O conceito de função inversa nasce de uma pergunta natural: dada uma função que associa a cada elemento do domínio um elemento do conjunto de chegada, será possível percorrer essa correspondência no sentido oposto?
Dito de outro modo, se uma função \(f:A\to B\) associa a um elemento \(x\in A\) o valor \(y=f(x)\in B\), podemos perguntar se, conhecido \(y\), é possível recuperar de modo unívoco o elemento \(x\) do qual provém.
Esta possibilidade nem sempre está garantida. Com efeito, uma função pode assumir o mesmo valor em pontos diferentes do domínio, ou pode não atingir todos os elementos do conjunto de chegada. Por este motivo, a função inversa não depende apenas da fórmula que define a função, mas também do domínio, do conjunto de chegada e das propriedades de injetividade e sobrejetividade.
O objetivo é esclarecer quando uma função admite inversa, como se define com rigor a função inversa e que papel desempenham as noções de inversa à direita e inversa à esquerda. Estas últimas permitem compreender com maior precisão o que acontece quando uma função não é bijetiva, mas conserva apenas uma das duas propriedades fundamentais: a injetividade ou a sobrejetividade.
Índice
- O que significa inverter uma função
- Definição de função inversa
- Quando existe a função inversa
- Unicidade da inversa e papel do domínio e do conjunto de chegada
- Como encontrar a função inversa
- Exemplos de funções invertíveis e não invertíveis
- Inversa à esquerda de uma função
- Inversa à direita de uma função
- Relação entre inversa, inversa à esquerda e inversa à direita
- Resumo final
O que significa inverter uma função
Seja
\[ f:A\to B \]
uma função. Por definição, a cada elemento \(x\in A\) a função associa um e um só elemento \(f(x)\in B\).
Inverter uma função significa perguntar se é possível percorrer essa associação no sentido oposto: já não partir de \(x\) para obter \(f(x)\), mas partir de um valor \(y\in B\) e recuperar o elemento \(x\in A\) que o gerou.
Em símbolos, se
\[ y=f(x), \]
pergunta-se se é possível determinar \(x\) a partir de \(y\).
Esta operação, porém, nem sempre é possível. O primeiro obstáculo surge quando dois elementos distintos do domínio têm a mesma imagem. Se existem \(x_1,x_2\in A\), com \(x_1\ne x_2\), tais que
\[ f(x_1)=f(x_2), \]
então, partindo do valor \(f(x_1)=f(x_2)\), não é possível determinar de modo unívoco se o elemento de partida era \(x_1\) ou \(x_2\). Neste caso, a inversão não pode dar origem a uma função, pois uma função deve associar a cada elemento do seu domínio um e um só valor.
Um segundo obstáculo surge quando alguns elementos do conjunto de chegada não são valores assumidos pela função. Se existe um elemento \(y\in B\) que não pertence à imagem de \(f\), então não existe nenhum \(x\in A\) tal que
\[ f(x)=y. \]
Neste caso, partindo de \(y\), não é possível recuperar nenhum elemento do domínio.
Por isso, inverter uma função exige duas condições fundamentais: cada elemento do conjunto de chegada deve ser efetivamente atingido pela função e deve ser atingido por um único elemento do domínio. A primeira exigência corresponde à sobrejetividade; a segunda, à injetividade.
Quando ambas as condições se verificam, a função estabelece uma correspondência um a um entre os elementos de \(A\) e os de \(B\). Só nesta situação é possível definir uma verdadeira função inversa, que a cada elemento de \(B\) associa o único elemento de \(A\) do qual provém.
Definição de função inversa
Seja
\[ f:A\to B \]
uma função. Uma função
\[ f^{-1}:B\to A \]
diz-se inversa de \(f\) se, para todo \(x\in A\) e para todo \(y\in B\), se verifica a seguinte equivalência:
\[ y=f(x) \quad \Longleftrightarrow \quad x=f^{-1}(y). \]
Dito de outro modo, a função inversa associa a cada elemento \(y\in B\) o único elemento \(x\in A\) cuja imagem mediante \(f\) é precisamente \(y\).
A função inversa, quando existe, inverte o sentido da correspondência definida por \(f\). Se a função original envia \(x\) para \(y\), então a função inversa envia \(y\) para \(x\):
\[ f(x)=y \quad \Longrightarrow \quad f^{-1}(y)=x. \]
Esta notação deve ser interpretada com cuidado. O símbolo \(f^{-1}\) não denota a função recíproca de \(f\), isto é, não representa em geral a função \(x\mapsto \frac{1}{f(x)}\). Em geral,
\[ f^{-1}(x)\ne \frac{1}{f(x)}. \]
O símbolo \(f^{-1}\) denota, em vez disso, a função que realiza a operação inversa em relação a \(f\), ou seja, a função que devolve cada valor do conjunto de chegada ao elemento do domínio do qual provém.
A propriedade característica da função inversa pode também exprimir-se através da composição de funções. Se \(f:A\to B\) admite inversa \(f^{-1}:B\to A\), então verificam-se as identidades
\[ f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_A \]
e
\[ f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_B. \]
A primeira identidade significa que, partindo de um elemento de \(A\) e aplicando primeiro \(f\) e depois \(f^{-1}\), se regressa ao elemento inicial:
\[ f^{-1}(f(x))=x \qquad \text{para todo } x\in A. \]
A segunda identidade significa que, partindo de um elemento de \(B\) e aplicando primeiro \(f^{-1}\) e depois \(f\), se regressa ao elemento inicial:
\[ f(f^{-1}(y))=y \qquad \text{para todo } y\in B. \]
Estas duas igualdades resumem de forma rigorosa o significado de função inversa: aplicar uma função e depois a sua inversa, ou aplicar primeiro a inversa e depois a função, não altera o elemento de partida.
Quando existe a função inversa
Nem toda função admite função inversa. Para que uma função
\[ f:A\to B \]
admita inversa
\[ f^{-1}:B\to A, \]
é necessário que cada elemento de \(B\) provenha de um e um só elemento de \(A\).
Mais precisamente, para todo \(y\in B\) deve existir um único \(x\in A\) tal que
\[ f(x)=y. \]
Esta condição encerra duas exigências distintas.
A primeira é uma exigência de existência: para todo \(y\in B\) deve existir pelo menos um elemento \(x\in A\) tal que \(f(x)=y\). Deste modo, cada elemento do conjunto de chegada é efetivamente atingido pela função. Isto é exatamente a sobrejetividade.
A segunda é uma exigência de unicidade: para todo \(y\in B\) deve existir no máximo um elemento \(x\in A\) tal que \(f(x)=y\). Deste modo, não pode haver dois elementos distintos do domínio com a mesma imagem. Isto é exatamente a injetividade.
Por conseguinte, uma função admite função inversa se e só se for simultaneamente injetiva e sobrejetiva, ou seja, se e só se for bijetiva.
Em símbolos:
\[ f:A\to B \text{ admite inversa } f^{-1}:B\to A \quad \Longleftrightarrow \quad f \text{ é bijetiva}. \]
A necessidade desta condição pode compreender-se de forma direta. Se \(f\) não é injetiva, existem dois elementos distintos \(x_1,x_2\in A\) tais que
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Nesse caso, partindo do valor comum \(f(x_1)=f(x_2)\), a eventual inversa teria de associar a um mesmo elemento de \(B\) tanto \(x_1\) como \(x_2\). Isto é impossível, pois uma função deve associar um único valor a cada elemento do seu domínio.
Se, por outro lado, \(f\) não é sobrejetiva, existe pelo menos um elemento \(y\in B\) que não é imagem de nenhum elemento de \(A\). Para tal \(y\) não existe nenhum \(x\in A\) tal que
\[ f(x)=y. \]
Neste caso, a inversa não poderia ser definida em todo o \(B\), porque a esse elemento \(y\) não corresponderia nenhum elemento de \(A\).
Reciprocamente, se \(f\) é bijetiva, então para todo \(y\in B\) existe um e um só \(x\in A\) tal que \(f(x)=y\). É, portanto, possível definir
\[ f^{-1}(y)=x. \]
Esta definição está bem posta: a existência de \(x\) é garantida pela sobrejetividade, ao passo que a sua unicidade é garantida pela injetividade.
Assim, a bijetividade não é apenas uma condição suficiente para a existência da função inversa: é também uma condição necessária.
Unicidade da inversa e papel do domínio e do conjunto de chegada
Uma função invertível estabelece uma correspondência um a um entre os elementos do domínio e os do conjunto de chegada.
Se
\[ f:A\to B \]
é bijetiva, então cada elemento \(y\in B\) é imagem de um e um só elemento \(x\in A\). Por conseguinte, a inversa
\[ f^{-1}:B\to A \]
é a função que associa a cada \(y\in B\) aquele único elemento \(x\in A\) tal que
\[ f(x)=y. \]
Em símbolos:
\[ f^{-1}(y)=x \quad \Longleftrightarrow \quad f(x)=y. \]
A função inversa não é, portanto, um objeto acrescentado artificialmente à função inicial: fica determinada de modo único pela função \(f\), sempre que \(f\) seja bijetiva.
Com efeito, se existissem duas inversas \(g:B\to A\) e \(h:B\to A\) da mesma função \(f\), então, para todo \(y\in B\), teríamos
\[ f(g(y))=y \qquad \text{e} \qquad f(h(y))=y. \]
Uma vez que \(f\) é injetiva, da igualdade
\[ f(g(y))=f(h(y)) \]
segue necessariamente
\[ g(y)=h(y). \]
Isto vale para todo \(y\in B\), logo \(g=h\). A inversa de uma função, quando existe, é portanto única.
Além disso, se \(f:A\to B\) é bijetiva e admite inversa \(f^{-1}:B\to A\), então também \(f^{-1}\) é bijetiva, e a sua inversa é precisamente a função de partida:
\[ (f^{-1})^{-1}=f. \]
Esta igualdade exprime que inverter a correspondência uma segunda vez devolve a função original.
A invertibilidade depende sempre da função considerada juntamente com o seu domínio e o seu conjunto de chegada. A mesma fórmula pode definir uma função invertível ou não invertível, conforme os conjuntos entre os quais é considerada: é, pois, necessário especificar sempre o domínio, o conjunto de chegada e a regra de correspondência.
Por exemplo, a função
\[ f:\mathbb R\to \mathbb R,\qquad f(x)=x^2 \]
não é invertível, porque não é injetiva: com efeito, \(f(-1)=f(1)=1\).
Se, em vez disso, se considera a função
\[ f:[0,+\infty)\to [0,+\infty),\qquad f(x)=x^2, \]
então \(f\) é bijetiva e, portanto, admite inversa. Neste caso
\[ f^{-1}(x)=\sqrt{x}. \]
Este exemplo mostra que não basta olhar para a fórmula: para determinar se uma função é invertível, é preciso considerar o domínio, o conjunto de chegada e as propriedades da função.
Como encontrar a função inversa
Quando uma função é invertível, a sua inversa pode muitas vezes ser encontrada a partir da equação que define a função.
Suponhamos que temos uma função
\[ f:A\to B \]
definida por uma certa expressão \(y=f(x)\). Para determinar a inversa, é preciso resolver a equação
\[ y=f(x) \]
em relação à variável \(x\).
Se a função é invertível, para todo \(y\in B\) existe um e um só \(x\in A\) tal que \(f(x)=y\). Por isso, ao resolver a equação em relação a \(x\) obtém-se uma expressão da forma
\[ x=f^{-1}(y). \]
Chegados a este ponto, se se quiser escrever a inversa usando a variável \(x\) como variável independente, podemos renomear a variável \(y\) como \(x\). Este passo é apenas uma mudança de nome da variável, não uma alteração do significado matemático.
Na prática, o procedimento é o seguinte:
- escreve-se \(y=f(x)\);
- resolve-se a equação em relação a \(x\);
- obtém-se \(x=f^{-1}(y)\);
- renomeia-se a variável independente, escrevendo \(f^{-1}(x)\) em vez de \(f^{-1}(y)\).
Consideremos, por exemplo, a função
\[ f:\mathbb R\to \mathbb R,\qquad f(x)=2x+3. \]
A função é bijetiva, logo admite inversa. Escrevemos
\[ y=2x+3. \]
Resolvemos em relação a \(x\):
\[ y-3=2x, \]
de onde
\[ x=\frac{y-3}{2}. \]
Portanto
\[ f^{-1}(y)=\frac{y-3}{2}. \]
Renomeando a variável independente, obtemos
\[ f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}. \]
Convém sempre verificar o resultado por meio da composição. Com efeito:
\[ f^{-1}(f(x))=f^{-1}(2x+3)=\frac{2x+3-3}{2}=x \]
para todo \(x\in\mathbb R\), e
\[ f(f^{-1}(x))=f\left(\frac{x-3}{2}\right)=2\cdot\frac{x-3}{2}+3=x \]
para todo \(x\in\mathbb R\).
As duas identidades confirmam que a função encontrada é efetivamente a inversa de \(f\).
O procedimento algébrico só faz sentido como método para encontrar a inversa depois de se ter verificado que a função é invertível, ou depois de se terem precisado adequadamente o domínio e o conjunto de chegada. Resolver formalmente uma equação não garante, por si só, a existência de uma função inversa.
Por exemplo, da relação
\[ y=x^2 \]
obtém-se formalmente
\[ x=\pm\sqrt{y}. \]
Esta expressão não define uma função inversa de \(\mathbb R\) em \(\mathbb R\), porque a um mesmo valor positivo de \(y\) correspondem dois valores possíveis de \(x\). O problema não é apenas algébrico: a função \(f:\mathbb R\to\mathbb R\), \(f(x)=x^2\), não é injetiva e, portanto, não é invertível.
Se, em vez disso, se restringe o domínio a \([0,+\infty)\) e se considera
\[ f:[0,+\infty)\to[0,+\infty),\qquad f(x)=x^2, \]
então, para todo \(y\in[0,+\infty)\), existe um único \(x\in[0,+\infty)\) tal que \(x^2=y\), ou seja,
\[ x=\sqrt{y}. \]
Neste caso, a inversa é
\[ f^{-1}(x)=\sqrt{x}. \]
O cálculo da inversa deve, pois, ser sempre acompanhado da verificação do domínio, do conjunto de chegada e da bijetividade da função.
Exemplos de funções invertíveis e não invertíveis
Para compreender melhor o significado de função inversa, é útil comparar alguns exemplos em que a invertibilidade depende de forma essencial do domínio e do conjunto de chegada escolhidos.
Uma função invertível
Consideremos a função
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x+4. \]
A função é injetiva, porque se \(f(x_1)=f(x_2)\), então
\[ x_1+4=x_2+4, \]
e, portanto,
\[ x_1=x_2. \]
Além disso, é sobrejetiva, porque para todo \(y\in\mathbb R\) existe \(x\in\mathbb R\) tal que
\[ x+4=y. \]
Com efeito, basta escolher
\[ x=y-4. \]
A função é, pois, bijetiva e admite inversa. Da relação
\[ y=x+4 \]
obtemos
\[ x=y-4. \]
Portanto
\[ f^{-1}(x)=x-4. \]
Uma função não invertível por não ser injetiva
Consideremos agora a função
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2. \]
Esta função não é injetiva. Com efeito, dois elementos distintos do domínio podem ter a mesma imagem:
\[ f(-2)=4 \qquad \text{e} \qquad f(2)=4. \]
Se se tentasse construir uma inversa, o valor \(4\) teria de ser enviado simultaneamente para \(-2\) e para \(2\). Isto é impossível, pois uma função deve associar um único valor a cada elemento do seu domínio.
Por conseguinte, a função
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2 \]
não admite função inversa.
Uma função não invertível por não ser sobrejetiva
Consideremos a função
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=e^x. \]
Esta função é injetiva, mas não é sobrejetiva sobre \(\mathbb R\). Com efeito, os seus valores são sempre positivos:
\[ e^x>0 \qquad \text{para todo } x\in\mathbb R. \]
Por isso, nenhum número real menor ou igual a zero pertence à imagem da função. Por exemplo, não existe nenhum \(x\in\mathbb R\) tal que
\[ e^x=-1. \]
Por conseguinte, a função não pode ter inversa de \(\mathbb R\) em \(\mathbb R\), porque a eventual inversa teria de estar definida em todo o conjunto de chegada \(\mathbb R\), incluindo os valores não atingidos por \(f\).
Se, porém, se alterar o conjunto de chegada e se considerar
\[ f:\mathbb R\to(0,+\infty),\qquad f(x)=e^x, \]
então a função passa a ser bijetiva. Neste caso admite inversa
\[ f^{-1}:(0,+\infty)\to\mathbb R, \]
dada por
\[ f^{-1}(x)=\ln x. \]
A mesma fórmula pode dar funções diferentes
Os exemplos anteriores mostram um ponto essencial: a invertibilidade não é uma propriedade apenas da fórmula, mas da função no seu conjunto.
A fórmula \(x^2\), considerada como função de \(\mathbb R\) em \(\mathbb R\), não define uma função invertível. A mesma fórmula, considerada como função de \([0,+\infty)\) em \([0,+\infty)\), define, pelo contrário, uma função invertível.
Do mesmo modo, a fórmula \(e^x\), considerada como função de \(\mathbb R\) em \(\mathbb R\), não é sobrejetiva; considerada, porém, como função de \(\mathbb R\) em \((0,+\infty)\), torna-se bijetiva.
Para determinar se uma função admite inversa, é, pois, necessário especificar sempre três elementos: a regra de correspondência, o domínio e o conjunto de chegada.
Inversa à esquerda de uma função
A função inversa existe, no sentido ordinário, apenas quando a função é bijetiva. No entanto, se uma função não é bijetiva, pode ainda assim acontecer que parte do comportamento da inversa continue presente.
Isto conduz às noções de inversa à esquerda e inversa à direita.
Seja
\[ f:A\to B \]
uma função. Uma função
\[ g:B\to A \]
diz-se inversa à esquerda de \(f\) se
\[ g\circ f=\operatorname{id}_A. \]
De forma explícita, isto significa que
\[ g(f(x))=x \qquad \text{para todo } x\in A. \]
Assim, aplicando primeiro \(f\) e depois \(g\), regressa-se sempre ao elemento inicial do domínio \(A\).
O nome «inversa à esquerda» provém da posição de \(g\) na composição
\[ g\circ f. \]
Com efeito, na escrita \(g\circ f\), a função \(g\) figura à esquerda de \(f\). Por este motivo, \(g\) é chamada inversa à esquerda de \(f\).
A existência de uma inversa à esquerda está estreitamente ligada à injetividade. Se \(f\) admite uma inversa à esquerda, então \(f\) é injetiva.
Com efeito, suponhamos que existem \(x_1,x_2\in A\) tais que
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Aplicando \(g\) a ambos os membros, obtemos
\[ g(f(x_1))=g(f(x_2)). \]
Uma vez que \(g\circ f=\operatorname{id}_A\), segue que
\[ x_1=x_2. \]
Logo, \(f\) é injetiva.
Reciprocamente, se \(f\) é injetiva, então cada elemento da imagem de \(f\) provém de um único elemento de \(A\). Por isso, sobre os elementos de \(B\) que pertencem à imagem de \(f\) pode definir-se uma função que devolve cada valor ao seu único ponto de partida.
Resta, porém, um detalhe importante: se \(f\) não é sobrejetiva, alguns elementos de \(B\) não pertencem à imagem de \(f\). Sobre esses elementos, a inversa à esquerda não fica determinada pela função \(f\), porque eles não provêm de nenhum elemento de \(A\).
Por este motivo, quando \(f\) é injetiva mas não sobrejetiva, uma inversa à esquerda pode definir-se de modo natural sobre a imagem de \(f\), ao passo que sobre os pontos de \(B\setminus f(A)\) a sua definição pode ser escolhida arbitrariamente, desde que assuma valores em \(A\). No contexto habitual de domínios não vazios, isto não levanta qualquer dificuldade.
Consideremos, por exemplo, a função
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=e^x. \]
Esta função é injetiva, mas não é sobrejetiva sobre \(\mathbb R\), porque a sua imagem é \((0,+\infty)\).
Sobre os elementos positivos, isto é, sobre os elementos efetivamente atingidos por \(f\), a função que inverte \(f\) é o logaritmo natural:
\[ \ln(e^x)=x \qquad \text{para todo } x\in\mathbb R. \]
Assim, a função
\[ \ln:(0,+\infty)\to\mathbb R \]
inverte a exponencial sobre a sua imagem, no sentido de que
\[ \ln\circ \exp=\operatorname{id}_{\mathbb R}. \]
Contudo, \(\ln\) não é, por si só, uma inversa à esquerda da função \(f:\mathbb R\to\mathbb R\), \(f(x)=e^x\), porque não está definido em todo o conjunto de chegada \(\mathbb R\). Para obter uma verdadeira inversa à esquerda \(g:\mathbb R\to\mathbb R\), é preciso estender o logaritmo também aos valores reais menores ou iguais a zero.
Por exemplo, podemos definir
\[ g(y)= \begin{cases} \ln y, & y>0,\\ 0, & y\le 0. \end{cases} \]
Então \(g:\mathbb R\to\mathbb R\) está bem definida e, para todo \(x\in\mathbb R\), tem-se
\[ g(e^x)=\ln(e^x)=x. \]
Logo
\[ g\circ \exp=\operatorname{id}_{\mathbb R}. \]
A escolha do valor de \(g\) sobre os números reais menores ou iguais a zero é arbitrária: nesses pontos a função \(f(x)=e^x\) não impõe valor algum.
A inversa à esquerda, portanto, garante que a função possa ser invertida depois de aplicada, mas não exige necessariamente que todos os elementos do conjunto de chegada sejam atingidos.
Em síntese, a existência de uma inversa à esquerda exprime que \(f\) não identifica elementos distintos do domínio. Por este motivo, a inversa à esquerda está ligada à injetividade.
Inversa à direita de uma função
Seja
\[ f:A\to B \]
uma função. Uma função
\[ h:B\to A \]
diz-se inversa à direita de \(f\) se
\[ f\circ h=\operatorname{id}_B. \]
De forma explícita, isto significa que
\[ f(h(y))=y \qquad \text{para todo } y\in B. \]
Assim, partindo de um elemento \(y\in B\), a função \(h\) escolhe um elemento de \(A\) que \(f\) envia precisamente para \(y\).
O nome «inversa à direita» provém da posição de \(h\) na composição
\[ f\circ h. \]
Com efeito, na escrita \(f\circ h\), a função \(h\) figura à direita de \(f\). Por este motivo, \(h\) é chamada inversa à direita de \(f\).
A existência de uma inversa à direita está estreitamente ligada à sobrejetividade. Se \(f\) admite uma inversa à direita, então \(f\) é sobrejetiva.
Com efeito, para todo \(y\in B\), da identidade
\[ f(h(y))=y \]
segue que \(y\) é imagem do elemento \(h(y)\in A\). Logo, cada elemento de \(B\) é atingido por \(f\) e, por conseguinte, \(f\) é sobrejetiva.
Reciprocamente, se \(f\) é sobrejetiva, então para todo \(y\in B\) existe pelo menos um elemento \(x\in A\) tal que
\[ f(x)=y. \]
Para construir uma inversa à direita, pode escolher-se, para cada \(y\in B\), um dos elementos de \(A\) cuja imagem é \(y\). Definindo \(h(y)\) como um desses elementos, obtém-se
\[ f(h(y))=y \qquad \text{para todo } y\in B. \]
Logo, \(h\) é uma inversa à direita de \(f\).
Num contexto conjuntista geral, esta construção exige uma precisão. Para definir \(h\), com efeito, é preciso escolher, para cada \(y\in B\), um elemento da fibra
\[ f^{-1}(\{y\})=\{x\in A : f(x)=y\}. \]
Uma vez que \(f\) é sobrejetiva, cada uma destas fibras é não vazia. No entanto, a escolha simultânea de um elemento de cada fibra é, no caso geral, garantida pelo axioma da escolha. Nos contextos habituais da análise e da álgebra elementar, esta dificuldade quase nunca surge, porque as escolhas são normalmente explícitas ou determinadas por uma regra natural.
Quando \(f\) é sobrejetiva mas não injetiva, a inversa à direita não é necessariamente única. Com efeito, um mesmo elemento \(y\in B\) pode ter várias pré-imagens em \(A\), e a função \(h\) deve escolher uma delas.
Consideremos, por exemplo, a função
\[ f:\mathbb R\to[0,+\infty),\qquad f(x)=x^2. \]
Esta função é sobrejetiva, mas não injetiva. Com efeito, qualquer número real não negativo é o quadrado de pelo menos um número real, mas, se \(y>0\), então
\[ f(\sqrt y)=y \qquad \text{e} \qquad f(-\sqrt y)=y. \]
Para cada \(y\in[0,+\infty)\), podemos escolher como pré-imagem o número não negativo \(\sqrt y\). Obtemos assim a função
\[ h:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad h(y)=\sqrt y. \]
Então
\[ f(h(y))=f(\sqrt y)=(\sqrt y)^2=y \qquad \text{para todo } y\in[0,+\infty). \]
Logo, \(h\) é uma inversa à direita de \(f\).
Todavia, poderíamos ter feito também outra escolha, por exemplo
\[ k:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad k(y)=-\sqrt y. \]
Também neste caso se tem
\[ f(k(y))=f(-\sqrt y)=(-\sqrt y)^2=y \qquad \text{para todo } y\in[0,+\infty). \]
Logo, também \(k\) é uma inversa à direita de \(f\). Isto mostra que, na ausência de injetividade, a inversa à direita pode não ser única.
A inversa à direita, portanto, garante que cada elemento do conjunto de chegada possa ser atingido escolhendo adequadamente um elemento do domínio. Não garante, porém, que tal elemento seja único.
Em síntese, a existência de uma inversa à direita exprime que \(f\) atinge todo o conjunto de chegada. Por este motivo, a inversa à direita está ligada à sobrejetividade.
Relação entre inversa, inversa à esquerda e inversa à direita
As noções de inversa à esquerda e inversa à direita permitem separar as duas propriedades que, em conjunto, tornam invertível uma função.
Seja
\[ f:A\to B \]
uma função. Uma função
\[ g:B\to A \]
é inversa à esquerda de \(f\) se
\[ g\circ f=\operatorname{id}_A. \]
Esta condição significa que, depois de aplicada \(f\), a função \(g\) permite regressar ao elemento inicial de \(A\). Por este motivo, a existência de uma inversa à esquerda está ligada à injetividade de \(f\).
Uma função
\[ h:B\to A \]
é, por outro lado, inversa à direita de \(f\) se
\[ f\circ h=\operatorname{id}_B. \]
Esta condição significa que cada elemento de \(B\) pode ser obtido aplicando \(f\) a um elemento adequado de \(A\). Por este motivo, a existência de uma inversa à direita está ligada à sobrejetividade de \(f\).
Quando uma mesma função
\[ u:B\to A \]
é simultaneamente inversa à esquerda e inversa à direita de \(f\), ou seja, quando se verificam ambas as identidades
\[ u\circ f=\operatorname{id}_A \]
e
\[ f\circ u=\operatorname{id}_B, \]
então \(u\) é a verdadeira função inversa de \(f\). Neste caso escreve-se
\[ u=f^{-1}. \]
Assim, a função inversa ordinária pode ser vista como uma função que é, ao mesmo tempo, inversa à esquerda e inversa à direita.
Em particular, se \(f\) admite uma função inversa \(f^{-1}:B\to A\), então
\[ f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_A \]
e
\[ f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_B. \]
A primeira identidade exprime a injetividade: elementos distintos de \(A\) não são identificados por \(f\). A segunda identidade exprime a sobrejetividade: cada elemento de \(B\) é atingido por \(f\).
Pode, então, resumir-se a situação do modo seguinte:
- a inversa à esquerda corresponde à recuperação dos elementos do domínio após a aplicação de \(f\);
- a inversa à direita corresponde à possibilidade de representar cada elemento do conjunto de chegada como imagem mediante \(f\);
- a função inversa ordinária existe quando ambas as condições se verificam.
Em termos de propriedades da função:
\[ f \text{ admite inversa à esquerda } \Longrightarrow f \text{ é injetiva}, \]
enquanto
\[ f \text{ admite inversa à direita } \Longrightarrow f \text{ é sobrejetiva}. \]
Reciprocamente, se \(f\) é injetiva, então é possível inverter \(f\) sobre a sua imagem; se \(f\) é sobrejetiva, então, admitindo o axioma da escolha no caso geral, é possível construir uma inversa à direita.
Quando \(f\) é simultaneamente injetiva e sobrejetiva, as duas condições juntam-se: a função admite uma só inversa, que é ao mesmo tempo inversa à esquerda e inversa à direita.
Em símbolos:
\[ f \text{ é bijetiva} \quad \Longleftrightarrow \quad \exists\, f^{-1}:B\to A \]
tal que
\[ f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_A \qquad \text{e} \qquad f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_B. \]
Esta formulação põe em evidência o significado profundo da invertibilidade: uma função é invertível quando não perde informação sobre os elementos do domínio e, ao mesmo tempo, atinge todos os elementos do conjunto de chegada.
Resumo final
A função inversa permite percorrer uma função no sentido oposto. Se uma função
\[ f:A\to B \]
associa a um elemento \(x\in A\) o valor \(y=f(x)\in B\), a função inversa, quando existe, associa a \(y\) o elemento \(x\) do qual provém.
Para que isto seja possível em todo o conjunto de chegada \(B\), cada elemento de \(B\) deve ser imagem de um e um só elemento de \(A\). A exigência de existência corresponde à sobrejetividade; a exigência de unicidade corresponde à injetividade.
Por isso, uma função admite inversa se e só se for bijetiva:
\[ f:A\to B \text{ admite inversa } f^{-1}:B\to A \quad \Longleftrightarrow \quad f \text{ é bijetiva}. \]
Quando a inversa existe, fica caracterizada pelas duas identidades
\[ f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_A \]
e
\[ f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_B. \]
A primeira identidade diz que, partindo de um elemento de \(A\) e aplicando primeiro \(f\) e depois \(f^{-1}\), se regressa ao elemento inicial. A segunda diz que, partindo de um elemento de \(B\) e aplicando primeiro \(f^{-1}\) e depois \(f\), se regressa ao elemento inicial.
As inversas à esquerda e à direita separam estas duas condições.
Uma inversa à esquerda de \(f\) é uma função \(g:B\to A\) tal que
\[ g\circ f=\operatorname{id}_A. \]
Permite recuperar cada elemento do domínio após a aplicação de \(f\). Por este motivo, está ligada à injetividade.
Uma inversa à direita de \(f\) é uma função \(h:B\to A\) tal que
\[ f\circ h=\operatorname{id}_B. \]
Permite obter cada elemento do conjunto de chegada como imagem mediante \(f\). Por este motivo, está ligada à sobrejetividade.
Se uma mesma função é simultaneamente inversa à esquerda e inversa à direita de \(f\), então é a função inversa ordinária de \(f\).
Em conclusão:
- a injetividade impede que dois elementos distintos do domínio tenham a mesma imagem;
- a sobrejetividade garante que cada elemento do conjunto de chegada seja atingido;
- a bijetividade garante ambas as propriedades e torna possível a função inversa;
- a inversa à esquerda reflete a injetividade;
- a inversa à direita reflete a sobrejetividade;
- a função inversa ordinária existe quando as duas condições se verificam em conjunto.
A noção de função inversa, portanto, não depende apenas de uma fórmula, mas da função considerada na sua totalidade: domínio, conjunto de chegada e regra de correspondência. Só especificando todos estes elementos se pode determinar com precisão se uma função é invertível e qual é a sua inversa.