A composição de funções é uma operação que permite aplicar uma função depois de outra. Se uma função transforma um elemento \(x\) em \(g(x)\), e uma segunda função pode ser aplicada ao valor \(g(x)\), então podemos considerar a função que associa diretamente a \(x\) o valor \(f(g(x))\).
Esta operação é fundamental no estudo das funções, pois permite construir novas funções a partir de funções já conhecidas. Além disso, a composição está na base de muitos conceitos importantes, como a função inversa, as transformações do gráfico, a regra da cadeia no cálculo diferencial e a mudança de variável no cálculo integral.
Contudo, para definir corretamente a composição não basta escrever formalmente \(f(g(x))\). É necessário controlar com precisão domínios e contradomínios: o valor produzido pela primeira função deve pertencer ao domínio da segunda. Por este motivo, a composição de funções é um conceito simples na ideia, mas que exige atenção nas condições de existência.
Índice
- Ideia intuitiva da composição de funções
- Definição de composição de funções
- Condição de existência da composição
- Domínio da função composta
- Ordem da composição
- Exemplos de composição de funções
- Composição com a função identidade
- Associatividade da composição
- Composição de funções injetivas, sobrejetivas e bijetivas
- Composição e função inversa
Ideia intuitiva da composição de funções
A ideia da composição de funções consiste em aplicar duas funções uma após a outra.
Suponhamos que temos uma função \(g\) que associa a um elemento \(x\) um valor \(g(x)\). Suponhamos ainda que dispomos de uma segunda função \(f\), que pode ser aplicada ao valor \(g(x)\). Então podemos construir uma nova função que, partindo de \(x\), chega diretamente ao valor \(f(g(x))\).
O esquema é o seguinte:
\[ x \xrightarrow{\;g\;} g(x) \xrightarrow{\;f\;} f(g(x)). \]
Neste caso, diz-se que compusemos \(f\) com \(g\). A função obtida é denotada por
\[ f\circ g. \]
O símbolo \(f\circ g\) lê-se \(f\) composta com \(g\) ou \(f\) após \(g\).
É importante observar a ordem: na composição \(f\circ g\), a função \(g\) é aplicada primeiro, enquanto a função \(f\) é aplicada em segundo lugar.
Com efeito, para todo \(x\) em que a composição está definida, tem-se
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
A composição \(f\circ g\) não significa, portanto, que se aplica primeiro \(f\) e depois \(g\), mas exatamente o contrário: primeiro, calcula-se \(g(x)\) e, em seguida, aplica-se \(f\) ao resultado obtido.
Definição de composição de funções
Sejam
\[ g:A\to B \]
e
\[ f:B\to C \]
duas funções. A composição de \(f\) com \(g\) é a função
\[ f\circ g:A\to C \]
definida, para todo \(x\in A\), por
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
Nesta definição, a função \(g\) é aplicada primeiro, enquanto a função \(f\) é aplicada depois. Com efeito, partindo de um elemento \(x\in A\), obtém-se primeiro o valor \(g(x)\in B\) e, em seguida, aplica-se \(f\) a esse valor:
\[ x\in A \quad \xrightarrow{\;g\;} \quad g(x)\in B \quad \xrightarrow{\;f\;} \quad f(g(x))\in C. \]
A função composta \(f\circ g\) associa, assim, diretamente a cada elemento \(x\in A\) o elemento \(f(g(x))\in C\).
Convém notar que, na escrita \(f\circ g\), a ordem de leitura não coincide com a ordem de aplicação: a função escrita à direita, isto é, \(g\), é aplicada primeiro; a função escrita à esquerda, isto é, \(f\), é aplicada em segundo lugar.
Condição de existência da composição
A composição \(f\circ g\) está definida quando os valores assumidos por \(g\) podem ser usados como argumentos da função \(f\).
Na situação
\[ g:A\to B, \qquad f:B\to C, \]
esta condição está automaticamente satisfeita, pois para todo \(x\in A\) se tem \(g(x)\in B\), e \(B\) é precisamente o domínio da função \(f\).
Mais geralmente, se
\[ g:A\to B \]
e
\[ f:D\to C, \]
então a composição \(f\circ g\) está definida para todos os elementos \(x\in A\) tais que
\[ g(x)\in D. \]
Em particular, se a imagem de \(g\) está contida no domínio de \(f\), isto é, se
\[ g(A)\subseteq D, \]
então a composição \(f\circ g\) está definida em todo o conjunto \(A\).
Esta é a condição fundamental para podermos compor duas funções: a saída da primeira função deve pertencer ao domínio da segunda.
Em símbolos, se quisermos definir \(f\circ g\) em todo o \(A\), devemos ter
\[ g(A)\subseteq \operatorname{Dom}(f). \]
Sem esta condição, a expressão \(f(g(x))\) poderia não ter significado para alguns valores de \(x\), pois \(g(x)\) poderia não pertencer ao domínio de \(f\).
Domínio da função composta
Quando as funções são dadas por fórmulas, o domínio da função composta deve ser determinado com atenção.
Suponhamos que \(g\) está definida num conjunto \(A\) e que \(f\) está definida num conjunto \(D\). A função composta \(f\circ g\) está definida exatamente para aqueles elementos \(x\in A\) para os quais \(g(x)\) pertence ao domínio de \(f\).
Portanto, o domínio de \(f\circ g\) é
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)= \{x\in \operatorname{Dom}(g)\mid g(x)\in \operatorname{Dom}(f)\}. \]
Esta fórmula é fundamental: para determinar o domínio de uma função composta não basta considerar o domínio de \(g\); é necessário impor também que o valor \(g(x)\) seja admissível como argumento de \(f\).
Consideremos, por exemplo, as funções
\[ g(x)=x-1, \qquad f(x)=\sqrt{x}. \]
A função composta \(f\circ g\) é
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x-1)=\sqrt{x-1}. \]
Para que esta expressão esteja definida nos números reais, é necessário que
\[ x-1\ge 0. \]
Ou seja,
\[ x\ge 1. \]
Por conseguinte,
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=[1,+\infty). \]
Neste exemplo, o domínio da composta não é todo o domínio de \(g\), mas apenas a parte do domínio de \(g\) em que o valor \(g(x)\) pertence ao domínio da raiz quadrada.
Ordem da composição
A ordem pela qual se compõem duas funções é fundamental. Em geral, \(f\circ g\) e \(g\circ f\) são funções diferentes.
Com efeito, por definição,
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)), \]
enquanto
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x)). \]
No primeiro caso, aplica-se primeiro \(g\) e depois \(f\); no segundo caso, aplica-se primeiro \(f\) e depois \(g\). Uma vez que a ordem de aplicação muda, o resultado pode mudar.
Consideremos, por exemplo, as funções
\[ f(x)=x^2, \qquad g(x)=x+1. \]
Calculemos primeiro \(f\circ g\):
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x+1)=(x+1)^2. \]
Calculemos agora \(g\circ f\):
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(x^2)=x^2+1. \]
As duas funções obtidas são
\[ (f\circ g)(x)=(x+1)^2 \]
e
\[ (g\circ f)(x)=x^2+1. \]
Em geral, estas expressões não coincidem. Por exemplo, para \(x=1\) tem-se
\[ (f\circ g)(1)=(1+1)^2=4, \]
enquanto
\[ (g\circ f)(1)=1^2+1=2. \]
Portanto,
\[ f\circ g\ne g\circ f. \]
A composição de funções não é, pois, comutativa: ao mudar a ordem das funções, em geral muda a função composta.
Exemplos de composição de funções
Vejamos alguns exemplos para esclarecer o cálculo da função composta e do seu domínio.
Exemplo 1. Consideremos as funções
\[ f(x)=3x+2, \qquad g(x)=x^2. \]
A composição \(f\circ g\) obtém-se substituindo \(g(x)\) no lugar da variável de \(f\):
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x^2)=3x^2+2. \]
A composição \(g\circ f\), por sua vez, é
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(3x+2)=(3x+2)^2. \]
Também neste caso as duas composições são diferentes:
\[ f\circ g\ne g\circ f. \]
Exemplo 2. Consideremos as funções
\[ f(x)=\sqrt{x}, \qquad g(x)=x^2-1. \]
A composta \(f\circ g\) é
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x^2-1)=\sqrt{x^2-1}. \]
Para que esta função esteja definida nos números reais, é necessário que
\[ x^2-1\ge 0. \]
Resolvendo a inequação, obtemos
\[ x\le -1 \qquad \text{ou} \qquad x\ge 1. \]
Por conseguinte,
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=(-\infty,-1]\cup[1,+\infty). \]
A composta \(g\circ f\), por sua vez, é
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(\sqrt{x})=(\sqrt{x})^2-1=x-1. \]
Neste caso, porém, há que lembrar que \(f(x)=\sqrt{x}\) só está definida para \(x\ge 0\). Por conseguinte,
\[ \operatorname{Dom}(g\circ f)=[0,+\infty). \]
Este exemplo mostra que duas composições podem ter não só fórmulas diferentes, mas também domínios diferentes.
Exemplo 3. Consideremos as funções
\[ f(x)=\frac{1}{x}, \qquad g(x)=x-2. \]
A função composta \(f\circ g\) é
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x-2)=\frac{1}{x-2}. \]
Esta expressão está definida se e somente se
\[ x-2\ne 0. \]
Portanto,
\[ x\ne 2. \]
Por conseguinte,
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=\mathbb R\setminus\{2\}. \]
Também aqui o domínio da composta obtém-se impondo que o valor da função interna pertença ao domínio da função externa.
Composição com a função identidade
A função identidade é o elemento neutro em relação à composição de funções.
Recordemos que, dado um conjunto \(A\), a função identidade em \(A\) é a função
\[ \operatorname{id}_A:A\to A \]
definida por
\[ \operatorname{id}_A(x)=x \]
para todo \(x\in A\).
Seja agora
\[ f:A\to B \]
uma função. Compondo \(f\) à direita com a identidade de \(A\), obtemos
\[ f\circ \operatorname{id}_A:A\to B. \]
Para todo \(x\in A\), tem-se
\[ (f\circ \operatorname{id}_A)(x)=f(\operatorname{id}_A(x))=f(x). \]
Portanto,
\[ f\circ \operatorname{id}_A=f. \]
Compondo, por outro lado, \(f\) à esquerda com a identidade de \(B\), obtemos
\[ \operatorname{id}_B\circ f:A\to B. \]
Para todo \(x\in A\), resulta
\[ (\operatorname{id}_B\circ f)(x)=\operatorname{id}_B(f(x))=f(x). \]
Assim,
\[ \operatorname{id}_B\circ f=f. \]
Em conclusão, para qualquer função \(f:A\to B\), tem-se
\[ f\circ \operatorname{id}_A=f \qquad \text{e} \qquad \operatorname{id}_B\circ f=f. \]
Associatividade da composição
A composição de funções é associativa. Isto significa que, ao compor três funções compatíveis, o modo como se colocam os parênteses não altera o resultado final.
Sejam
\[ h:A\to B,\qquad g:B\to C,\qquad f:C\to D \]
três funções. Então estão definidas ambas as composições
\[ (f\circ g)\circ h \]
e
\[ f\circ (g\circ h). \]
Para todo \(x\in A\), tem-se
\[ ((f\circ g)\circ h)(x) = (f\circ g)(h(x)) = f(g(h(x))). \]
Por outro lado,
\[ (f\circ (g\circ h))(x) = f((g\circ h)(x)) = f(g(h(x))). \]
As duas funções assumem, portanto, o mesmo valor para todo \(x\in A\). Por conseguinte,
\[ (f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h). \]
Graças à associatividade, quando não há ambiguidade, pode escrever-se simplesmente
\[ f\circ g\circ h, \]
recordando, no entanto, que a ordem de aplicação permanece da direita para a esquerda: primeiro \(h\), depois \(g\) e, por fim, \(f\).
Composição de funções injetivas, sobrejetivas e bijetivas
A composição conserva algumas propriedades importantes das funções, como a injetividade, a sobrejetividade e a bijetividade.
Sejam
\[ g:A\to B \]
e
\[ f:B\to C \]
duas funções.
Se \(g\) e \(f\) são ambas injetivas, então também \(f\circ g:A\to C\) é injetiva.
Com efeito, suponhamos que
\[ (f\circ g)(x_1)=(f\circ g)(x_2). \]
Então
\[ f(g(x_1))=f(g(x_2)). \]
Como \(f\) é injetiva, segue-se que
\[ g(x_1)=g(x_2). \]
Como \(g\) é injetiva, obtemos
\[ x_1=x_2. \]
Portanto, \(f\circ g\) é injetiva.
Se \(g\) e \(f\) são ambas sobrejetivas, então também \(f\circ g:A\to C\) é sobrejetiva.
Com efeito, seja \(z\in C\). Como \(f\) é sobrejetiva, existe \(y\in B\) tal que
\[ f(y)=z. \]
Como \(g\) é sobrejetiva, existe \(x\in A\) tal que
\[ g(x)=y. \]
Por conseguinte,
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(y)=z. \]
Portanto, cada elemento de \(C\) é imagem de pelo menos um elemento de \(A\) através de \(f\circ g\) e, por conseguinte, \(f\circ g\) é sobrejetiva.
Se \(g\) e \(f\) são ambas bijetivas, então \(f\circ g\) é bijetiva, pois é simultaneamente injetiva e sobrejetiva.
Composição e função inversa
A composição é o instrumento natural para definir e reconhecer a função inversa.
Seja
\[ f:A\to B \]
uma função. Uma função
\[ g:B\to A \]
é a inversa de \(f\) se, compondo as duas funções nas duas ordens possíveis, se obtêm as funções identidade:
\[ g\circ f=\operatorname{id}_A \]
e
\[ f\circ g=\operatorname{id}_B. \]
A primeira igualdade significa que, partindo de um elemento \(x\in A\), aplicar primeiro \(f\) e depois \(g\) leva de novo ao ponto de partida:
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x))=x. \]
A segunda igualdade significa que, partindo de um elemento \(y\in B\), aplicar primeiro \(g\) e depois \(f\) leva de novo ao ponto de partida:
\[ (f\circ g)(y)=f(g(y))=y. \]
Neste caso, escreve-se
\[ g=f^{-1}. \]
A composição mostra, assim, que uma função inversa não é simplesmente uma fórmula obtida «invertendo os passos», mas uma função que desfaz o efeito de \(f\) tanto à direita como à esquerda, levando cada elemento do domínio e do contradomínio de volta ao seu próprio ponto de partida.
Em particular, uma função \(f:A\to B\) admite inversa \(f^{-1}:B\to A\) se e somente se for bijetiva.
A composição de funções é, pois, uma operação fundamental para construir novas funções a partir de funções já conhecidas. A sua definição é simples:
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)), \]
mas exige sempre atenção à ordem de aplicação e aos domínios das funções envolvidas.
Em particular, na composição \(f\circ g\), a função \(g\) é aplicada primeiro, enquanto \(f\) é aplicada em segundo lugar. Além disso, a composição está definida apenas para aqueles valores de \(x\) para os quais \(g(x)\) pertence ao domínio de \(f\).
A composição não é, em geral, comutativa, mas é associativa. A função identidade atua como elemento neutro, enquanto a função inversa pode ser descrita precisamente por meio da composição com as funções identidade.
Por este motivo, a composição de funções é uma ferramenta essencial no estudo das funções, das suas propriedades e das relações entre uma função, a sua inversa, o seu domínio e o seu contradomínio.