Os intervalos e as vizinhanças são subconjuntos particulares da recta real. Permitem descrever com precisão conjuntos de números reais compreendidos entre dois extremos ou regiões da recta suficientemente próximas de um ponto fixado.
Os intervalos representam porções contínuas da recta real, enquanto as vizinhanças descrevem regiões da recta suficientemente próximas de um ponto fixado.
Estudaremos agora, de forma rigorosa, os intervalos e as vizinhanças, distinguindo entre intervalos abertos, fechados, limitados, ilimitados e os principais tipos de vizinhança.
Índice
- Intervalos na Recta Real
- Definição Formal de Intervalo
- Intervalos Limitados: Abertos, Fechados e Semiabertos
- Extremos, Centro, Amplitude e Raio
- Intervalos Ilimitados e Semirectas
- Representação Gráfica dos Intervalos
- Conjuntos Abertos e Fechados
- Vizinhanças de um Ponto
- Vizinhanças Circulares Abertas e Fechadas
- Vizinhanças à Direita e à Esquerda
- Vizinhanças Reduzidas
- Vizinhanças de \(+\infty\) e \(-\infty\)
- Observações Finais
Intervalos na Recta Real
Um intervalo é um conjunto de números reais que ocupa uma porção contínua da recta real.
Por exemplo: \[ [2,5] \]
contém todos os números reais compreendidos entre \(2\) e \(5\), extremos incluídos.
O conjunto: \[ (2,5) \qquad \text{ou} \qquad ]2,5[ \]
contém, pelo contrário, todos os números reais compreendidos entre \(2\) e \(5\), mas exclui os extremos \(2\) e \(5\).
Em muitos textos de análise matemática utiliza-se a segunda notação com parênteses rectos invertidos para indicar o intervalo aberto.
A ideia fundamental é que um intervalo não apresenta interrupções: se contém dois números, então contém também todos os números compreendidos entre eles.
Definição Formal de Intervalo
Em matemática, um intervalo é um subconjunto convexo particular da recta real.
Formalmente, um subconjunto: \[ I\subseteq\mathbb{R} \]
diz-se intervalo se:
\[ \forall x,y\in I,\ \forall z\in\mathbb{R},\quad \min(x,y)<z<\max(x,y) \Longrightarrow z\in I \]
Isso significa que, escolhidos quaisquer dois elementos do conjunto, todos os números compreendidos entre eles pertencem ainda ao conjunto.
Esta propriedade garante a ausência de «lacunas» internas.
Exemplo. \[ [1,4] \] é um intervalo.
Com efeito, escolhidos quaisquer dois números pertencentes a \([1,4]\), todos os valores compreendidos entre eles pertencem ainda ao intervalo.
Contra-exemplo. \[ [1,2]\cup[3,4] \]
não é um intervalo.
Com efeito: \[ 1{,}5\in [1,2]\cup[3,4], \qquad 3{,}5\in [1,2]\cup[3,4] \]
mas: \[ 2{,}5\notin [1,2]\cup[3,4] \]
apesar de: \[ 1{,}5<2{,}5<3{,}5 \]
Intervalos Limitados: Abertos, Fechados e Semiabertos
Sejam: \[ a,b\in\mathbb{R}, \qquad a<b \]
Os intervalos limitados de extremos \(a\) e \(b\) classificam-se segundo a inclusão ou a exclusão dos extremos.
Intervalo aberto
O intervalo aberto de extremos \(a\) e \(b\) exclui ambos os extremos:
\[ (a,b)=]a,b[ =\{x\in\mathbb{R}\mid a<x<b\} \]
Intervalo fechado
O intervalo fechado de extremos \(a\) e \(b\) inclui ambos os extremos:
\[ [a,b] =\{x\in\mathbb{R}\mid a\leq x\leq b\} \]
Intervalos semiabertos
Os intervalos semiabertos contêm apenas um dos dois extremos.
Distinguem-se:
\[ [a,b)=[a,b[ =\{x\in\mathbb{R}\mid a\leq x<b\} \]
e:
\[ (a,b]=]a,b] =\{x\in\mathbb{R}\mid a<x\leq b\} \]
No primeiro caso, pertence ao intervalo o extremo esquerdo \(a\), mas não \(b\). No segundo caso, pertence \(b\), mas não \(a\).
Extremos, Centro, Amplitude e Raio
Consideremos um intervalo limitado de extremos \(a\) e \(b\), com:
\[ a<b \]
Definem-se:
- extremo inferior: o número \(a\);
- extremo superior: o número \(b\);
- amplitude (ou comprimento): \[ b-a \]
- centro: \[ \frac{a+b}{2} \]
- raio: \[ \frac{b-a}{2} \]
Por exemplo, para o intervalo: \[ [2,8] \]
a amplitude é: \[ 8-2=6 \]
o centro é: \[ \frac{2+8}{2}=5 \]
enquanto o raio é: \[ \frac{8-2}{2}=3 \]
Intervalos Ilimitados e Semirectas
Um intervalo diz-se ilimitado se se estende indefinidamente para a direita, para a esquerda ou em ambas as direcções da recta real.
As semirectas ilimitadas para a direita são:
\[ (a,+\infty)=]a,+\infty[ =\{x\in\mathbb{R}\mid x>a\} \]
e:
\[ [a,+\infty)=[a,+\infty[ =\{x\in\mathbb{R}\mid x\geq a\} \]
Analogamente, as semirectas ilimitadas para a esquerda são:
\[ (-\infty,b)=]-\infty,b[ =\{x\in\mathbb{R}\mid x<b\} \]
e:
\[ (-\infty,b]=]-\infty,b] =\{x\in\mathbb{R}\mid x\leq b\} \]
É importante observar que: \[ +\infty\notin\mathbb{R}, \qquad -\infty\notin\mathbb{R} \]
Por conseguinte, os infinitos nunca podem ser incluídos mediante parênteses rectos.
A recta real completa pode ser representada como: \[ \mathbb{R}=(-\infty,+\infty)=]-\infty,+\infty[ \]
Representação Gráfica dos Intervalos
Os intervalos podem ser representados graficamente na recta real.
Em geral:
- um ponto cheio indica que o extremo pertence ao intervalo;
- um ponto vazio indica que o extremo não pertence ao intervalo;
- uma linha contínua representa todos os pontos pertencentes ao intervalo.
Por exemplo, o intervalo: \[ [-2,3) \qquad \text{ou seja} \qquad [-2,3[ \]
contém \(-2\), mas não contém \(3\).
Na recta real representa-se então com:
- um ponto cheio em \(-2\);
- um ponto vazio em \(3\);
- uma linha contínua entre os dois extremos.
Conjuntos Abertos e Fechados
Os intervalos permitem introduzir os conceitos de conjunto aberto e conjunto fechado na recta real.
Um intervalo aberto: \[ (a,b)=]a,b[ \]
é um exemplo de conjunto aberto, pois cada um dos seus pontos pode ser rodeado por um pequeno intervalo ainda inteiramente contido no conjunto.
Um intervalo fechado: \[ [a,b] \]
é, pelo contrário, um exemplo de conjunto fechado da recta real.
Os intervalos: \[ [a,b), \qquad (a,b] \]
que se podem também escrever como: \[ [a,b[, \qquad ]a,b] \]
não são nem abertos nem fechados.
Vizinhanças de um Ponto
O conceito de vizinhança formaliza a ideia de proximidade a um ponto da recta real.
Seja: \[ x_0\in\mathbb{R} \]
Um conjunto: \[ U\subseteq\mathbb{R} \]
diz-se vizinhança de \(x_0\) se contém um intervalo aberto que contém \(x_0\).
Equivalentemente, \(U\) é uma vizinhança de \(x_0\) se existem dois números reais \(a,b\) tais que:
\[ x_0\in(a,b)\subseteq U \qquad \text{ou seja} \qquad x_0\in]a,b[\subseteq U \]
Intuitivamente, uma vizinhança contém sempre uma região suficientemente próxima do ponto \(x_0\).
Vizinhanças Circulares Abertas e Fechadas
As vizinhanças mais utilizadas são as vizinhanças circulares, ou seja, intervalos centrados num ponto.
Seja: \[ x_0\in\mathbb{R}, \qquad r>0 \]
onde \(r\) toma o nome de raio.
Vizinhança circular aberta
A vizinhança circular aberta de centro \(x_0\) e raio \(r\) é:
\[ I(x_0,r) = \{x\in\mathbb{R}\mid |x-x_0|<r\} \]
Equivalentemente:
\[ I(x_0,r) = (x_0-r,x_0+r) = ]x_0-r,x_0+r[ \]
A condição: \[ |x-x_0|<r \]
significa que a distância entre \(x\) e \(x_0\) é menor do que \(r\).
Vizinhança circular fechada
A vizinhança circular fechada de centro \(x_0\) e raio \(r\) é:
\[ \overline{I}(x_0,r) = \{x\in\mathbb{R}\mid |x-x_0|\leq r\} \]
Equivalentemente:
\[ \overline{I}(x_0,r) = [x_0-r,x_0+r] \]
Neste caso são incluídos também os extremos.
Exemplo. A vizinhança circular aberta de centro \(3\) e raio \(2\) é:
\[ I(3,2) = (1,5) = ]1,5[ \]
Vizinhanças à Direita e à Esquerda
Por vezes interessa estudar apenas os pontos que se encontram à direita ou à esquerda de um ponto fixado.
Uma vizinhança aberta à direita de \(x_0\) é um conjunto do tipo:
\[ (x_0,x_0+r) = ]x_0,x_0+r[ \]
com: \[ r>0 \]
Analogamente, uma vizinhança aberta à esquerda de \(x_0\) é:
\[ (x_0-r,x_0) = ]x_0-r,x_0[ \]
com: \[ r>0 \]
A primeira contém apenas pontos maiores do que \(x_0\), enquanto a segunda contém apenas pontos menores do que \(x_0\).
Vizinhanças Reduzidas
Uma vizinhança reduzida é uma vizinhança circular da qual se remove o ponto central.
Formalmente:
\[ I^\ast(x_0,r) = \{x\in\mathbb{R}\mid 0<|x-x_0|<r\} \]
Equivalentemente:
\[ I^\ast(x_0,r) = (x_0-r,x_0)\cup(x_0,x_0+r) = ]x_0-r,x_0[ \cup ]x_0,x_0+r[ \]
A condição: \[ 0<|x-x_0| \]
exclui o ponto: \[ x=x_0 \]
enquanto: \[ |x-x_0|<r \]
inclui todos os pontos cuja distância a \(x_0\) é menor do que \(r\).
Exemplo. Para: \[ x_0=4, \qquad r=1 \]
obtém-se:
\[ I^\ast(4,1) = (3,4)\cup(4,5) = ]3,4[ \cup ]4,5[ \]
Vizinhanças de \(+\infty\) e \(-\infty\)
Para poder estudar o comportamento das funções para valores ilimitadamente grandes, o conceito de vizinhança é estendido também aos infinitos.
Define-se vizinhança de \(+\infty\) como qualquer semirecta aberta à direita do tipo:
\[ (M,+\infty) = ]M,+\infty[ \]
com: \[ M\in\mathbb{R}, \qquad M>0 \]
Intuitivamente, esta vizinhança representa o conjunto de todos os números reais maiores do que um valor \(M\) positivo, escolhido tão grande quanto se queira.
Analogamente, define-se vizinhança de \(-\infty\) como qualquer semirecta aberta à esquerda do tipo:
\[ (-\infty,-M) = ]-\infty,-M[ \]
com: \[ M\in\mathbb{R}, \qquad M>0 \]
Este conjunto descreve a região da recta real constituída por todos os números menores do que \(-M\), com \(M\) positivo e escolhido tão grande quanto se queira.
Observações Finais
Os intervalos e as vizinhanças permitem descrever de forma rigorosa subconjuntos da recta real e regiões próximas de um ponto.
Os intervalos distinguem entre extremos incluídos e extremos excluídos, enquanto as vizinhanças introduzem o conceito de proximidade na recta real.
Em particular:
- os intervalos abertos não contêm os extremos;
- os intervalos fechados contêm os extremos;
- os intervalos semiabertos contêm apenas um extremo;
- as vizinhanças circulares abertas são intervalos abertos centrados num ponto;
- as vizinhanças circulares fechadas incluem também os extremos;
- as vizinhanças reduzidas excluem o ponto central;
- as vizinhanças de \(+\infty\) e \(-\infty\) representam semirectas abertas que se estendem para além de um valor arbitrariamente grande.
Estes conceitos serão utilizados continuamente no estudo das funções e da análise matemática.