resultado
\[ \mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R} \]
\[ \mathrm{Cd}(f)=\mathbb{R} \]
\[ \mathrm{Im}(f)=[0,+\infty) \]
Resolução
A função:
\[ f(x)=x^2 \]
é uma função polinomial, pelo que está definida para todo o número real.
Portanto:
\[ \mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}. \]
Da notação:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \]
deduzimos que o contradomínio é:
\[ \mathrm{Cd}(f)=\mathbb{R}. \]
Determinemos agora a imagem da função.
Como o quadrado de um número real é sempre não negativo, temos:
\[ x^2\ge0 \qquad \forall x\in\mathbb{R}. \]
Além disso:
- o valor \(0\) é atingido para \(x=0\);
- todo o número positivo \(y>0\) pode escrever-se na forma: \[ y=x^2 \] escolhendo: \[ x=\sqrt{y}. \]
A função assume assim todos e apenas os valores não negativos.
Por conseguinte:
\[ \mathrm{Im}(f)=[0,+\infty). \]
Observemos ainda que:
\[ \mathrm{Im}(f)\subsetneq\mathrm{Cd}(f), \]
pois a função nunca assume valores negativos.
Exercício 3 — nível ★☆☆☆☆
Determine se a seguinte correspondência define uma função:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=\pm\sqrt{x}. \]
Resultado
A correspondência dada não define uma função.
Resolução
Para ser uma função, uma correspondência deve associar a cada elemento do domínio um e um só elemento do contradomínio.
No nosso caso:
\[ f(x)=\pm\sqrt{x}. \]
O símbolo \(\pm\) indica dois valores possíveis:
\[ +\sqrt{x} \qquad \text{e} \qquad -\sqrt{x}. \]
Por exemplo, tomando \(x=4\), obtemos:
\[ f(4)=\pm2. \]
Assim, ao mesmo elemento \(4\) ficam associados dois valores distintos:
\[ 2 \qquad \text{e} \qquad -2. \]
Além disso, como o domínio é \(\mathbb{R}\), a expressão \(\sqrt{x}\) não está definida nos números reais para valores negativos de \(x\). Portanto, a correspondência também não associa um valor real a cada elemento do domínio indicado.
Isto viola a definição de função, pois um elemento do domínio não pode ter duas imagens distintas.
Portanto, a correspondência dada não é uma função.
Exercício 4 — nível ★★☆☆☆
Consideremos a função:
\[ f:[0,+\infty)\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=\sqrt{x}. \]
Determine:
- o domínio;
- o contradomínio;
- a imagem da função.
Resultado
\[ \mathrm{Dom}(f)=[0,+\infty) \]
\[ \mathrm{Cd}(f)=\mathbb{R} \]
\[ \mathrm{Im}(f)=[0,+\infty) \]
Resolução
A função dada é:
\[ f(x)=\sqrt{x}. \]
Para que uma raiz quadrada esteja definida nos números reais, o radicando deve ser maior ou igual a zero.
É necessário, portanto, impor:
\[ x\ge0. \]
Por conseguinte:
\[ \mathrm{Dom}(f)=[0,+\infty). \]
Da notação:
\[ f:[0,+\infty)\to\mathbb{R} \]
observamos que o contradomínio escolhido é:
\[ \mathrm{Cd}(f)=\mathbb{R}. \]
Determinemos agora a imagem da função.
Como a raiz quadrada aritmética é sempre não negativa, temos:
\[ \sqrt{x}\ge0 \qquad \forall x\ge0. \]
A função assume assim apenas valores não negativos.
Além disso, todo o número real não negativo é efectivamente atingido.
De facto, dado:
\[ y\ge0, \]
basta escolher:
\[ x=y^2. \]
Obtemos assim:
\[ f(y^2)=\sqrt{y^2}=y. \]
A função assume portanto todos e apenas os valores não negativos.
Portanto:
\[ \mathrm{Im}(f)=[0,+\infty). \]
Exercício 5 — nível ★★☆☆☆
Consideremos a função:
\[ f:\mathbb{R}\setminus\{0\}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=\frac{1}{x}. \]
Determine:
- o domínio;
- o contradomínio;
- a imagem da função.
Resultado
\[ \mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\} \]
\[ \mathrm{Cd}(f)=\mathbb{R} \]
\[ \mathrm{Im}(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\} \]
Resolução
A função dada é:
\[ f(x)=\frac{1}{x}. \]
Numa fracção, o denominador não pode ser igual a zero.
É necessário, portanto, impor:
\[ x\neq0. \]
Portanto:
\[ \mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}. \]
Da notação:
\[ f:\mathbb{R}\setminus\{0\}\to\mathbb{R} \]
observamos que o contradomínio escolhido é:
\[ \mathrm{Cd}(f)=\mathbb{R}. \]
Estudemos agora a imagem.
A função:
\[ f(x)=\frac{1}{x} \]
nunca pode assumir o valor \(0\).
De facto, a equação:
\[ \frac{1}{x}=0 \]
não tem soluções reais, pois uma fracção com numerador diferente de zero não pode ser igual a zero.
Mostremos agora que todo o número real diferente de zero é efectivamente atingido pela função.
Seja:
\[ y\in\mathbb{R}\setminus\{0\}. \]
Procuremos um número real \(x\neq0\) tal que:
\[ \frac{1}{x}=y. \]
Resolvendo em ordem a \(x\), obtemos:
\[ x=\frac{1}{y}. \]
Como \(y\neq0\), o valor:
\[ \frac{1}{y} \]
está bem definido e pertence ao domínio.
Assim, todo o número real diferente de zero pertence à imagem da função.
Portanto:
\[ \mathrm{Im}(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}. \]
Exercício 6 — nível ★★☆☆☆
Consideremos a função:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=x^3. \]
Determine se a função é injectiva.
Resultado
A função é injectiva.
Resolução
Uma função é injectiva se elementos distintos do domínio têm imagens distintas.
De forma equivalente, podemos verificar que:
\[ f(x_1)=f(x_2) \implies x_1=x_2. \]
Suponhamos, pois, que:
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Como:
\[ f(x)=x^3, \]
obtemos:
\[ x_1^3=x_2^3. \]
Extraindo a raiz cúbica de ambos os membros:
\[ x_1=x_2. \]
Demonstrámos assim que:
\[ f(x_1)=f(x_2) \implies x_1=x_2. \]
Portanto, a função é injectiva.
Exercício 7 — nível ★★☆☆☆
Consideremos a função:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=x^2. \]
Determine se a função é injectiva.
Resultado
A função não é injectiva.
Resolução
Para mostrar que uma função não é injectiva, basta encontrar dois elementos distintos do domínio com a mesma imagem.
Consideremos:
\[ x_1=2 \qquad \text{e} \qquad x_2=-2. \]
É claro que:
\[ 2\neq-2. \]
Contudo:
\[ f(2)=2^2=4 \]
e:
\[ f(-2)=(-2)^2=4. \]
Logo:
\[ f(2)=f(-2), \]
apesar de:
\[ 2\neq-2. \]
Encontrámos dois valores distintos do domínio com a mesma imagem.
Portanto, a função não é injectiva.
Exercício 8 — nível ★★☆☆☆
Consideremos a função:
\[ f:[0,+\infty)\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=x^2. \]
Determine se a função é injectiva.
Resultado
A função é injectiva.
Resolução
A lei da função é a mesma do exercício anterior:
\[ f(x)=x^2. \]
Contudo, o domínio foi alterado.
A função está agora definida apenas em:
\[ [0,+\infty). \]
Verifiquemos a injectividade.
Suponhamos que:
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Obtemos:
\[ x_1^2=x_2^2. \]
Desta igualdade resulta:
\[ x_1=x_2 \qquad \text{ou} \qquad x_1=-x_2. \]
Contudo, \(x_1\) e \(x_2\) pertencem ambos ao intervalo:
\[ [0,+\infty), \]
pelo que são ambos não negativos.
Dois números não negativos com o mesmo quadrado têm necessariamente de coincidir.
Por conseguinte:
\[ x_1=x_2. \]
Demonstrámos portanto que:
\[ f(x_1)=f(x_2) \implies x_1=x_2. \]
Portanto, a função é injectiva.
Exercício 9 — nível ★★☆☆☆
Consideremos a função:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=x^2+1. \]
Determine se a função é sobrejectiva.
Resultado
A função não é sobrejectiva.
Resolução
Uma função é sobrejectiva quando cada elemento do contradomínio é imagem de pelo menos um elemento do domínio.
Neste caso o contradomínio é:
\[ \mathbb{R}. \]
Estudemos os valores assumidos pela função:
\[ f(x)=x^2+1. \]
Como:
\[ x^2\ge0 \qquad \forall x\in\mathbb{R}, \]
então:
\[ x^2+1\ge1. \]
A função assume portanto apenas valores maiores ou iguais a \(1\).
Por exemplo, o número \(0\) pertence ao contradomínio \(\mathbb{R}\), mas nunca é assumido pela função.
De facto, a equação:
\[ x^2+1=0 \]
é equivalente a:
\[ x^2=-1, \]
que não tem soluções reais.
Existe, pois, pelo menos um elemento do contradomínio que não é imagem de nenhum elemento do domínio.
Portanto, a função não é sobrejectiva.
Exercício 10 — nível ★★☆☆☆
Consideremos a função:
\[ f:\mathbb{R}\to[1,+\infty) \qquad,\qquad f(x)=x^2+1. \]
Determine se a função é sobrejectiva.
Resultado
A função é sobrejectiva.
Resolução
A lei da função é:
\[ f(x)=x^2+1. \]
Em relação ao exercício anterior, o contradomínio foi alterado.
Temos agora:
\[ f:\mathbb{R}\to[1,+\infty). \]
Para verificar a sobrejectividade, devemos mostrar que todo o elemento do contradomínio \([1,+\infty)\) é atingido pela função.
Seja, pois:
\[ y\in[1,+\infty). \]
Procuremos um número real \(x\) tal que:
\[ f(x)=y, \]
ou seja:
\[ x^2+1=y. \]
Subtraindo \(1\) a ambos os membros:
\[ x^2=y-1. \]
Como \(y\in[1,+\infty)\), temos:
\[ y-1\ge0. \]
Podemos portanto escolher:
\[ x=\sqrt{y-1}. \]
Este número pertence a \(\mathbb{R}\), ou seja, ao domínio da função.
Além disso:
\[ f(\sqrt{y-1}) = (\sqrt{y-1})^2+1 = y-1+1 = y. \]
Demonstrámos que todo o elemento do contradomínio é imagem de pelo menos um elemento do domínio.
Portanto, a função é sobrejectiva.
Exercício 11 — nível ★★★☆☆
Consideremos a função:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=2x+3. \]
Determine se a função é bijectiva.
Resultado
A função é bijectiva.
Resolução
Uma função é bijectiva se for simultaneamente injectiva e sobrejectiva.
Verifiquemos primeiro a injectividade.
Suponhamos que:
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Então:
\[ 2x_1+3=2x_2+3. \]
Subtraindo \(3\) a ambos os membros:
\[ 2x_1=2x_2. \]
Dividindo por \(2\):
\[ x_1=x_2. \]
A função é, portanto, injectiva.
Verifiquemos agora a sobrejectividade.
Seja:
\[ y\in\mathbb{R}. \]
Procuremos um \(x\in\mathbb{R}\) tal que:
\[ 2x+3=y. \]
Resolvendo:
\[ x=\frac{y-3}{2}. \]
Este valor é real para todo o \(y\in\mathbb{R}\).
A função é, portanto, sobrejectiva.
Sendo simultaneamente injectiva e sobrejectiva, a função é bijectiva.
Exercício 12 — nível ★★★☆☆
Consideremos a função:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=x^3. \]
Determine se a função é bijectiva.
Resultado
A função é bijectiva.
Resolução
Uma função é bijectiva se for simultaneamente:
- injectiva;
- sobrejectiva.
Verifiquemos antes de mais a injectividade.
Suponhamos que:
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Obtemos:
\[ x_1^3=x_2^3. \]
Extraindo a raiz cúbica de ambos os membros:
\[ x_1=x_2. \]
A função é, portanto, injectiva.
Verifiquemos agora a sobrejectividade.
Seja:
\[ y\in\mathbb{R}. \]
Procuremos um número real \(x\) tal que:
\[ x^3=y. \]
Basta escolher:
\[ x=\sqrt[3]{y}. \]
De facto:
\[ \left(\sqrt[3]{y}\right)^3=y. \]
Todo o número real é assim atingido pela função.
A função é sobrejectiva.
Sendo simultaneamente injectiva e sobrejectiva, a função é bijectiva.
Exercício 13 — nível ★★★☆☆
Consideremos a função:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=x^2. \]
Determine se a função é bijectiva.
Resultado
A função não é bijectiva.
Resolução
Uma função é bijectiva se for simultaneamente injectiva e sobrejectiva.
Estudemos separadamente as duas propriedades.
A função:
\[ f(x)=x^2 \]
não é injectiva.
De facto:
\[ f(2)=4 \]
e:
\[ f(-2)=4. \]
Logo:
\[ f(2)=f(-2), \]
apesar de:
\[ 2\neq-2. \]
A função não é, portanto, injectiva.
Além disso, não é sobrejectiva em \(\mathbb{R}\).
De facto:
\[ x^2\ge0 \qquad \forall x\in\mathbb{R}, \]
pelo que a função nunca assume valores negativos.
Por exemplo, o número:
\[ -1\in\mathbb{R} \]
não é imagem de nenhum elemento do domínio.
A função não é, portanto, sobrejectiva.
Como não é nem injectiva nem sobrejectiva, a função não é bijectiva.
Exercício 14 — nível ★★★☆☆
Consideremos a função:
\[ f:(0,+\infty)\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=\ln(x). \]
Determine se a função é bijectiva.
Resultado
A função é bijectiva.
Resolução
Estudemos antes de mais a injectividade.
A função logaritmo natural é estritamente crescente no intervalo:
\[ (0,+\infty). \]
Uma função estritamente crescente associa sempre imagens distintas a elementos distintos do domínio.
A função é, portanto, injectiva.
Verifiquemos agora a sobrejectividade.
Seja:
\[ y\in\mathbb{R}. \]
Procuremos um número real positivo \(x\) tal que:
\[ \ln(x)=y. \]
Aplicando a exponencial a ambos os membros:
\[ x=e^y. \]
Como:
\[ e^y>0 \qquad \forall y\in\mathbb{R}, \]
o valor encontrado pertence ao domínio:
\[ (0,+\infty). \]
Além disso:
\[ \ln(e^y)=y. \]
Todo o número real pertence assim à imagem da função.
A função é sobrejectiva.
Sendo simultaneamente injectiva e sobrejectiva, a função é bijectiva.
Exercício 15 — nível ★★★★☆
Consideremos a função:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=2x-5. \]
Determine a função inversa.
Resultado
\[ f^{-1}(x)=\frac{x+5}{2}. \]
Resolução
Para determinar a função inversa, pondo:
\[ y=2x-5, \]
o objectivo é exprimir \(x\) em função de \(y\).
Somando \(5\) a ambos os membros:
\[ y+5=2x. \]
Dividindo agora por \(2\):
\[ x=\frac{y+5}{2}. \]
De seguida, trocamos o papel das variáveis e obtemos:
\[ f^{-1}(x)=\frac{x+5}{2}. \]
Verifiquemos o resultado calculando \(f(f^{-1}(x))\):
\[ f\left(\frac{x+5}{2}\right) = 2\cdot\frac{x+5}{2}-5. \]
Simplificando:
\[ x+5-5=x. \]
Logo:
\[ f(f^{-1}(x))=x. \]
A função inversa encontrada está, portanto, correcta.
Exercício 16 — nível ★★★★☆
Consideremos a função:
\[ f:[0,+\infty)\to[0,+\infty) \qquad,\qquad f(x)=x^2. \]
Determine a função inversa.
Resultado
\[ f^{-1}(x)=\sqrt{x}. \]
Resolução
A função:
\[ f(x)=x^2 \]
é considerada com domínio:
\[ [0,+\infty) \]
e contradomínio:
\[ [0,+\infty). \]
Esta escolha é fundamental: em todo o \(\mathbb{R}\), a função \(x^2\) não seria injectiva; restrita a \([0,+\infty)\), torna-se injectiva.
Para determinar a inversa, pondo:
\[ y=x^2 \]
e resolvendo em ordem a \(x\), obtemos formalmente:
\[ x=\pm\sqrt{y}. \]
Contudo, como o domínio da função original é \([0,+\infty)\), devemos escolher apenas o valor não negativo.
Portanto:
\[ x=\sqrt{y}. \]
Trocando o papel das variáveis, obtemos:
\[ f^{-1}(x)=\sqrt{x}. \]
Verifiquemos:
\[ f(f^{-1}(x))=f(\sqrt{x})=(\sqrt{x})^2=x, \qquad x\in[0,+\infty). \]
A função inversa está, portanto, correcta.
Exercício 17 — nível ★★★★☆
Consideremos a função:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=|x|. \]
Determine se a função é injectiva e, em caso negativo, encontre uma restrição do domínio que a torne injectiva.
Resultado
A função não é injectiva em \(\mathbb{R}\).
Uma possível restrição do domínio é:
\[ [0,+\infty). \]
Resolução
A função valor absoluto é:
\[ f(x)=|x|. \]
Para verificar se é injectiva em \(\mathbb{R}\), procuremos dois valores distintos do domínio com a mesma imagem.
Consideremos:
\[ x_1=2 \qquad \text{e} \qquad x_2=-2. \]
Temos:
\[ 2\neq-2. \]
Contudo:
\[ f(2)=|2|=2 \]
e:
\[ f(-2)=|-2|=2. \]
Logo:
\[ f(2)=f(-2), \]
apesar de \(2\neq-2\).
A função não é, portanto, injectiva em todo o \(\mathbb{R}\).
Para a tornar injectiva, podemos restringir o domínio a:
\[ [0,+\infty). \]
Neste intervalo, com efeito, vale:
\[ |x|=x. \]
A função torna-se assim:
\[ f(x)=x, \]
que é claramente injectiva.
Exercício 18 — nível ★★★★☆
Consideremos a função:
\[ f:\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=\tan(x). \]
Determine se a função é bijectiva.
Resultado
A função é bijectiva.
Resolução
Para determinar se a função é bijectiva, devemos verificar que é simultaneamente injectiva e sobrejectiva.
Estudemos primeiro a injectividade.
No intervalo:
\[ \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \]
a função tangente é estritamente crescente.
Uma função estritamente crescente é injectiva, pois a valores distintos do domínio correspondem imagens distintas.
Portanto, \(f\) é injectiva.
Verifiquemos agora a sobrejectividade.
O contradomínio da função é \(\mathbb{R}\). Devemos portanto mostrar que todo o número real é atingido pela função.
É sabido que:
\[ \lim_{x\to-\frac{\pi}{2}^{+}}\tan(x)=-\infty \]
e:
\[ \lim_{x\to\frac{\pi}{2}^{-}}\tan(x)=+\infty. \]
Além disso, a função tangente é contínua no intervalo:
\[ \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right). \]
Assim, enquanto \(x\) percorre o intervalo \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\), a função \(\tan(x)\) assume todos os valores reais.
Por conseguinte:
\[ \mathrm{Im}(f)=\mathbb{R}. \]
Como a imagem coincide com o contradomínio, a função é sobrejectiva.
Sendo simultaneamente injectiva e sobrejectiva, a função é bijectiva.
Exercício 19 — nível ★★★★★
Consideremos a função:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=x^3-1. \]
Determine se a função é invertível e, em caso afirmativo, encontre a sua inversa.
Resultado
A função é invertível.
A sua inversa é:
\[ f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x+1}. \]
Resolução
Uma função é invertível se for bijectiva, ou seja, se for simultaneamente injectiva e sobrejectiva.
Estudemos a função:
\[ f(x)=x^3-1. \]
A função \(x^3\) é estritamente crescente em todo o \(\mathbb{R}\). Subtrair \(1\) translada o gráfico para baixo, mas não altera a monotonicidade.
Portanto, \(f(x)=x^3-1\) é estritamente crescente em \(\mathbb{R}\).
Por conseguinte, é injectiva.
Verifiquemos agora a sobrejectividade.
Seja:
\[ y\in\mathbb{R}. \]
Procuremos um número real \(x\) tal que:
\[ x^3-1=y. \]
Somando \(1\) a ambos os membros:
\[ x^3=y+1. \]
Extraindo a raiz cúbica:
\[ x=\sqrt[3]{y+1}. \]
Este valor existe e é real para todo o \(y\in\mathbb{R}\).
Todo o número real \(y\) é assim imagem de pelo menos um elemento do domínio.
A função é, portanto, sobrejectiva.
Sendo simultaneamente injectiva e sobrejectiva, a função é bijectiva e portanto invertível.
Determinemos agora a inversa.
Partindo de:
\[ y=x^3-1, \]
resolvemos em ordem a \(x\):
\[ y+1=x^3 \]
\[ x=\sqrt[3]{y+1}. \]
Trocando o papel das variáveis, obtemos:
\[ f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x+1}. \]
Exercício 20 — nível ★★★★★
Consideremos a função:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=x^2-4x+3. \]
Determine se a função é invertível em \(\mathbb{R}\). Em caso negativo, encontre uma restrição do domínio que a torne invertível.
Resultado
A função não é invertível em \(\mathbb{R}\).
Uma possível restrição do domínio que a torna invertível é:
\[ [2,+\infty). \]
Resolução
A função dada é:
\[ f(x)=x^2-4x+3. \]
Trata-se de uma função quadrática. As funções quadráticas, consideradas em todo o \(\mathbb{R}\), não são injectivas, pois o seu gráfico é uma parábola.
Verifiquemos explicitamente que esta função não é injectiva.
Calculemos:
\[ f(1)=1^2-4\cdot1+3=1-4+3=0. \]
Além disso:
\[ f(3)=3^2-4\cdot3+3=9-12+3=0. \]
Logo:
\[ f(1)=f(3), \]
mas:
\[ 1\neq3. \]
Encontrámos dois elementos distintos do domínio com a mesma imagem.
Portanto, a função não é injectiva e, por conseguinte, não é invertível em todo o \(\mathbb{R}\).
Procuremos agora uma restrição do domínio que a torne invertível.
Completemos o quadrado:
\[ x^2-4x+3=(x-2)^2-1. \]
Desta forma, observamos que o vértice da parábola tem abcissa:
\[ x=2. \]
A função é decrescente para:
\[ x\le2 \]
e crescente para:
\[ x\ge2. \]
Restringindo o domínio a:
\[ [2,+\infty), \]
a função torna-se estritamente crescente e, portanto, injectiva.
Além disso, nesse intervalo, a imagem é:
\[ [-1,+\infty). \]
A função:
\[ f:[2,+\infty)\to[-1,+\infty) \]
definida por:
\[ f(x)=x^2-4x+3 \]
é portanto bijectiva e consequentemente invertível.