A completude de \(\mathbb R\) é uma propriedade fundamental dos números reais. Exprime o facto de a recta real não apresentar «buracos»: todo o conjunto real não vazio e majorado possui um supremo real.
Esta propriedade distingue profundamente \(\mathbb R\) do conjunto dos números racionais \(\mathbb Q\). De facto, nos racionais existem conjuntos não vazios e majorados que não possuem supremo racional. Em \(\mathbb R\), pelo contrário, este fenómeno não pode ocorrer.
Nesta exposição introduziremos o significado da completude de \(\mathbb R\), enunciaremos o axioma da completude por meio do supremo e veremos por que razão esta propriedade está na base de muitos resultados fundamentais da análise matemática.
Índice
- Ideia intuitiva de completude de \(\mathbb R\)
- Por que razão \(\mathbb Q\) não é completo
- Revisão: majorantes, minorantes, máximo e mínimo
- Revisão: supremo e ínfimo
- Axioma da completude de \(\mathbb R\)
- Significado do axioma da completude
- Exemplos de aplicação do axioma da completude
- Completude de \(\mathbb R\) e sucessões
- Consequências fundamentais da completude de \(\mathbb R\)
- Resumo final
Ideia intuitiva de completude de \(\mathbb R\)
Dizer que \(\mathbb R\) é completo significa, intuitivamente, dizer que a recta real não tem buracos.
Esta afirmação deve ser interpretada com cuidado. Os números racionais \(\mathbb Q\) estão distribuídos de forma muito densa sobre a recta: entre dois racionais distintos existe sempre, pelo menos, outro racional. Contudo, apesar desta densidade, \(\mathbb Q\) não preenche completamente a recta.
Por exemplo, o número
\[ \sqrt{2} \]
não é racional. E, ainda assim, é possível construir números racionais cada vez mais próximos de \(\sqrt{2}\), quer por defeito quer por excesso.
Por outras palavras, dentro de \(\mathbb Q\) existem processos de aproximação que «apontam» para um número que não pertence a \(\mathbb Q\). Do ponto de vista dos racionais, esse ponto é um buraco.
O conjunto \(\mathbb R\), pelo contrário, é construído precisamente para colmatar esses buracos. Toda a grandeza que possa ser identificada como limite, como supremo ou como ponto de separação entre duas classes de números pertence à recta real.
A completude de \(\mathbb R\) formaliza esta ideia: todo o conjunto real não vazio e majorado possui um supremo em \(\mathbb R\).
Por que razão \(\mathbb Q\) não é completo
Para compreender a completude de \(\mathbb R\), é útil observar primeiro por que razão \(\mathbb Q\) não é completo.
Consideremos o conjunto
\[ A=\{q\in\mathbb Q:q^2<2\}. \]
O conjunto \(A\) é formado pelos números racionais cujo quadrado é menor que \(2\).
Por exemplo,
\[ 1\in A, \]
porque
\[ 1^2=1<2. \]
Além disso, \(A\) é majorado em \(\mathbb Q\). Por exemplo, \(2\) é um majorante racional de \(A\), porque todo o racional \(q\) com \(q^2<2\) é certamente menor que \(2\).
No entanto, \(A\) não possui supremo em \(\mathbb Q\).
Com efeito, se raciocinarmos dentro de \(\mathbb R\), o seu supremo é
\[ \sup A=\sqrt{2}. \]
Mas
\[ \sqrt{2}\notin\mathbb Q. \]
Por conseguinte, olhando para o conjunto apenas dentro de \(\mathbb Q\), falta o número que deveria representar o menor dos majorantes.
Este é o ponto essencial: \(\mathbb Q\) contém muitos números e é denso na recta, mas não é completo. Existem conjuntos racionais não vazios e majorados que não têm supremo racional.
O buraco correspondente a \(\sqrt{2}\)
O conjunto
\[ A=\{q\in\mathbb Q:q^2<2\} \]
descreve todos os racionais que, intuitivamente, estão à esquerda de \(\sqrt{2}\).
Dentro de \(\mathbb Q\), porém, o número \(\sqrt{2}\) não existe. Assim, o conjunto \(A\) aproxima-se indefinidamente de um limiar que não pertence aos racionais.
Nos reais, pelo contrário, esse limiar existe e é precisamente \(\sqrt{2}\). Por esta razão \(\mathbb R\) é completo, ao passo que \(\mathbb Q\) não o é.
Revisão: majorantes, minorantes, máximo e mínimo
Antes de enunciar o axioma da completude, recordemos algumas definições fundamentais.
Seja \(A\subseteq\mathbb R\) um conjunto não vazio.
Um número \(M\in\mathbb R\) diz-se majorante de \(A\) se todo o elemento de \(A\) é menor ou igual a \(M\). Em símbolos:
\[ x\leq M \qquad \text{para todo o } x\in A. \]
Se \(A\) possui pelo menos um majorante, então \(A\) diz-se majorado.
Analogamente, um número \(m\in\mathbb R\) diz-se minorante de \(A\) se todo o elemento de \(A\) é maior ou igual a \(m\). Em símbolos:
\[ m\leq x \qquad \text{para todo o } x\in A. \]
Se \(A\) possui pelo menos um minorante, então \(A\) diz-se minorado.
Máximo e mínimo
Um elemento \(M\in A\) diz-se máximo de \(A\) se é maior ou igual a todo o elemento de \(A\):
\[ x\leq M \qquad \text{para todo o } x\in A. \]
Neste caso escreve-se
\[ M=\max A. \]
Um elemento \(m\in A\) diz-se mínimo de \(A\) se é menor ou igual a todo o elemento de \(A\):
\[ m\leq x \qquad \text{para todo o } x\in A. \]
Neste caso escreve-se
\[ m=\min A. \]
É importante observar que o máximo e o mínimo, quando existem, têm de pertencer ao conjunto.
Por exemplo, o intervalo
\[ (0,1) \]
é majorado e minorado, mas não tem máximo nem mínimo. De facto, \(1\) e \(0\) são, respectivamente, o seu supremo e o seu ínfimo, mas não pertencem ao intervalo.
Revisão: supremo e ínfimo
As noções de máximo e mínimo não são suficientes para descrever todos os conjuntos limitados. Existem, de facto, conjuntos que não têm máximo mas que, ainda assim, possuem um menor majorante.
Seja \(A\subseteq\mathbb R\) um conjunto não vazio e majorado. Um número \(s\in\mathbb R\) diz-se supremo de \(A\) se satisfaz duas propriedades:
- \(s\) é um majorante de \(A\);
- \(s\) é o menor de todos os majorantes de \(A\).
Neste caso escreve-se
\[ s=\sup A. \]
Dizer que \(s=\sup A\) significa, portanto, que
\[ x\leq s \qquad \text{para todo o } x\in A, \]
e que todo o número menor que \(s\) deixa de ser um majorante de \(A\).
De modo equivalente, \(s=\sup A\) se e só se \(s\) é um majorante de \(A\) e, para todo o \(\varepsilon>0\), existe pelo menos um elemento \(x\in A\) tal que
\[ s-\varepsilon<x\leq s. \]
Esta segunda caracterização é muito importante: afirma que os elementos de \(A\) se podem aproximar arbitrariamente do \(\sup A\) por baixo.
Ínfimo
De modo análogo, seja \(A\subseteq\mathbb R\) um conjunto não vazio e minorado. Um número \(i\in\mathbb R\) diz-se ínfimo de \(A\) se satisfaz duas propriedades:
- \(i\) é um minorante de \(A\);
- \(i\) é o maior de todos os minorantes de \(A\).
Neste caso escreve-se
\[ i=\inf A. \]
Dizer que \(i=\inf A\) significa, portanto, que
\[ i\leq x \qquad \text{para todo o } x\in A, \]
e que todo o número maior que \(i\) deixa de ser um minorante de \(A\).
De modo equivalente, \(i=\inf A\) se e só se \(i\) é um minorante de \(A\) e, para todo o \(\varepsilon>0\), existe pelo menos um elemento \(x\in A\) tal que
\[ i\leq x<i+\varepsilon. \]
Diferença entre máximo e supremo
O máximo, quando existe, é um elemento do conjunto. O supremo, pelo contrário, pode não pertencer ao conjunto.
Por exemplo, para o intervalo
\[ A=(0,1) \]
tem-se
\[ \sup A=1, \qquad \inf A=0. \]
No entanto,
\[ 1\notin A \qquad \text{e} \qquad 0\notin A. \]
Por conseguinte, \(A\) não tem máximo nem mínimo.
Este exemplo mostra que o supremo e o ínfimo são conceitos mais gerais do que o máximo e o mínimo.
Axioma da completude de \(\mathbb R\)
Podemos agora enunciar a propriedade fundamental dos números reais.
Axioma da completude de \(\mathbb R\). Todo o subconjunto não vazio de \(\mathbb R\) que seja majorado admite supremo em \(\mathbb R\).
Em símbolos, se \(A\subseteq\mathbb R\), \(A\neq\varnothing\) e \(A\) é majorado, então existe um número real \(s\in\mathbb R\) tal que
\[ s=\sup A. \]
Este axioma afirma que, na recta real, todo o conjunto não vazio que possui pelo menos um majorante possui também o menor dos seus majorantes.
A completude de \(\mathbb R\) pode, portanto, exprimir-se dizendo que em \(\mathbb R\) não faltam os supremos dos conjuntos não vazios e majorados.
Forma equivalente com o ínfimo
O axioma da completude também pode ser formulado por meio do ínfimo.
Todo o subconjunto não vazio de \(\mathbb R\) que seja minorado admite ínfimo em \(\mathbb R\).
Em símbolos, se \(A\subseteq\mathbb R\), \(A\neq\varnothing\) e \(A\) é minorado, então existe um número real \(i\in\mathbb R\) tal que
\[ i=\inf A. \]
As duas formulações são equivalentes. Com efeito, a existência dos supremos permite deduzir a existência dos ínfimos aplicando o axioma ao conjunto oposto
\[ -A=\{-x:x\in A\}. \]
Em particular, se \(A\) é minorado, então
\[ \inf A=-\sup(-A). \]
Por que razão se fala de axioma?
Fala-se de axioma porque a completude não pode ser deduzida apenas das propriedades algébricas e de ordem que os números racionais já possuem.
Também \(\mathbb Q\) é um corpo ordenado: podem somar-se, multiplicar-se e comparar-se números racionais. No entanto, \(\mathbb Q\) não é completo.
A propriedade que distingue \(\mathbb R\) de \(\mathbb Q\) é precisamente a existência do supremo para todo o conjunto real não vazio e majorado.
Significado do axioma da completude
O axioma da completude afirma que, se um conjunto real é não vazio e não pode ultrapassar um certo limiar, então existe um limiar mínimo que o contém por cima.
Esse limiar mínimo é o supremo.
Para perceber o significado do axioma, imaginemos um conjunto \(A\subseteq\mathbb R\) formado por pontos colocados sobre a recta real. Se \(A\) é majorado, então todos os seus pontos se encontram à esquerda de pelo menos um número real.
O axioma da completude garante que, entre todos esses majorantes, existe o menor. Por outras palavras, existe um número real que representa exactamente o bordo superior do conjunto.
Esse bordo pode pertencer ou não ao conjunto.
Se pertence ao conjunto, coincide com o máximo. Se não pertence ao conjunto, está, ainda assim, presente na recta real como supremo.
Exemplo: intervalo fechado
Consideremos o intervalo
\[ A=[0,1]. \]
O conjunto \(A\) é não vazio e majorado.
O seu supremo é
\[ \sup A=1. \]
Neste caso \(1\in A\), pelo que o supremo é também o máximo:
\[ \max A=1. \]
Exemplo: intervalo aberto
Consideremos agora o intervalo
\[ A=(0,1). \]
Também este conjunto é não vazio e majorado.
O seu supremo continua a ser
\[ \sup A=1. \]
No entanto, \(1\notin A\), pelo que \(A\) não tem máximo.
O axioma da completude garante, ainda assim, a existência do supremo, mesmo quando este não pertence ao conjunto.
O ponto essencial
O ponto essencial é o seguinte: a completude não afirma que todo o conjunto limitado tenha máximo ou mínimo.
Afirma, sim, que todo o conjunto não vazio e majorado tem supremo, e que todo o conjunto não vazio e minorado tem ínfimo.
Esta distinção é fundamental. O máximo tem de pertencer ao conjunto; o supremo, pelo contrário, pode não pertencer a ele.
Exemplos de aplicação do axioma da completude
Vejamos agora alguns exemplos que mostram como o axioma da completude garante a existência do supremo mesmo quando o conjunto não possui máximo.
Exemplo 1: um intervalo aberto
Consideremos o conjunto
\[ A=(0,1). \]
O conjunto \(A\) é não vazio e majorado. Por exemplo, \(1\) é um majorante de \(A\), porque
\[ x\leq 1 \qquad \text{para todo o } x\in A. \]
Pelo axioma da completude, \(A\) admite supremo em \(\mathbb R\). Neste caso
\[ \sup A=1. \]
No entanto, \(1\notin A\), pelo que \(A\) não tem máximo.
Este exemplo mostra que o axioma da completude não garante a existência do máximo, mas garante a existência do supremo.
Exemplo 2: o conjunto dos quadrados menores que \(2\)
Consideremos o conjunto
\[ A=\{x\in\mathbb R:x^2<2\}. \]
Este conjunto é não vazio, porque \(0\in A\). Além disso, é majorado: por exemplo, \(2\) é um majorante de \(A\).
Pelo axioma da completude, existe
\[ \sup A. \]
Neste caso tem-se
\[ \sup A=\sqrt{2}. \]
Com efeito, \(\sqrt{2}\) é um majorante de \(A\), porque se \(x^2<2\), então \(x<\sqrt{2}\). Além disso, nenhum número menor que \(\sqrt{2}\) pode ser um majorante, porque existem elementos de \(A\) arbitrariamente próximos de \(\sqrt{2}\) pela esquerda.
Este exemplo mostra o papel essencial dos números reais: o número \(\sqrt{2}\), que falta em \(\mathbb Q\), existe em \(\mathbb R\) e pode ser reconhecido como o supremo de um conjunto.
Exemplo 3: um conjunto sem máximo
Consideremos o conjunto
\[ A=\left\{1-\frac{1}{n}:n\in\mathbb N,\ n\geq 1\right\}. \]
Os primeiros elementos do conjunto são
\[ 0,\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\ldots \]
O conjunto é não vazio e majorado. De facto, cada um dos seus elementos é menor que \(1\).
Pelo axioma da completude, \(A\) possui supremo. Neste caso
\[ \sup A=1. \]
Porém, \(1\notin A\), porque não existe nenhum \(n\in\mathbb N\) tal que
\[ 1-\frac{1}{n}=1. \]
Por conseguinte, \(A\) não tem máximo.
Este exemplo é importante porque mostra um conjunto discreto, formado por infinitos pontos isolados, que se aproxima indefinidamente de um valor exterior ao conjunto.
Completude de \(\mathbb R\) e sucessões
A completude de \(\mathbb R\) também pode exprimir-se através das sucessões. Uma das formulações mais importantes é o critério de Cauchy.
Uma sucessão \((x_n)\) de números reais diz-se sucessão de Cauchy se os seus termos se tornam arbitrariamente próximos uns dos outros à medida que os índices crescem.
Em símbolos, \((x_n)\) é de Cauchy se, para todo o \(\varepsilon>0\), existe \(N\in\mathbb N\) tal que, para todos os \(m,n\geq N\), se tem
\[ |x_n-x_m|<\varepsilon. \]
A ideia é que uma sucessão de Cauchy não exige conhecer antecipadamente o seu limite: descreve uma sucessão cujos termos se estabilizam cada vez mais uns em relação aos outros.
Completude através de sucessões de Cauchy
A completude de \(\mathbb R\) pode formular-se assim:
Toda a sucessão de Cauchy de números reais converge para um número real.
Em símbolos, se \((x_n)\subseteq\mathbb R\) é uma sucessão de Cauchy, então existe \(x\in\mathbb R\) tal que
\[ x_n\to x. \]
Esta propriedade é outra forma da completude de \(\mathbb R\). Afirma que, se uma sucessão real se comporta como se devesse convergir, então o seu limite existe realmente dentro de \(\mathbb R\).
Por que razão \(\mathbb Q\) não é completo do ponto de vista das sucessões
Nos racionais isto não acontece. Existem sucessões de números racionais que são de Cauchy mas que não convergem para nenhum número racional.
Por exemplo, podemos considerar uma sucessão de aproximações racionais de \(\sqrt{2}\):
\[ 1,\ 1{,}4,\ 1{,}41,\ 1{,}414,\ 1{,}4142,\ldots \]
Esta sucessão é formada por números racionais e os seus termos aproximam-se cada vez mais uns dos outros. Converge, em \(\mathbb R\), para
\[ \sqrt{2}. \]
No entanto,
\[ \sqrt{2}\notin\mathbb Q. \]
Assim, vista como sucessão em \(\mathbb Q\), não converge para nenhum número racional.
Isto mostra que \(\mathbb Q\) não é completo: contém sucessões que deveriam convergir, mas cujo limite cai fora de \(\mathbb Q\).
Ligação com o axioma do supremo
O axioma do supremo e a completude através de sucessões de Cauchy são duas formulações distintas da mesma propriedade fundamental dos números reais.
O axioma do supremo afirma que os conjuntos reais não vazios e majorados têm um bordo superior real.
A completude através de sucessões de Cauchy afirma, por seu turno, que todo o processo de aproximação interno aos reais converge para um número real.
Ambas as formulações exprimem a mesma ideia: na recta real não faltam os pontos limite necessários para completar os processos de aproximação.
Consequências fundamentais da completude de \(\mathbb R\)
A completude de \(\mathbb R\) não é uma propriedade isolada. Muitos teoremas fundamentais da análise real dependem precisamente do facto de a recta real não ter buracos.
Vejamos algumas das consequências mais importantes.
Existência de supremos e ínfimos
A consequência mais directa é a existência dos supremos e dos ínfimos.
Se \(A\subseteq\mathbb R\) é não vazio e majorado, então existe
\[ \sup A\in\mathbb R. \]
Se \(A\subseteq\mathbb R\) é não vazio e minorado, então existe
\[ \inf A\in\mathbb R. \]
Esta propriedade permite trabalhar com conjuntos que não possuem máximo ou mínimo mas que, ainda assim, têm um bordo superior ou inferior bem definido.
Teorema dos intervalos encaixados
Outra consequência da completude é o teorema dos intervalos encaixados.
Se
\[ I_n=[a_n,b_n], \qquad n\in\mathbb N, \]
é uma sucessão de intervalos fechados, limitados e encaixados, isto é,
\[ I_1\supseteq I_2\supseteq I_3\supseteq \cdots, \]
então a sua intersecção é não vazia:
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n\neq\varnothing. \]
Se, além disso, o comprimento dos intervalos tende para \(0\), isto é,
\[ b_n-a_n\to 0, \]
então a intersecção contém um único ponto.
Este resultado depende da completude: num conjunto não completo, uma sucessão de intervalos encaixados pode «fechar-se» em torno de um ponto que falta.
Teorema de Bolzano-Weierstrass
A completude está também na base do teorema de Bolzano-Weierstrass.
Este teorema afirma que toda a sucessão real limitada admite uma subsucessão convergente.
Em símbolos, se \((x_n)\) é uma sucessão limitada de números reais, então existem uma subsucessão \((x_{n_k})\) e um número real \(x\in\mathbb R\) tais que
\[ x_{n_k}\to x. \]
O ponto essencial é que o limite da subsucessão pertence de novo a \(\mathbb R\). Isto é possível porque \(\mathbb R\) é completo.
Critério de convergência de Cauchy
Uma consequência fundamental da completude é o critério de convergência de Cauchy.
Uma sucessão real converge se e só se é uma sucessão de Cauchy.
Em símbolos:
\[ (x_n) \text{ converge em } \mathbb R \quad \Longleftrightarrow \quad (x_n) \text{ é de Cauchy}. \]
A implicação da esquerda para a direita é válida em todo o espaço métrico: toda a sucessão convergente é de Cauchy.
A implicação oposta, pelo contrário, é uma propriedade de completude: em \(\mathbb R\), toda a sucessão de Cauchy converge para um número real.
Teoremas de existência em análise
Muitos resultados de existência da análise baseiam-se, directa ou indirectamente, na completude de \(\mathbb R\).
Por exemplo, a completude está na base do teorema de Weierstrass, do teorema de Bolzano (dos zeros), do teorema dos valores intermédios e de diversos resultados sobre a convergência das sucessões e das séries.
Em todos estes casos, a ideia de fundo é a mesma: constrói-se um objecto mediante aproximações sucessivas e a completude garante que o objecto limite existe realmente em \(\mathbb R\).
Resumo final
A completude de \(\mathbb R\) é a propriedade que distingue os números reais dos números racionais. Exprime o facto de a recta real não apresentar buracos.
A formulação mais clássica da completude é o axioma do supremo:
todo o subconjunto não vazio e majorado de \(\mathbb R\) possui supremo em \(\mathbb R\).
Em símbolos, se \(A\subseteq\mathbb R\), \(A\neq\varnothing\) e \(A\) é majorado, então existe
\[ \sup A\in\mathbb R. \]
De modo equivalente, todo o subconjunto não vazio e minorado de \(\mathbb R\) possui ínfimo em \(\mathbb R\).
A completude não afirma que todo o conjunto limitado tenha máximo ou mínimo. Afirma, sim, que todo o conjunto não vazio e majorado tem supremo, mesmo quando esse supremo não pertence ao conjunto.
O conjunto dos números racionais \(\mathbb Q\) não é completo: existem conjuntos racionais não vazios e majorados que não têm supremo racional. Um exemplo fundamental é o conjunto dos racionais \(q\) tais que \(q^2<2\), cujo supremo real é \(\sqrt{2}\), que não pertence a \(\mathbb Q\).
A completude de \(\mathbb R\) também pode exprimir-se em termos de sucessões: toda a sucessão de Cauchy de números reais converge para um número real.
Esta propriedade está na base de muitos resultados fundamentais da análise matemática, entre os quais o teorema dos intervalos encaixados, o teorema de Bolzano-Weierstrass, o critério de convergência de Cauchy e numerosos teoremas de existência.
Em síntese, a completude é o que faz de \(\mathbb R\) o ambiente natural da análise: todo o processo de aproximação bem definido encontra o seu limite no interior da recta real.