Os exercícios seguintes servem para consolidar o conceito de conjuntos compactos em \(\mathbb R\). Utilizaremos sobretudo o teorema de Heine–Borel, segundo o qual um subconjunto de \(\mathbb R\) é compacto se e só se for fechado e limitado.
Exercício 1 — nível ★☆☆☆☆
Determinar se o conjunto
\[ A=[2,5] \]
é compacto em \(\mathbb R\).
Resultado
O conjunto \(A=[2,5]\) é compacto.
Resolução
Em \(\mathbb R\), pelo teorema de Heine–Borel, um conjunto é compacto se e só se for fechado e limitado.
O intervalo \([2,5]\) é fechado, porque contém ambos os seus extremos \(2\) e \(5\).
Além disso, é limitado, porque todos os seus elementos satisfazem
\[ 2\le x\le 5. \]
Logo, \(A\) é fechado e limitado. Portanto, pelo teorema de Heine–Borel, \(A\) é compacto.
Exercício 2 — nível ★☆☆☆☆
Determinar se o conjunto
\[ A=(2,5) \]
é compacto em \(\mathbb R\).
Resultado
O conjunto \(A=(2,5)\) não é compacto.
Resolução
O intervalo \((2,5)\) é limitado, porque todos os seus elementos estão compreendidos entre \(2\) e \(5\).
No entanto, não é fechado, visto que não contém os seus pontos de acumulação \(2\) e \(5\). De facto, existem sucessões de pontos de \(A\) que convergem para \(2\) ou para \(5\), por exemplo
\[ x_n=2+\frac1n. \]
Para todo o \(n\) suficientemente grande, tem-se \(x_n\in(2,5)\), mas
\[ x_n\to 2, \]
e \(2\notin A\).
Portanto, \(A\) não é fechado. Como em \(\mathbb R\) um conjunto compacto tem de ser fechado e limitado, \(A\) não é compacto.
Exercício 3 — nível ★☆☆☆☆
Determinar se o conjunto
\[ A=[0,+\infty) \]
é compacto em \(\mathbb R\).
Resultado
O conjunto \(A=[0,+\infty)\) não é compacto.
Resolução
O conjunto \(A=[0,+\infty)\) é fechado em \(\mathbb R\), porque contém o seu ponto de fronteira \(0\) e o seu complementar
\[ \mathbb R\setminus A=(-\infty,0) \]
é aberto.
No entanto, \(A\) não é limitado superiormente. De facto, para todo o \(M>0\), o número
\[ M+1 \]
pertence a \(A\) e é maior do que \(M\).
Logo, \(A\) não é limitado. Pelo teorema de Heine–Borel, por não ser limitado, não pode ser compacto.
Exercício 4 — nível ★☆☆☆☆
Determinar se o conjunto
\[ A=\{1,2,3,4\} \]
é compacto em \(\mathbb R\).
Resultado
O conjunto \(A=\{1,2,3,4\}\) é compacto.
Resolução
Todo o conjunto finito de números reais é fechado e limitado.
O conjunto \(A\) é limitado, porque todos os seus elementos estão compreendidos entre \(1\) e \(4\):
\[ 1\le x\le 4 \quad \text{para todo o } x\in A. \]
Além disso, \(A\) é fechado, porque é um conjunto finito e todos os seus pontos são isolados.
Logo, \(A\) é fechado e limitado. Pelo teorema de Heine–Borel, \(A\) é compacto.
Exercício 5 — nível ★★☆☆☆
Determinar se o conjunto
\[ A=\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge 1\right\} \]
é compacto em \(\mathbb R\).
Resultado
O conjunto \(A\) não é compacto.
Resolução
O conjunto \(A\) é limitado, porque
\[ 0<\frac1n\le 1 \]
para todo o \(n\ge 1\). Portanto,
\[ A\subseteq (0,1]. \]
No entanto, \(A\) não é fechado. De facto, a sucessão
\[ x_n=\frac1n \]
é formada por pontos de \(A\), mas converge para \(0\):
\[ \frac1n\to 0. \]
O ponto \(0\) é, portanto, um ponto de acumulação de \(A\), mas
\[ 0\notin A. \]
Por conseguinte, \(A\) não é fechado. Sendo limitado mas não fechado, não é compacto.
Exercício 6 — nível ★★☆☆☆
Determinar se o conjunto
\[ A=\left\{0\right\}\cup\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge 1\right\} \]
é compacto em \(\mathbb R\).
Resultado
O conjunto \(A\) é compacto.
Resolução
O conjunto \(A\) é limitado, porque
\[ 0\le x\le 1 \]
para todo o \(x\in A\). Portanto, \(A\subseteq[0,1]\).
Verifiquemos agora que \(A\) é fechado. Os pontos da forma \(\displaystyle \frac1n\) são isolados, ao passo que o único ponto de acumulação do conjunto é \(0\).
De facto,
\[ \frac1n\to 0. \]
Ao contrário do exercício anterior, desta vez \(0\) pertence ao conjunto \(A\).
Logo, \(A\) contém todos os seus pontos de acumulação e é fechado.
Como \(A\) é fechado e limitado, pelo teorema de Heine–Borel é compacto.
Exercício 7 — nível ★★☆☆☆
Determinar se o conjunto
\[ A=[-1,1]\setminus\{0\} \]
é compacto em \(\mathbb R\).
Resultado
O conjunto \(A\) não é compacto.
Resolução
O conjunto \(A\) é limitado, porque está contido em \([-1,1]\).
No entanto, \(A\) não é fechado. De facto, \(0\) é um ponto de acumulação de \(A\): toda a vizinhança de \(0\) contém pontos de \(A\) diferentes de \(0\), por exemplo números da forma
\[ \pm\frac1n \]
para \(n\) suficientemente grande.
Além disso,
\[ \frac1n\in A \quad \text{e} \quad \frac1n\to 0. \]
Mas \(0\notin A\), porque foi removido do intervalo \([-1,1]\).
Portanto, \(A\) não contém todos os seus pontos de acumulação e, por conseguinte, não é fechado.
Sendo limitado mas não fechado, \(A\) não é compacto.
Exercício 8 — nível ★★☆☆☆
Determinar se o conjunto
\[ A=\left[-2,3\right]\cup\{7\} \]
é compacto em \(\mathbb R\).
Resultado
O conjunto \(A\) é compacto.
Resolução
O intervalo \([-2,3]\) é fechado e limitado, pelo que é compacto.
Também o conjunto unitário \(\{7\}\) é fechado e limitado, pelo que é compacto.
A reunião finita de conjuntos fechados é fechada. Portanto,
\[ A=[-2,3]\cup\{7\} \]
é fechado.
Além disso, \(A\) é limitado, porque todos os seus elementos estão compreendidos entre \(-2\) e \(7\):
\[ -2\le x\le 7 \quad \text{para todo o } x\in A. \]
Logo, \(A\) é fechado e limitado. Pelo teorema de Heine–Borel, \(A\) é compacto.
Exercício 9 — nível ★★☆☆☆
Determinar se o conjunto
\[ A=\bigcup_{n=1}^{+\infty}\left[\frac1n,1\right] \]
é compacto em \(\mathbb R\).
Resultado
O conjunto \(A\) não é compacto.
Resolução
Observemos, antes de mais, que
\[ \left[\frac1n,1\right]\subseteq(0,1] \]
para todo o \(n\ge 1\). Além disso, dado um qualquer \(x\in(0,1]\), podemos escolher \(n\) suficientemente grande de modo que
\[ \frac1n\le x. \]
Então
\[ x\in\left[\frac1n,1\right]. \]
Portanto,
\[ A=(0,1]. \]
O conjunto \((0,1]\) é limitado, mas não é fechado, porque \(0\) é um ponto de acumulação e não pertence ao conjunto.
De facto,
\[ \frac1n\in A \quad \text{e} \quad \frac1n\to 0, \]
mas \(0\notin A\).
Por conseguinte, \(A\) não é fechado e, portanto, não é compacto.
Exercício 10 — nível ★★☆☆☆
Determinar se o conjunto
\[ A=\bigcap_{n=1}^{+\infty}\left[-1,\frac1n\right] \]
é compacto em \(\mathbb R\).
Resultado
O conjunto \(A=[-1,0]\) é compacto.
Resolução
Devemos primeiro determinar o conjunto \(A\).
Um número \(x\) pertence a \(A\) se e só se pertencer a todos os intervalos
\[ \left[-1,\frac1n\right]. \]
Isto significa que
\[ -1\le x\le \frac1n \]
para todo o \(n\ge 1\).
Se \(x\le 0\) e \(x\ge -1\), então certamente
\[ x\le \frac1n \]
para todo o \(n\ge 1\). Portanto, \([-1,0]\subseteq A\).
Reciprocamente, se \(x>0\), escolhendo \(n\) suficientemente grande tem-se
\[ \frac1n<x. \]
Então \(x\notin\left[-1,\displaystyle\frac1n\right]\), pelo que \(x\notin A\).
Portanto,
\[ A=[-1,0]. \]
O intervalo \([-1,0]\) é fechado e limitado. Logo, pelo teorema de Heine–Borel, é compacto.
Exercício 11 — nível ★★★☆☆
Demonstrar que o conjunto
\[ A=\left\{\frac{n}{n+1}:n\in\mathbb N,\ n\ge 1\right\}\cup\{1\} \]
é compacto em \(\mathbb R\).
Resultado
O conjunto \(A\) é compacto.
Resolução
Escrevamos o termo geral na forma
\[ \frac{n}{n+1}=1-\frac1{n+1}. \]
Desta expressão decorre que
\[ 0<\frac{n}{n+1}<1 \]
para todo o \(n\ge 1\), e ainda
\[ \frac{n}{n+1}\to 1. \]
O conjunto \(A\) é limitado, porque todos os seus elementos pertencem ao intervalo \([0,1]\).
Além disso, o único ponto de acumulação da sucessão
\[ \frac{n}{n+1} \]
é \(1\), e esse ponto pertence a \(A\).
Os pontos
\[ \frac{n}{n+1} \]
são isolados, ao passo que \(1\) está incluído no conjunto.
Portanto, \(A\) contém todos os seus pontos de acumulação e é fechado.
Sendo fechado e limitado, \(A\) é compacto pelo teorema de Heine–Borel.
Exercício 12 — nível ★★★☆☆
Determinar se o conjunto
\[ A=\left\{x\in\mathbb R: x^2<4\right\} \]
é compacto em \(\mathbb R\).
Resultado
O conjunto \(A\) não é compacto.
Resolução
Resolvamos primeiro a inequação
\[ x^2<4. \]
Esta equivale a
\[ -2<x<2. \]
Portanto,
\[ A=(-2,2). \]
O conjunto \(A\) é limitado, porque está contido em \([-2,2]\).
No entanto, não é fechado, porque não contém os pontos \(-2\) e \(2\), que são pontos de acumulação do conjunto.
Por exemplo, a sucessão
\[ x_n=2-\frac1n \]
pertence a \(A\) para todo o \(n\ge 1\) suficientemente grande e converge para \(2\), mas \(2\notin A\).
Portanto, \(A\) não é fechado. Pelo teorema de Heine–Borel, \(A\) não é compacto.
Exercício 13 — nível ★★★☆☆
Determinar se o conjunto
\[ A=\left\{x\in\mathbb R: x^2\le 4\right\} \]
é compacto em \(\mathbb R\).
Resultado
O conjunto \(A\) é compacto.
Resolução
Resolvamos a inequação
\[ x^2\le 4. \]
Esta equivale a
\[ -2\le x\le 2. \]
Logo,
\[ A=[-2,2]. \]
O intervalo \([-2,2]\) é fechado, porque contém os seus extremos, e é limitado, porque cada um dos seus elementos \(x\) satisfaz
\[ -2\le x\le 2. \]
Pelo teorema de Heine–Borel, \(A\) é compacto.
Exercício 14 — nível ★★★☆☆
Seja
\[ A=\left\{x\in\mathbb R: |x-3|\le 2\right\}. \]
Determinar se \(A\) é compacto.
Resultado
O conjunto \(A=[1,5]\) é compacto.
Resolução
A inequação
\[ |x-3|\le 2 \]
significa que a distância de \(x\) a \(3\) é, no máximo, \(2\). De modo equivalente,
\[ -2\le x-3\le 2. \]
Somando \(3\) aos três membros, obtemos
\[ 1\le x\le 5. \]
Portanto,
\[ A=[1,5]. \]
O intervalo \([1,5]\) é fechado e limitado. Pelo teorema de Heine–Borel, \(A\) é compacto.
Exercício 15 — nível ★★★☆☆
Demonstrar que a intersecção de dois conjuntos compactos \(K_1,K_2\subseteq\mathbb R\) é compacta.
Resultado
O conjunto \(K_1\cap K_2\) é compacto.
Resolução
Como \(K_1\) e \(K_2\) são compactos em \(\mathbb R\), pelo teorema de Heine–Borel são fechados e limitados.
A intersecção de dois conjuntos fechados é fechada. Logo,
\[ K_1\cap K_2 \]
é fechado.
Além disso, \(K_1\cap K_2\subseteq K_1\). Como \(K_1\) é limitado, todo o subconjunto seu é limitado. Portanto, \(K_1\cap K_2\) é limitado.
Demonstrámos que \(K_1\cap K_2\) é fechado e limitado.
Portanto, pelo teorema de Heine–Borel, \(K_1\cap K_2\) é compacto.
Exercício 16 — nível ★★★☆☆
Demonstrar que a reunião de dois conjuntos compactos \(K_1,K_2\subseteq\mathbb R\) é compacta.
Resultado
O conjunto \(K_1\cup K_2\) é compacto.
Resolução
Como \(K_1\) e \(K_2\) são compactos em \(\mathbb R\), são fechados e limitados.
A reunião finita de conjuntos fechados é fechada. Portanto,
\[ K_1\cup K_2 \]
é fechado.
Como \(K_1\) é limitado, existe \(M_1>0\) tal que
\[ |x|\le M_1 \quad \text{para todo o } x\in K_1. \]
Como \(K_2\) é limitado, existe \(M_2>0\) tal que
\[ |x|\le M_2 \quad \text{para todo o } x\in K_2. \]
Ponhamos
\[ M=\max\{M_1,M_2\}. \]
Então, para todo o \(x\in K_1\cup K_2\), tem-se
\[ |x|\le M. \]
Portanto, \(K_1\cup K_2\) é limitado.
Sendo fechado e limitado, \(K_1\cup K_2\) é compacto.
Exercício 17 — nível ★★★★☆
Demonstrar que o conjunto
\[ K=\left\{x\in[0,2]: x\neq 1\right\} \]
não é compacto.
Resultado
O conjunto \(K=[0,2]\setminus\{1\}\) não é compacto.
Resolução
O conjunto \(K\) é limitado, porque está contido em \([0,2]\).
No entanto, não é fechado. De facto, \(1\) é um ponto de acumulação de \(K\), mas não pertence a \(K\).
Para o ver de forma explícita, consideremos a sucessão
\[ x_n=1+\frac1n. \]
Para todo o \(n\ge 1\) tem-se \(x_n\neq 1\), e para \(n\) suficientemente grande tem-se \(x_n\in[0,2]\). Portanto, \(x_n\in K\).
Além disso,
\[ x_n\to 1. \]
Mas \(1\notin K\). Logo, \(K\) não é fechado.
Como em \(\mathbb R\) todo o compacto tem de ser fechado e limitado, \(K\) não é compacto.
Exercício 18 — nível ★★★★☆
Demonstrar, usando coberturas abertas, que o conjunto
\[ A=(0,1) \]
não é compacto.
Resultado
O intervalo \((0,1)\) não é compacto.
Resolução
Consideremos a família de abertos
\[ \mathcal U=\left\{\left(\frac1n,1\right):n\in\mathbb N,\ n\ge 2\right\}. \]
Esta família cobre \((0,1)\). De facto, tomado \(x\in(0,1)\), podemos escolher \(n\) suficientemente grande de modo que
\[ \frac1n<x. \]
Então
\[ x\in\left(\frac1n,1\right). \]
Portanto,
\[ (0,1)\subseteq\bigcup_{n=2}^{+\infty}\left(\frac1n,1\right). \]
Suponhamos agora que escolhemos um número finito destes abertos:
\[ \left(\frac1{n_1},1\right),\ldots,\left(\frac1{n_k},1\right). \]
Seja
\[ N=\max\{n_1,\ldots,n_k\}. \]
De entre estes intervalos, aquele que começa mais à esquerda é
\[ \left(\frac1N,1\right). \]
A reunião finita escolhida é, pois, igual a
\[ \left(\frac1N,1\right). \]
Mas o ponto
\[ x=\frac1{N+1} \]
pertence a \((0,1)\) e satisfaz
\[ \frac1{N+1}<\frac1N. \]
Logo, \(x\) não pertence à reunião finita escolhida.
Encontrámos uma cobertura aberta de \((0,1)\) que não admite nenhuma subcobertura finita. Por definição, \((0,1)\) não é compacto.
Exercício 19 — nível ★★★★☆
Demonstrar, usando sucessões, que o conjunto
\[ A=(0,1] \]
não é compacto.
Resultado
O conjunto \((0,1]\) não é compacto.
Resolução
Em \(\mathbb R\), toda a sucessão contida num conjunto compacto admite uma subsucessão convergente para um ponto do conjunto.
Consideremos a sucessão
\[ x_n=\frac1n. \]
Para todo o \(n\ge 1\) tem-se
\[ x_n\in(0,1]. \]
Além disso,
\[ x_n\to 0. \]
Toda a subsucessão de \((x_n)\) converge ainda para \(0\). De facto, se \((x_{n_k})\) for uma subsucessão, então
\[ x_{n_k}=\frac1{n_k}\to 0. \]
Mas
\[ 0\notin(0,1]. \]
Portanto, a sucessão \((x_n)\), apesar de estar inteiramente contida em \((0,1]\), não possui nenhuma subsucessão convergente para um ponto de \((0,1]\).
Por conseguinte, \((0,1]\) não é compacto.
Exercício 20 — nível ★★★★★
Seja \(K\subseteq\mathbb R\) um conjunto compacto e seja \(f:K\to\mathbb R\) uma função contínua. Demonstrar que \(f(K)\) é compacto.
Resultado
A imagem contínua de um compacto é compacta.
Resolução
Queremos demonstrar que
\[ f(K)=\{f(x):x\in K\} \]
é compacto.
Usamos o critério sequencial de compacidade em \(\mathbb R\). Seja, pois, \((y_n)\) uma sucessão de pontos de \(f(K)\). Por definição de imagem, para todo o \(n\) existe \(x_n\in K\) tal que
\[ y_n=f(x_n). \]
Como \(K\) é compacto, da sucessão \((x_n)\) podemos extrair uma subsucessão \((x_{n_k})\) convergente para um ponto \(x_0\in K\):
\[ x_{n_k}\to x_0. \]
Como \(f\) é contínua em \(x_0\), passando ao limite obtemos
\[ f(x_{n_k})\to f(x_0). \]
Mas
\[ f(x_{n_k})=y_{n_k}. \]
Portanto, a sucessão \((y_n)\) admite uma subsucessão \((y_{n_k})\) convergente para o ponto
\[ f(x_0)\in f(K). \]
Demonstrámos que toda a sucessão em \(f(K)\) admite uma subsucessão convergente para um ponto de \(f(K)\). Por conseguinte, \(f(K)\) é compacto.