Para estudar correctamente uma função é necessário distinguir com precisão três conjuntos fundamentais: o domínio, o conjunto de chegada e o contradomínio.
Uma função não fica determinada apenas pela fórmula que atribui o valor \(f(x)\). Para a definir por completo é preciso indicar também o conjunto dos elementos a que ela pode ser aplicada e o conjunto no qual se declara que a função toma os seus valores.
Se
\[ f:A\to B, \]
então \(A\) é o domínio da função, \(B\) é o seu conjunto de chegada, ao passo que o conjunto dos valores efectivamente assumidos por \(f\) recebe o nome de contradomínio da função.
Estes três conceitos estão estreitamente ligados, mas em geral não coincidem. O domínio determina que valores da variável independente são admissíveis; o conjunto de chegada fixa o conjunto no qual se declara que a função toma os seus valores; o contradomínio, pelo contrário, reúne apenas os valores que a função realmente atinge.
A distinção entre domínio, conjunto de chegada e contradomínio é essencial para compreender propriedades fundamentais como a injectividade, a sobrejectividade, a bijectividade, a função inversa e a composição de funções.
Índice
- Domínio, conjunto de chegada e contradomínio: significado intuitivo
- Definição de domínio de uma função
- Definição de conjunto de chegada de uma função
- Definição de contradomínio de uma função
- Diferença entre conjunto de chegada e contradomínio
- Como determinar o domínio de uma função
- Como determinar o contradomínio de uma função
- Exemplos sobre domínio, conjunto de chegada e contradomínio
- Erros frequentes a evitar
Domínio, conjunto de chegada e contradomínio: significado intuitivo
Para compreender intuitivamente o papel do domínio, do conjunto de chegada e do contradomínio, consideremos uma função
\[ f:A\to B. \]
Esta notação indica que a função \(f\) associa a cada elemento \(x\in A\) um e um só elemento \(f(x)\in B\).
O domínio é o conjunto de partida: contém os elementos a que a função pode ser aplicada. O conjunto de chegada é o conjunto no qual se declara que a função toma os seus valores. O contradomínio, por sua vez, é o conjunto dos valores que se obtêm efectivamente ao aplicar a função aos elementos do domínio.
Em símbolos, o contradomínio de \(f\) é
\[ f(A)=\{f(x)\in B\mid x\in A\}. \]
Como todo o valor assumido pela função pertence ao conjunto de chegada, tem-se sempre
\[ f(A)\subseteq B. \]
A inclusão anterior exprime uma distinção fundamental: todo o valor do contradomínio pertence ao conjunto de chegada, mas não é forçoso que todo o elemento do conjunto de chegada pertença ao contradomínio.
Por exemplo, se
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2, \]
então o domínio é \(\mathbb R\) e o conjunto de chegada é \(\mathbb R\). Contudo, a função apenas toma valores não negativos, de modo que o seu contradomínio é
\[ f(\mathbb R)=[0,+\infty). \]
Neste caso, o conjunto de chegada é \(\mathbb R\), ao passo que o contradomínio é apenas \([0,+\infty)\).
Definição de domínio de uma função
Sejam \(A\) e \(B\) dois conjuntos não vazios. Se
\[ f:A\to B \]
é uma função, então o conjunto \(A\) chama-se domínio da função \(f\).
O domínio é, portanto, o conjunto formado por todos os elementos a que a função associa um valor.
De modo equivalente, dizer que \(A\) é o domínio de \(f\) significa que, para todo o \(x\in A\), existe um e um só elemento \(y\in B\) associado a \(x\). Em símbolos:
\[ \forall x\in A,\quad \exists!\, y\in B \quad : \quad f(x)=y. \]
O domínio estabelece, pois, que valores da variável independente podem ser considerados. Se um elemento não pertence ao domínio, a função não está definida nesse elemento.
Por exemplo, a função
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2+1 \]
tem domínio \(\mathbb R\), porque a cada número real \(x\) associa o número real \(x^2+1\).
Já a função
\[ g:(0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad g(x)=\log x \]
tem domínio \((0,+\infty)\), porque o logaritmo real só está definido para valores positivos da variável.
O domínio não é um pormenor acessório, mas uma parte essencial da função. De facto, uma mesma fórmula pode definir funções diferentes consoante o domínio sobre o qual é considerada.
Por exemplo, as funções
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2 \]
e
\[ h:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad h(x)=x^2 \]
têm a mesma fórmula, mas não são a mesma função, porque os seus domínios são diferentes.
Esta diferença é também relevante para as propriedades da função. Com efeito, \(f\) não é injectiva, visto que \(f(-1)=f(1)\), ao passo que \(h\) é injectiva no domínio \([0,+\infty)\).
Definição de conjunto de chegada de uma função
Sejam \(A\) e \(B\) dois conjuntos não vazios. Se
\[ f:A\to B \]
é uma função, então o conjunto \(B\) chama-se conjunto de chegada da função \(f\).
O conjunto de chegada é, pois, o conjunto no qual se declara que a função toma os seus valores.
Em símbolos:
\[ \forall x\in A,\quad f(x)\in B. \]
O conjunto de chegada fixa o ambiente em que se declara que a função toma os seus valores. Todavia, o facto de um elemento pertencer ao conjunto de chegada não significa necessariamente que a função o atinja.
Por exemplo, consideremos
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2. \]
O conjunto de chegada é \(\mathbb R\). No entanto, a função não assume valores negativos, porque \(x^2\ge 0\) para todo o \(x\in\mathbb R\). Números como \(-1\), \(-2\) ou \(-10\) pertencem, portanto, ao conjunto de chegada, mas não são valores da função.
Também o conjunto de chegada, tal como o domínio, faz parte da definição da função. A mesma fórmula e o mesmo domínio podem dar origem a funções diferentes se o conjunto de chegada mudar.
Por exemplo, as funções
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2 \]
e
\[ g:\mathbb R\to[0,+\infty),\qquad g(x)=x^2 \]
têm a mesma fórmula e o mesmo domínio, mas conjuntos de chegada diferentes.
Esta diferença torna-se particularmente importante no estudo da sobrejectividade: uma função é sobrejectiva quando o seu contradomínio coincide com o conjunto de chegada.
Definição de contradomínio de uma função
Sejam \(A\) e \(B\) dois conjuntos não vazios e seja
\[ f:A\to B \]
uma função. Chama-se contradomínio da função \(f\) ao conjunto de todos os valores que \(f\) assume sobre os elementos do domínio.
Em símbolos:
\[ f(A)=\{f(x)\in B\mid x\in A\}. \]
De modo equivalente, um elemento \(y\in B\) pertence ao contradomínio de \(f\) se e só se existe pelo menos um elemento \(x\in A\) tal que \(f(x)=y\). Em símbolos:
\[ y\in f(A)\iff \exists x\in A \quad : \quad f(x)=y. \]
O contradomínio é, pois, o conjunto dos valores efectivamente atingidos pela função. Por definição, é sempre um subconjunto do conjunto de chegada:
\[ f(A)\subseteq B. \]
A inclusão pode ser estrita ou pode ser uma igualdade. Se \(f(A)\subsetneq B\), alguns elementos do conjunto de chegada não são atingidos. Se, pelo contrário, \(f(A)=B\), então todo o elemento do conjunto de chegada é imagem de pelo menos um elemento do domínio.
Consideremos, por exemplo,
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2+1. \]
Para todo o \(x\in\mathbb R\) tem-se \(x^2\ge 0\), donde
\[ x^2+1\ge 1. \]
Daqui resulta que todos os valores da função são maiores ou iguais a \(1\).
Reciprocamente, se \(y\ge 1\), então \(y-1\ge 0\) e podemos escolher
\[ x=\sqrt{y-1}. \]
Obtém-se assim
\[ f(x)=f(\sqrt{y-1})=(\sqrt{y-1})^2+1=y. \]
Por conseguinte,
\[ f(\mathbb R)=[1,+\infty). \]
Neste exemplo, o conjunto de chegada é \(\mathbb R\), ao passo que o contradomínio é \([1,+\infty)\).
Diferença entre conjunto de chegada e contradomínio
A diferença entre conjunto de chegada e contradomínio é um dos pontos mais delicados no estudo das funções.
Se
\[ f:A\to B, \]
então o conjunto de chegada é o conjunto \(B\), prescrito na definição da função. O contradomínio, por sua vez, é o conjunto
\[ f(A)=\{f(x)\in B\mid x\in A\}, \]
isto é, o conjunto dos valores efectivamente assumidos pela função.
Tem-se sempre
\[ f(A)\subseteq B, \]
mas não necessariamente \(f(A)=B\).
Por exemplo, a função
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2 \]
tem conjunto de chegada \(\mathbb R\), mas contradomínio \([0,+\infty)\). Com efeito, nenhum número real negativo é o quadrado de um número real.
Se, pelo contrário, considerarmos
\[ g:\mathbb R\to[0,+\infty),\qquad g(x)=x^2, \]
então o contradomínio coincide com o conjunto de chegada:
\[ g(\mathbb R)=[0,+\infty). \]
As duas funções têm a mesma fórmula e o mesmo domínio, mas conjuntos de chegada diferentes. Em consequência, a primeira não é sobrejectiva, ao passo que a segunda o é.
Em resumo, o conjunto de chegada fica fixado quando se define a função; o contradomínio, pelo contrário, tem de ser determinado estudando os valores que a função assume realmente sobre o domínio.
Como determinar o domínio de uma função
Determinar o domínio de uma função significa identificar todos os valores da variável independente para os quais a função está definida.
Quando uma função é dada na forma
\[ f:A\to B, \]
o domínio já está indicado: é o conjunto \(A\).
Por exemplo, se
\[ f:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad f(x)=\sqrt x, \]
então o domínio da função é \([0,+\infty)\).
Em muitos exercícios, porém, é fornecida apenas a expressão da função, por exemplo
\[ f(x)=\frac{1}{x-2}. \]
Neste caso, salvo indicação em contrário, procura-se o maior subconjunto de \(\mathbb R\) no qual a expressão tem significado. Este conjunto chama-se domínio natural ou campo de existência da função.
Para determinar o domínio natural de uma função real de variável real é preciso impor todas as condições que tornam possível o cálculo da expressão.
As restrições mais frequentes são as seguintes.
- Denominadores: o denominador de uma fracção deve ser diferente de zero.
- Raízes de índice par: o radicando deve ser maior ou igual a zero.
- Logaritmos: o argumento do logaritmo deve ser estritamente positivo.
Por exemplo, para
\[ f(x)=\frac{1}{x-2} \]
é preciso impor
\[ x-2\ne 0, \]
donde \(x\ne 2\). O domínio natural é
\[ \mathbb R\setminus\{2\}. \]
Para
\[ g(x)=\sqrt{x-3} \]
é preciso impor
\[ x-3\ge 0, \]
donde \(x\ge 3\). O domínio natural é
\[ [3,+\infty). \]
Para
\[ h(x)=\log(x+1) \]
é preciso impor
\[ x+1>0, \]
donde \(x>-1\). O domínio natural é
\[ (-1,+\infty). \]
Em geral, o domínio natural obtém-se traduzindo em condições matemáticas todas as restrições presentes na expressão da função e resolvendo o sistema de condições obtido.
É preciso, contudo, distinguir o domínio natural do domínio prescrito. Se uma função é declarada explicitamente com um domínio, então o domínio da função é o indicado, mesmo quando a fórmula teria significado sobre um conjunto maior.
Por exemplo,
\[ f:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2 \]
tem domínio \([0,+\infty)\), embora a fórmula \(x^2\) tenha significado para todo o \(x\in\mathbb R\).
Como determinar o contradomínio de uma função
Determinar o contradomínio de uma função significa identificar todos e apenas os valores que a função assume quando a variável independente percorre o domínio.
Se
\[ f:A\to B \]
é uma função, então um elemento \(y\in B\) pertence ao contradomínio de \(f\) se e só se existe pelo menos um \(x\in A\) tal que
\[ f(x)=y. \]
Determinar o contradomínio consiste, pois, em estabelecer para que valores de \(y\) a equação
\[ y=f(x) \]
admite pelo menos uma solução \(x\) no domínio da função.
Ao contrário do domínio natural, que muitas vezes se obtém impondo condições de existência sobre a expressão, o contradomínio exige que se estudem os valores efectivamente assumidos pela função. O método depende, portanto, do tipo de função considerada.
Por exemplo, consideremos
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2. \]
Ponhamos
\[ y=x^2. \]
Esta equação admite soluções reais se e só se \(y\ge 0\). Com efeito, se \(y\ge 0\) pode escolher-se \(x=\sqrt y\); se \(y<0\), não existe nenhum número real \(x\) tal que \(x^2=y\).
Por conseguinte,
\[ f(\mathbb R)=[0,+\infty). \]
Consideremos agora
\[ g:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad g(x)=x+1. \]
Como \(x\ge 0\), tem-se
\[ x+1\ge 1. \]
Reciprocamente, se \(y\ge 1\), escolhendo \(x=y-1\) tem-se \(x\in[0,+\infty)\) e
\[ g(x)=x+1=(y-1)+1=y. \]
Logo,
\[ g([0,+\infty))=[1,+\infty). \]
Do ponto de vista geométrico, o contradomínio de uma função é o conjunto das ordenadas dos pontos do seu gráfico. Por esse motivo, em alguns casos, pode ser determinado também observando o gráfico.
Para funções mais complexas, pelo contrário, pode ser necessário estudar a monotonia, localizar máximos e mínimos, ou recorrer a propriedades específicas da função considerada.
Em qualquer caso, o contradomínio não se obtém lendo simplesmente o conjunto de chegada declarado: tem de ser determinado estudando os valores que a função realmente atinge sobre o seu domínio.
Exemplos sobre domínio, conjunto de chegada e contradomínio
Vejamos agora alguns exemplos em que o domínio, o conjunto de chegada e o contradomínio são determinados de forma explícita. O objectivo é reconhecer com precisão o conjunto de partida, o conjunto de chegada e o conjunto dos valores efectivamente assumidos.
Exemplo 1. Consideremos a função
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x+2. \]
O domínio é \(\mathbb R\), porque a função está definida para todo o número real \(x\). O conjunto de chegada é \(\mathbb R\), porque se declara que a função toma valores reais.
Para determinar o contradomínio, ponhamos
\[ y=x+2. \]
Para todo o \(y\in\mathbb R\), escolhendo \(x=y-2\), obtém-se
\[ f(x)=f(y-2)=(y-2)+2=y. \]
Logo, a função toma todo o número real. Por conseguinte,
\[ f(\mathbb R)=\mathbb R. \]
Neste caso, o contradomínio coincide com o conjunto de chegada.
Exemplo 2. Consideremos a função
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2+1. \]
O domínio é \(\mathbb R\) e o conjunto de chegada é \(\mathbb R\).
Como \(x^2\ge 0\) para todo o \(x\in\mathbb R\), tem-se
\[ x^2+1\ge 1. \]
Reciprocamente, se \(y\ge 1\), escolhendo \(x=\sqrt{y-1}\), obtém-se
\[ f(x)=f(\sqrt{y-1})=(\sqrt{y-1})^2+1=y. \]
Logo,
\[ f(\mathbb R)=[1,+\infty). \]
O contradomínio é um subconjunto próprio do conjunto de chegada.
Exemplo 3. Consideremos a função
\[ g:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad g(x)=x^2+1. \]
O domínio é \([0,+\infty)\), ao passo que o conjunto de chegada é \(\mathbb R\).
Também neste caso \(x^2+1\ge 1\). Além disso, para todo o \(y\ge 1\), escolhendo \(x=\sqrt{y-1}\), tem-se \(x\in[0,+\infty)\) e
\[ g(x)=x^2+1=y. \]
Por conseguinte,
\[ g([0,+\infty))=[1,+\infty). \]
A função tem o mesmo contradomínio do exemplo anterior, embora esteja definida sobre um domínio diferente.
Exemplo 4. Consideremos a função
\[ h:[0,+\infty)\to[1,+\infty),\qquad h(x)=x^2+1. \]
O domínio é \([0,+\infty)\) e o conjunto de chegada é \([1,+\infty)\). Como se viu no exemplo anterior,
\[ h([0,+\infty))=[1,+\infty). \]
Neste caso, o contradomínio coincide com o conjunto de chegada. A função \(h\) é, portanto, sobrejectiva.
Exemplo 5. Consideremos a função
\[ p:\mathbb R\setminus\{0\}\to\mathbb R,\qquad p(x)=\frac{1}{x}. \]
O domínio é \(\mathbb R\setminus\{0\}\), porque a expressão \(\frac{1}{x}\) não está definida para \(x=0\). O conjunto de chegada é \(\mathbb R\).
Para todo o \(x\ne 0\) tem-se \(\frac{1}{x}\ne 0\), de modo que \(0\) não pertence ao contradomínio.
Reciprocamente, se \(y\ne 0\), escolhendo \(x=\frac{1}{y}\) tem-se \(x\ne 0\) e
\[ p(x)=p\left(\frac{1}{y}\right)=\frac{1}{\frac{1}{y}}=y. \]
Logo,
\[ p(\mathbb R\setminus\{0\})=\mathbb R\setminus\{0\}. \]
O contradomínio é, portanto, um subconjunto próprio do conjunto de chegada, porque o conjunto de chegada contém o \(0\), ao passo que o contradomínio não.
Erros frequentes a evitar
Resumamos alguns erros frequentes no estudo do domínio, do conjunto de chegada e do contradomínio.
- Confundir o conjunto de chegada com o contradomínio. O conjunto de chegada é o conjunto prescrito na definição da função; o contradomínio é o conjunto dos valores efectivamente atingidos.
- Pensar que a fórmula determina por si só a função. A mesma fórmula pode definir funções diferentes se mudarem o domínio ou o conjunto de chegada.
- Confundir o domínio prescrito com o domínio natural. Se o domínio está indicado na escrita \(f:A\to B\), então o domínio é \(A\). O domínio natural só se procura quando é fornecida apenas uma expressão.
- Esquecer que o contradomínio depende do domínio. Modificar o domínio pode alterar o conjunto dos valores assumidos pela função.
- Determinar a sobrejectividade sem olhar para o conjunto de chegada. Uma função é sobrejectiva se e só se o seu contradomínio coincide com o conjunto de chegada.
Em conclusão, o domínio, o conjunto de chegada e o contradomínio são três elementos distintos da teoria das funções. O domínio indica onde a função está definida; o conjunto de chegada indica onde se declara que a função toma os seus valores; o contradomínio indica que valores são efectivamente atingidos.