No estudo dos conjuntos numéricos é frequentemente necessário identificar o maior ou o menor valor pertencente a um conjunto.
Os conceitos de máximo e mínimo permitem precisamente formalizar esta ideia intuitiva e constituem uma das primeiras ferramentas fundamentais da análise matemática.
Nas secções seguintes introduziremos as definições rigorosas de máximo e mínimo de um conjunto, estudaremos as suas principais propriedades e analisaremos vários exemplos significativos.
Índice
- Máximo de um conjunto
- Mínimo de um conjunto
- Unicidade do máximo e do mínimo
- Quando existem o máximo e o mínimo?
- Exemplos
- Relação com o supremo e o ínfimo
Máximo de um conjunto
Seja \(A\subseteq\mathbb{R}\) um conjunto não vazio.
Um elemento \(M\in A\) diz-se máximo de \(A\) se:
\[ x\leq M \qquad \forall x\in A. \]
Por outras palavras, o máximo é o maior elemento do conjunto, ou seja, um elemento maior ou igual a todos os restantes elementos do próprio conjunto.
Quando existe, escreve-se:
\[ M=\max A. \]
Dizer que \(M\) é o máximo de \(A\) equivale, portanto, a verificar simultaneamente duas condições:
- \(M\in A\);
- \(x\leq M\) para todo \(x\in A\).
A primeira condição é fundamental: um número que não pertence ao conjunto não pode ser o seu máximo.
Mínimo de um conjunto
Seja \(A\subseteq\mathbb{R}\) um conjunto não vazio.
Um elemento \(m\in A\) diz-se mínimo de \(A\) se:
\[ m\leq x \qquad \forall x\in A. \]
O mínimo é, pois, o menor elemento do conjunto, ou seja, um elemento menor ou igual a todos os restantes elementos do conjunto.
Quando existe, escreve-se:
\[ m=\min A. \]
Também neste caso devem verificar-se simultaneamente as condições:
- \(m\in A\);
- \(m\leq x\) para todo \(x\in A\).
Unicidade do máximo e do mínimo
Se um conjunto possui um máximo, este é único.
Com efeito, suponhamos que \(M_1\) e \(M_2\) são dois máximos do conjunto.
Uma vez que \(M_1\) é um máximo:
\[ M_2\leq M_1. \]
Analogamente, uma vez que \(M_2\) é um máximo:
\[ M_1\leq M_2. \]
Das duas desigualdades resulta:
\[ M_1=M_2. \]
Portanto, os dois máximos coincidem.
O mesmo raciocínio demonstra que o mínimo, quando existe, é igualmente único.
Quando existem o máximo e o mínimo?
Nem todos os conjuntos possuem um máximo ou um mínimo.
Para que um conjunto tenha um máximo, deve existir um elemento do conjunto que seja maior ou igual a todos os restantes elementos do conjunto.
Analogamente, para que tenha um mínimo deve existir um elemento do conjunto que seja menor ou igual a todos os restantes elementos do conjunto.
A existência de um máximo ou de um mínimo depende, portanto, não só da forma do conjunto, mas também do facto de o eventual extremo pertencer efetivamente ao conjunto.
Exemplos
Intervalo fechado
Consideremos o intervalo:
\[ [1,5]. \]
O extremo esquerdo \(1\) pertence ao intervalo e é menor ou igual a todos os restantes elementos do mesmo.
Portanto:
\[ \min[1,5]=1. \]
Analogamente:
\[ \max[1,5]=5. \]
Intervalo aberto
Consideremos agora:
\[ (1,5). \]
Os números \(1\) e \(5\) não pertencem ao intervalo.
Por conseguinte:
\[ \min(1,5) \]
não existe e
\[ \max(1,5) \]
também não existe.
Por mais que nos aproximemos de \(5\), é sempre possível encontrar um elemento do intervalo ainda maior.
O mesmo sucede nas proximidades de \(1\).
Conjunto com máximo mas sem mínimo
Consideremos:
\[ A=(0,1]. \]
Uma vez que \(1\in A\) e nenhum elemento de \(A\) é maior do que \(1\),
\[ \max A=1. \]
No entanto, \(0\notin A\).
Além disso, não existe nenhum elemento do conjunto que seja menor ou igual a todos os restantes elementos do conjunto.
Portanto, o mínimo não existe.
Conjunto com mínimo mas sem máximo
Consideremos:
\[ [2,+\infty). \]
O número \(2\) pertence ao conjunto e é menor ou igual a todos os restantes elementos do mesmo.
Assim:
\[ \min[2,+\infty)=2. \]
O conjunto, pelo contrário, não possui qualquer máximo, uma vez que contém números arbitrariamente grandes.
Relação com o supremo e o ínfimo
Os conceitos de máximo e mínimo estão estreitamente relacionados com os de supremo e ínfimo.
Em particular:
- se o máximo de um conjunto existe, então coincide com o seu supremo;
- se o mínimo de um conjunto existe, então coincide com o seu ínfimo.
Contudo, o recíproco nem sempre é verdadeiro.
Por exemplo, o intervalo aberto:
\[ (1,5) \]
não possui um máximo, mas admite como supremo o número \(5\).
Analogamente, não possui um mínimo, mas admite como ínfimo o número \(1\).
Os conceitos de máximo e mínimo estão estreitamente ligados aos de supremo e ínfimo. Quando existem, o máximo e o supremo coincidem, tal como o mínimo e o ínfimo. O recíproco, porém, não é válido: um conjunto pode ter supremo sem possuir um máximo (como sucede com o intervalo aberto \((1,5)\), cujo supremo é \(5\)).