Apresentamos uma colectânea de 20 exercícios resolvidos sobre intervalos e vizinhanças, concebidos para compreender de forma rigorosa e progressiva a estrutura dos principais subconjuntos da recta real.
Os exercícios abrangem intervalos abertos, fechados e semiabertos, semirrectas, a pertença a intervalos, a escrita na forma de conjunto e umas primeiras interpretações geométricas sobre a recta real.
Exercício 1 — nível ★☆☆☆☆
Escrever na forma de conjunto o intervalo:
\[ (2,7) \]
Resultado
\[ (2,7)=\{x\in\mathbb{R}\mid 2<x<7\} \]
Resolução
O intervalo:
\[ (2,7) \]
é um intervalo aberto.
Os parênteses indicam que os extremos \(2\) e \(7\) não pertencem ao intervalo.
Portanto:
\[ 2\notin(2,7), \qquad 7\notin(2,7). \]
Pertencem, em contrapartida, ao intervalo todos os números reais estritamente compreendidos entre \(2\) e \(7\).
Dizer que um número real \(x\) pertence a \((2,7)\) equivale, pois, a impor simultaneamente as duas condições:
\[ x>2 \]
e
\[ x<7. \]
Escrevendo as duas condições de forma compacta, obtemos:
\[ 2<x<7 \]
Por conseguinte:
\[ (2,7)=\{x\in\mathbb{R}\mid 2<x<7\} \]
Exercício 2 — nível ★☆☆☆☆
Escrever na forma de conjunto o intervalo:
\[ [-3,5] \]
Resultado
\[ [-3,5]=\{x\in\mathbb{R}\mid -3\leq x\leq 5\} \]
Resolução
O intervalo:
\[ [-3,5] \]
é um intervalo fechado.
Os parênteses rectos indicam que ambos os extremos pertencem ao intervalo.
Portanto:
\[ -3\in[-3,5], \qquad 5\in[-3,5]. \]
Além dos extremos, pertencem ao intervalo todos os números reais compreendidos entre \(-3\) e \(5\).
Um número real \(x\) pertence, portanto, a \([-3,5]\) se for maior ou igual a \(-3\) e menor ou igual a \(5\).
Em símbolos:
\[ -3\leq x\leq 5 \]
Consequentemente:
\[ [-3,5]=\{x\in\mathbb{R}\mid -3\leq x\leq 5\} \]
Exercício 3 — nível ★☆☆☆☆
Escrever na forma de intervalo o conjunto:
\[ \{x\in\mathbb{R}\mid 1\leq x<6\}. \]
Resultado
\[ [1,6) \qquad \text{ou} \qquad [1,6[ \]
Resolução
Consideremos o conjunto:
\[ \{x\in\mathbb{R}\mid 1\leq x<6\} \]
A condição:
\[ 1\leq x \]
significa que \(x\) pode ser igual a \(1\) ou maior do que \(1\).
Logo, o extremo esquerdo \(1\) pertence ao conjunto.
Por este motivo, à esquerda usa-se o parêntese recto:
\[ [1,\ldots \]
A condição:
\[ x<6 \]
por sua vez, significa que \(x\) deve ser estritamente menor do que \(6\).
Portanto, o número \(6\) não pertence ao conjunto.
Por este motivo, à direita usa-se o parêntese curvo:
\[ \ldots,6) \]
Assim, o conjunto dado é:
\[ [1,6) \]
Com a notação alternativa, muito usada em análise matemática, o mesmo intervalo escreve-se:
\[ [1,6[ \]
Exercício 4 — nível ★☆☆☆☆
Determinar se o número \(4\) pertence ao intervalo:
\[ (4,9] \]
Resultado
\[ 4\notin(4,9] \]
Resolução
O intervalo:
\[ (4,9] \]
é semiaberto.
O parêntese curvo à esquerda indica que o extremo esquerdo \(4\) não pertence ao intervalo.
O parêntese recto à direita, por sua vez, indica que o extremo direito \(9\) pertence ao intervalo.
Na forma de conjunto:
\[ (4,9]=\{x\in\mathbb{R}\mid 4<x\leq 9\}. \]
Para verificar se \(4\) pertence ao intervalo, substituímos \(x=4\) na condição:
\[ 4<x\leq 9. \]
Obtemos:
\[ 4<4\leq 9. \]
A desigualdade:
\[ 4<4 \]
é falsa, pois nenhum número real é estritamente menor do que si próprio.
Portanto, \(4\) não satisfaz a condição de pertença.
Assim:
\[ 4\notin(4,9] \]
Exercício 5 — nível ★★☆☆☆
Escrever na forma de conjunto a semirrecta:
\[ [-2,+\infty) \]
Resultado
\[ [-2,+\infty)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\geq -2\} \]
Resolução
O intervalo:
\[ [-2,+\infty) \]
é uma semirrecta ilimitada à direita.
Isto significa que contém todos os números reais maiores ou iguais a \(-2\).
O parêntese recto junto a \(-2\) indica que este extremo finito pertence ao intervalo.
Portanto:
\[ -2\in[-2,+\infty) \]
O símbolo \(+\infty\), por sua vez, não representa um número real.
Por este motivo, \(+\infty\) não pode ser incluído no intervalo por meio de um parêntese recto.
A condição de pertença é, pois:
\[ x\geq -2 \]
Por conseguinte:
\[ [-2,+\infty)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\geq -2\} \]
Exercício 6 — nível ★★☆☆☆
Determinar o centro, a amplitude e o raio do intervalo:
\[ [3,11] \]
Resultado
\[ \text{centro}=7,\qquad \text{amplitude}=8,\qquad \text{raio}=4 \]
Resolução
Consideremos o intervalo:
\[ [3,11]. \]
Os seus extremos são:
\[ a=3,\qquad b=11. \]
A amplitude, também chamada comprimento do intervalo, é a distância entre o extremo superior e o extremo inferior.
Portanto:
\[ b-a=11-3=8. \]
Assim:
\[ \text{amplitude}=8. \]
O centro do intervalo é o ponto médio entre os extremos.
Calcula-se através da fórmula:
\[ \frac{a+b}{2}. \]
Substituindo \(a=3\) e \(b=11\), obtemos:
\[ \frac{3+11}{2}=\frac{14}{2}=7. \]
Logo:
\[ \text{centro}=7. \]
O raio é a distância entre o centro e qualquer um dos dois extremos.
De forma equivalente, é metade da amplitude:
\[ \frac{b-a}{2}. \]
Portanto:
\[ \frac{11-3}{2}=\frac{8}{2}=4. \]
Assim:
\[ \text{raio}=4. \]
Exercício 7 — nível ★★☆☆☆
Escrever na forma de intervalo o conjunto dos números reais que satisfazem:
\[ |x-2|<5 \]
Resultado
\[ (-3,7) \qquad \text{ou} \qquad ]-3,7[ \]
Resolução
A expressão:
\[ |x-2| \]
representa a distância entre o número real \(x\) e o ponto \(2\) da recta real.
A inequação:
\[ |x-2|<5 \]
significa, portanto, que \(x\) deve estar a uma distância menor do que \(5\) do ponto \(2\).
Em termos de vizinhança aberta, procuramos todos os pontos da vizinhança de centro \(2\) e raio \(5\).
Usamos a propriedade:
\[ |A|<r \iff -r<A<r, \qquad r>0. \]
No nosso caso:
\[ A=x-2,\qquad r=5. \]
Portanto:
\[ -5<x-2<5. \]
Somamos \(2\) a todos os membros da dupla desigualdade:
\[ -5+2<x-2+2<5+2. \]
Obtemos:
\[ -3<x<7. \]
Assim, o conjunto solução é o intervalo aberto:
\[ (-3,7) \]
Com a notação alternativa:
\[ ]-3,7[ \]
Exercício 8 — nível ★★☆☆☆
Escrever na forma de intervalo o conjunto dos números reais que satisfazem:
\[ |x+1|\leq 4 \]
Resultado
\[ [-5,3] \]
Resolução
A quantidade:
\[ |x+1| \]
pode reescrever-se como:
\[ |x-(-1)|. \]
Representa, portanto, a distância entre \(x\) e o ponto \(-1\).
A inequação:
\[ |x+1|\leq 4 \]
significa que a distância entre \(x\) e \(-1\) deve ser menor ou igual a \(4\).
Como surge o símbolo \(\leq\), os extremos do intervalo serão incluídos.
Usamos a propriedade:
\[ |A|\leq r \iff -r\leq A\leq r, \qquad r>0. \]
No nosso caso:
\[ A=x+1,\qquad r=4. \]
Obtemos:
\[ -4\leq x+1\leq 4. \]
Subtraímos \(1\) a todos os membros:
\[ -4-1\leq x+1-1\leq 4-1. \]
Portanto:
\[ -5\leq x\leq 3. \]
Na forma de intervalo:
\[ [-5,3]. \]
Exercício 9 — nível ★★★☆☆
Determinar:
\[ [1,8]\cap(3,10) \]
Resultado
\[ (3,8] \qquad \text{ou} \qquad ]3,8] \]
Resolução
A intersecção de dois conjuntos contém exactamente os elementos que pertencem em simultâneo a ambos os conjuntos.
Consideremos o primeiro intervalo:
\[ [1,8] \]
Contém todos os números reais \(x\) tais que:
\[ 1\leq x\leq 8. \]
Consideremos agora o segundo intervalo:
\[ (3,10). \]
Contém todos os números reais \(x\) tais que:
\[ 3<x<10. \]
Para pertencer à intersecção, um número real deve satisfazer ambas as condições.
Devemos, portanto, impor em simultâneo:
\[ 1\leq x\leq 8 \]
e:
\[ 3<x<10. \]
A restrição mais forte à esquerda é:
\[ x>3. \]
Com efeito, se \(x>3\), então automaticamente \(x\geq1\).
A restrição mais forte à direita é:
\[ x\leq8. \]
Com efeito, se \(x\leq8\), então automaticamente \(x<10\).
Obtemos assim:
\[ 3<x\leq8. \]
Por conseguinte:
\[ [1,8]\cap(3,10)=(3,8] \]
Exercício 10 — nível ★★★☆☆
Determinar:
\[ [0,4]\cup(4,9) \]
Resultado
\[ [0,9) \qquad \text{ou} \qquad [0,9[ \]
Resolução
A união de dois conjuntos contém todos os elementos que pertencem pelo menos a um dos dois conjuntos.
O primeiro intervalo é:
\[ [0,4]. \]
Contém todos os números reais compreendidos entre \(0\) e \(4\), extremos incluídos.
Em particular:
\[ 4\in[0,4]. \]
O segundo intervalo é:
\[ (4,9). \]
Contém todos os números reais estritamente compreendidos entre \(4\) e \(9\).
Em particular, o número \(4\) não pertence ao segundo intervalo, mas pertence ao primeiro.
Por conseguinte, não se forma qualquer buraco no ponto \(4\).
A união contém:
- todos os números de \(0\) a \(4\), incluindo \(4\);
- todos os números maiores do que \(4\) e menores do que \(9\).
Globalmente, contém todos os números reais \(x\) tais que:
\[ 0\leq x<9. \]
Assim:
\[ [0,4]\cup(4,9)=[0,9) \]
Exercício 11 — nível ★★★☆☆
Determinar se o conjunto:
\[ [0,2)\cup(2,5] \]
é um intervalo.
Resultado
O conjunto não é um intervalo.
Resolução
Recordemos que um subconjunto \(I\subseteq\mathbb{R}\) é um intervalo se, tomados dois elementos quaisquer seus, contiver também todos os números reais compreendidos entre eles.
Consideremos o conjunto:
\[ [0,2)\cup(2,5]. \]
O primeiro intervalo:
\[ [0,2) \]
contém todos os números reais \(x\) tais que:
\[ 0\leq x<2. \]
O segundo intervalo:
\[ (2,5] \]
contém todos os números reais \(x\) tais que:
\[ 2<x\leq5. \]
Observemos agora o ponto \(2\).
Não pertence ao primeiro intervalo, porque o primeiro intervalo exclui o seu extremo direito:
\[ 2\notin[0,2). \]
Além disso, não pertence ao segundo intervalo, porque o segundo intervalo exclui o seu extremo esquerdo:
\[ 2\notin(2,5]. \]
Portanto:
\[ 2\notin[0,2)\cup(2,5]. \]
Contudo:
\[ 1\in[0,2)\cup(2,5] \]
e:
\[ 3\in[0,2)\cup(2,5]. \]
Como:
\[ 1<2<3, \]
encontrámos dois elementos do conjunto, \(1\) e \(3\), tais que um número compreendido entre eles, a saber, \(2\), não pertence ao conjunto.
O conjunto apresenta, portanto, um «buraco» interno.
Importa observar que o conjunto considerado é a união de dois intervalos, mas não constitui, em si mesmo, um intervalo da recta real.
Por conseguinte:
\[ [0,2)\cup(2,5] \]
não é um intervalo.
Exercício 12 — nível ★★★☆☆
Determinar se o intervalo:
\[ [2,+\infty) \]
é aberto, fechado ou nem aberto nem fechado em \(\mathbb{R}\).
Resultado
O intervalo \([2,+\infty)\) é fechado em \(\mathbb{R}\), mas não é aberto.
Resolução
Consideremos o intervalo:
\[ [2,+\infty)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\geq2\}. \]
Contém o seu extremo finito \(2\), uma vez que o parêntese recto indica inclusão.
Estudemos primeiro se o conjunto é aberto.
Um conjunto é aberto se cada um dos seus pontos possuir uma vizinhança aberta inteiramente contida no conjunto.
O ponto \(2\) pertence ao conjunto:
\[ 2\in[2,+\infty). \]
Contudo, toda a vizinhança aberta de \(2\) contém também pontos menores do que \(2\).
Por exemplo, para todo o \(r>0\), a vizinhança:
\[ (2-r,2+r) \]
contém pontos do intervalo \((2-r,2)\), que são menores do que \(2\).
Tais pontos não pertencem a \([2,+\infty)\).
Portanto, nenhuma vizinhança aberta de \(2\) está inteiramente contida em \([2,+\infty)\).
Assim, \([2,+\infty)\) não é aberto.
Estudemos agora se o conjunto é fechado.
O complementar de \([2,+\infty)\) em \(\mathbb{R}\) é:
\[ \mathbb{R}\setminus[2,+\infty)=(-\infty,2). \]
O intervalo:
\[ (-\infty,2) \]
é aberto em \(\mathbb{R}\).
Como o complementar de \([2,+\infty)\) é aberto, segue-se que \([2,+\infty)\) é fechado.
Exercício 13 — nível ★★★★☆
Escrever a vizinhança aberta de centro \(-1\) e raio \(3\), tanto na forma de intervalo como na forma de conjunto.
Resultado
\[ I(-1,3)=(-4,2)=\{x\in\mathbb{R}\mid |x+1|<3\} \]
Resolução
Uma vizinhança aberta de centro \(x_0\) e raio \(r>0\) é o conjunto dos números reais cuja distância ao ponto \(x_0\) é menor do que \(r\).
Na forma de conjunto:
\[ I(x_0,r)=\{x\in\mathbb{R}\mid |x-x_0|<r\}. \]
Neste exercício:
\[ x_0=-1,\qquad r=3. \]
Substituindo na definição:
\[ I(-1,3)=\{x\in\mathbb{R}\mid |x-(-1)|<3\}. \]
Como:
\[ x-(-1)=x+1, \]
obtemos:
\[ I(-1,3)=\{x\in\mathbb{R}\mid |x+1|<3\}. \]
Para o escrever na forma de intervalo, calculamos os extremos:
\[ x_0-r=-1-3=-4 \]
e:
\[ x_0+r=-1+3=2. \]
Tratando-se de uma vizinhança aberta, os extremos não estão incluídos.
Portanto:
\[ I(-1,3)=(-4,2). \]
Assim:
\[ I(-1,3)=(-4,2)=\{x\in\mathbb{R}\mid |x+1|<3\} \]
Exercício 14 — nível ★★★★☆
Escrever a vizinhança fechada de centro \(4\) e raio \(5\), tanto na forma de intervalo como na forma de conjunto.
Resultado
\[ \overline{I}(4,5)=[-1,9]=\{x\in\mathbb{R}\mid |x-4|\leq5\} \]
Resolução
Uma vizinhança fechada de centro \(x_0\) e raio \(r>0\) é o conjunto dos números reais cuja distância ao ponto \(x_0\) é menor ou igual a \(r\).
Na forma de conjunto:
\[ \overline{I}(x_0,r)=\{x\in\mathbb{R}\mid |x-x_0|\leq r\}. \]
Neste caso:
\[ x_0=4,\qquad r=5. \]
Substituindo na definição:
\[ \overline{I}(4,5)=\{x\in\mathbb{R}\mid |x-4|\leq5\}. \]
Para passar à forma de intervalo, calculamos os extremos.
O extremo esquerdo é:
\[ x_0-r=4-5=-1. \]
O extremo direito é:
\[ x_0+r=4+5=9. \]
Como a vizinhança é fechada, incluem-se também os pontos que distam exactamente \(5\) do centro.
Com efeito:
\[ |-1-4|=|-5|=5 \]
e:
\[ |9-4|=5. \]
Portanto, os extremos \(-1\) e \(9\) pertencem à vizinhança.
Assim:
\[ \overline{I}(4,5)=[-1,9]=\{x\in\mathbb{R}\mid |x-4|\leq5\} \]
Exercício 15 — nível ★★★★☆
Escrever a vizinhança direita aberta de \(2\) e raio \(6\).
Resultado
\[ (2,8) \qquad \text{ou} \qquad ]2,8[ \]
Resolução
Uma vizinhança direita aberta de um ponto \(x_0\) contém apenas pontos situados à direita de \(x_0\), isto é, pontos maiores do que \(x_0\).
Se o raio for \(r>0\), a vizinhança direita aberta tem a forma:
\[ (x_0,x_0+r). \]
Neste exercício:
\[ x_0=2,\qquad r=6. \]
Calculamos o extremo direito:
\[ x_0+r=2+6=8. \]
A vizinhança direita aberta é, portanto:
\[ (2,8). \]
Contém todos os números reais \(x\) tais que:
\[ 2<x<8. \]
O ponto \(2\) não pertence à vizinhança, porque a vizinhança direita aberta parte de \(2\) mas exclui-o.
O ponto \(8\) também não pertence à vizinhança, porque o extremo direito está excluído.
Exercício 16 — nível ★★★★☆
Escrever a vizinhança esquerda aberta de \(5\) e raio \(4\).
Resultado
\[ (1,5) \qquad \text{ou} \qquad ]1,5[ \]
Resolução
Uma vizinhança esquerda aberta de um ponto \(x_0\) contém apenas pontos menores do que \(x_0\).
Se o raio for \(r>0\), tem a forma:
\[ (x_0-r,x_0). \]
Neste exercício:
\[ x_0=5,\qquad r=4. \]
Calculamos o extremo esquerdo:
\[ x_0-r=5-4=1. \]
Portanto, a vizinhança esquerda aberta pedida é:
\[ (1,5). \]
Este conjunto contém todos os números reais estritamente compreendidos entre \(1\) e \(5\).
Em particular:
- todos os pontos da vizinhança são menores do que \(5\);
- o ponto \(5\) não pertence à vizinhança;
- o extremo \(1\) também está excluído.
Na forma de conjunto:
\[ (1,5)=\{x\in\mathbb{R}\mid 1<x<5\} \]
Exercício 17 — nível ★★★★★
Escrever como união de intervalos a vizinhança reduzida:
\[ I^\ast(3,2) \]
Resultado
\[ I^\ast(3,2)=(1,3)\cup(3,5) \]
Resolução
Por definição, a vizinhança reduzida de centro \(x_0\) e raio \(r>0\) é:
\[ I^\ast(x_0,r)=\{x\in\mathbb{R}\mid 0<|x-x_0|<r\}. \]
Obtém-se tomando a vizinhança aberta de centro \(x_0\) e removendo o ponto central.
Neste exercício:
\[ x_0=3,\qquad r=2. \]
Consideremos primeiro a vizinhança aberta associada:
\[ I(3,2)=(3-2,3+2). \]
Calculando os extremos:
\[ 3-2=1 \]
e:
\[ 3+2=5, \]
obtemos:
\[ I(3,2)=(1,5). \]
Contudo, a vizinhança pedida é reduzida.
Isto significa que o ponto central:
\[ x_0=3 \]
deve ser eliminado do intervalo.
Ao eliminar o ponto \(3\), o intervalo divide-se em duas partes:
\[ (1,3) \]
e:
\[ (3,5). \]
Por conseguinte:
\[ I^\ast(3,2)=(1,3)\cup(3,5) \]
Exercício 18 — nível ★★★★★
Escrever uma vizinhança de \(+\infty\) determinada por \(M=4\).
Resultado
\[ (4,+\infty) \]
Resolução
Uma vizinhança de \(+\infty\) é uma semirrecta aberta à direita do tipo:
\[ (M,+\infty), \qquad M>0. \]
Contém todos os números reais suficientemente grandes, isto é, maiores do que um certo valor real \(M\).
Neste exercício:
\[ M=4. \]
Substituindo na definição, obtemos:
\[ (4,+\infty). \]
Na forma de conjunto:
\[ (4,+\infty)=\{x\in\mathbb{R}\mid x>4\}. \]
Este conjunto contém todos os números reais maiores do que \(4\).
O número \(4\) não pertence à vizinhança, uma vez que o parêntese curvo indica a exclusão do extremo.
Além disso, o símbolo \(+\infty\) não representa um número real e, portanto, não pode ser incluído no intervalo.
As vizinhanças de \(+\infty\) não são vizinhanças no sentido habitual baseado na distância entre números reais, mas constituem uma convenção fundamental no estudo dos limites no infinito.
Exercício 19 — nível ★★★★★
Escrever uma vizinhança de \(-\infty\) determinada por \(M=6\).
Resultado
\[ (-\infty,-6) \]
Resolução
Uma vizinhança de \(-\infty\) é uma semirrecta aberta à esquerda do tipo:
\[ (-\infty,-M), \qquad M>0. \]
Contém todos os números reais suficientemente pequenos, isto é, negativos e muito grandes em valor absoluto.
Neste exercício:
\[ M=6. \]
Portanto:
\[ -M=-6. \]
Substituindo na definição de vizinhança de \(-\infty\), obtemos:
\[ (-\infty,-6). \]
Na forma de conjunto:
\[ (-\infty,-6)=\{x\in\mathbb{R}\mid x<-6\}. \]
O conjunto contém, pois, todos os números reais menores do que \(-6\).
O número \(-6\) não pertence à vizinhança, porque o extremo está excluído.
As vizinhanças de \(-\infty\) não são vizinhanças no sentido habitual baseado na distância entre números reais, mas constituem uma convenção fundamental no estudo dos limites no infinito.
Exercício 20 — nível ★★★★★
Determinar o conjunto solução da inequação:
\[ |x-1|<|x+3| \]
Resultado
\[ (-1,+\infty) \]
Resolução
A quantidade:
\[ |x-1| \]
representa a distância do ponto \(x\) ao número \(1\).
Analogamente:
\[ |x+3|=|x-(-3)| \]
representa a distância do ponto \(x\) ao número \(-3\).
A inequação:
\[ |x-1|<|x+3| \]
significa, portanto, que \(x\) deve estar mais próximo de \(1\) do que de \(-3\).
Resolvamos a inequação algebricamente.
Como ambos os membros são não negativos, podemos elevar ao quadrado sem alterar o sentido da desigualdade:
\[ (x-1)^2<(x+3)^2. \]
Desenvolvemos os quadrados:
\[ x^2-2x+1<x^2+6x+9. \]
Subtraímos \(x^2\) a ambos os membros:
\[ -2x+1<6x+9. \]
Passamos para o primeiro membro os termos que contêm \(x\):
\[ -8x+1<9. \]
Subtraímos \(1\):
\[ -8x<8. \]
Dividimos agora por \(-8\).
Como estamos a dividir por um número negativo, o sentido da desigualdade inverte-se:
\[ x>-1. \]
Portanto, o conjunto solução é:
\[ (-1,+\infty). \]
Geometricamente, o ponto de separação é o ponto médio entre \(-3\) e \(1\), isto é:
\[ \frac{-3+1}{2}=-1. \]
Todos os pontos situados à direita de \(-1\) resultam, pois, mais próximos de \(1\) do que de \(-3\).