Supremo e Ínfimo: Definição, Propriedades e Exemplos

O supremo e o ínfimo generalizam as noções de máximo e mínimo de um conjunto e permitem descrever de maneira rigorosa o comportamento dos conjuntos limitados.

Ao contrário do máximo e do mínimo, o supremo e o ínfimo podem existir mesmo quando os valores extremos correspondentes não pertencem ao conjunto.

Nas secções seguintes introduziremos as definições de cota superior, cota inferior, supremo e ínfimo, estudaremos as suas principais propriedades e analisaremos vários exemplos significativos.

Índice

• Cotas superiores e cotas inferiores
• Supremo
• Ínfimo
• Unicidade do supremo e do ínfimo
• Caracterização do supremo
• Caracterização do ínfimo
• Relação com o máximo e o mínimo
• Exemplos
• Completude dos números reais

Para introduzir as noções de supremo e ínfimo é necessário partir de dois conceitos fundamentais: os de cota superior e cota inferior.

Seja \(A\subseteq\mathbb{R}\) um conjunto não vazio.

Definição. Um número real \(M\) diz-se cota superior de \(A\) se:

\[ x\leq M \qquad \forall x\in A. \]

Por outras palavras, uma cota superior é um número maior ou igual a todos os elementos do conjunto.

Analogamente, um número real \(m\) diz-se cota inferior de \(A\) se:

\[ m\leq x \qquad \forall x\in A. \]

Uma cota inferior é, portanto, um número menor ou igual a todos os elementos do conjunto.

Exemplo 1. Consideremos o intervalo \( A=(1,5). \)

Uma vez que todo elemento é menor do que \(5\), o número \(5\) é uma cota superior de \(A\). Também os números \(6\), \(10\), \(100\) e, mais geralmente, todos os números reais maiores ou iguais a \(5\) são cotas superiores do conjunto.

Analogamente, o número \(1\) é uma cota inferior de \(A\). Também o são \(0\), \(-3\), \(-100\) e, mais geralmente, todos os números reais menores ou iguais a \(1\).

Observamos, assim, que um mesmo conjunto pode possuir infinitas cotas superiores e infinitas cotas inferiores.

Conjuntos limitados superiormente e inferiormente

Definição. Um conjunto que possui pelo menos uma cota superior diz-se limitado superiormente, ao passo que um conjunto que possui pelo menos uma cota inferior diz-se limitado inferiormente.

Se um conjunto é limitado tanto superiormente como inferiormente, diz-se simplesmente limitado.

Convém observar que o termo limitado não tem qualquer relação com o conceito de limite de uma sucessão ou de uma função. Dizer que um conjunto é limitado significa, simplesmente, que todos os seus elementos estão compreendidos entre uma cota inferior e uma cota superior adequadas.

Exemplo 2. O intervalo

\[ (1,5) \]

é limitado superiormente e inferiormente. Por exemplo, \(5\) é uma cota superior e \(1\) é uma cota inferior.

Exemplo 3. O conjunto \( [0,+\infty) \) é limitado inferiormente, mas não é limitado superiormente. Com efeito, \(0\) é uma cota inferior, ao passo que não existe nenhum número real que seja maior ou igual a todos os elementos do conjunto.

Exemplo 4. O conjunto \( \mathbb{R} \) não é limitado nem superiormente nem inferiormente.

As noções de cota superior e cota inferior constituem o ponto de partida para introduzir o supremo e o ínfimo, que serão definidos nas secções seguintes.

Seja \(A\subseteq\mathbb{R}\) um conjunto não vazio e limitado superiormente. O conjunto das suas cotas superiores é, portanto, não vazio, e entre elas há uma privilegiada: a menor.

Definição. Chama-se supremo de \(A\), e denota-se por \(\sup A\), a menor das cotas superiores de \(A\).

De modo equivalente, um número real \(s\) é o supremo de \(A\) se satisfaz as duas condições seguintes:

• \(s\) é uma cota superior de \(A\), isto é, \(x\leq s\) para todo \(x\in A\);
• se \(M\) é uma cota superior de \(A\), então \(s\leq M\).

A primeira condição afirma que \(s\) «está acima» de todos os elementos de \(A\); a segunda, que nenhum número menor do que \(s\) goza da mesma propriedade.

A existência do supremo para todo conjunto não vazio e limitado superiormente não é, de modo algum, evidente: ela é garantida por uma propriedade fundamental dos números reais, o axioma da completude, que discutiremos na última seção.

Exemplo 5. Retomemos o intervalo:

\[ A=(1,5). \]

As suas cotas superiores são exatamente os números reais maiores ou iguais a \(5\), isto é, o conjunto \([5,+\infty)\). A menor delas é \(5\), de modo que:

\[ \sup A=5. \]

Note-se que \(5\notin A\): o supremo não pertence necessariamente ao conjunto.

De maneira perfeitamente simétrica introduz-se o ínfimo. Seja \(A\subseteq\mathbb{R}\) um conjunto não vazio e limitado inferiormente: o conjunto das suas cotas inferiores é não vazio e contém um elemento privilegiado, o maior.

Definição. Chama-se ínfimo de \(A\), e denota-se por \(\inf A\), a maior das cotas inferiores de \(A\).

De modo equivalente, um número real \(i\) é o ínfimo de \(A\) se satisfaz as duas condições seguintes:

• \(i\) é uma cota inferior de \(A\), isto é, \(i\leq x\) para todo \(x\in A\);
• se \(m\) é uma cota inferior de \(A\), então \(m\leq i\).

Também neste caso a existência do ínfimo para todo conjunto não vazio e limitado inferiormente decorre do axioma da completude.

Exemplo 6. Consideremos novamente:

\[ A=(1,5). \]

As suas cotas inferiores são exatamente os números reais menores ou iguais a \(1\), isto é, o conjunto \((-\infty,1]\). A maior delas é \(1\), de modo que:

\[ \inf A=1. \]

Tal como no caso do supremo, observamos que \(1\notin A\).

Observação (conjuntos ilimitados). As definições anteriores dizem respeito a conjuntos limitados superiormente ou inferiormente. Para tratar de maneira uniforme também o caso ilimitado, adota-se frequentemente a seguinte convenção: se \(A\) não é limitado superiormente põe-se

\[ \sup A=+\infty, \]

ao passo que, se \(A\) não é limitado inferiormente, põe-se

\[ \inf A=-\infty. \]

Os símbolos \(+\infty\) e \(-\infty\) não são números reais: a igualdade \(\sup A=+\infty\) é apenas um modo conciso de afirmar que \(A\) não possui nenhuma cota superior. Com esta convenção, todo subconjunto não vazio de \(\mathbb{R}\) fica dotado de supremo e ínfimo, finitos ou infinitos. Por exemplo, \(\sup\mathbb{R}=+\infty\) e \(\inf\mathbb{R}=-\infty\), ao passo que, para o conjunto \([0,+\infty)\), se tem \(\inf=0\) e \(\sup=+\infty\).

Quando existem, o supremo e o ínfimo de um conjunto são únicos.

Proposição. Se um conjunto \(A\subseteq\mathbb{R}\) possui um supremo, então ele é único.

Demonstração. Suponhamos que \(s_1\) e \(s_2\) são dois supremos de \(A\).

Uma vez que \(s_1\) é um supremo, toda cota superior de \(A\) é maior ou igual a \(s_1\). Em particular, sendo \(s_2\) uma cota superior de \(A\), tem-se:

\[ s_1\leq s_2. \]

Analogamente, uma vez que \(s_2\) é um supremo e \(s_1\) é uma cota superior de \(A\), resulta:

\[ s_2\leq s_1. \]

Das duas desigualdades deduz-se:

\[ s_1=s_2. \]

Portanto, o supremo é único.

Por um raciocínio inteiramente análogo demonstra-se que o ínfimo, quando existe, também é único.

Monotonia relativamente à inclusão

Uma outra propriedade útil diz respeito ao comportamento destes extremos quando um conjunto é ampliado: acrescentar elementos só pode fazer crescer (ou deixar inalterado) o supremo e fazer diminuir (ou deixar inalterado) o ínfimo.

Proposição. Sejam \(A,B\subseteq\mathbb{R}\) não vazios com \(A\subseteq B\). Se \(B\) é limitado superiormente, então \(A\) também o é, e

\[ \sup A\leq\sup B. \]

Analogamente, se \(B\) é limitado inferiormente, então \(A\) também o é, e

\[ \inf A\geq\inf B. \]

Demonstração. Suponhamos que \(B\) é limitado superiormente e ponhamos \(s=\sup B\). Para todo \(x\in A\) tem-se \(x\in B\), uma vez que \(A\subseteq B\), e portanto \(x\leq s\). Logo, \(s\) é uma cota superior de \(A\): em particular, \(A\) é limitado superiormente e admite supremo. Como \(\sup A\) é a menor das cotas superiores de \(A\) e \(s\) é uma delas, resulta:

\[ \sup A\leq s=\sup B. \]

O caso do ínfimo é inteiramente análogo. Pondo \(i=\inf B\), tem-se \(i\leq x\) para todo \(x\in B\), e portanto para todo \(x\in A\); por conseguinte, \(i\) é uma cota inferior de \(A\) e existe \(\inf A\). Sendo \(\inf A\) a maior das cotas inferiores de \(A\) e \(i\) uma delas, obtém-se \(\inf A\geq i=\inf B\).

Observação. Adotando a convenção introduzida na seção anterior, as desigualdades \(\sup A\leq\sup B\) e \(\inf A\geq\inf B\) permanecem válidas para qualquer par de conjuntos não vazios com \(A\subseteq B\), mesmo ilimitados.

A definição de supremo afirma que \(\sup A\) é a menor de todas as cotas superiores de \(A\). Verificar diretamente esta propriedade exigiria, em princípio, comparar \(s\) com a totalidade das cotas superiores do conjunto.

Existe, contudo, uma caracterização muito mais manejável, que permite reconhecer um supremo examinando apenas os elementos de \(A\).

Proposição. Seja \(A\subseteq\mathbb{R}\) um conjunto não vazio e limitado superiormente, e seja \(s\in\mathbb{R}\). Então:

\[ s=\sup A \]

se e somente se valem ambas as condições seguintes:

• \(x\leq s\) para todo \(x\in A\);
• para todo \(\varepsilon>0\) existe um elemento \(x\in A\) tal que \[ s-\varepsilon<x. \]

A primeira condição afirma que \(s\) é uma cota superior de \(A\).

A segunda condição garante, por sua vez, que nenhum número estritamente menor do que \(s\) pode ser uma cota superior do conjunto.

Com efeito, fixado arbitrariamente \(\varepsilon>0\), existe sempre um elemento de \(A\) estritamente maior do que \(s-\varepsilon\). Por conseguinte, \(s-\varepsilon\) não pode ser uma cota superior de \(A\).

A equivalência compreende-se observando o significado das duas condições. Se valesse a primeira mas não a segunda, existiria um \(\varepsilon>0\) tal que nenhum elemento de \(A\) ultrapassa \(s-\varepsilon\): então \(s-\varepsilon\) seria, por sua vez, uma cota superior, estritamente menor do que \(s\), e portanto \(s\) não poderia ser a menor das cotas superiores. Reciprocamente, se valem ambas as condições, \(s\) é uma cota superior e nenhum número menor do que \(s\) o é: \(s\) é, pois, a mínima das cotas superiores, isto é, \(\sup A\).

Exemplo 7. Consideremos o intervalo:

\[ A=(1,5). \]

Verifiquemos, por meio da caracterização, que:

\[ \sup A=5. \]

Primeira condição. Todo elemento de \(A\) satisfaz \(x<5\), e portanto, por maioria de razão, \(x\leq 5\). Logo, \(5\) é uma cota superior de \(A\).

Segunda condição. Seja \(\varepsilon>0\). Devemos exibir um elemento de \(A\) maior do que \(5-\varepsilon\).

Se \(\varepsilon\geq 4\), então:

\[ 5-\varepsilon\leq 1, \]

e portanto todo elemento de \(A\) é já maior do que \(5-\varepsilon\): a condição é trivialmente satisfeita.

Se, em vez disso, \(0<\varepsilon<4\), consideremos o número:

\[ x=5-\frac{\varepsilon}{2}. \]

Uma vez que \(0<\dfrac{\varepsilon}{2}<2\), tem-se:

\[ 3<x<5, \]

e portanto \(x\in(1,5)=A\). Além disso, sendo \(\dfrac{\varepsilon}{2}<\varepsilon\), resulta:

\[ 5-\varepsilon<x. \]

Em ambos os casos encontramos um elemento de \(A\) maior do que \(5-\varepsilon\). A segunda condição é, pois, satisfeita para todo \(\varepsilon>0\).

Estando satisfeitas ambas as condições, concluímos que:

\[ \sup A=5, \]

embora \(5\notin A\). Este exemplo evidencia a natureza do supremo: um valor do qual os elementos do conjunto podem aproximar-se tanto quanto se queira, sem que ele tenha necessariamente de pertencer ao conjunto.

Analogamente ao supremo, também o ínfimo admite uma caracterização equivalente particularmente útil nas aplicações.

Proposição. Seja \(A\subseteq\mathbb{R}\) um conjunto não vazio e limitado inferiormente, e seja \(i\in\mathbb{R}\). Então:

\[ i=\inf A \]

se e somente se valem ambas as condições seguintes:

• \(i\leq x\) para todo \(x\in A\);
• para todo \(\varepsilon>0\) existe um elemento \(x\in A\) tal que \[ x<i+\varepsilon. \]

A primeira condição afirma que \(i\) é uma cota inferior de \(A\).

A segunda condição garante, por sua vez, que nenhum número estritamente maior do que \(i\) pode ser uma cota inferior do conjunto.

Com efeito, fixado arbitrariamente \(\varepsilon>0\), existe sempre um elemento de \(A\) estritamente menor do que \(i+\varepsilon\). Por conseguinte, \(i+\varepsilon\) não pode ser uma cota inferior de \(A\).

A equivalência compreende-se observando o significado das duas condições. Se valesse a primeira mas não a segunda, existiria um \(\varepsilon>0\) tal que:

\[ x\geq i+\varepsilon \qquad \forall x\in A. \]

Nesse caso, \(i+\varepsilon\) seria uma cota inferior de \(A\) estritamente maior do que \(i\), em contradição com o facto de \(i\) ser a maior das cotas inferiores.

Reciprocamente, se valem ambas as condições, \(i\) é uma cota inferior e nenhum número maior do que \(i\) é uma cota inferior. Portanto, \(i\) coincide com a maior das cotas inferiores, isto é, com o ínfimo de \(A\).

Exemplo 8. Consideremos o intervalo:

\[ A=(1,5). \]

Verifiquemos, por meio da caracterização anterior, que:

\[ \inf A=1. \]

Primeira condição. Todo elemento de \(A\) satisfaz \(1<x\), e portanto, por maioria de razão, \(1\leq x\). Segue-se que \(1\) é uma cota inferior de \(A\).

Segunda condição. Seja \(\varepsilon>0\).

Se \(\varepsilon\geq 4\), então:

\[ 1+\varepsilon\geq 5, \]

e portanto qualquer elemento de \(A\) resulta menor do que \(1+\varepsilon\).

Se, em vez disso, \(0<\varepsilon<4\), consideremos:

\[ x=1+\frac{\varepsilon}{2}. \]

Uma vez que:

\[ 0<\frac{\varepsilon}{2}<2, \]

obtém-se:

\[ 1<x<3<5. \]

Portanto:

\[ x\in(1,5)=A. \]

Além disso:

\[ x=1+\frac{\varepsilon}{2} < 1+\varepsilon. \]

Em ambos os casos existe um elemento de \(A\) menor do que \(1+\varepsilon\). A segunda condição fica, pois, verificada.

Estando satisfeitas ambas as condições, concluímos que:

\[ \inf(1,5)=1. \]

Observação. Uma vez que:

\[ 1\notin(1,5), \]

o ínfimo não é necessariamente um elemento do conjunto.

O supremo e o ínfimo estão estreitamente relacionados com o máximo e o mínimo, dos quais constituem uma generalização. A diferença essencial é uma só: o máximo e o mínimo devem pertencer ao conjunto, ao passo que o supremo e o ínfimo não.

Proposição. Seja \(A\subseteq\mathbb{R}\) não vazio e limitado superiormente. Então \(A\) possui máximo se e somente se:

\[ \sup A\in A, \]

e nesse caso:

\[ \max A=\sup A. \]

Demonstração. Suponhamos primeiro que \(A\) possui máximo e ponhamos \(m=\max A\).

Pela definição de máximo, \(m\in A\) e \(x\leq m\) para todo \(x\in A\), de modo que \(m\) é uma cota superior de \(A\). Além disso, se \(M\) é uma cota superior qualquer de \(A\), então \(M\geq x\) para todo \(x\in A\) e, em particular, sendo \(m\in A\):

\[ M\geq m. \]

Logo, \(m\) é a menor das cotas superiores, isto é, \(m=\sup A\); em particular, \(\sup A=m\in A\).

Reciprocamente, suponhamos que \(\sup A\in A\) e ponhamos \(s=\sup A\). Então \(s\) é uma cota superior, de modo que \(x\leq s\) para todo \(x\in A\); além disso, \(s\in A\). Por definição, \(s\) é, pois, o máximo de \(A\), e \(\max A=s=\sup A\).

De maneira inteiramente análoga demonstra-se que \(A\), não vazio e limitado inferiormente, possui mínimo se e somente se \(\inf A\in A\), e nesse caso:

\[ \min A=\inf A. \]

Em resumo: o supremo sempre existe (para um conjunto não vazio e limitado superiormente), ao passo que o máximo existe apenas quando o supremo pertence ao conjunto. O mesmo vale, simetricamente, para o ínfimo e o mínimo.

Exemplo 9. Para o intervalo fechado:

\[ A=[1,5], \]

tem-se \(\sup A=5\) e \(\inf A=1\); uma vez que \(5\in A\) e \(1\in A\), ambos os extremos pertencem ao conjunto e, portanto:

\[ \max A=5,\qquad \min A=1. \]

Para o intervalo aberto:

\[ A=(1,5), \]

tem-se ainda \(\sup A=5\) e \(\inf A=1\), mas agora \(5\notin A\) e \(1\notin A\): o conjunto não possui nem máximo nem mínimo, embora esteja dotado de supremo e ínfimo.

Apliquemos as definições e os resultados anteriores a alguns conjuntos notáveis, determinando para cada um o seu supremo, o seu ínfimo e, quando existirem, o seu máximo e o seu mínimo.

Exemplo 10. \[ A=[-2,3). \]

O ínfimo é \(-2\), que pertence ao conjunto; portanto:

\[ \inf A=\min A=-2. \]

O supremo é \(3\), que, por sua vez, não pertence ao conjunto:

\[ \sup A=3, \]

ao passo que o máximo não existe.

Exemplo 11. \[ A=\left\{\frac1n:n\in\mathbb{N},\ n\geq 1\right\}. \]

Os elementos são \(1,\ \frac12,\ \frac13,\ldots\) O maior valor é \(1\), obtido para \(n=1\), e pertence ao conjunto:

\[ \sup A=\max A=1. \]

Os elementos decrescem aproximando-se de \(0\) sem nunca o atingir. O número \(0\) é uma cota inferior e, para todo \(\varepsilon>0\), escolhendo \(n\) tal que \(\frac1n<\varepsilon\) obtém-se um elemento menor do que \(0+\varepsilon\). Portanto:

\[ \inf A=0, \]

ao passo que o mínimo não existe, uma vez que \(0\notin A\).

Exemplo 12. \[ A=\left\{\frac{n}{n+1}:n\in\mathbb{N},\ n\geq 1\right\}. \]

Uma vez que \(\frac{n}{n+1}=1-\frac1{n+1}\), a sucessão é crescente. O primeiro elemento, para \(n=1\), é \(\frac12\), e pertence ao conjunto:

\[ \inf A=\min A=\frac12. \]

Os elementos crescem aproximando-se de \(1\) sem nunca o atingir, de modo que:

\[ \sup A=1, \]

ao passo que o máximo não existe, uma vez que \(1\notin A\).

Exemplo 13. \[ A=\left\{(-1)^n+\frac1n:n\in\mathbb{N},\ n\geq 1\right\}. \]

Convém distinguir os termos de índice par e ímpar.

Para \(n\) par o elemento vale \(1+\frac1n\); estes termos decrescem e o maior obtém-se para \(n=2\):

\[ 1+\frac12=\frac32. \]

Todos os demais elementos do conjunto são menores do que \(\frac32\), que pertence a \(A\). Portanto:

\[ \sup A=\max A=\frac32. \]

Para \(n\) ímpar o elemento vale \(-1+\frac1n\); estes termos decrescem aproximando-se de \(-1\) sem nunca o atingir. O número \(-1\) é uma cota inferior de \(A\) e, para todo \(\varepsilon>0\), escolhendo um \(n\) ímpar com \(\frac1n<\varepsilon\) obtém-se um elemento menor do que \(-1+\varepsilon\). Portanto:

\[ \inf A=-1, \]

ao passo que o mínimo não existe, uma vez que nenhum elemento do conjunto é igual a \(-1\).

Afirmámos várias vezes que todo conjunto não vazio e limitado superiormente possui supremo. Esta propriedade não é consequência das regras algébricas nem da ordenação: é uma propriedade estrutural dos números reais, tomada como axioma.

Axioma da completude. Todo subconjunto de \(\mathbb{R}\) não vazio e limitado superiormente admite supremo em \(\mathbb{R}\).

Deste axioma deduz-se imediatamente a propriedade simétrica para o ínfimo: todo subconjunto de \(\mathbb{R}\) não vazio e limitado inferiormente admite ínfimo em \(\mathbb{R}\). Basta observar que, pondo \(-A=\{-x:x\in A\}\), se tem:

\[ \inf A=-\sup(-A). \]

A importância do axioma da completude torna-se patente ao comparar \(\mathbb{R}\) com o corpo dos números racionais \(\mathbb{Q}\), que não goza desta propriedade.

Um conjunto racional sem supremo em \(\mathbb{Q}\)

Consideremos o subconjunto de \(\mathbb{Q}\):

\[ B=\left\{x\in\mathbb{Q}:x>0,\ x^2<2\right\}. \]

O conjunto \(B\) é não vazio, uma vez que \(1\in B\), e está limitado superiormente em \(\mathbb{Q}\): se \(x\in B\), então \(x^2<2<4\), donde \(x<2\), e portanto \(2\) é uma cota superior.

Mostremos, contudo, que \(B\) não possui supremo dentro de \(\mathbb{Q}\). Suponhamos, por absurdo, que existe \(s\in\mathbb{Q}\) com \(s=\sup B\); uma vez que \(\sqrt2\) não é racional, deve ser \(s^2\neq 2\), de modo que \(s^2<2\) ou \(s^2>2\).

Se \(s^2<2\), escolhemos um racional \(h\) com \(0<h<1\) e:

\[ h<\frac{2-s^2}{2s+1}. \]

Então, usando \(h^2<h\):

\[ (s+h)^2=s^2+2sh+h^2<s^2+h(2s+1)<s^2+(2-s^2)=2, \]

de modo que \(s+h\in B\) e \(s+h>s\): isto contradiz o facto de \(s\) ser uma cota superior.

Se, em vez disso, \(s^2>2\), escolhemos um racional \(h\) com:

\[ 0<h<\frac{s^2-2}{2s}. \]

Então:

\[ (s-h)^2=s^2-2sh+h^2>s^2-2sh>s^2-(s^2-2)=2. \]

Segue-se que \(s-h\) é ainda uma cota superior de \(B\) (todo elemento \(x\in B\) satisfaz \(x^2<2<(s-h)^2\), donde \(x<s-h\)), mas \(s-h<s\): isto contradiz o facto de \(s\) ser a menor das cotas superiores.

Em ambos os casos chegamos a uma contradição. Portanto, \(B\) não admite supremo em \(\mathbb{Q}\).

No conjunto dos números reais, por sua vez, o supremo existe, e é:

\[ \sup B=\sqrt2. \]

Este exemplo mostra que \(\mathbb{Q}\) apresenta «buracos»: existem conjuntos racionais limitados superiormente que se acumulam em torno de um valor sem que tal valor pertença a \(\mathbb{Q}\). O axioma da completude afirma precisamente que em \(\mathbb{R}\) estes buracos não existem: os números reais formam um contínuo sem lacunas.

É esta propriedade que torna possível o desenvolvimento rigoroso das noções de limite, continuidade, derivada e integral, que constituem o fundamento da análise matemática.