O supremo e o ínfimo generalizam as noções de máximo e mínimo e constituem uma das ferramentas fundamentais para o estudo dos conjuntos numéricos.
Nos exercícios que se seguem aprenderemos a determinar majorantes, minorantes, supremo, ínfimo, máximo e mínimo através de exemplos resolvidos e comentados passo a passo.
Exercício 1 — nível ★☆☆☆☆
Determinar o conjunto dos majorantes, o conjunto dos minorantes, o supremo e o ínfimo de:
\[ A=(2,7). \]
Resultado
\[ \sup A=7,\qquad \inf A=2. \]
Conjunto dos majorantes:
\[ [7,+\infty). \]
Conjunto dos minorantes:
\[ (-\infty,2]. \]
Resolução
Os elementos do conjunto \(A=(2,7)\) são todos os números reais — e apenas esses — estritamente compreendidos entre \(2\) e \(7\).
Por definição, um majorante de \(A\) é um número real maior ou igual a todos os elementos do conjunto.
Uma vez que cada elemento de \(A\) é estritamente menor do que \(7\), o número \(7\) é um majorante.
Qualquer número maior do que \(7\) é também um majorante. Por conseguinte, o conjunto de todos os majorantes é:
\[ [7,+\infty). \]
O supremo é o menor dos majorantes. Como \(7\) é o primeiro elemento do conjunto dos majorantes, segue-se que:
\[ \sup A=7. \]
Consideremos agora os minorantes.
Um minorante é um número real menor ou igual a todos os elementos do conjunto.
Uma vez que cada elemento de \(A\) é estritamente maior do que \(2\), o número \(2\) é um minorante.
Qualquer número menor do que \(2\) é igualmente um minorante. Deste modo, o conjunto de todos os minorantes é:
\[ (-\infty,2]. \]
O ínfimo é o maior dos minorantes. Por conseguinte:
\[ \inf A=2. \]
Observemos, por fim, que \(2\notin A\) e \(7\notin A\). Por esta razão, o conjunto não possui mínimo nem máximo, embora tenha ínfimo e supremo.
Exercício 2 — nível ★☆☆☆☆
Determinar o conjunto dos majorantes, o conjunto dos minorantes, o supremo, o ínfimo, o máximo e o mínimo de:
\[ A=[-3,4]. \]
Resultado
\[ \sup A=\max A=4. \]
\[ \inf A=\min A=-3. \]
Conjunto dos majorantes:
\[ [4,+\infty). \]
Conjunto dos minorantes:
\[ (-\infty,-3]. \]
Resolução
Os elementos do conjunto \(A=[-3,4]\) são todos os números reais compreendidos entre \(-3\) e \(4\), incluindo os extremos.
Assim:
\[ -3\leq x\leq 4 \qquad \forall x\in A. \]
Como cada elemento do conjunto é menor ou igual a \(4\), o número \(4\) é um majorante de \(A\).
Todos os números maiores do que \(4\) são também majorantes. Segue-se que o conjunto dos majorantes é:
\[ [4,+\infty). \]
O menor dos majorantes é \(4\). Por conseguinte:
\[ \sup A=4. \]
De forma análoga, como cada elemento de \(A\) é maior ou igual a \(-3\), o número \(-3\) é um minorante.
Todos os números menores do que \(-3\) são também minorantes. O conjunto dos minorantes é, portanto:
\[ (-\infty,-3]. \]
O maior dos minorantes é \(-3\), logo:
\[ \inf A=-3. \]
Observemos agora que tanto \(4\) como \(-3\) pertencem ao conjunto.
Consequentemente:
\[ \max A=4, \qquad \min A=-3. \]
Este exemplo mostra que, quando o supremo pertence ao conjunto, coincide com o máximo, e quando o ínfimo pertence ao conjunto, coincide com o mínimo.
Exercício 3 — nível ★☆☆☆☆
Determinar o conjunto dos majorantes, o conjunto dos minorantes, o supremo, o ínfimo, o máximo e o mínimo de:
\[ A=[0,5). \]
Resultado
\[ \sup A=5, \qquad \inf A=\min A=0. \]
O máximo não existe.
Conjunto dos majorantes:
\[ [5,+\infty). \]
Conjunto dos minorantes:
\[ (-\infty,0]. \]
Resolução
Os elementos de \(A=[0,5)\) satisfazem:
\[ 0\leq x<5. \]
Consequentemente, \(5\) é um majorante do conjunto.
Além disso, qualquer número maior do que \(5\) é ainda um majorante. O conjunto dos majorantes é, portanto:
\[ [5,+\infty). \]
Nenhum número menor do que \(5\) pode ser um majorante, pois existem elementos do conjunto arbitrariamente próximos de \(5\).
Por conseguinte:
\[ \sup A=5. \]
Quanto aos minorantes, cada elemento do conjunto é maior ou igual a \(0\).
Assim:
\[ (-\infty,0] \]
é o conjunto de todos os minorantes.
O maior deles é \(0\), pelo que:
\[ \inf A=0. \]
Como \(0\in A\), segue-se imediatamente:
\[ \min A=0. \]
Pelo contrário, \(5\notin A\). Por esta razão, o conjunto não possui máximo.
Exercício 4 — nível ★★☆☆☆
Determinar o supremo, o ínfimo, o máximo e o mínimo do conjunto:
\[ A=\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}. \]
Resultado
\[ \sup A=\max A=1. \]
\[ \inf A=0. \]
O mínimo não existe.
Resolução
Os elementos do conjunto são:
\[ 1,\ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ldots \]
Trata-se de uma sucessão estritamente decrescente de números positivos.
O maior valor é o primeiro:
\[ 1=\frac11. \]
Por conseguinte:
\[ \sup A=\max A=1. \]
Todos os elementos do conjunto são positivos, pelo que \(0\) é um minorante.
Mostremos que é o maior dos minorantes.
Seja \(\varepsilon>0\). Pela propriedade arquimediana existe \(n\in\mathbb N\) tal que:
\[ n>\frac1\varepsilon. \]
Daqui resulta:
\[ \frac1n<\varepsilon. \]
Encontrámos, assim, um elemento de \(A\) menor do que \(0+\varepsilon\).
Pela caracterização do ínfimo:
\[ \inf A=0. \]
Contudo, \(0\notin A\), pelo que o mínimo não existe.
Este é um dos exemplos clássicos em que o ínfimo existe mas não pertence ao conjunto.
Exercício 5 — nível ★★☆☆☆
Determinar o supremo, o ínfimo, o máximo e o mínimo do conjunto:
\[ A=\left\{\frac{n}{n+1}:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}. \]
Resultado
\[ \inf A=\min A=\frac12. \]
\[ \sup A=1. \]
O máximo não existe.
Resolução
Observemos, em primeiro lugar, que:
\[ \frac{n}{n+1} = 1-\frac1{n+1}. \]
Os elementos do conjunto são, portanto:
\[ \frac12,\ \frac23,\ \frac34,\ \frac45,\ldots \]
A sucessão é crescente, visto que o termo \(\displaystyle \frac1{n+1}\) diminui à medida que \(n\) aumenta.
O primeiro elemento é:
\[ \frac12. \]
Sendo a sucessão crescente, nenhum elemento pode ser menor do que \(\frac12\).
Além disso, \(\displaystyle\frac12\in A\), pelo que:
\[ \inf A=\min A=\frac12. \]
Para todo o \(n\) tem-se:
\[ \frac{n}{n+1}<1. \]
Logo, \(1\) é um majorante do conjunto.
Mostremos que é o menor dos majorantes.
Seja \(\varepsilon>0\).
Pela propriedade arquimediana existe \(n\) tal que:
\[ \frac1{n+1}<\varepsilon. \]
Então:
\[ \frac{n}{n+1} = 1-\frac1{n+1} > 1-\varepsilon. \]
Pela caracterização do supremo segue-se que:
\[ \sup A=1. \]
Contudo, \(1\notin A\), pelo que o máximo não existe.
Exercício 6 — nível ★★☆☆☆
Determinar o supremo, o ínfimo, o máximo e o mínimo do conjunto:
\[ A=\left\{(-1)^n+\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}. \]
Resultado
\[ \sup A=\max A=\frac32. \]
\[ \inf A=-1. \]
O mínimo não existe.
Resolução
Convém distinguir os casos em que \(n\) é par dos casos em que \(n\) é ímpar.
Se \(n\) é par, então:
\[ (-1)^n+\frac1n = 1+\frac1n. \]
Obtemos, assim, os valores:
\[ \frac32,\ \frac54,\ \frac76,\ldots \]
Estes números são todos maiores do que \(1\) e decrescem para \(1\).
O maior obtém-se para \(n=2\):
\[ 1+\frac12=\frac32. \]
Por conseguinte:
\[ \sup A=\max A=\frac32. \]
Se, pelo contrário, \(n\) é ímpar:
\[ (-1)^n+\frac1n = -1+\frac1n. \]
Obtemos:
\[ 0,\ -\frac23,\ -\frac45,\ldots \]
O primeiro valor é \(0\), obtido para \(n=1\). Para os índices ímpares seguintes obtêm-se, em contrapartida, valores negativos que se aproximam progressivamente de \(-1\) sem nunca o atingirem.
O número \(-1\) é, portanto, um minorante do conjunto.
Além disso, para todo o \(\varepsilon>0\), escolhendo \(n\) ímpar suficientemente grande obtém-se:
\[ -1+\frac1n<-1+\varepsilon. \]
Pela caracterização do ínfimo:
\[ \inf A=-1. \]
Visto que nenhum elemento do conjunto é igual a \(-1\), o mínimo não existe.
Exercício 7 — nível ★★☆☆☆
Determinar o supremo, o ínfimo, o máximo e o mínimo do conjunto:
\[ A=\left\{x\in\mathbb R:x^2<9\right\}. \]
Resultado
\[ \sup A=3, \qquad \inf A=-3. \]
O conjunto não possui máximo nem mínimo.
Resolução
A condição:
\[ x^2<9 \]
equivale a:
\[ -3<x<3 \]
Por conseguinte:
\[ A=(-3,3). \]
Todos os elementos do conjunto são menores do que \(3\), pelo que \(3\) é um majorante.
Além disso, existem elementos do conjunto arbitrariamente próximos de \(3\), por exemplo:
\[ 3-\frac1n. \]
Nenhum número menor do que \(3\) pode, portanto, ser um majorante.
Logo:
\[ \sup A=3. \]
Com um raciocínio inteiramente análogo obtém-se:
\[ \inf A=-3. \]
Como nem \(3\) nem \(-3\) pertencem ao conjunto, não existem máximo nem mínimo.
Exercício 8 — nível ★★☆☆☆
Determinar o supremo, o ínfimo, o máximo e o mínimo do conjunto:
\[ A=\left\{x\in\mathbb R:x^2\leq9\right\}. \]
Resultado
\[ \sup A=\max A=3. \]
\[ \inf A=\min A=-3. \]
Resolução
A inequação:
\[ x^2\leq9 \]
equivale a:
\[ -3\leq x\leq3. \]
Por conseguinte:
\[ A=[-3,3]. \]
O número \(3\) é um majorante do conjunto.
Além disso, pertence ao próprio conjunto.
Segue-se que:
\[ \sup A=\max A=3. \]
De forma análoga, o número \(-3\) é um minorante e pertence ao conjunto.
Por conseguinte:
\[ \inf A=\min A=-3. \]
Este exercício põe em evidência a diferença entre intervalos abertos e intervalos fechados: ao acrescentar os extremos ao conjunto, surgem automaticamente o máximo e o mínimo.
Exercício 9 — nível ★★☆☆☆
Determinar o supremo, o ínfimo, o máximo e o mínimo do conjunto:
\[ A=\left\{x\in\mathbb R:1<x\leq 6\right\}. \]
Resultado
\[ \sup A=\max A=6. \]
\[ \inf A=1. \]
O mínimo não existe.
Resolução
O conjunto é formado por todos os números reais maiores do que \(1\) e menores ou iguais a \(6\).
Podemos, pois, escrever:
\[ A=(1,6]. \]
Cada elemento de \(A\) é menor ou igual a \(6\), pelo que \(6\) é um majorante do conjunto.
Como \(6\in A\), o número \(6\) é também o máximo do conjunto.
Por conseguinte:
\[ \sup A=\max A=6. \]
Consideremos agora o ínfimo.
Cada elemento de \(A\) é maior do que \(1\), pelo que \(1\) é um minorante.
Além disso, nenhum número maior do que \(1\) pode ser um minorante, porque os elementos do conjunto podem ser escolhidos arbitrariamente próximos de \(1\) pela direita.
Logo:
\[ \inf A=1. \]
Contudo, \(1\notin A\), pois a desigualdade é estrita.
Assim, o mínimo não existe.
Exercício 10 — nível ★★☆☆☆
Determinar o supremo, o ínfimo, o máximo e o mínimo do conjunto:
\[ A=\left\{x\in\mathbb R:x>-2\right\}. \]
Resultado
\[ \inf A=-2. \]
\[ \sup A=+\infty. \]
O conjunto não possui máximo nem mínimo.
Resolução
O conjunto contém todos os números reais maiores do que \(-2\). Assim:
\[ A=(-2,+\infty). \]
O conjunto não é majorado. Com efeito, qualquer que seja o número real \(M\) que se escolha, podemos tomar um número \(x\) maior tanto do que \(M\) como do que \(-2\). Desse modo, \(x\in A\) e \(x>M\).
Logo, não existe qualquer majorante real de \(A\).
Com a convenção habitual:
\[ \sup A=+\infty. \]
Estudemos agora os minorantes.
Cada elemento do conjunto é maior do que \(-2\), pelo que \(-2\) é um minorante.
Além disso, nenhum número maior do que \(-2\) pode ser um minorante, porque os elementos do conjunto podem aproximar-se tanto quanto se queira de \(-2\) pela direita.
Por conseguinte:
\[ \inf A=-2. \]
Visto que \(-2\notin A\), o mínimo não existe.
Além disso, não sendo o conjunto majorado, também não existe máximo.
Exercício 11 — nível ★★★☆☆
Determinar o supremo, o ínfimo, o máximo e o mínimo do conjunto:
\[ A=\left\{2-\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}. \]
Resultado
\[ \inf A=\min A=1. \]
\[ \sup A=2. \]
O máximo não existe.
Resolução
Escrevamos alguns elementos do conjunto:
\[ 1,\ \frac32,\ \frac53,\ \frac74,\ldots \]
Com efeito, para \(n=1\) obtém-se:
\[ 2-\frac11=1. \]
À medida que \(n\) cresce, o termo \(\displaystyle \frac1n\) diminui, pelo que \(2-\frac1n\) aumenta.
O menor valor é, pois, o primeiro valor, isto é, \(1\).
Como \(1\in A\), segue-se:
\[ \inf A=\min A=1. \]
Além disso, para todo o \(n\geq1\), tem-se:
\[ 2-\frac1n<2. \]
Logo, \(2\) é um majorante de \(A\).
Mostremos que é o menor dos majorantes.
Seja \(\varepsilon>0\). Pela propriedade arquimediana existe \(n\in\mathbb N\) tal que:
\[ \frac1n<\varepsilon. \]
Então:
\[ 2-\frac1n>2-\varepsilon. \]
Logo, existe um elemento de \(A\) maior do que \(2-\varepsilon\).
Pela caracterização do supremo:
\[ \sup A=2. \]
Visto que \(2\notin A\), o máximo não existe.
Exercício 12 — nível ★★★☆☆
Determinar o supremo, o ínfimo, o máximo e o mínimo do conjunto:
\[ A=\left\{\frac{2n+1}{n+1}:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}. \]
Resultado
\[ \inf A=\min A=\frac32. \]
\[ \sup A=2. \]
O máximo não existe.
Resolução
Reescrevamos o termo geral numa forma mais útil:
\[ \frac{2n+1}{n+1} = \frac{2n+2-1}{n+1} = 2-\frac1{n+1}. \]
Assim:
\[ A=\left\{2-\frac1{n+1}:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}. \]
Calculemos o primeiro elemento:
\[ 2-\frac12=\frac32. \]
À medida que \(n\) cresce, o termo \(\displaystyle \frac1{n+1}\) diminui, pelo que \(2-\displaystyle \frac1{n+1}\) aumenta.
Por conseguinte, o menor valor do conjunto é:
\[ \frac32. \]
Como este valor pertence ao conjunto, temos:
\[ \inf A=\min A=\frac32. \]
Além disso, para todo o \(n\geq1\), tem-se:
\[ 2-\frac1{n+1}<2. \]
Logo, \(2\) é um majorante.
Para demonstrar que \(2\) é o supremo, usamos a caracterização com \(\varepsilon\).
Seja \(\varepsilon>0\). Escolhamos \(n\) suficientemente grande de modo que:
\[ \frac1{n+1}<\varepsilon. \]
Então:
\[ 2-\frac1{n+1}>2-\varepsilon. \]
Logo, existe um elemento de \(A\) maior do que \(2-\varepsilon\).
Daqui resulta:
\[ \sup A=2. \]
Por fim, \(2\notin A\), porque \(\displaystyle \frac1{n+1}\) nunca é igual a \(0\). Por isso, o máximo não existe.
Exercício 13 — nível ★★★☆☆
Determinar o supremo, o ínfimo, o máximo e o mínimo do conjunto:
\[ A=\left\{\frac{n}{n+2}:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}. \]
Resultado
\[ \inf A=\min A=\frac13. \]
\[ \sup A=1. \]
O máximo não existe.
Resolução
Reescrevamos o termo geral numa forma mais legível:
\[ \frac{n}{n+2} = \frac{n+2-2}{n+2} = 1-\frac{2}{n+2}. \]
Os elementos do conjunto são:
\[ \frac13,\ \frac24,\ \frac35,\ \frac46,\ldots \]
À medida que \(n\) cresce, o termo \(\displaystyle \frac{2}{n+2}\) diminui; logo, \(1-\displaystyle \frac{2}{n+2}\) aumenta.
O menor valor obtém-se para \(n=1\):
\[ \frac{1}{1+2}=\frac13. \]
Como \(\displaystyle \frac13\in A\), segue-se:
\[ \inf A=\min A=\frac13. \]
Além disso, para todo o \(n\geq1\), tem-se:
\[ \frac{n}{n+2}<1. \]
Logo, \(1\) é um majorante de \(A\).
Mostremos que \(1\) é o menor dos majorantes.
Seja \(\varepsilon>0\). Queremos encontrar um elemento de \(A\) maior do que \(1-\varepsilon\).
Como:
\[ \frac{n}{n+2}=1-\frac{2}{n+2}, \]
basta escolher \(n\) tal que:
\[ \frac{2}{n+2}<\varepsilon. \]
Tal é possível pela propriedade arquimediana.
Com essa escolha obtém-se:
\[ \frac{n}{n+2} = 1-\frac{2}{n+2} > 1-\varepsilon. \]
Pela caracterização do supremo:
\[ \sup A=1. \]
Por fim, \(1\notin A\), porque a igualdade \(\displaystyle \frac{n}{n+2}=1\) implicaria \(n=n+2\), o que é impossível. Logo, o máximo não existe.
Exercício 14 — nível ★★★☆☆
Determinar o supremo, o ínfimo, o máximo e o mínimo do conjunto:
\[ A=\left\{3+\frac{1}{n}:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}. \]
Resultado
\[ \sup A=\max A=4. \]
\[ \inf A=3. \]
O mínimo não existe.
Resolução
Os elementos do conjunto são:
\[ 4,\ \frac72,\ \frac{10}{3},\ \frac{13}{4},\ldots \]
Com efeito, para \(n=1\), obtém-se:
\[ 3+\frac11=4. \]
À medida que \(n\) cresce, o termo \(\displaystyle \frac1n\) diminui. Logo, também \(3+\displaystyle \frac1n\) diminui.
O primeiro elemento é, pois, o maior do conjunto.
Por conseguinte:
\[ \sup A=\max A=4. \]
Além disso, para todo o \(n\geq1\), tem-se:
\[ 3+\frac1n>3. \]
Logo, \(3\) é um minorante de \(A\).
Mostremos que é o maior dos minorantes.
Seja \(\varepsilon>0\). Pela propriedade arquimediana existe \(n\in\mathbb N\) tal que:
\[ \frac1n<\varepsilon. \]
Então:
\[ 3+\frac1n<3+\varepsilon. \]
Encontrámos, assim, um elemento de \(A\) menor do que \(3+\varepsilon\).
Pela caracterização do ínfimo:
\[ \inf A=3. \]
Visto que \(3\notin A\), o mínimo não existe.
Exercício 15 — nível ★★★☆☆
Determinar o supremo, o ínfimo, o máximo e o mínimo do conjunto:
\[ A=\left\{2+\frac{(-1)^n}{n}:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}. \]
Resultado
\[ \inf A=\min A=1. \]
\[ \sup A=\max A=\frac52. \]
Resolução
Separemos os casos em que \(n\) é par dos casos em que \(n\) é ímpar.
Se \(n\) é par, então \((-1)^n=1\), pelo que os elementos correspondentes são:
\[ 2+\frac1n. \]
Para \(n=2\) obtém-se:
\[ 2+\frac12=\frac52. \]
Para os restantes valores pares de \(n\), o termo \(\displaystyle \frac1n\) é mais pequeno. Logo, o valor máximo entre os termos de índice par é \(\displaystyle \frac52\).
Se \(n\) é ímpar, então \((-1)^n=-1\), pelo que os elementos correspondentes são:
\[ 2-\frac1n. \]
Para \(n=1\) obtém-se:
\[ 2-1=1. \]
Para os restantes valores ímpares de \(n\), o termo \(\displaystyle \frac1n\) é mais pequeno, e portanto \(2-\displaystyle \frac1n\) é maior do que \(1\).
Segue-se que o menor valor de todo o conjunto é:
\[ 1. \]
Como \(1\in A\), temos:
\[ \inf A=\min A=1. \]
O maior valor do conjunto é, por sua vez:
\[ \frac52. \]
Também este valor pertence a \(A\), pois obtém-se para \(n=2\).
Por conseguinte:
\[ \sup A=\max A=\frac52. \]
Exercício 16 — nível ★★★☆☆
Determinar o supremo, o ínfimo, o máximo e o mínimo do conjunto:
\[ A=\left\{x\in\mathbb R:0<x<1\right\}\cup\{2\}. \]
Resultado
\[ \inf A=0. \]
\[ \sup A=\max A=2. \]
O mínimo não existe.
Resolução
O conjunto é formado por duas partes:
\[ (0,1) \]
e pelo único elemento:
\[ 2. \]
Todos os elementos do intervalo \((0,1)\) são menores do que \(1\), ao passo que \(2\) pertence ao conjunto.
O maior valor do conjunto é, pois, \(2\).
Consequentemente:
\[ \sup A=\max A=2. \]
Estudemos agora o comportamento inferior.
Todos os elementos do conjunto são positivos, pelo que \(0\) é um minorante.
Além disso, os elementos do intervalo \((0,1)\) podem ser escolhidos arbitrariamente próximos de \(0\) pela direita.
Logo, nenhum número maior do que \(0\) pode ser um minorante.
Por conseguinte:
\[ \inf A=0. \]
Visto que \(0\notin A\), o mínimo não existe.
O elemento isolado \(2\) altera o supremo, mas não altera o ínfimo do conjunto.
Exercício 17 — nível ★★★★☆
Determinar o supremo, o ínfimo, o máximo e o mínimo do conjunto:
\[ A=\left\{x\in\mathbb R:x^2>4,\ -5<x<3\right\}. \]
Resultado
\[ \inf A=-5, \qquad \sup A=3. \]
O conjunto não possui máximo nem mínimo.
Resolução
Estudemos separadamente as duas condições que definem o conjunto.
A inequação:
\[ x^2>4 \]
equivale a:
\[ x<-2 \qquad\text{ou}\qquad x>2. \]
Além disso, deve verificar-se:
\[ -5<x<3. \]
Intersectando as condições obtemos:
\[ A=(-5,-2)\cup(2,3). \]
O conjunto é, portanto, formado por dois intervalos abertos.
O menor valor de que os elementos se podem aproximar é \(-5\), mas \(-5\notin A\). Por isso:
\[ \inf A=-5. \]
O maior valor de que os elementos se podem aproximar é \(3\), mas \(3\notin A\). Logo:
\[ \sup A=3. \]
Visto que o ínfimo não pertence ao conjunto, o mínimo não existe.
Visto que o supremo não pertence ao conjunto, o máximo não existe.
Observemos que o «buraco» entre \(-2\) e \(2\) não altera nem o ínfimo nem o supremo: estes dependem apenas do comportamento mais baixo e mais alto do conjunto.
Exercício 18 — nível ★★★★☆
Determinar o supremo, o ínfimo, o máximo e o mínimo do conjunto:
\[ A=\left\{\frac{(-1)^n n}{n+1}:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}. \]
Resultado
\[ \sup A=1. \]
\[ \inf A=-1. \]
O conjunto não possui máximo nem mínimo.
Resolução
Para determinar o supremo e o ínfimo convém distinguir os termos de índice par dos de índice ímpar.
Se \(n\) é par, então:
\[ (-1)^n=1. \]
Os elementos correspondentes do conjunto são, pois:
\[ \frac{n}{n+1}. \]
Para \(n=2,4,6,\ldots\) obtemos:
\[ \frac23,\ \frac45,\ \frac67,\ \frac89,\ldots \]
Podemos reescrever tais termos na forma:
\[ \frac{n}{n+1} = 1-\frac1{n+1}. \]
Visto que \(\displaystyle \frac1{n+1}>0\), cada termo é estritamente menor do que \(1\).
Além disso, à medida que \(n\) cresce, o termo \(\displaystyle \frac1{n+1}\) torna-se cada vez mais pequeno e tende para \(0\). Consequentemente, os valores
\[ \frac{n}{n+1} \]
aproximam-se arbitrariamente de \(1\) sem nunca o atingirem.
O número \(1\) é, portanto, um majorante do conjunto.
Além disso, para todo o \(\varepsilon>0\), existe um índice par suficientemente grande tal que:
\[ \frac{n}{n+1}>1-\varepsilon. \]
Pela caracterização do supremo segue-se que:
\[ \sup A=1. \]
Visto que nenhum elemento do conjunto é igual a \(1\), o máximo não existe.
Consideremos agora os índices ímpares.
Se \(n\) é ímpar, então:
\[ (-1)^n=-1. \]
Os elementos correspondentes do conjunto são:
\[ -\frac{n}{n+1}. \]
Para \(n=1,3,5,\ldots\) obtemos:
\[ -\frac12,\ -\frac34,\ -\frac56,\ -\frac78,\ldots \]
Reescrevemos estes termos como:
\[ -\frac{n}{n+1} = -1+\frac1{n+1}. \]
Visto que \(\displaystyle \frac1{n+1}>0\), todos estes valores são estritamente maiores do que \(-1\).
Além disso, à medida que \(n\) cresce, o termo \(\frac1{n+1}\) tende para \(0\), e portanto os valores
\[ -\frac{n}{n+1} \]
aproximam-se arbitrariamente de \(-1\) sem nunca o atingirem.
O número \(-1\) é, pois, um minorante do conjunto.
Além disso, para todo o \(\varepsilon>0\), existe um índice ímpar suficientemente grande tal que:
\[ -\frac{n}{n+1}< -1+\varepsilon. \]
Pela caracterização do ínfimo segue-se que:
\[ \inf A=-1. \]
Visto que nenhum elemento do conjunto é igual a \(-1\), o mínimo não existe.
Concluímos, pois, que:
\[ \sup A=1, \qquad \inf A=-1. \]
ao passo que o conjunto não possui máximo nem mínimo.
Exercício 19 — nível ★★★★☆
Verificar, usando a caracterização do supremo, que:
\[ \sup(2,7)=7. \]
Resultado
\[ \sup(2,7)=7. \]
Resolução
Para demonstrar que \(7\) é o supremo do conjunto \(A=(2,7)\), devemos verificar duas condições.
A primeira condição exige que \(7\) seja um majorante de \(A\).
Com efeito, se \(x\in(2,7)\), então:
\[ x<7. \]
Por maioria de razão:
\[ x\leq 7. \]
Logo, \(7\) é um majorante.
A segunda condição exige que, para todo o \(\varepsilon>0\), exista um elemento \(x\in A\) tal que:
\[ 7-\varepsilon<x. \]
Seja, pois, \(\varepsilon>0\).
Se \(0<\varepsilon<10\), consideremos:
\[ x=7-\frac{\varepsilon}{2}. \]
Então:
\[ 2<x<7 \]
pelo que \(x\in(2,7)\).
Além disso:
\[ x=7-\frac{\varepsilon}{2}>7-\varepsilon. \]
Encontrámos, assim, um elemento do conjunto maior do que \(7-\varepsilon\).
Se, pelo contrário, \(\varepsilon\geq10\), basta escolher \(x=3\).
Com efeito:
\[ 3\in(2,7) \]
e
\[ 3>7-\varepsilon. \]
Em qualquer dos casos, para todo o \(\varepsilon>0\), existe \(x\in A\) tal que:
\[ 7-\varepsilon<x. \]
Pela caracterização do supremo concluímos que:
\[ \sup(2,7)=7. \]
Exercício 20 — nível ★★★★★
Verificar, usando a caracterização do ínfimo, que:
\[ \inf\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}=0. \]
Resultado
\[ \inf\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}=0. \]
Resolução
Ponhamos:
\[ A=\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}. \]
Para demonstrar que \(0\) é o ínfimo de \(A\), devemos verificar duas condições.
A primeira condição exige que \(0\) seja um minorante de \(A\).
Com efeito, para todo o \(n\geq1\), tem-se:
\[ \frac1n>0. \]
Logo:
\[ 0\leq \frac1n \qquad \forall n\geq1. \]
Assim, \(0\) é um minorante do conjunto.
A segunda condição exige que, para todo o \(\varepsilon>0\), exista um elemento de \(A\) menor do que:
\[ 0+\varepsilon=\varepsilon. \]
Seja, pois, \(\varepsilon>0\).
Pela propriedade arquimediana existe \(n\in\mathbb N\) tal que:
\[ n>\frac1\varepsilon. \]
Desta desigualdade resulta:
\[ \frac1n<\varepsilon. \]
Mas \(\frac1n\in A\). Logo, para todo o \(\varepsilon>0\), encontrámos um elemento \(x\in A\) tal que:
\[ x<0+\varepsilon. \]
Pela caracterização do ínfimo segue-se:
\[ \inf A=0. \]
Por fim, observemos que \(0\notin A\), pelo que \(A\) não possui mínimo.