Esta coletânea reúne 20 exercícios resolvidos sobre funções pares e funções ímpares. Cada exercício é resolvido passo a passo, com particular atenção à simetria do domínio, ao cálculo de \(f(-x)\) e à comparação com \(f(x)\) e com \(-f(x)\).
Com efeito, para decidir se uma função é par ou ímpar não basta observar a sua expressão analítica: é necessário verificar primeiro que o domínio seja simétrico em relação à origem. Só depois desta verificação faz sentido averiguar se, para todo \(x\) do domínio, é válida uma das duas condições
\[ f(-x)=f(x) \]
ou
\[ f(-x)=-f(x). \]
Os exercícios seguintes ilustram os casos principais: funções pares, funções ímpares, funções que não são nem pares nem ímpares, domínios não simétricos, operações entre funções pares e ímpares, integrais em intervalos simétricos e decomposição em parte par e parte ímpar.
Exercício 1 — nível ★☆☆☆☆
Determinar quais dos seguintes conjuntos são simétricos em relação à origem:
\[ A=\mathbb R,\qquad B=[-3,3],\qquad C=[0,+\infty),\qquad D=\mathbb R\setminus\{0\}. \]
Resultado
Os conjuntos \(A\), \(B\) e \(D\) são simétricos em relação à origem. O conjunto \(C\) não é simétrico em relação à origem.
Resolução
Um conjunto \(X\subseteq\mathbb R\) é simétrico em relação à origem se, para todo \(x\in X\), o seu oposto \(-x\) também pertence a \(X\). Em símbolos:
\[ x\in X\implies -x\in X. \]
Consideremos o primeiro conjunto:
\[ A=\mathbb R. \]
Todo número real pertence a \(\mathbb R\), e o seu oposto também. Logo, \(A\) é simétrico em relação à origem.
Consideremos agora
\[ B=[-3,3]. \]
Se \(x\in[-3,3]\), então também \(-x\in[-3,3]\), pois o intervalo contém sempre, juntamente com um número, o seu oposto. Logo, \(B\) é simétrico em relação à origem.
Consideremos
\[ C=[0,+\infty). \]
Este conjunto não é simétrico em relação à origem. Com efeito,
\[ 1\in[0,+\infty), \]
mas
\[ -1\notin[0,+\infty). \]
Portanto, \(C\) não contém o oposto de cada um dos seus elementos.
Por fim, consideremos
\[ D=\mathbb R\setminus\{0\}. \]
Se \(x\in D\), então \(x\ne 0\). Por consequência, também \(-x\ne 0\), de modo que \(-x\in D\). Portanto, \(D\) também é simétrico em relação à origem.
Exercício 2 — nível ★☆☆☆☆
Determinar se a função
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2+5 \]
é par, ímpar ou nem par nem ímpar.
Resultado
A função é par.
Resolução
O domínio da função é \(\mathbb R\), que é, portanto, simétrico em relação à origem.
Podemos, então, comparar \(f(x)\) com \(f(-x)\). Calculamos \(f(-x)\):
\[ f(-x)=(-x)^2+5. \]
Como
\[ (-x)^2=x^2, \]
obtemos
\[ f(-x)=x^2+5. \]
Mas
\[ f(x)=x^2+5. \]
Logo, para todo \(x\in\mathbb R\),
\[ f(-x)=f(x). \]
Por definição, \(f\) é par.
Exercício 3 — nível ★☆☆☆☆
Determinar se a função
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^3-4x \]
é par, ímpar ou nem par nem ímpar.
Resultado
A função é ímpar.
Resolução
O domínio da função é \(\mathbb R\), que é, portanto, simétrico em relação à origem.
Calculamos \(f(-x)\):
\[ f(-x)=(-x)^3-4(-x). \]
Simplificando ambos os termos, obtemos
\[ f(-x)=-x^3+4x. \]
Calculamos agora \(-f(x)\). Como
\[ f(x)=x^3-4x, \]
temos
\[ -f(x)=-(x^3-4x). \]
Distribuindo o sinal de menos:
\[ -f(x)=-x^3+4x. \]
Obtemos assim
\[ f(-x)=-x^3+4x \]
e
\[ -f(x)=-x^3+4x. \]
Por conseguinte, para todo \(x\in\mathbb R\),
\[ f(-x)=-f(x). \]
Por definição, \(f\) é ímpar.
Exercício 4 — nível ★★☆☆☆
Determinar se a função
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2+x \]
é par, ímpar ou nem par nem ímpar.
Resultado
A função não é nem par nem ímpar.
Resolução
O domínio da função é \(\mathbb R\), que é, portanto, simétrico em relação à origem.
Calculamos \(f(-x)\):
\[ f(-x)=(-x)^2+(-x). \]
Como \((-x)^2=x^2\), obtemos
\[ f(-x)=x^2-x. \]
Comparamos agora \(f(-x)\) com \(f(x)\). Temos
\[ f(x)=x^2+x. \]
Em geral,
\[ x^2-x\ne x^2+x. \]
Por exemplo, para \(x=1\) obtemos
\[ f(-1)=(-1)^2+(-1)=1-1=0, \]
ao passo que
\[ f(1)=1^2+1=2. \]
Logo, \(f(-1)\ne f(1)\), de modo que a função não é par.
Verifiquemos agora se a função é ímpar. Deveria valer
\[ f(-x)=-f(x) \]
para todo \(x\in\mathbb R\). Calculamos:
\[ -f(x)=-(x^2+x)=-x^2-x. \]
Mas, em geral,
\[ x^2-x\ne -x^2-x. \]
Por exemplo, para \(x=1\) já obtivemos \(f(-1)=0\), ao passo que
\[ -f(1)=-2. \]
Logo, \(f(-1)\ne -f(1)\), de modo que a função não é ímpar.
Portanto, \(f\) não é nem par nem ímpar.
Exercício 5 — nível ★★☆☆☆
Determinar se a função
\[ f:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2 \]
é par.
Resultado
A função não é considerada par, porque o seu domínio não é simétrico em relação à origem.
Resolução
A regra que define a função é
\[ f(x)=x^2. \]
Considerada em todo o \(\mathbb R\), esta expressão descreve uma função par. No entanto, neste exercício a função não está definida em \(\mathbb R\), mas sim em
\[ [0,+\infty). \]
Antes de verificar a paridade, devemos, portanto, examinar o domínio.
O domínio
\[ X=[0,+\infty) \]
não é simétrico em relação à origem. Com efeito,
\[ 1\in X, \]
mas
\[ -1\notin X. \]
Isto significa que, para \(x=1\), o valor \(f(1)\) está definido, ao passo que \(f(-1)\) não está.
Por consequência, não é possível verificar a condição
\[ f(-x)=f(x) \]
para todo \(x\) do domínio.
Por esta razão, a função
\[ f:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2 \]
não é considerada uma função par.
Exercício 6 — nível ★★☆☆☆
Determinar se a função
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=3x^4-5x^2+7 \]
é par, ímpar ou nem par nem ímpar.
Resultado
A função é par.
Resolução
O domínio da função é \(\mathbb R\), que é, portanto, simétrico em relação à origem.
Podemos, então, calcular \(f(-x)\) e compará-lo com \(f(x)\). Temos
\[ f(-x)=3(-x)^4-5(-x)^2+7. \]
Recordemos que uma potência de expoente par não muda de sinal quando se substitui \(x\) por \(-x\). Com efeito,
\[ (-x)^4=x^4,\qquad (-x)^2=x^2. \]
Assim,
\[ f(-x)=3x^4-5x^2+7. \]
Mas esta é precisamente a expressão de \(f(x)\):
\[ f(x)=3x^4-5x^2+7. \]
Portanto, para todo \(x\in\mathbb R\), vale
\[ f(-x)=f(x). \]
Por definição, a função é par.
Exercício 7 — nível ★★☆☆☆
Determinar se a função
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=2x^5-3x^3+x \]
é par, ímpar ou nem par nem ímpar.
Resultado
A função é ímpar.
Resolução
O domínio da função é \(\mathbb R\), que é, portanto, simétrico em relação à origem.
Calculamos \(f(-x)\):
\[ f(-x)=2(-x)^5-3(-x)^3+(-x). \]
As potências de expoente ímpar mudam de sinal quando se substitui \(x\) por \(-x\). Com efeito,
\[ (-x)^5=-x^5,\qquad (-x)^3=-x^3. \]
Assim,
\[ f(-x)=2(-x^5)-3(-x^3)-x. \]
Simplificando:
\[ f(-x)=-2x^5+3x^3-x. \]
Calculamos agora \(-f(x)\). Como
\[ f(x)=2x^5-3x^3+x, \]
temos
\[ -f(x)=-(2x^5-3x^3+x). \]
Distribuindo o sinal de menos:
\[ -f(x)=-2x^5+3x^3-x. \]
Logo, \(f(-x)\) e \(-f(x)\) coincidem:
\[ f(-x)=-f(x). \]
Como esta igualdade vale para todo \(x\in\mathbb R\), a função é ímpar.
Exercício 8 — nível ★★☆☆☆
Determinar se a função
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2+\cos x \]
é par, ímpar ou nem par nem ímpar.
Resultado
A função é par.
Resolução
O domínio da função é \(\mathbb R\), que é, portanto, simétrico em relação à origem.
Calculamos \(f(-x)\):
\[ f(-x)=(-x)^2+\cos(-x). \]
Utilizamos agora duas propriedades conhecidas:
\[ (-x)^2=x^2 \]
e
\[ \cos(-x)=\cos x. \]
A primeira igualdade resulta de a potência ter expoente par; a segunda exprime que o cosseno é uma função par.
Substituindo estas identidades, obtemos
\[ f(-x)=x^2+\cos x. \]
Mas
\[ f(x)=x^2+\cos x. \]
Logo, para todo \(x\in\mathbb R\),
\[ f(-x)=f(x). \]
Por definição, \(f\) é par.
Este resultado está também de acordo com a regra geral: a soma de duas funções pares é ainda uma função par.
Exercício 9 — nível ★★☆☆☆
Determinar se a função
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^3+x^2 \]
é par, ímpar ou nem par nem ímpar.
Resultado
A função não é nem par nem ímpar.
Resolução
O domínio da função é \(\mathbb R\), que é, portanto, simétrico em relação à origem.
Calculamos \(f(-x)\):
\[ f(-x)=(-x)^3+(-x)^2. \]
Como
\[ (-x)^3=-x^3,\qquad (-x)^2=x^2, \]
obtemos
\[ f(-x)=-x^3+x^2. \]
Comparamos primeiro \(f(-x)\) com \(f(x)\). Como
\[ f(x)=x^3+x^2, \]
para que \(f\) fosse par, deveria valer
\[ -x^3+x^2=x^3+x^2 \]
para todo \(x\in\mathbb R\). Esta igualdade não é verdadeira em geral. Por exemplo, para \(x=1\) temos
\[ f(-1)=(-1)^3+(-1)^2=-1+1=0, \]
ao passo que
\[ f(1)=1^3+1^2=2. \]
Logo, a função não é par.
Verifiquemos agora se é ímpar. Calculamos \(-f(x)\):
\[ -f(x)=-(x^3+x^2)=-x^3-x^2. \]
Para que \(f\) fosse ímpar, deveria valer
\[ f(-x)=-f(x). \]
Mas temos
\[ f(-x)=-x^3+x^2 \]
e
\[ -f(x)=-x^3-x^2. \]
Estas duas expressões não coincidem em geral. Por exemplo, para \(x=1\) temos \(f(-1)=0\), ao passo que \(-f(1)=-2\).
Logo, a função não é ímpar.
Portanto, \(f\) não é nem par nem ímpar.
Exercício 10 — nível ★★☆☆☆
Determinar se a função
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=0 \]
é par, ímpar ou ambas as coisas.
Resultado
A função é simultaneamente par e ímpar.
Resolução
O domínio da função é \(\mathbb R\), que é, portanto, simétrico em relação à origem.
A função é identicamente nula, isto é,
\[ f(x)=0 \]
para todo \(x\in\mathbb R\).
Calculamos \(f(-x)\). Como \(-x\) também é um número real, temos
\[ f(-x)=0. \]
Comparamos agora \(f(-x)\) com \(f(x)\). Visto que \(f(x)=0\), obtemos
\[ f(-x)=0=f(x). \]
Logo, a função é par.
Comparamos agora \(f(-x)\) com \(-f(x)\). Como \(f(x)=0\), temos
\[ -f(x)=-0=0. \]
Logo,
\[ f(-x)=0=-f(x). \]
Assim, a função é também ímpar.
Portanto, a função nula é simultaneamente par e ímpar. Mais geralmente, num domínio simétrico em relação à origem, uma função real que seja simultaneamente par e ímpar deve ser identicamente nula.
Exercício 11 — nível ★★★☆☆
Determinar se a função
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=(x^2+1)\sin x \]
é par, ímpar ou nem par nem ímpar.
Resultado
A função é ímpar.
Resolução
O domínio da função é \(\mathbb R\), que é, portanto, simétrico em relação à origem.
Calculamos \(f(-x)\):
\[ f(-x)=((-x)^2+1)\sin(-x). \]
Observamos agora separadamente os dois fatores.
Para o primeiro fator temos
\[ (-x)^2+1=x^2+1. \]
Para o segundo fator, usando que o seno é uma função ímpar, temos
\[ \sin(-x)=-\sin x. \]
Substituindo estas duas identidades, obtemos
\[ f(-x)=(x^2+1)(-\sin x). \]
Assim,
\[ f(-x)=-(x^2+1)\sin x. \]
Mas
\[ f(x)=(x^2+1)\sin x. \]
Portanto,
\[ f(-x)=-f(x). \]
Por definição, a função é ímpar.
O resultado está de acordo com a regra geral: o produto de uma função par por uma função ímpar é ímpar.
Exercício 12 — nível ★★★☆☆
Determinar se a função
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x\sin x \]
é par, ímpar ou nem par nem ímpar.
Resultado
A função é par.
Resolução
O domínio da função é \(\mathbb R\), que é, portanto, simétrico em relação à origem.
Calculamos \(f(-x)\):
\[ f(-x)=(-x)\sin(-x). \]
Usamos a relação
\[ \sin(-x)=-\sin x. \]
Substituindo, obtemos
\[ f(-x)=(-x)(-\sin x). \]
O produto de dois fatores negativos é positivo, de modo que
\[ f(-x)=x\sin x. \]
Mas
\[ f(x)=x\sin x. \]
Logo,
\[ f(-x)=f(x). \]
Por definição, a função é par.
Também este resultado está de acordo com a regra geral: o produto de duas funções ímpares é uma função par. Com efeito, \(x\mapsto x\) é ímpar e \(x\mapsto\sin x\) é ímpar.
Exercício 13 — nível ★★★☆☆
Determinar se a função
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=\frac{x^2+1}{x^4+1} \]
é par, ímpar ou nem par nem ímpar.
Resultado
A função é par.
Resolução
Em primeiro lugar, examinamos o domínio. O denominador é
\[ x^4+1. \]
Como \(x^4\ge 0\) para todo \(x\in\mathbb R\), temos
\[ x^4+1>0 \]
para todo \(x\in\mathbb R\). Logo, o denominador nunca se anula e o domínio é \(\mathbb R\).
O domínio é, portanto, simétrico em relação à origem.
Calculamos \(f(-x)\):
\[ f(-x)=\frac{(-x)^2+1}{(-x)^4+1}. \]
Como
\[ (-x)^2=x^2,\qquad (-x)^4=x^4, \]
obtemos
\[ f(-x)=\frac{x^2+1}{x^4+1}. \]
Mas
\[ f(x)=\frac{x^2+1}{x^4+1}. \]
Logo,
\[ f(-x)=f(x). \]
Por definição, a função é par.
Exercício 14 — nível ★★★☆☆
Determinar se a função
\[ f:X\to\mathbb R,\qquad f(x)=\tan x, \]
onde
\[ X=\mathbb R\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\mid k\in\mathbb Z\right\}, \]
é par, ímpar ou nem par nem ímpar.
Resultado
A função é ímpar.
Resolução
Antes de verificar a condição \(f(-x)=f(x)\) ou \(f(-x)=-f(x)\), devemos confirmar que o domínio seja simétrico em relação à origem.
A função tangente não está definida nos pontos
\[ \frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z. \]
Por isso, o domínio é
\[ X=\mathbb R\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\mid k\in\mathbb Z\right\}. \]
Verifiquemos que \(X\) é simétrico em relação à origem. O oposto de um ponto excluído é
\[ -\left(\frac{\pi}{2}+k\pi\right). \]
Simplificando:
\[ -\left(\frac{\pi}{2}+k\pi\right)=-\frac{\pi}{2}-k\pi. \]
Reescrevemos esta quantidade na forma \(\displaystyle\frac{\pi}{2}+m\pi\), com \(m\in\mathbb Z\):
\[ -\frac{\pi}{2}-k\pi=\frac{\pi}{2}+(-k-1)\pi. \]
Como \(-k-1\in\mathbb Z\), o oposto de um ponto excluído é ainda um ponto excluído.
Por consequência, se \(x\in X\), então também \(-x\in X\). O domínio é, portanto, simétrico em relação à origem.
Calculamos agora \(f(-x)\):
\[ f(-x)=\tan(-x). \]
Como a tangente é uma função ímpar, vale
\[ \tan(-x)=-\tan x. \]
Assim,
\[ f(-x)=-\tan x. \]
Mas \(f(x)=\tan x\), de modo que
\[ f(-x)=-f(x). \]
Por definição, \(f\) é ímpar.
Exercício 15 — nível ★★★☆☆
Calcular a integral
\[ \int_{-2}^{2}(x^4+3x^2)\,dx \]
usando que a função integranda é par.
Resultado
\[ \int_{-2}^{2}(x^4+3x^2)\,dx=\frac{144}{5}. \]
Resolução
Consideremos a função integranda
\[ f(x)=x^4+3x^2. \]
Verifiquemos que é par:
\[ f(-x)=(-x)^4+3(-x)^2. \]
Como
\[ (-x)^4=x^4,\qquad (-x)^2=x^2, \]
obtemos
\[ f(-x)=x^4+3x^2=f(x). \]
Logo, \(f\) é par.
O intervalo de integração é
\[ [-2,2], \]
que é simétrico em relação à origem. Para uma função par integrável em \([-a,a]\), vale
\[ \int_{-a}^{a}f(x)\,dx=2\int_0^a f(x)\,dx. \]
No nosso caso, \(a=2\). Logo,
\[ \int_{-2}^{2}(x^4+3x^2)\,dx = 2\int_0^2(x^4+3x^2)\,dx. \]
Calculamos a integral:
\[ 2\int_0^2(x^4+3x^2)\,dx = 2\left[\frac{x^5}{5}+x^3\right]_0^2. \]
Avaliamos nos extremos:
\[ 2\left[\frac{x^5}{5}+x^3\right]_0^2 = 2\left(\frac{2^5}{5}+2^3-\frac{0^5}{5}-0^3\right). \]
Logo,
\[ 2\left(\frac{2^5}{5}+2^3\right) = 2\left(\frac{32}{5}+8\right). \]
Reduzimos tudo ao mesmo denominador:
\[ 8=\frac{40}{5}. \]
Por conseguinte,
\[ 2\left(\frac{32}{5}+\frac{40}{5}\right) = 2\cdot\frac{72}{5} = \frac{144}{5}. \]
Concluímos que
\[ \int_{-2}^{2}(x^4+3x^2)\,dx=\frac{144}{5}. \]
Exercício 16 — nível ★★★☆☆
Calcular a integral
\[ \int_{-3}^{3}(x^5-4x)\,dx \]
usando que a função integranda é ímpar.
Resultado
\[ \int_{-3}^{3}(x^5-4x)\,dx=0. \]
Resolução
Consideremos a função integranda
\[ f(x)=x^5-4x. \]
Verifiquemos se \(f\) é ímpar. Calculamos \(f(-x)\):
\[ f(-x)=(-x)^5-4(-x). \]
Como
\[ (-x)^5=-x^5 \]
e
\[ -4(-x)=4x, \]
obtemos
\[ f(-x)=-x^5+4x. \]
Calculamos agora \(-f(x)\):
\[ -f(x)=-(x^5-4x). \]
Distribuindo o sinal de menos:
\[ -f(x)=-x^5+4x. \]
Temos então
\[ f(-x)=-f(x). \]
A função \(f\) é ímpar.
O intervalo de integração é
\[ [-3,3], \]
que é simétrico em relação à origem.
Como a integral de uma função ímpar num intervalo simétrico em relação à origem é nula, obtemos diretamente
\[ \int_{-3}^{3}(x^5-4x)\,dx=0. \]
Do ponto de vista geométrico, as áreas orientadas das duas metades do intervalo compensam-se: a contribuição em \([-3,0]\) é oposta à contribuição em \([0,3]\).
Exercício 17 — nível ★★★★☆
Calcular a integral
\[ \int_{-1}^{1}(x^4+x^3+2)\,dx \]
aproveitando o caráter par e ímpar dos termos da função integranda.
Resultado
\[ \int_{-1}^{1}(x^4+x^3+2)\,dx=\frac{22}{5}. \]
Resolução
Consideremos a função integranda
\[ f(x)=x^4+x^3+2. \]
Esta função, no seu conjunto, não é nem par nem ímpar, pois contém uma parte par não nula e uma parte ímpar não nula. No entanto, podemos separá-la em duas partes:
\[ f(x)=(x^4+2)+x^3. \]
A função
\[ x\mapsto x^4+2 \]
é par, porque contém apenas potências pares de \(x\) e um termo constante.
A função
\[ x\mapsto x^3 \]
é ímpar, porque
\[ (-x)^3=-x^3. \]
Podemos, então, escrever
\[ \int_{-1}^{1}(x^4+x^3+2)\,dx = \int_{-1}^{1}(x^4+2)\,dx+\int_{-1}^{1}x^3\,dx. \]
O intervalo \([-1,1]\) é simétrico em relação à origem. Como \(x^3\) é ímpar, a sua integral em \([-1,1]\) é nula:
\[ \int_{-1}^{1}x^3\,dx=0. \]
Resta então
\[ \int_{-1}^{1}(x^4+x^3+2)\,dx = \int_{-1}^{1}(x^4+2)\,dx. \]
Como \(x^4+2\) é par, podemos reduzir o intervalo de integração a metade e duplicar a integral:
\[ \int_{-1}^{1}(x^4+2)\,dx = 2\int_0^1(x^4+2)\,dx. \]
Calculamos:
\[ 2\int_0^1(x^4+2)\,dx = 2\left[\frac{x^5}{5}+2x\right]_0^1. \]
Avaliando nos extremos:
\[ 2\left[\frac{x^5}{5}+2x\right]_0^1 = 2\left(\frac{1^5}{5}+2\cdot 1-\frac{0^5}{5}-2\cdot 0\right). \]
Logo,
\[ 2\left(\frac{1}{5}+2\right) = 2\left(\frac{1}{5}+\frac{10}{5}\right) = 2\cdot\frac{11}{5} = \frac{22}{5}. \]
Portanto,
\[ \int_{-1}^{1}(x^4+x^3+2)\,dx=\frac{22}{5}. \]
Exercício 18 — nível ★★★★☆
Decompor a função
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^3+x^2+x+1 \]
na soma da sua parte par e da sua parte ímpar.
Resultado
A parte par é
\[ f_p(x)=x^2+1. \]
A parte ímpar é
\[ f_d(x)=x^3+x. \]
Logo,
\[ f(x)=f_p(x)+f_d(x)=(x^2+1)+(x^3+x). \]
Resolução
O domínio da função é \(\mathbb R\), que é simétrico em relação à origem. Podemos, então, usar as fórmulas da decomposição em parte par e parte ímpar.
A parte par de \(f\) é definida por
\[ f_p(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}. \]
A parte ímpar de \(f\) é definida por
\[ f_d(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}. \]
Calculamos primeiro \(f(-x)\). Como
\[ f(x)=x^3+x^2+x+1, \]
obtemos
\[ f(-x)=(-x)^3+(-x)^2+(-x)+1. \]
Simplificando:
\[ f(-x)=-x^3+x^2-x+1. \]
Calculamos agora a parte par:
\[ f_p(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}. \]
Substituímos as expressões obtidas:
\[ f_p(x)=\frac{(x^3+x^2+x+1)+(-x^3+x^2-x+1)}{2}. \]
Somamos os termos semelhantes:
\[ x^3-x^3=0,\qquad x-x=0, \]
ao passo que
\[ x^2+x^2=2x^2,\qquad 1+1=2. \]
Logo,
\[ f_p(x)=\frac{2x^2+2}{2}=x^2+1. \]
Calculamos agora a parte ímpar:
\[ f_d(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}. \]
Substituímos:
\[ f_d(x)=\frac{(x^3+x^2+x+1)-(-x^3+x^2-x+1)}{2}. \]
Mudamos os sinais do segundo parêntese:
\[ f_d(x)=\frac{x^3+x^2+x+1+x^3-x^2+x-1}{2}. \]
Somamos os termos semelhantes:
\[ x^3+x^3=2x^3,\qquad x+x=2x, \]
ao passo que
\[ x^2-x^2=0,\qquad 1-1=0. \]
Logo,
\[ f_d(x)=\frac{2x^3+2x}{2}=x^3+x. \]
Obtemos assim a decomposição
\[ f(x)=f_p(x)+f_d(x)=(x^2+1)+(x^3+x). \]
O primeiro parêntese é uma função par, ao passo que o segundo é uma função ímpar.
Exercício 19 — nível ★★★★☆
Decompor a função
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=e^x \]
na soma da sua parte par e da sua parte ímpar.
Resultado
A parte par é
\[ f_p(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\cosh x. \]
A parte ímpar é
\[ f_d(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\sinh x. \]
Logo,
\[ e^x=\cosh x+\sinh x. \]
Resolução
O domínio da função \(f(x)=e^x\) é \(\mathbb R\), que é, portanto, simétrico em relação à origem.
Podemos usar as fórmulas
\[ f_p(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2} \]
e
\[ f_d(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}. \]
Como
\[ f(x)=e^x, \]
temos
\[ f(-x)=e^{-x}. \]
Calculamos a parte par:
\[ f_p(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}. \]
Esta é, por definição, a função cosseno hiperbólico:
\[ \cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}. \]
Logo,
\[ f_p(x)=\cosh x. \]
Calculamos agora a parte ímpar:
\[ f_d(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}. \]
Esta é, por definição, a função seno hiperbólico:
\[ \sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}. \]
Logo,
\[ f_d(x)=\sinh x. \]
Portanto, a decomposição de \(e^x\) na soma da sua parte par e da sua parte ímpar é
\[ e^x=\cosh x+\sinh x. \]
Exercício 20 — nível ★★★★★
Decompor a função
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=\frac{x+1}{x^2+1} \]
na soma da sua parte par e da sua parte ímpar.
Resultado
A parte par é
\[ f_p(x)=\frac{1}{x^2+1}. \]
A parte ímpar é
\[ f_d(x)=\frac{x}{x^2+1}. \]
Logo,
\[ \frac{x+1}{x^2+1} = \frac{1}{x^2+1} + \frac{x}{x^2+1}. \]
Resolução
O domínio da função é \(\mathbb R\), porque o denominador
\[ x^2+1 \]
é sempre positivo e, portanto, nunca se anula.
O domínio é, portanto, simétrico em relação à origem.
Para decompor \(f\) na soma da sua parte par e da sua parte ímpar, usamos as fórmulas
\[ f_p(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2} \]
e
\[ f_d(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}. \]
Calculamos \(f(-x)\):
\[ f(-x)=\frac{-x+1}{(-x)^2+1}. \]
Como
\[ (-x)^2=x^2, \]
obtemos
\[ f(-x)=\frac{1-x}{x^2+1}. \]
Calculamos agora a parte par:
\[ f_p(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}. \]
Substituindo as duas expressões:
\[ f_p(x)=\frac{\frac{x+1}{x^2+1}+\frac{1-x}{x^2+1}}{2}. \]
As duas frações têm o mesmo denominador, de modo que podemos somar os numeradores:
\[ f_p(x)=\frac{\frac{x+1+1-x}{x^2+1}}{2}. \]
Simplificando o numerador:
\[ x+1+1-x=2. \]
Logo,
\[ f_p(x)=\frac{\frac{2}{x^2+1}}{2}. \]
Dividir por \(2\) equivale a multiplicar por \(\displaystyle\frac12\), de modo que
\[ f_p(x)=\frac{1}{x^2+1}. \]
Calculamos agora a parte ímpar:
\[ f_d(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}. \]
Substituindo:
\[ f_d(x)=\frac{\frac{x+1}{x^2+1}-\frac{1-x}{x^2+1}}{2}. \]
Também neste caso as duas frações têm o mesmo denominador:
\[ f_d(x)=\frac{\frac{x+1-(1-x)}{x^2+1}}{2}. \]
Simplificamos o numerador:
\[ x+1-(1-x)=x+1-1+x=2x. \]
Logo,
\[ f_d(x)=\frac{\frac{2x}{x^2+1}}{2}. \]
Dividindo por \(2\), obtemos
\[ f_d(x)=\frac{x}{x^2+1}. \]
Portanto, a função decompõe-se como
\[ f(x)=f_p(x)+f_d(x) = \frac{1}{x^2+1} + \frac{x}{x^2+1}. \]
A função
\[ x\mapsto \frac{1}{x^2+1} \]
é par, ao passo que a função
\[ x\mapsto \frac{x}{x^2+1} \]
é ímpar. A decomposição obtida está, portanto, de acordo com as fórmulas gerais.