Nesta coletânea apresentamos 20 exercícios resolvidos sobre funções crescentes, funções decrescentes, funções monótonas e funções estritamente monótonas. Cada exercício é resolvido passo a passo, com particular atenção à comparação entre os valores da função em dois pontos \(x_1\) e \(x_2\) do domínio.
Para determinar se uma função é crescente ou decrescente num conjunto \(X\), não basta observar alguns pontos do gráfico: é necessário verificar uma propriedade válida para todo par de pontos \(x_1,x_2\in X\) com \(x_1<x_2\).
Recordemos que uma função \(f:X\to\mathbb R\) é crescente em \(X\) se
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)\le f(x_2), \]
ao passo que é decrescente em \(X\) se
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)\ge f(x_2). \]
Se as desigualdades forem estritas, fala-se em função estritamente crescente ou estritamente decrescente. Os exercícios seguintes mostram como aplicar estas definições, como reconhecer funções monótonas em intervalos e como distinguir a monotonia não estrita da monotonia estrita.
Exercício 1 — nível ★☆☆☆☆
Determinar se a função
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=2x+1 \]
é crescente, decrescente, estritamente crescente ou estritamente decrescente em \(\mathbb R\).
Resultado
A função é estritamente crescente em \(\mathbb R\). Consequentemente, é também crescente em \(\mathbb R\).
Resolução
Para estudar a monotonia através da definição, tomemos dois pontos quaisquer \(x_1,x_2\in\mathbb R\) tais que
\[ x_1<x_2. \]
Devemos comparar \(f(x_1)\) e \(f(x_2)\). Como
\[ f(x)=2x+1, \]
temos
\[ f(x_1)=2x_1+1 \]
e
\[ f(x_2)=2x_2+1. \]
Da desigualdade \(x_1<x_2\), multiplicando ambos os membros por \(2\), que é um número positivo, obtemos
\[ 2x_1<2x_2. \]
Somando \(1\) a ambos os membros, obtém-se
\[ 2x_1+1<2x_2+1. \]
Ou seja,
\[ f(x_1)<f(x_2). \]
Fica assim demonstrado que, para todo \(x_1,x_2\in\mathbb R\),
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)<f(x_2). \]
Por definição, a função é estritamente crescente em \(\mathbb R\).
Visto que toda função estritamente crescente é também crescente, concluímos que \(f\) é também crescente em \(\mathbb R\).
Exercício 2 — nível ★☆☆☆☆
Determinar se a função
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=-3x+4 \]
é crescente, decrescente, estritamente crescente ou estritamente decrescente em \(\mathbb R\).
Resultado
A função é estritamente decrescente em \(\mathbb R\). Consequentemente, é também decrescente em \(\mathbb R\).
Resolução
Tomemos dois pontos quaisquer \(x_1,x_2\in\mathbb R\) tais que
\[ x_1<x_2. \]
Devemos comparar os valores \(f(x_1)\) e \(f(x_2)\). Como
\[ f(x)=-3x+4, \]
tem-se
\[ f(x_1)=-3x_1+4 \]
e
\[ f(x_2)=-3x_2+4. \]
Da desigualdade
\[ x_1<x_2 \]
multiplicando ambos os membros por \(-3\), que é um número negativo, inverte-se o sentido da desigualdade:
\[ -3x_1>-3x_2. \]
Somando \(4\) a ambos os membros, obtemos
\[ -3x_1+4>-3x_2+4. \]
Ou seja,
\[ f(x_1)>f(x_2). \]
Fica assim demonstrado que, para todo \(x_1,x_2\in\mathbb R\),
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)>f(x_2). \]
Por definição, \(f\) é estritamente decrescente em \(\mathbb R\).
Visto que toda função estritamente decrescente é também decrescente, a função é também decrescente em \(\mathbb R\).
Exercício 3 — nível ★☆☆☆☆
Determinar se a função constante
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=5 \]
é crescente, decrescente, estritamente crescente ou estritamente decrescente em \(\mathbb R\).
Resultado
A função é crescente e decrescente em \(\mathbb R\), mas não é nem estritamente crescente nem estritamente decrescente.
Resolução
Consideremos dois pontos quaisquer \(x_1,x_2\in\mathbb R\) tais que
\[ x_1<x_2. \]
Como a função é constante, o seu valor é sempre igual a \(5\). Portanto,
\[ f(x_1)=5 \]
e
\[ f(x_2)=5. \]
Em particular,
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Desta igualdade resulta tanto
\[ f(x_1)\le f(x_2) \]
como
\[ f(x_1)\ge f(x_2). \]
Portanto, para todo \(x_1,x_2\in\mathbb R\) com \(x_1<x_2\), verificam-se ambas as condições:
\[ f(x_1)\le f(x_2) \]
e
\[ f(x_1)\ge f(x_2). \]
Por definição, a função é, portanto, simultaneamente crescente e decrescente em \(\mathbb R\).
No entanto, não é estritamente crescente. Com efeito, para ser estritamente crescente deveria verificar-se
\[ f(x_1)<f(x_2) \]
para todo \(x_1<x_2\), mas, neste caso, os dois valores são sempre iguais.
Do mesmo modo, não é estritamente decrescente, porque não se verifica
\[ f(x_1)>f(x_2) \]
para todo \(x_1<x_2\).
Concluímos que a função constante é crescente e decrescente, mas não é nem estritamente crescente nem estritamente decrescente.
Exercício 4 — nível ★★☆☆☆
Determinar se a função
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2 \]
é crescente, decrescente ou não monótona em \(\mathbb R\).
Resultado
A função não é monótona em \(\mathbb R\): não é nem crescente nem decrescente em todo o seu domínio.
Resolução
Para determinar se \(f(x)=x^2\) é crescente em \(\mathbb R\), deveríamos verificar que, para todo \(x_1,x_2\in\mathbb R\),
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)\le f(x_2). \]
Basta, porém, encontrar um único par de pontos que contradiga esta condição para demonstrar que a função não é crescente.
Escolhamos
\[ x_1=-1,\qquad x_2=0. \]
Tem-se claramente
\[ -1<0, \]
ou seja, \(x_1<x_2\). No entanto,
\[ f(-1)=(-1)^2=1 \]
enquanto que
\[ f(0)=0^2=0. \]
Logo,
\[ f(-1)>f(0). \]
Encontramos assim dois pontos \(x_1<x_2\) tais que \(f(x_1)>f(x_2)\). Isto contradiz a definição de função crescente. Logo, \(f\) não é crescente em \(\mathbb R\).
Verifiquemos agora se a função é decrescente em \(\mathbb R\). Para ser decrescente, deveria verificar-se, para todo \(x_1,x_2\in\mathbb R\),
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)\ge f(x_2). \]
Também neste caso basta encontrar um par que contradiga a condição.
Escolhamos
\[ x_1=0,\qquad x_2=1. \]
Tem-se
\[ 0<1, \]
mas
\[ f(0)=0 \]
e
\[ f(1)=1. \]
Logo,
\[ f(0)<f(1). \]
Encontramos assim dois pontos \(x_1<x_2\) tais que \(f(x_1)<f(x_2)\). Isto contradiz a definição de função decrescente. Logo, \(f\) não é decrescente em \(\mathbb R\).
Visto que a função não é nem crescente nem decrescente em \(\mathbb R\), concluímos que \(f(x)=x^2\) é não monótona em \(\mathbb R\).
Exercício 5 — nível ★★☆☆☆
Determinar se a função
\[ f:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2 \]
é crescente, decrescente, estritamente crescente ou estritamente decrescente em \([0,+\infty)\).
Resultado
A função é estritamente crescente em \([0,+\infty)\). Consequentemente, é também crescente em \([0,+\infty)\).
Resolução
Para estudar a monotonia em \([0,+\infty)\), tomemos dois pontos quaisquer
\[ x_1,x_2\in[0,+\infty) \]
tais que
\[ x_1<x_2. \]
Como \(x_1\) e \(x_2\) pertencem a \([0,+\infty)\), são ambos não negativos. Em particular,
\[ 0\le x_1<x_2. \]
Queremos comparar \(f(x_1)\) e \(f(x_2)\). Como
\[ f(x)=x^2, \]
temos
\[ f(x_1)=x_1^2 \]
e
\[ f(x_2)=x_2^2. \]
Da desigualdade
\[ 0\le x_1<x_2 \]
resulta que
\[ x_1^2<x_2^2. \]
Com efeito, podemos escrever
\[ x_2^2-x_1^2=(x_2-x_1)(x_2+x_1). \]
Como \(x_2>x_1\), tem-se
\[ x_2-x_1>0. \]
Além disso, sendo \(x_1\ge 0\) e \(x_2>x_1\), tem-se também
\[ x_2+x_1>0. \]
Logo,
\[ (x_2-x_1)(x_2+x_1)>0, \]
ou seja,
\[ x_2^2-x_1^2>0. \]
Daí resulta
\[ x_1^2<x_2^2. \]
Portanto,
\[ f(x_1)<f(x_2). \]
Fica demonstrado que, para todo \(x_1,x_2\in[0,+\infty)\),
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)<f(x_2). \]
Por definição, \(f\) é estritamente crescente em \([0,+\infty)\).
Consequentemente, \(f\) é também crescente em \([0,+\infty)\).
Exercício 6 — nível ★★☆☆☆
Determinar se a função
\[ f:(-\infty,0]\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2 \]
é crescente, decrescente, estritamente crescente ou estritamente decrescente em \((-\infty,0]\).
Resultado
A função é estritamente decrescente em \((-\infty,0]\). Consequentemente, é também decrescente em \((-\infty,0]\).
Resolução
Tomemos dois pontos quaisquer
\[ x_1,x_2\in(-\infty,0] \]
tais que
\[ x_1<x_2. \]
Como ambos os pontos pertencem a \((-\infty,0]\), temos
\[ x_1<x_2\le 0. \]
Devemos comparar
\[ f(x_1)=x_1^2 \]
e
\[ f(x_2)=x_2^2. \]
Consideremos a diferença
\[ x_1^2-x_2^2. \]
Decompomos como diferença de quadrados:
\[ x_1^2-x_2^2=(x_1-x_2)(x_1+x_2). \]
Como \(x_1<x_2\), tem-se
\[ x_1-x_2<0. \]
Além disso, sendo \(x_1<x_2\le 0\), ambos os números são não positivos e, pelo menos, \(x_1\) é estritamente negativo. Logo,
\[ x_1+x_2<0. \]
O produto de dois números negativos é positivo, logo
\[ (x_1-x_2)(x_1+x_2)>0. \]
Portanto,
\[ x_1^2-x_2^2>0. \]
Desta desigualdade resulta
\[ x_1^2>x_2^2. \]
Ou seja,
\[ f(x_1)>f(x_2). \]
Fica assim demonstrado que, para todo \(x_1,x_2\in(-\infty,0]\),
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)>f(x_2). \]
Por definição, \(f\) é estritamente decrescente em \((-\infty,0]\).
Consequentemente, \(f\) é também decrescente em \((-\infty,0]\).
Exercício 7 — nível ★★☆☆☆
Determinar se a função
\[ f:\mathbb R\setminus\{0\}\to\mathbb R,\qquad f(x)=\frac{1}{x} \]
é decrescente em todo o seu domínio.
Resultado
A função não é decrescente em todo o domínio \(\mathbb R\setminus\{0\}\).
Resolução
O domínio da função é
\[ \mathbb R\setminus\{0\}=(-\infty,0)\cup(0,+\infty). \]
Para ser decrescente em todo o domínio, a função deveria satisfazer a seguinte condição: para todo \(x_1,x_2\in\mathbb R\setminus\{0\}\),
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)\ge f(x_2). \]
Para demonstrar que a função não é decrescente em todo o domínio, basta encontrar um par de pontos do domínio que contradiga esta condição.
Escolhamos
\[ x_1=-1,\qquad x_2=1. \]
Ambos pertencem ao domínio, pois são diferentes de \(0\), e tem-se
\[ -1<1. \]
Calculemos os valores da função:
\[ f(-1)=\frac{1}{-1}=-1 \]
e
\[ f(1)=\frac{1}{1}=1. \]
Logo,
\[ f(-1)<f(1). \]
Mas uma função decrescente deveria satisfazer
\[ f(-1)\ge f(1), \]
porque \(-1<1\).
O par \(x_1=-1\), \(x_2=1\) contradiz, portanto, a definição de função decrescente.
Portanto, a função
\[ f(x)=\frac{1}{x} \]
não é decrescente em todo o seu domínio \(\mathbb R\setminus\{0\}\).
Isto não contradiz que \(f\) seja estritamente decrescente, separadamente, em \((-\infty,0)\) e em \((0,+\infty)\). A monotonia deve sempre referir-se ao conjunto sobre o qual é estudada.
Exercício 8 — nível ★★☆☆☆
Determinar se a função
\[ f:(0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad f(x)=\frac{1}{x} \]
é crescente, decrescente, estritamente crescente ou estritamente decrescente em \((0,+\infty)\).
Resultado
A função é estritamente decrescente em \((0,+\infty)\). Consequentemente, é também decrescente em \((0,+\infty)\).
Resolução
Tomemos dois pontos quaisquer
\[ x_1,x_2\in(0,+\infty) \]
tais que
\[ x_1<x_2. \]
Como \(x_1\) e \(x_2\) pertencem a \((0,+\infty)\), são ambos positivos:
\[ 0<x_1<x_2. \]
Queremos comparar
\[ f(x_1)=\frac{1}{x_1} \]
e
\[ f(x_2)=\frac{1}{x_2}. \]
Como
\[ 0<x_1<x_2, \]
ao dividir \(1\) por um número positivo maior obtém-se um valor menor. De modo algébrico, comparemos as duas frações:
\[ \frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2} = \frac{x_2-x_1}{x_1x_2}. \]
O numerador é positivo, porque
\[ x_2-x_1>0. \]
O denominador também é positivo, porque \(x_1>0\) e \(x_2>0\). Logo,
\[ x_1x_2>0. \]
Resulta que
\[ \frac{x_2-x_1}{x_1x_2}>0. \]
Portanto,
\[ \frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}>0, \]
ou seja,
\[ \frac{1}{x_1}>\frac{1}{x_2}. \]
Portanto,
\[ f(x_1)>f(x_2). \]
Fica demonstrado que, para todo \(x_1,x_2\in(0,+\infty)\),
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)>f(x_2). \]
Por definição, \(f\) é estritamente decrescente em \((0,+\infty)\).
Consequentemente, \(f\) é também decrescente em \((0,+\infty)\).
Exercício 9 — nível ★★☆☆☆
Determinar se a função
\[ f:(-\infty,0)\to\mathbb R,\qquad f(x)=\frac{1}{x} \]
é crescente, decrescente, estritamente crescente ou estritamente decrescente em \((-\infty,0)\).
Resultado
A função é estritamente decrescente em \((-\infty,0)\). Consequentemente, é também decrescente em \((-\infty,0)\).
Resolução
Tomemos dois pontos quaisquer
\[ x_1,x_2\in(-\infty,0) \]
tais que
\[ x_1<x_2. \]
Como \(x_1\) e \(x_2\) pertencem a \((-\infty,0)\), são ambos negativos. Logo,
\[ x_1<x_2<0. \]
Queremos comparar
\[ f(x_1)=\frac{1}{x_1} \]
e
\[ f(x_2)=\frac{1}{x_2}. \]
Consideremos a diferença:
\[ \frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2} = \frac{x_2-x_1}{x_1x_2}. \]
Como \(x_1<x_2\), tem-se
\[ x_2-x_1>0. \]
Além disso, \(x_1\) e \(x_2\) são ambos negativos, pelo que o seu produto é positivo:
\[ x_1x_2>0. \]
Portanto,
\[ \frac{x_2-x_1}{x_1x_2}>0. \]
Logo,
\[ \frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}>0, \]
ou seja,
\[ \frac{1}{x_1}>\frac{1}{x_2}. \]
Obtemos assim
\[ f(x_1)>f(x_2). \]
Isto verifica-se para todo par \(x_1,x_2\in(-\infty,0)\) com \(x_1<x_2\). Por definição, a função é estritamente decrescente em \((-\infty,0)\).
Consequentemente, \(f\) é também decrescente em \((-\infty,0)\).
Exercício 10 — nível ★★★☆☆
Determinar se a função
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^3 \]
é crescente, decrescente, estritamente crescente ou estritamente decrescente em \(\mathbb R\).
Resultado
A função é estritamente crescente em \(\mathbb R\). Consequentemente, é também crescente em \(\mathbb R\).
Resolução
Usemos diretamente a definição. Tomemos dois pontos quaisquer \(x_1,x_2\in\mathbb R\) tais que
\[ x_1<x_2. \]
Devemos demonstrar que
\[ f(x_1)<f(x_2), \]
ou seja,
\[ x_1^3<x_2^3. \]
Consideremos a diferença
\[ x_2^3-x_1^3. \]
Decompomos a diferença de cubos:
\[ x_2^3-x_1^3=(x_2-x_1)(x_2^2+x_1x_2+x_1^2). \]
Como \(x_1<x_2\), tem-se
\[ x_2-x_1>0. \]
Resta observar que
\[ x_2^2+x_1x_2+x_1^2>0. \]
Com efeito, podemos escrever
\[ x_2^2+x_1x_2+x_1^2 = \left(x_2+\frac{x_1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}x_1^2. \]
Esta quantidade é sempre não negativa e, no nosso caso, não pode anular-se em simultâneo com \(x_1<x_2\). Logo, é positiva.
Logo, o produto
\[ (x_2-x_1)(x_2^2+x_1x_2+x_1^2) \]
é positivo. Portanto,
\[ x_2^3-x_1^3>0. \]
Daí resulta
\[ x_1^3<x_2^3. \]
Ou seja,
\[ f(x_1)<f(x_2). \]
Fica demonstrado que, para todo \(x_1,x_2\in\mathbb R\),
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)<f(x_2). \]
Por definição, \(f(x)=x^3\) é estritamente crescente em \(\mathbb R\).
Este exemplo é importante porque mostra que o crescimento estrito pode ser demonstrado diretamente a partir da definição, comparando os valores assumidos pela função em dois pontos quaisquer do domínio.
Exercício 11 — nível ★★★☆☆
Determinar se a função
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2-4x+1 \]
é crescente, decrescente ou não monótona em \(\mathbb R\).
Resultado
A função não é monótona em \(\mathbb R\). É estritamente decrescente em \((-\infty,2]\) e estritamente crescente em \([2,+\infty)\).
Resolução
Reescrevamos a função completando o quadrado:
\[ f(x)=x^2-4x+1=(x-2)^2-3. \]
Esta forma mostra que o valor da função depende do quadrado da distância de \(x\) ao número \(2\).
Estudemos primeiro a função no intervalo \([2,+\infty)\). Tomemos dois pontos quaisquer
\[ x_1,x_2\in[2,+\infty) \]
tais que
\[ x_1<x_2. \]
Como \(x_1\ge 2\) e \(x_2\ge 2\), tem-se
\[ 0\le x_1-2<x_2-2. \]
Elevando ao quadrado, dado que os dois membros são não negativos, obtemos
\[ (x_1-2)^2<(x_2-2)^2. \]
Subtraindo \(3\) a ambos os membros:
\[ (x_1-2)^2-3<(x_2-2)^2-3. \]
Ou seja,
\[ f(x_1)<f(x_2). \]
Logo, \(f\) é estritamente crescente em \([2,+\infty)\).
Estudemos agora a função no intervalo \((-\infty,2]\). Tomemos dois pontos quaisquer
\[ x_1,x_2\in(-\infty,2] \]
tais que
\[ x_1<x_2. \]
Então,
\[ x_1-2<x_2-2\le 0. \]
Multiplicando por \(-1\), inverte-se o sentido da desigualdade:
\[ 2-x_1>2-x_2\ge 0. \]
Como ambos os membros são não negativos, elevando ao quadrado obtém-se
\[ (2-x_1)^2>(2-x_2)^2. \]
Mas
\[ (2-x)^2=(x-2)^2. \]
Logo,
\[ (x_1-2)^2>(x_2-2)^2. \]
Subtraindo \(3\) a ambos os membros:
\[ (x_1-2)^2-3>(x_2-2)^2-3. \]
Ou seja,
\[ f(x_1)>f(x_2). \]
Logo, \(f\) é estritamente decrescente em \((-\infty,2]\).
Por fim, a função não é monótona em todo \(\mathbb R\), porque primeiro decresce e depois cresce. Podemos verificá-lo também com dois contraexemplos.
Com efeito,
\[ f(1)=1-4+1=-2 \]
enquanto que
\[ f(2)=4-8+1=-3. \]
Como \(1<2\) mas \(f(1)>f(2)\), a função não é crescente em \(\mathbb R\).
Além disso,
\[ f(2)=-3 \]
e
\[ f(3)=9-12+1=-2. \]
Como \(2<3\) mas \(f(2)<f(3)\), a função não é decrescente em \(\mathbb R\).
Concluímos que \(f\) não é monótona em \(\mathbb R\), mas é estritamente decrescente em \((-\infty,2]\) e estritamente crescente em \([2,+\infty)\).
Exercício 12 — nível ★★★☆☆
Determinar se a função
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=-x^2+6x-5 \]
é crescente, decrescente ou não monótona em \(\mathbb R\).
Resultado
A função não é monótona em \(\mathbb R\). É estritamente crescente em \((-\infty,3]\) e estritamente decrescente em \([3,+\infty)\).
Resolução
Reescrevamos a função completando o quadrado:
\[ f(x)=-x^2+6x-5=-(x-3)^2+4. \]
Esta forma mostra que a função atinge o valor máximo quando \(x=3\), porque o termo \((x-3)^2\) é sempre não negativo.
Estudemos primeiro a função em \((-\infty,3]\). Tomemos dois pontos quaisquer
\[ x_1,x_2\in(-\infty,3] \]
tais que
\[ x_1<x_2. \]
Então,
\[ x_1-3<x_2-3\le 0. \]
Multiplicando por \(-1\), obtemos
\[ 3-x_1>3-x_2\ge 0. \]
Como os dois membros são não negativos, elevando ao quadrado tem-se
\[ (3-x_1)^2>(3-x_2)^2. \]
Como
\[ (3-x)^2=(x-3)^2, \]
obtemos
\[ (x_1-3)^2>(x_2-3)^2. \]
Multiplicando por \(-1\), inverte-se o sentido da desigualdade:
\[ -(x_1-3)^2<-(x_2-3)^2. \]
Somando \(4\) a ambos os membros:
\[ -(x_1-3)^2+4<-(x_2-3)^2+4. \]
Ou seja,
\[ f(x_1)<f(x_2). \]
Logo, \(f\) é estritamente crescente em \((-\infty,3]\).
Estudemos agora a função em \([3,+\infty)\). Tomemos dois pontos quaisquer
\[ x_1,x_2\in[3,+\infty) \]
tais que
\[ x_1<x_2. \]
Então,
\[ 0\le x_1-3<x_2-3. \]
Elevando ao quadrado:
\[ (x_1-3)^2<(x_2-3)^2. \]
Multiplicando por \(-1\), obtemos
\[ -(x_1-3)^2>-(x_2-3)^2. \]
Somando \(4\):
\[ -(x_1-3)^2+4>-(x_2-3)^2+4. \]
Ou seja,
\[ f(x_1)>f(x_2). \]
Logo, \(f\) é estritamente decrescente em \([3,+\infty)\).
A função não é monótona em todo \(\mathbb R\), porque cresce até \(x=3\) e depois decresce.
Com efeito, escolhendo \(x_1=2\) e \(x_2=3\), tem-se \(2<3\), mas
\[ f(2)=-4+12-5=3 \]
e
\[ f(3)=-9+18-5=4. \]
Logo, \(f(2)<f(3)\), o que exclui que a função seja decrescente em \(\mathbb R\).
Além disso, escolhendo \(x_1=3\) e \(x_2=4\), tem-se \(3<4\), mas
\[ f(3)=4 \]
e
\[ f(4)=-16+24-5=3. \]
Logo, \(f(3)>f(4)\), o que exclui que a função seja crescente em \(\mathbb R\).
Concluímos que \(f\) não é monótona em \(\mathbb R\), mas é estritamente crescente em \((-\infty,3]\) e estritamente decrescente em \([3,+\infty)\).
Exercício 13 — nível ★★★☆☆
Determinar se a função
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=|x| \]
é crescente, decrescente ou não monótona em \(\mathbb R\). Determinar depois os intervalos em que é monótona.
Resultado
A função não é monótona em \(\mathbb R\). É estritamente decrescente em \((-\infty,0]\) e estritamente crescente em \([0,+\infty)\).
Resolução
A função valor absoluto é definida por
\[ |x|= \begin{cases} -x & \text{se } x<0,\\ x & \text{se } x\ge 0. \end{cases} \]
Estudemos primeiro a função em \([0,+\infty)\). Se \(x\ge 0\), então
\[ |x|=x. \]
Tomemos, então, dois pontos quaisquer
\[ x_1,x_2\in[0,+\infty) \]
tais que
\[ x_1<x_2. \]
Como em \([0,+\infty)\) se tem \(f(x)=x\), obtemos
\[ f(x_1)=x_1 \]
e
\[ f(x_2)=x_2. \]
Da desigualdade \(x_1<x_2\) resulta diretamente
\[ f(x_1)<f(x_2). \]
Logo, \(f\) é estritamente crescente em \([0,+\infty)\).
Estudemos agora a função em \((-\infty,0]\). Se \(x\le 0\), então
\[ |x|=-x. \]
Tomemos dois pontos quaisquer
\[ x_1,x_2\in(-\infty,0] \]
tais que
\[ x_1<x_2. \]
Como em \((-\infty,0]\) se tem \(f(x)=-x\), obtemos
\[ f(x_1)=-x_1 \]
e
\[ f(x_2)=-x_2. \]
Da desigualdade
\[ x_1<x_2 \]
multiplicando por \(-1\), inverte-se o sentido da desigualdade:
\[ -x_1>-x_2. \]
Logo,
\[ f(x_1)>f(x_2). \]
Logo, \(f\) é estritamente decrescente em \((-\infty,0]\).
A função não é monótona em todo \(\mathbb R\). Com efeito, escolhendo
\[ x_1=-1,\qquad x_2=0, \]
tem-se \(x_1<x_2\), mas
\[ f(-1)=1>0=f(0). \]
Isto exclui que \(f\) seja crescente em \(\mathbb R\).
Além disso, escolhendo
\[ x_1=0,\qquad x_2=1, \]
tem-se \(x_1<x_2\), mas
\[ f(0)=0<1=f(1). \]
Isto exclui que \(f\) seja decrescente em \(\mathbb R\).
Portanto, \(f(x)=|x|\) não é monótona em \(\mathbb R\), mas é estritamente decrescente em \((-\infty,0]\) e estritamente crescente em \([0,+\infty)\).
Exercício 14 — nível ★★★☆☆
Determinar se a função
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=-|x| \]
é crescente, decrescente ou não monótona em \(\mathbb R\). Determinar depois os intervalos em que é monótona.
Resultado
A função não é monótona em \(\mathbb R\). É estritamente crescente em \((-\infty,0]\) e estritamente decrescente em \([0,+\infty)\).
Resolução
A função é
\[ f(x)=-|x|. \]
Como
\[ |x|= \begin{cases} -x & \text{se } x<0,\\ x & \text{se } x\ge 0, \end{cases} \]
obtemos
\[ -|x|= \begin{cases} x & \text{se } x<0,\\ -x & \text{se } x\ge 0. \end{cases} \]
Estudemos primeiro a função em \((-\infty,0]\). Neste intervalo, a função comporta-se como
\[ f(x)=x. \]
Se \(x_1,x_2\in(-\infty,0]\) e
\[ x_1<x_2, \]
então
\[ f(x_1)=x_1 \]
e
\[ f(x_2)=x_2. \]
Logo, da desigualdade \(x_1<x_2\) resulta
\[ f(x_1)<f(x_2). \]
Logo, \(f\) é estritamente crescente em \((-\infty,0]\).
Estudemos agora a função em \([0,+\infty)\). Neste intervalo, a função comporta-se como
\[ f(x)=-x. \]
Se \(x_1,x_2\in[0,+\infty)\) e
\[ x_1<x_2, \]
então, multiplicando por \(-1\), obtemos
\[ -x_1>-x_2. \]
Ou seja,
\[ f(x_1)>f(x_2). \]
Logo, \(f\) é estritamente decrescente em \([0,+\infty)\).
A função não é monótona em todo \(\mathbb R\). Com efeito, cresce até \(x=0\) e depois decresce.
Para ver que não é crescente em todo \(\mathbb R\), escolhamos
\[ x_1=0,\qquad x_2=1. \]
Tem-se \(0<1\), mas
\[ f(0)=0>-1=f(1). \]
Isto contradiz o crescimento.
Para ver que não é decrescente em todo \(\mathbb R\), escolhamos
\[ x_1=-1,\qquad x_2=0. \]
Tem-se \(-1<0\), mas
\[ f(-1)=-1<0=f(0). \]
Isto contradiz o decrescimento.
Portanto, \(f(x)=-|x|\) não é monótona em \(\mathbb R\), mas é estritamente crescente em \((-\infty,0]\) e estritamente decrescente em \([0,+\infty)\).
Exercício 15 — nível ★★★★☆
Determinar se a função
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)= \begin{cases} x & \text{se } x<0,\\ 0 & \text{se } x\ge 0 \end{cases} \]
é crescente, decrescente, estritamente crescente ou estritamente decrescente em \(\mathbb R\).
Resultado
A função é crescente em \(\mathbb R\), mas não é estritamente crescente.
Resolução
A função é definida por ramos:
\[ f(x)= \begin{cases} x & \text{se } x<0,\\ 0 & \text{se } x\ge 0. \end{cases} \]
Devemos verificar que, para todo \(x_1,x_2\in\mathbb R\) com
\[ x_1<x_2, \]
se tem
\[ f(x_1)\le f(x_2). \]
Consideremos os casos possíveis.
Primeiro caso: \(x_1<x_2<0\). Neste caso, ambos os pontos são negativos, logo
\[ f(x_1)=x_1,\qquad f(x_2)=x_2. \]
Como \(x_1<x_2\), resulta
\[ f(x_1)<f(x_2), \]
e, portanto, em particular,
\[ f(x_1)\le f(x_2). \]
Segundo caso: \(x_1<0\le x_2\). Neste caso,
\[ f(x_1)=x_1 \]
e
\[ f(x_2)=0. \]
Como \(x_1<0\), tem-se
\[ f(x_1)=x_1<0=f(x_2). \]
Logo, também neste caso \(f(x_1)\le f(x_2)\).
Terceiro caso: \(0\le x_1<x_2\). Neste caso, ambos os pontos são não negativos, logo
\[ f(x_1)=0,\qquad f(x_2)=0. \]
Consequentemente,
\[ f(x_1)=f(x_2), \]
e, portanto,
\[ f(x_1)\le f(x_2). \]
Em todos os casos possíveis, obtemos
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)\le f(x_2). \]
Por definição, a função é crescente em \(\mathbb R\).
A função não é, porém, estritamente crescente. Com efeito, escolhendo
\[ x_1=1,\qquad x_2=2, \]
tem-se \(x_1<x_2\), mas
\[ f(1)=0=f(2). \]
Logo, não se verifica \(f(x_1)<f(x_2)\) para todo par \(x_1<x_2\). Portanto, a função é crescente, mas não estritamente crescente.
Exercício 16 — nível ★★★★☆
Determinar se a função
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)= \begin{cases} 1 & \text{se } x<0,\\ -x & \text{se } x\ge 0 \end{cases} \]
é crescente, decrescente, estritamente crescente ou estritamente decrescente em \(\mathbb R\).
Resultado
A função é decrescente em \(\mathbb R\), mas não é estritamente decrescente.
Resolução
A função é definida por ramos:
\[ f(x)= \begin{cases} 1 & \text{se } x<0,\\ -x & \text{se } x\ge 0. \end{cases} \]
Para demonstrar que \(f\) é decrescente em \(\mathbb R\), devemos verificar que, para todo \(x_1,x_2\in\mathbb R\),
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)\ge f(x_2). \]
Consideremos todos os casos possíveis.
Primeiro caso: \(x_1<x_2<0\).
Neste caso, ambos os pontos são negativos. Logo, pela definição da função,
\[ f(x_1)=1 \qquad \text{e} \qquad f(x_2)=1. \]
Portanto,
\[ f(x_1)=f(x_2), \]
e, portanto, em particular,
\[ f(x_1)\ge f(x_2). \]
Segundo caso: \(x_1<0\le x_2\).
Neste caso, \(x_1\) é negativo, enquanto \(x_2\) é não negativo. Logo,
\[ f(x_1)=1 \]
e
\[ f(x_2)=-x_2. \]
Como \(x_2\ge 0\), tem-se
\[ -x_2\le 0. \]
Logo,
\[ f(x_2)\le 0. \]
Mas
\[ f(x_1)=1, \]
pelo que, certamente,
\[ f(x_1)\ge f(x_2). \]
Terceiro caso: \(0\le x_1<x_2\).
Neste caso, ambos os pontos são não negativos. Logo, a função é dada por
\[ f(x)=-x. \]
Portanto,
\[ f(x_1)=-x_1 \qquad \text{e} \qquad f(x_2)=-x_2. \]
Da desigualdade
\[ x_1<x_2 \]
multiplicando por \(-1\), inverte-se o sentido da desigualdade:
\[ -x_1>-x_2. \]
Ou seja,
\[ f(x_1)>f(x_2). \]
Em particular, também neste caso se verifica
\[ f(x_1)\ge f(x_2). \]
Em todos os casos possíveis, fica demonstrado que, se \(x_1<x_2\), então
\[ f(x_1)\ge f(x_2). \]
Por definição, \(f\) é, portanto, decrescente em \(\mathbb R\).
A função não é, porém, estritamente decrescente. Com efeito, escolhendo
\[ x_1=-2,\qquad x_2=-1, \]
tem-se
\[ -2<-1, \]
mas, como ambos os pontos são negativos,
\[ f(-2)=1 \qquad \text{e} \qquad f(-1)=1. \]
Logo,
\[ f(-2)=f(-1). \]
Para ser estritamente decrescente, deveria, pelo contrário, verificar-se
\[ f(-2)>f(-1). \]
Esta condição não se verifica. Portanto, a função é decrescente em \(\mathbb R\), mas não é estritamente decrescente.
Exercício 17 — nível ★★★★☆
Determinar se a função
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)= \begin{cases} x & \text{se } x\le 0,\\ x+1 & \text{se } x>0 \end{cases} \]
é crescente, decrescente, estritamente crescente ou estritamente decrescente em \(\mathbb R\).
Resultado
A função é estritamente crescente em \(\mathbb R\). Consequentemente, é também crescente em \(\mathbb R\).
Resolução
A função é definida por ramos:
\[ f(x)= \begin{cases} x & \text{se } x\le 0,\\ x+1 & \text{se } x>0. \end{cases} \]
Para demonstrar que \(f\) é estritamente crescente em \(\mathbb R\), devemos verificar que, para todo \(x_1,x_2\in\mathbb R\),
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)<f(x_2). \]
Consideremos todos os casos possíveis.
Primeiro caso: \(x_1<x_2\le 0\).
Neste caso, ambos os pontos pertencem ao primeiro ramo da função. Logo,
\[ f(x_1)=x_1 \]
e
\[ f(x_2)=x_2. \]
Como \(x_1<x_2\), obtemos diretamente
\[ f(x_1)<f(x_2). \]
Segundo caso: \(0<x_1<x_2\).
Neste caso, ambos os pontos pertencem ao segundo ramo da função. Logo,
\[ f(x_1)=x_1+1 \]
e
\[ f(x_2)=x_2+1. \]
Da desigualdade \(x_1<x_2\), somando \(1\) a ambos os membros, resulta
\[ x_1+1<x_2+1. \]
Ou seja,
\[ f(x_1)<f(x_2). \]
Terceiro caso: \(x_1\le 0<x_2\).
Neste caso, \(x_1\) pertence ao primeiro ramo, enquanto \(x_2\) pertence ao segundo. Logo,
\[ f(x_1)=x_1 \]
e
\[ f(x_2)=x_2+1. \]
Como \(x_1\le 0\) e \(x_2>0\), tem-se
\[ x_1\le 0<x_2<x_2+1. \]
Em particular,
\[ x_1<x_2+1. \]
Ou seja,
\[ f(x_1)<f(x_2). \]
Em todos os casos possíveis, fica demonstrado que
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)<f(x_2). \]
Por definição, a função é estritamente crescente em \(\mathbb R\).
Consequentemente, é também crescente em \(\mathbb R\).
Exercício 18 — nível ★★★★☆
Determinar se a função
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)= \begin{cases} x & \text{se } x<0,\\ x-1 & \text{se } x\ge 0 \end{cases} \]
é crescente, decrescente ou não monótona em \(\mathbb R\).
Resultado
A função é não monótona em \(\mathbb R\): não é nem crescente nem decrescente.
Resolução
A função é definida por ramos:
\[ f(x)= \begin{cases} x & \text{se } x<0,\\ x-1 & \text{se } x\ge 0. \end{cases} \]
Observemos que a função cresce em cada um dos dois ramos considerados separadamente. Com efeito, para \(x<0\) tem-se \(f(x)=x\), enquanto para \(x\ge 0\) se tem \(f(x)=x-1\).
No entanto, isto não basta para concluir que a função seja crescente em todo \(\mathbb R\). É necessário verificar também o que acontece na passagem de valores negativos para valores não negativos.
Para demonstrar que \(f\) não é crescente em \(\mathbb R\), procuremos dois pontos \(x_1,x_2\in\mathbb R\) tais que
\[ x_1<x_2 \]
mas
\[ f(x_1)>f(x_2). \]
Escolhamos
\[ x_1=-\frac12,\qquad x_2=0. \]
Tem-se
\[ -\frac12<0. \]
Calculemos os valores da função:
\[ f\left(-\frac12\right)=-\frac12, \]
porque \(-\frac12<0\), enquanto que
\[ f(0)=0-1=-1, \]
porque \(0\ge 0\).
Logo,
\[ f\left(-\frac12\right)=-\frac12>-1=f(0). \]
Encontramos assim dois pontos \(x_1<x_2\) tais que \(f(x_1)>f(x_2)\). Isto contradiz a definição de função crescente. Logo, \(f\) não é crescente em \(\mathbb R\).
Para demonstrar que \(f\) não é decrescente em \(\mathbb R\), procuremos dois pontos \(x_1,x_2\in\mathbb R\) tais que
\[ x_1<x_2 \]
mas
\[ f(x_1)<f(x_2). \]
Escolhamos
\[ x_1=1,\qquad x_2=2. \]
Tem-se
\[ 1<2. \]
Como ambos os pontos são não negativos, obtemos
\[ f(1)=1-1=0 \]
e
\[ f(2)=2-1=1. \]
Logo,
\[ f(1)<f(2). \]
Este par contradiz a definição de função decrescente. Logo, \(f\) não é decrescente em \(\mathbb R\).
Visto que a função não é nem crescente nem decrescente em \(\mathbb R\), concluímos que é não monótona em \(\mathbb R\).
Exercício 19 — nível ★★★★☆
Demonstrar que toda função estritamente crescente é injetiva.
Resultado
Toda função estritamente crescente é injetiva.
Resolução
Seja
\[ f:X\to\mathbb R \]
uma função estritamente crescente num conjunto \(X\subseteq\mathbb R\).
Queremos demonstrar que \(f\) é injetiva. Por definição, devemos provar que elementos distintos do domínio têm imagens distintas.
Tomemos, então, dois pontos quaisquer
\[ x_1,x_2\in X \]
tais que
\[ x_1\ne x_2. \]
Visto que \(x_1\) e \(x_2\) são dois números reais distintos, verifica-se necessariamente uma das duas possibilidades:
\[ x_1<x_2 \]
ou
\[ x_2<x_1. \]
Se \(x_1<x_2\), como \(f\) é estritamente crescente, obtemos
\[ f(x_1)<f(x_2). \]
Em particular,
\[ f(x_1)\ne f(x_2). \]
Se, pelo contrário, \(x_2<x_1\), então, novamente porque \(f\) é estritamente crescente, obtemos
\[ f(x_2)<f(x_1). \]
Também neste caso resulta
\[ f(x_1)\ne f(x_2). \]
Em ambos os casos, de \(x_1\ne x_2\) resulta
\[ f(x_1)\ne f(x_2). \]
Por definição, \(f\) é injetiva.
Concluímos, então, que toda função estritamente crescente é injetiva.
Exercício 20 — nível ★★★★★
Determinar se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa:
\[ \text{Se uma função é injetiva, então é monótona.} \]
Caso seja falsa, apresentar um contraexemplo.
Resultado
A afirmação é falsa. Existem funções injetivas que não são monótonas.
Resolução
A afirmação a examinar é:
\[ \text{se uma função é injetiva, então é monótona.} \]
Esta afirmação é falsa. Para demonstrá-lo, basta construir uma função injetiva que não seja nem crescente nem decrescente.
Consideremos a função
\[ f:\{1,2,3\}\to\mathbb R \]
definida por
\[ f(1)=1,\qquad f(2)=3,\qquad f(3)=2. \]
Primeiro, verifiquemos que \(f\) é injetiva. Os valores assumidos pela função são
\[ 1,\qquad 3,\qquad 2. \]
Estes três valores são todos distintos. Logo, elementos distintos do domínio têm imagens distintas. Por definição, \(f\) é injetiva.
Verifiquemos agora que \(f\) não é crescente.
Se \(f\) fosse crescente, para todo par \(x_1,x_2\in\{1,2,3\}\) com \(x_1<x_2\) deveria verificar-se
\[ f(x_1)\le f(x_2). \]
Escolhamos
\[ x_1=2,\qquad x_2=3. \]
Tem-se
\[ 2<3, \]
mas
\[ f(2)=3>2=f(3). \]
Este par contradiz a definição de função crescente. Logo, \(f\) não é crescente.
Verifiquemos agora que \(f\) não é decrescente.
Se \(f\) fosse decrescente, para todo par \(x_1,x_2\in\{1,2,3\}\) com \(x_1<x_2\) deveria verificar-se
\[ f(x_1)\ge f(x_2). \]
Escolhamos
\[ x_1=1,\qquad x_2=2. \]
Tem-se
\[ 1<2, \]
mas
\[ f(1)=1<3=f(2). \]
Este par contradiz a definição de função decrescente. Logo, \(f\) não é decrescente.
A função é, portanto, injetiva, mas não é monótona.
Este contraexemplo mostra que a injetividade não implica a monotonia. A monotonia estrita implica a injetividade, mas o recíproco não é verdadeiro.