Apresentamos uma coletânea de 20 exercícios resolvidos sobre funções injetivas, sobrejetivas e bijetivas, concebidos para compreender de forma rigorosa e progressiva três propriedades fundamentais das funções.
Recordamos brevemente que uma função \(f:A\to B\) se diz:
- injetiva se elementos distintos do domínio têm imagens distintas;
- sobrejetiva se todo elemento do contradomínio é imagem de pelo menos um elemento do domínio;
- bijetiva se é simultaneamente injetiva e sobrejetiva.
Em fórmulas:
\[ f \text{ é injetiva} \iff \forall x_1,x_2\in A,\; f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2. \]
\[ f \text{ é sobrejetiva} \iff \mathrm{Im}(f)=\mathrm{Cod}(f). \]
Exercício 1 — nível ★☆☆☆☆
Consideremos a função:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=2x+1. \]
Determinar se \(f\) é injetiva.
Resultado
A função é injetiva.
Resolução
Para verificar se uma função é injetiva, devemos averiguar se dois elementos do domínio com a mesma imagem coincidem necessariamente.
Suponhamos, então, que:
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Como \(f(x)=2x+1\), obtemos:
\[ 2x_1+1=2x_2+1. \]
Subtraindo \(1\) de ambos os membros:
\[ 2x_1=2x_2. \]
Dividindo por \(2\):
\[ x_1=x_2. \]
Fica assim demonstrado que:
\[ f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2. \]
Portanto, a função é injetiva.
Exercício 2 — nível ★☆☆☆☆
Consideremos a função:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=x^2. \]
Determinar se \(f\) é injetiva.
Resultado
A função não é injetiva.
Resolução
Para mostrar que uma função não é injetiva, basta encontrar dois elementos distintos do domínio com a mesma imagem.
Consideremos:
\[ x_1=2, \qquad x_2=-2. \]
Claramente:
\[ 2\ne -2. \]
Calculemos agora as imagens:
\[ f(2)=2^2=4. \]
Além disso:
\[ f(-2)=(-2)^2=4. \]
Logo:
\[ f(2)=f(-2), \]
embora \(2\ne -2\).
Existem, portanto, dois elementos distintos do domínio com a mesma imagem.
Por conseguinte, a função não é injetiva.
Exercício 3 — nível ★☆☆☆☆
Consideremos a função:
\[ f:[0,+\infty)\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=x^2. \]
Determinar se \(f\) é injetiva.
Resultado
A função é injetiva.
Resolução
A lei da função é \(f(x)=x^2\), mas o domínio deixou de ser todo o \(\mathbb{R}\). Agora o domínio é:
\[ [0,+\infty). \]
Este detalhe é fundamental. Em todo o \(\mathbb{R}\), a função quadrática não é injetiva; restringida apenas aos números não negativos, contudo, passa a sê-lo.
Suponhamos que:
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Então:
\[ x_1^2=x_2^2. \]
Como \(x_1\) e \(x_2\) pertencem ambos a \([0,+\infty)\), são ambos não negativos.
Dois números não negativos com o mesmo quadrado devem coincidir.
Logo:
\[ x_1=x_2. \]
Portanto:
\[ f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2. \]
A função é, portanto, injetiva.
Exercício 4 — nível ★★☆☆☆
Consideremos a função:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=x^3. \]
Determinar se \(f\) é injetiva.
Resultado
A função é injetiva.
Resolução
Verifiquemos a injetividade usando a definição.
Suponhamos que:
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Como \(f(x)=x^3\), obtemos:
\[ x_1^3=x_2^3. \]
A função raiz cúbica está definida em todo o \(\mathbb{R}\). Podemos, então, extrair a raiz cúbica de ambos os membros:
\[ \sqrt[3]{x_1^3}=\sqrt[3]{x_2^3}. \]
Consequentemente:
\[ x_1=x_2. \]
Fica demonstrado que dois elementos com a mesma imagem coincidem necessariamente.
Portanto, a função é injetiva.
Exercício 5 — nível ★★☆☆☆
Consideremos a função:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=x^2+1. \]
Determinar se \(f\) é sobrejetiva.
Resultado
A função não é sobrejetiva.
Resolução
Uma função \(f:A\to B\) é sobrejetiva se todo elemento do contradomínio \(B\) é efetivamente atingido pela função.
Neste caso, o contradomínio é:
\[ \mathbb{R}. \]
Estudemos os valores assumidos por:
\[ f(x)=x^2+1. \]
Para todo \(x\in\mathbb{R}\), tem-se:
\[ x^2\ge 0. \]
Logo:
\[ x^2+1\ge 1. \]
A função assume apenas valores maiores ou iguais a \(1\).
Por exemplo, o número \(0\) pertence ao contradomínio \(\mathbb{R}\), mas nunca é atingido pela função.
Com efeito, a equação:
\[ x^2+1=0 \]
equivale a:
\[ x^2=-1, \]
que não tem soluções reais.
Existe, portanto, pelo menos um elemento do contradomínio que não é imagem de nenhum elemento do domínio.
Por conseguinte, a função não é sobrejetiva.
Exercício 6 — nível ★★☆☆☆
Consideremos a função:
\[ f:\mathbb{R}\to[1,+\infty), \qquad f(x)=x^2+1. \]
Determinar se \(f\) é sobrejetiva.
Resultado
A função é sobrejetiva.
Resolução
A lei da função é a mesma do exercício anterior:
\[ f(x)=x^2+1. \]
Contudo, o contradomínio mudou. Agora temos:
\[ f:\mathbb{R}\to[1,+\infty). \]
Para provar a sobrejetividade, devemos mostrar que todo elemento de \([1,+\infty)\) é atingido pela função.
Seja, então:
\[ y\in[1,+\infty). \]
Procuremos \(x\in\mathbb{R}\) tal que:
\[ f(x)=y. \]
Ou seja:
\[ x^2+1=y. \]
Subtraindo \(1\) de ambos os membros:
\[ x^2=y-1. \]
Como \(y\ge 1\), temos:
\[ y-1\ge 0. \]
Podemos, então, escolher:
\[ x=\sqrt{y-1}. \]
Este valor pertence a \(\mathbb{R}\). Além disso:
\[ f(\sqrt{y-1})=(\sqrt{y-1})^2+1=y. \]
Fica assim mostrado que todo elemento do contradomínio é imagem de pelo menos um elemento do domínio.
Portanto, a função é sobrejetiva.
Exercício 7 — nível ★★☆☆☆
Consideremos a função:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=2x-5. \]
Determinar se \(f\) é bijetiva.
Resultado
A função é bijetiva.
Resolução
Uma função é bijetiva se for simultaneamente injetiva e sobrejetiva.
Verifiquemos primeiro a injetividade.
Suponhamos que:
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Então:
\[ 2x_1-5=2x_2-5. \]
Somando \(5\) a ambos os membros:
\[ 2x_1=2x_2. \]
Dividindo por \(2\):
\[ x_1=x_2. \]
Logo, \(f\) é injetiva.
Verifiquemos agora a sobrejetividade.
Seja:
\[ y\in\mathbb{R}. \]
Procuremos \(x\in\mathbb{R}\) tal que:
\[ 2x-5=y. \]
Resolvendo:
\[ 2x=y+5, \]
logo:
\[ x=\frac{y+5}{2}. \]
Este valor é real para todo \(y\in\mathbb{R}\). Logo, todo elemento do contradomínio é atingido.
A função é sobrejetiva.
Sendo simultaneamente injetiva e sobrejetiva, a função é bijetiva.
Exercício 8 — nível ★★☆☆☆
Consideremos a função:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=x^2. \]
Determinar se \(f\) é bijetiva.
Resultado
A função não é bijetiva.
Resolução
Uma função é bijetiva se for simultaneamente injetiva e sobrejetiva.
Estudemos as duas propriedades separadamente.
A função não é injetiva. Com efeito:
\[ f(2)=2^2=4 \]
e:
\[ f(-2)=(-2)^2=4. \]
Logo:
\[ f(2)=f(-2), \]
embora \(2\ne -2\).
Logo, \(f\) não é injetiva.
Além disso, não é sobrejetiva em \(\mathbb{R}\), pois:
\[ x^2\ge 0 \qquad \forall x\in\mathbb{R}. \]
A função nunca assume valores negativos.
Por exemplo:
\[ -1\in\mathbb{R} \]
pertence ao contradomínio, mas não é imagem de nenhum elemento do domínio.
A função não é, pois, sobrejetiva.
Uma vez que não é injetiva nem sobrejetiva, não é bijetiva.
Exercício 9 — nível ★★★☆☆
Consideremos a função:
\[ f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=\ln(x). \]
Determinar se \(f\) é bijetiva.
Resultado
A função é bijetiva.
Resolução
Estudemos separadamente a injetividade e a sobrejetividade.
Verifiquemos primeiro a injetividade.
Suponhamos que:
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Então:
\[ \ln(x_1)=\ln(x_2). \]
A função logaritmo natural é estritamente crescente no intervalo:
\[ (0,+\infty). \]
Por conseguinte, dois logaritmos iguais implicam necessariamente:
\[ x_1=x_2. \]
A função é, portanto, injetiva.
Verifiquemos agora a sobrejetividade.
Seja:
\[ y\in\mathbb{R}. \]
Procuremos \(x\gt0\) tal que:
\[ \ln(x)=y. \]
Aplicando a exponencial a ambos os membros:
\[ x=e^y. \]
Como:
\[ e^y\gt0 \]
para todo \(y\in\mathbb{R}\), o valor encontrado pertence ao domínio.
Além disso:
\[ \ln(e^y)=y. \]
Logo, todo elemento do contradomínio é efetivamente atingido.
A função é sobrejetiva.
Sendo simultaneamente injetiva e sobrejetiva, a função é bijetiva.
Exercício 10 — nível ★★★☆☆
Consideremos a função:
\[ f:\mathbb{R}\to[0,+\infty), \qquad f(x)=x^2. \]
Determinar se \(f\) é sobrejetiva.
Resultado
A função é sobrejetiva.
Resolução
O contradomínio da função é:
\[ [0,+\infty). \]
Para verificar a sobrejetividade, devemos mostrar que todo elemento deste conjunto é atingido pela função.
Seja, então:
\[ y\in[0,+\infty). \]
Procuremos \(x\in\mathbb{R}\) tal que:
\[ x^2=y. \]
Como:
\[ y\ge0, \]
podemos escolher:
\[ x=\sqrt{y}. \]
Este valor pertence a \(\mathbb{R}\). Além disso:
\[ f(\sqrt{y})=(\sqrt{y})^2=y. \]
Todo elemento do contradomínio é, assim, atingido pela função.
Portanto, a função é sobrejetiva.
Exercício 11 — nível ★★★☆☆
Consideremos a função:
\[ f:\mathbb{R}\setminus\{0\}\to\mathbb{R}\setminus\{0\}, \qquad f(x)=\frac{1}{x}. \]
Determinar se \(f\) é bijetiva.
Resultado
A função é bijetiva.
Resolução
Verifiquemos, em primeiro lugar, a injetividade.
Suponhamos que:
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Obtemos:
\[ \frac{1}{x_1}=\frac{1}{x_2}. \]
Multiplicando por \(x_1x_2\), que é diferente de zero, obtemos:
\[ x_2=x_1. \]
A função é, portanto, injetiva.
Verifiquemos agora a sobrejetividade.
Seja:
\[ y\in\mathbb{R}\setminus\{0\}. \]
Procuremos \(x\ne0\) tal que:
\[ \frac{1}{x}=y. \]
Resolvendo:
\[ x=\frac{1}{y}. \]
Como \(y\ne0\), este valor está bem definido e pertence ao domínio.
Além disso:
\[ f\left(\frac{1}{y}\right)=\frac{1}{\frac{1}{y}}=y. \]
A função é, portanto, sobrejetiva.
Sendo simultaneamente injetiva e sobrejetiva, a função é bijetiva.
Exercício 12 — nível ★★★☆☆
Consideremos a função:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=|x|. \]
Determinar se \(f\) é injetiva.
Resultado
A função não é injetiva.
Resolução
Para mostrar que uma função não é injetiva, basta encontrar dois elementos distintos do domínio com a mesma imagem.
Consideremos:
\[ x_1=3, \qquad x_2=-3. \]
Claramente:
\[ 3\ne -3. \]
No entanto:
\[ f(3)=|3|=3 \]
e:
\[ f(-3)=|-3|=3. \]
Logo:
\[ f(3)=f(-3), \]
embora:
\[ 3\ne -3. \]
A função não é, pois, injetiva.
Exercício 13 — nível ★★★★☆
Consideremos a função:
\[ f:[0,+\infty)\to[0,+\infty), \qquad f(x)=|x|. \]
Determinar se \(f\) é bijetiva.
Resultado
A função é bijetiva.
Resolução
No intervalo:
\[ [0,+\infty), \]
o valor absoluto coincide com a função identidade:
\[ |x|=x. \]
A função torna-se, então:
\[ f(x)=x. \]
Verifiquemos a injetividade.
Se:
\[ f(x_1)=f(x_2), \]
então:
\[ x_1=x_2. \]
A função é, portanto, injetiva.
Verifiquemos agora a sobrejetividade.
Seja:
\[ y\in[0,+\infty). \]
Basta escolher:
\[ x=y. \]
Com efeito:
\[ f(y)=y. \]
Todo elemento do contradomínio é, assim, atingido.
A função é sobrejetiva.
Portanto, a função é bijetiva.
Exercício 14 — nível ★★★★☆
Consideremos a função:
\[ f:\mathbb{R}\to[0,+\infty), \qquad f(x)=|x|. \]
Determinar se \(f\) é sobrejetiva.
Resultado
A função é sobrejetiva.
Resolução
Para verificar a sobrejetividade, devemos averiguar se todo elemento do contradomínio é atingido pela função.
O contradomínio é:
\[ [0,+\infty). \]
Seja, então:
\[ y\in[0,+\infty). \]
Devemos encontrar pelo menos um \(x\in\mathbb{R}\) tal que:
\[ |x|=y. \]
Como \(y\ge 0\), podemos escolher:
\[ x=y. \]
Com efeito:
\[ f(y)=|y|=y. \]
Logo, todo elemento do contradomínio \([0,+\infty)\) é efetivamente alcançado pela função.
Portanto, \(f\) é sobrejetiva.
Exercício 15 — nível ★★★★☆
Consideremos a função:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=x^3-1. \]
Determinar se \(f\) é bijetiva.
Resultado
A função é bijetiva.
Resolução
Para determinar se \(f\) é bijetiva, devemos verificar que é simultaneamente injetiva e sobrejetiva.
Estudemos primeiro a injetividade.
Suponhamos que:
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Como \(f(x)=x^3-1\), obtemos:
\[ x_1^3-1=x_2^3-1. \]
Somando \(1\) a ambos os membros:
\[ x_1^3=x_2^3. \]
Extraindo a raiz cúbica:
\[ x_1=x_2. \]
Logo, \(f\) é injetiva.
Verifiquemos agora a sobrejetividade.
Seja:
\[ y\in\mathbb{R}. \]
Procuremos \(x\in\mathbb{R}\) tal que:
\[ x^3-1=y. \]
Somando \(1\) a ambos os membros:
\[ x^3=y+1. \]
Extraindo a raiz cúbica:
\[ x=\sqrt[3]{y+1}. \]
Este valor é real para todo \(y\in\mathbb{R}\).
Além disso:
\[ f\left(\sqrt[3]{y+1}\right) = \left(\sqrt[3]{y+1}\right)^3-1 = y+1-1 = y. \]
Logo, todo elemento do contradomínio é atingido pela função.
A função é sobrejetiva.
Sendo simultaneamente injetiva e sobrejetiva, \(f\) é bijetiva.
Exercício 16 — nível ★★★★☆
Consideremos a função:
\[ f:[0,+\infty)\to[1,+\infty), \qquad f(x)=x^2+1. \]
Determinar se \(f\) é bijetiva.
Resultado
A função é bijetiva.
Resolução
Verifiquemos primeiro a injetividade.
Suponhamos que:
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Então:
\[ x_1^2+1=x_2^2+1. \]
Subtraindo \(1\) de ambos os membros:
\[ x_1^2=x_2^2. \]
Como \(x_1,x_2\in[0,+\infty)\), ambos são não negativos.
Dois números não negativos com o mesmo quadrado coincidem.
Logo:
\[ x_1=x_2. \]
A função é injetiva.
Verifiquemos agora a sobrejetividade.
Seja:
\[ y\in[1,+\infty). \]
Procuremos \(x\in[0,+\infty)\) tal que:
\[ x^2+1=y. \]
Obtemos:
\[ x^2=y-1. \]
Como \(y\ge 1\), temos \(y-1\ge 0\). Podemos, então, escolher:
\[ x=\sqrt{y-1}. \]
Tal valor pertence a \([0,+\infty)\). Além disso:
\[ f(\sqrt{y-1}) = (\sqrt{y-1})^2+1 = y. \]
A função é, pois, sobrejetiva.
Sendo simultaneamente injetiva e sobrejetiva, \(f\) é bijetiva.
Exercício 17 — nível ★★★★☆
Consideremos a função:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=x^2-4x+3. \]
Determinar se \(f\) é injetiva.
Resultado
A função não é injetiva.
Resolução
Para verificar se a função é injetiva, procuremos dois elementos distintos do domínio com a mesma imagem.
Calculemos:
\[ f(1)=1^2-4\cdot1+3=1-4+3=0. \]
Calculemos também:
\[ f(3)=3^2-4\cdot3+3=9-12+3=0. \]
Logo:
\[ f(1)=f(3), \]
mas:
\[ 1\ne 3. \]
Temos assim dois elementos distintos do domínio com a mesma imagem.
Por conseguinte, a função não é injetiva.
Observemos também a razão geométrica: completando o quadrado, obtemos:
\[ x^2-4x+3=(x-2)^2-1. \]
O gráfico é uma parábola com eixo de simetria \(x=2\). Por essa razão, em todo o \(\mathbb{R}\), a função assume frequentemente o mesmo valor em dois pontos distintos.
Exercício 18 — nível ★★★★★
Consideremos a função:
\[ f:[2,+\infty)\to[-1,+\infty), \qquad f(x)=x^2-4x+3. \]
Determinar se \(f\) é bijetiva.
Resultado
A função é bijetiva.
Resolução
Reescrevamos a função completando o quadrado:
\[ f(x)=x^2-4x+3=(x-2)^2-1. \]
O domínio é:
\[ [2,+\infty). \]
Neste intervalo, \(x-2\ge 0\). A função:
\[ (x-2)^2-1 \]
é estritamente crescente para \(x\ge 2\).
Verifiquemos a injetividade de modo direto.
Suponhamos que:
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Então:
\[ (x_1-2)^2-1=(x_2-2)^2-1. \]
Somando \(1\) a ambos os membros:
\[ (x_1-2)^2=(x_2-2)^2. \]
Como \(x_1,x_2\in[2,+\infty)\), temos:
\[ x_1-2\ge 0 \qquad\text{e}\qquad x_2-2\ge 0. \]
Dois números não negativos com o mesmo quadrado coincidem. Logo:
\[ x_1-2=x_2-2. \]
Logo:
\[ x_1=x_2. \]
A função é injetiva.
Verifiquemos agora a sobrejetividade.
Seja:
\[ y\in[-1,+\infty). \]
Procuremos \(x\in[2,+\infty)\) tal que:
\[ (x-2)^2-1=y. \]
Obtemos:
\[ (x-2)^2=y+1. \]
Como \(y\ge -1\), temos:
\[ y+1\ge 0. \]
Além disso, como \(x\ge 2\), devemos escolher a raiz não negativa:
\[ x-2=\sqrt{y+1}. \]
Donde:
\[ x=2+\sqrt{y+1}. \]
Este valor pertence a \([2,+\infty)\). Com efeito:
\[ 2+\sqrt{y+1}\ge 2. \]
Além disso:
\[ f(2+\sqrt{y+1}) = (2+\sqrt{y+1}-2)^2-1 = (\sqrt{y+1})^2-1 = y. \]
Todo elemento do contradomínio é, assim, alcançado.
A função é sobrejetiva.
Sendo simultaneamente injetiva e sobrejetiva, \(f\) é bijetiva.
Exercício 19 — nível ★★★★★
Consideremos a função:
\[ f:\mathbb{R}\setminus\{1\}\to\mathbb{R}\setminus\{2\}, \qquad f(x)=\frac{2x+1}{x-1}. \]
Determinar se \(f\) é bijetiva.
Resultado
A função é bijetiva.
Resolução
Para determinar se \(f\) é bijetiva, devemos verificar que é simultaneamente injetiva e sobrejetiva.
Verifiquemos primeiro a injetividade.
Suponhamos que:
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Então:
\[ \frac{2x_1+1}{x_1-1} = \frac{2x_2+1}{x_2-1}. \]
Como \(x_1\ne1\) e \(x_2\ne1\), podemos multiplicar em cruz:
\[ (2x_1+1)(x_2-1)=(2x_2+1)(x_1-1). \]
Desenvolvamos o primeiro membro:
\[ (2x_1+1)(x_2-1)=2x_1x_2-2x_1+x_2-1. \]
Desenvolvamos o segundo membro:
\[ (2x_2+1)(x_1-1)=2x_1x_2-2x_2+x_1-1. \]
Logo:
\[ 2x_1x_2-2x_1+x_2-1 = 2x_1x_2-2x_2+x_1-1. \]
Subtraindo \(2x_1x_2\) e somando \(1\) a ambos os membros:
\[ -2x_1+x_2=-2x_2+x_1. \]
Passemos os termos em \(x_1\) para um lado e os termos em \(x_2\) para o outro:
\[ -3x_1=-3x_2. \]
Dividindo por \(-3\), obtemos:
\[ x_1=x_2. \]
Logo, \(f\) é injetiva.
Verifiquemos agora a sobrejetividade.
Seja:
\[ y\in\mathbb{R}\setminus\{2\}. \]
Procuremos \(x\in\mathbb{R}\setminus\{1\}\) tal que:
\[ \frac{2x+1}{x-1}=y. \]
Multipliquemos por \(x-1\):
\[ 2x+1=y(x-1). \]
Desenvolvendo:
\[ 2x+1=yx-y. \]
Passemos os termos que contêm \(x\) para um lado:
\[ 2x-yx=-y-1. \]
Colocando \(x\) em evidência:
\[ x(2-y)=-(y+1). \]
Como \(y\ne2\), podemos dividir por \(2-y\):
\[ x=\frac{-(y+1)}{2-y}. \]
De modo equivalente:
\[ x=\frac{y+1}{y-2}. \]
Este valor é real para todo \(y\ne2\). Além disso, devemos verificar que pertence ao domínio, isto é, que é diferente de \(1\).
Se fosse:
\[ \frac{y+1}{y-2}=1, \]
teríamos:
\[ y+1=y-2, \]
ou seja:
\[ 1=-2, \]
o que é impossível.
Logo, o valor encontrado pertence sempre ao domínio.
Além disso, substituindo-o na função, obtém-se precisamente \(y\).
Todo elemento do contradomínio tem, portanto, pelo menos uma pré-imagem.
A função é sobrejetiva.
Sendo simultaneamente injetiva e sobrejetiva, \(f\) é bijetiva.
Exercício 20 — nível ★★★★★
Consideremos a função:
\[ f:\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=\tan(x). \]
Determinar se \(f\) é bijetiva.
Resultado
A função é bijetiva.
Resolução
Para determinar se \(f\) é bijetiva, devemos verificar que é simultaneamente injetiva e sobrejetiva.
Estudemos primeiro a injetividade.
No intervalo:
\[ \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \]
a função tangente é estritamente crescente.
Uma função estritamente crescente associa imagens distintas a elementos distintos do domínio.
Logo, \(f\) é injetiva.
Verifiquemos agora a sobrejetividade.
O contradomínio é:
\[ \mathbb{R}. \]
Devemos mostrar que todo número real é atingido pela função.
Seja:
\[ y\in\mathbb{R}. \]
Procuremos \(x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) tal que:
\[ \tan(x)=y. \]
A escolha natural é:
\[ x=\arctan(y). \]
Por definição, a função arcotangente assume valores no intervalo:
\[ \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right). \]
Logo:
\[ \arctan(y)\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right). \]
Além disso:
\[ \tan(\arctan(y))=y. \]
Temos assim, para todo \(y\in\mathbb{R}\), pelo menos um elemento do domínio cuja imagem é \(y\).
A função é sobrejetiva.
Sendo simultaneamente injetiva e sobrejetiva, \(f\) é bijetiva.