Nesta coletânea apresentamos 20 exercícios resolvidos sobre os limites de sucessões numéricas, com particular atenção à distinção entre sucessões convergentes, sucessões divergentes e sucessões oscilantes.
Cada exercício está resolvido passo a passo, recordando as definições fundamentais e mostrando como reconhecer o comportamento da sucessão quando o índice \(n\) tende para \(+\infty\).
Em todos os exercícios consideramos sucessões definidas para índices naturais \(n\geq 1\).
Exercício 1 — nível ★☆☆☆☆
Estudar o comportamento da sucessão
\[ a_n=\frac{1}{n}. \]
Determinar se é convergente, divergente ou oscilante.
Resultado
A sucessão é convergente e
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0. \]
Resolução
A sucessão é
\[ a_n=\frac{1}{n}. \]
Os primeiros termos são
\[ 1,\ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ \ldots \]
À medida que \(n\) cresce, o denominador torna-se cada vez maior, ao passo que o numerador se mantém igual a \(1\). Por isso, os termos ficam cada vez mais pequenos e aproximam-se de \(0\).
Para o demonstrar pela definição, fixamos um número arbitrário
\[ \varepsilon>0. \]
Queremos encontrar um índice \(n_\varepsilon\) tal que, para todo \(n\geq n_\varepsilon\), se verifique
\[ \left|\frac1n-0\right|<\varepsilon. \]
Uma vez que
\[ \left|\frac1n-0\right|=\frac1n, \]
basta impor
\[ \frac1n<\varepsilon. \]
Esta desigualdade equivale a
\[ n>\frac1\varepsilon. \]
Escolhemos, então, \(n_\varepsilon\in\mathbb N\) tal que
\[ n_\varepsilon>\frac1\varepsilon. \]
Assim, para todo \(n\geq n_\varepsilon\), obtemos
\[ n\geq n_\varepsilon>\frac1\varepsilon, \]
e, consequentemente,
\[ \frac1n<\varepsilon. \]
Fica assim demonstrado que, para todo \(\varepsilon>0\), a partir de certo índice todos os termos da sucessão distam de \(0\) menos do que \(\varepsilon\).
Portanto,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac1n=0. \]
A sucessão é, então, convergente.
Exercício 2 — nível ★☆☆☆☆
Estudar o comportamento da sucessão
\[ a_n=\frac{n}{n+1}. \]
Determinar se é convergente, divergente ou oscilante.
Resultado
A sucessão é convergente e
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n+1}=1. \]
Resolução
Consideremos a sucessão
\[ a_n=\frac{n}{n+1}. \]
Reescrevemos o termo geral do seguinte modo:
\[ \frac{n}{n+1}=\frac{n+1-1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}. \]
Uma vez que
\[ \frac{1}{n+1}\to0 \]
quando \(n\to+\infty\), é de esperar que
\[ 1-\frac{1}{n+1}\to1. \]
Verifiquemos isto pela definição. Devemos estudar a distância entre \(a_n\) e \(1\):
\[ |a_n-1|=\left|\frac{n}{n+1}-1\right|. \]
Calculemos:
\[ \frac{n}{n+1}-1=\frac{n-(n+1)}{n+1}=-\frac{1}{n+1}. \]
Por conseguinte,
\[ |a_n-1|=\left|-\frac{1}{n+1}\right|=\frac{1}{n+1}. \]
Fixado \(\varepsilon>0\), queremos que
\[ \frac{1}{n+1}<\varepsilon. \]
Esta desigualdade verifica-se quando
\[ n+1>\frac1\varepsilon, \]
isto é, quando
\[ n>\frac1\varepsilon-1. \]
Escolhendo \(n_\varepsilon\in\mathbb N\) tal que
\[ n_\varepsilon>\frac1\varepsilon-1, \]
para todo \(n\geq n_\varepsilon\) obtemos
\[ |a_n-1|<\varepsilon. \]
Logo,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n+1}=1. \]
A sucessão é convergente.
Exercício 3 — nível ★☆☆☆☆
Estudar o comportamento da sucessão
\[ a_n=3. \]
Determinar se é convergente, divergente ou oscilante.
Resultado
A sucessão é convergente e
\[ \lim_{n\to+\infty}3=3. \]
Resolução
A sucessão é constante:
\[ a_n=3 \]
para todo \(n\in\mathbb N\).
Todos os termos da sucessão são iguais a \(3\). Assim, a sucessão não se limita a aproximar-se de \(3\): é sempre exatamente igual a \(3\).
Verifiquemos isto pela definição. Devemos mostrar que, para todo \(\varepsilon>0\), existe um índice \(n_\varepsilon\) tal que, para todo \(n\geq n_\varepsilon\),
\[ |a_n-3|<\varepsilon. \]
Como \(a_n=3\), temos
\[ |a_n-3|=|3-3|=0. \]
Mas
\[ 0<\varepsilon \]
para todo \(\varepsilon>0\).
Logo, a desigualdade verifica-se para todo \(n\). Podemos escolher, por exemplo,
\[ n_\varepsilon=1. \]
Daqui resulta que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=3. \]
A sucessão é, então, convergente.
Exercício 4 — nível ★★☆☆☆
Estudar o comportamento da sucessão
\[ a_n=\frac{2n+1}{n}. \]
Determinar se é convergente, divergente ou oscilante.
Resultado
A sucessão é convergente e
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2n+1}{n}=2. \]
Resolução
Reescrevemos o termo geral separando as frações:
\[ a_n=\frac{2n+1}{n}=\frac{2n}{n}+\frac1n=2+\frac1n. \]
Uma vez que
\[ \frac1n\to0, \]
é de esperar que
\[ 2+\frac1n\to2. \]
Analisemos a distância a \(2\):
\[ |a_n-2|=\left|2+\frac1n-2\right|=\frac1n. \]
Fixado \(\varepsilon>0\), queremos que
\[ |a_n-2|<\varepsilon. \]
Como
\[ |a_n-2|=\frac1n, \]
basta impor
\[ \frac1n<\varepsilon. \]
Esta desigualdade verifica-se se
\[ n>\frac1\varepsilon. \]
Escolhemos, então, \(n_\varepsilon\in\mathbb N\) tal que
\[ n_\varepsilon>\frac1\varepsilon. \]
Assim, para todo \(n\geq n_\varepsilon\), resulta
\[ |a_n-2|<\varepsilon. \]
Logo,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2n+1}{n}=2. \]
A sucessão é convergente.
Exercício 5 — nível ★★☆☆☆
Estudar o comportamento da sucessão
\[ a_n=\frac{3n-2}{2n+5}. \]
Determinar se é convergente, divergente ou oscilante.
Resultado
A sucessão é convergente e
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{3n-2}{2n+5}=\frac32. \]
Resolução
Consideremos
\[ a_n=\frac{3n-2}{2n+5}. \]
O numerador e o denominador têm grau \(1\) em \(n\). Quando \(n\to+\infty\), o comportamento principal é determinado pelos termos de maior grau:
\[ 3n \quad \text{e} \quad 2n. \]
Dividimos o numerador e o denominador por \(n\):
\[ \frac{3n-2}{2n+5}=\frac{3-\displaystyle \frac2n}{2+\displaystyle \frac5n}. \]
Uma vez que
\[ \frac2n\to0 \qquad\text{e}\qquad \frac5n\to0, \]
obtemos
\[ \frac{3-\displaystyle \frac2n}{2+\displaystyle \frac5n}\to\frac{3-0}{2+0}=\frac32. \]
Assim,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{3n-2}{2n+5}=\frac32. \]
Como o limite é um número real finito, a sucessão é convergente.
Exercício 6 — nível ★★☆☆☆
Estudar o comportamento da sucessão
\[ a_n=n. \]
Determinar se é convergente, divergente ou oscilante.
Resultado
A sucessão é divergente para \(+\infty\) e
\[ \lim_{n\to+\infty}n=+\infty. \]
Resolução
A sucessão é
\[ a_n=n. \]
Os seus termos são
\[ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \ldots \]
e tornam-se arbitrariamente grandes.
Para demonstrar que
\[ \lim_{n\to+\infty}n=+\infty, \]
recorremos à definição de divergência para \(+\infty\). Devemos mostrar que, para todo \(M>0\), existe \(n_M\in\mathbb N\) tal que, para todo \(n\geq n_M\),
\[ a_n>M. \]
Como \(a_n=n\), devemos obter
\[ n>M. \]
Escolhemos \(n_M\in\mathbb N\) tal que
\[ n_M>M. \]
Então, se \(n\geq n_M\), tem-se
\[ n\geq n_M>M. \]
Logo,
\[ a_n=n>M. \]
Isto demonstra que a sucessão diverge para \(+\infty\).
Exercício 7 — nível ★★☆☆☆
Estudar o comportamento da sucessão
\[ a_n=n^2. \]
Determinar se é convergente, divergente ou oscilante.
Resultado
A sucessão é divergente para \(+\infty\) e
\[ \lim_{n\to+\infty}n^2=+\infty. \]
Resolução
A sucessão é
\[ a_n=n^2. \]
Os primeiros termos são
\[ 1,\ 4,\ 9,\ 16,\ \ldots \]
e crescem sem limite.
Mostremos que a sucessão diverge para \(+\infty\). Fixamos um número arbitrário \(M>0\). Queremos encontrar um índice \(n_M\) tal que, para todo \(n\geq n_M\),
\[ n^2>M. \]
Como \(n\) é positivo, a desigualdade
\[ n^2>M \]
verifica-se quando
\[ n>\sqrt{M}. \]
Escolhemos, então, \(n_M\in\mathbb N\) tal que
\[ n_M>\sqrt{M}. \]
Assim, para todo \(n\geq n_M\), temos
\[ n\geq n_M>\sqrt{M}. \]
Elevando ao quadrado, obtemos
\[ n^2>M. \]
Logo, qualquer que seja o valor \(M>0\), a partir de certo índice os termos da sucessão ultrapassam \(M\).
Por conseguinte,
\[ \lim_{n\to+\infty}n^2=+\infty. \]
A sucessão é divergente para \(+\infty\).
Exercício 8 — nível ★★☆☆☆
Estudar o comportamento da sucessão
\[ a_n=-n. \]
Determinar se é convergente, divergente ou oscilante.
Resultado
A sucessão é divergente para \(-\infty\) e
\[ \lim_{n\to+\infty}(-n)=-\infty. \]
Resolução
A sucessão é
\[ a_n=-n. \]
Os seus termos são
\[ -1,\ -2,\ -3,\ -4,\ \ldots \]
e tornam-se cada vez menores.
Para demonstrar que
\[ \lim_{n\to+\infty}(-n)=-\infty, \]
recorremos à definição de divergência para \(-\infty\). Fixamos \(M>0\). Devemos encontrar \(n_M\in\mathbb N\) tal que, para todo \(n\geq n_M\),
\[ -n<-M. \]
Multiplicando ambos os membros por \(-1\), inverte-se o sentido da desigualdade:
\[ n>M. \]
Escolhemos, então, \(n_M\in\mathbb N\) tal que
\[ n_M>M. \]
Se \(n\geq n_M\), então
\[ n\geq n_M>M. \]
Logo,
\[ -n<-M. \]
Isto mostra que os termos da sucessão se tornam menores do que qualquer limiar negativo.
Por conseguinte,
\[ \lim_{n\to+\infty}(-n)=-\infty. \]
A sucessão é divergente para \(-\infty\).
Exercício 9 — nível ★★☆☆☆
Estudar o comportamento da sucessão
\[ a_n=-2n+5. \]
Determinar se é convergente, divergente ou oscilante.
Resultado
A sucessão é divergente para \(-\infty\) e
\[ \lim_{n\to+\infty}(-2n+5)=-\infty. \]
Resolução
A sucessão é
\[ a_n=-2n+5. \]
O termo dominante é \(-2n\), que tende para \(-\infty\). O termo constante \(5\) não altera o comportamento no infinito.
Demonstremo-lo pela definição. Fixamos \(M>0\). Queremos encontrar \(n_M\) tal que, para todo \(n\geq n_M\),
\[ -2n+5<-M. \]
Resolvemos a desigualdade:
\[ -2n+5<-M. \]
Subtraindo \(5\) a ambos os membros, obtemos
\[ -2n<-M-5. \]
Dividindo por \(-2\), inverte-se o sentido da desigualdade:
\[ n>\frac{M+5}{2}. \]
Escolhemos \(n_M\in\mathbb N\) tal que
\[ n_M>\frac{M+5}{2}. \]
Assim, para todo \(n\geq n_M\), tem-se
\[ -2n+5<-M. \]
Logo, a sucessão diverge para \(-\infty\).
Por conseguinte,
\[ \lim_{n\to+\infty}(-2n+5)=-\infty. \]
Exercício 10 — nível ★★☆☆☆
Estudar o comportamento da sucessão
\[ a_n=(-1)^n. \]
Determinar se é convergente, divergente ou oscilante.
Resultado
A sucessão é oscilante.
Resolução
Consideremos a sucessão
\[ a_n=(-1)^n. \]
Os seus termos são
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ \ldots \]
A sucessão oscila entre os valores \(-1\) e \(1\), pelo que não parece aproximar-se de um único número real.
Consideremos os índices pares. Se \(n=2k\), então
\[ a_{2k}=(-1)^{2k}=1. \]
Assim, a subsucessão dos termos de índice par é constante e igual a \(1\), pelo que
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{2k}=1. \]
Consideremos agora os índices ímpares. Se \(n=2k-1\), então
\[ a_{2k-1}=(-1)^{2k-1}=-1. \]
Logo,
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{2k-1}=-1. \]
Temos, assim, duas subsucessões convergentes para limites diferentes:
\[ 1 \qquad\text{e}\qquad -1. \]
Por isso, a sucessão não pode ser convergente.
Além disso, é limitada, pois para todo \(n\in\mathbb N\) tem-se
\[ -1\leq (-1)^n\leq 1. \]
Por ser limitada, não pode divergir nem para \(+\infty\) nem para \(-\infty\).
Concluímos, então, que a sucessão não é convergente e não diverge nem para \(+\infty\) nem para \(-\infty\). Logo, é oscilante.
Exercício 11 — nível ★★☆☆☆
Estudar o comportamento da sucessão
\[ a_n=1+(-1)^n. \]
Determinar se é convergente, divergente ou oscilante.
Resultado
A sucessão é oscilante.
Resolução
A sucessão é
\[ a_n=1+(-1)^n. \]
Estudamos separadamente os índices pares e os índices ímpares.
Se \(n=2k\), então
\[ a_{2k}=1+(-1)^{2k}=1+1=2. \]
Logo,
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{2k}=2. \]
Se, em vez disso, \(n=2k-1\), então
\[ a_{2k-1}=1+(-1)^{2k-1}=1-1=0. \]
Logo,
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{2k-1}=0. \]
A sucessão possui duas subsucessões com limites diferentes:
\[ 2 \qquad\text{e}\qquad 0. \]
Por conseguinte, a sucessão não é convergente.
Além disso, os seus termos são apenas \(0\) e \(2\). Assim, a sucessão é limitada:
\[ 0\leq a_n\leq 2 \]
para todo \(n\in\mathbb N\).
Como é limitada, não pode divergir nem para \(+\infty\) nem para \(-\infty\).
Logo, a sucessão é oscilante.
Exercício 12 — nível ★★★☆☆
Estudar o comportamento da sucessão
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n}. \]
Determinar se é convergente, divergente ou oscilante.
Resultado
A sucessão é convergente e
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{(-1)^n}{n}=0. \]
Resolução
A sucessão é
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n}. \]
O fator \((-1)^n\) faz oscilar o sinal dos termos, mas o denominador \(n\) torna-se cada vez maior.
Estudamos o valor absoluto:
\[ |a_n|=\left|\frac{(-1)^n}{n}\right|=\frac{|(-1)^n|}{n}. \]
Uma vez que
\[ |(-1)^n|=1, \]
tem-se
\[ |a_n|=\frac1n. \]
Como
\[ \frac1n\to0, \]
também \(a_n\) tende para \(0\).
Verifiquemo-lo diretamente. Fixado \(\varepsilon>0\), queremos que
\[ |a_n-0|<\varepsilon. \]
Mas
\[ |a_n-0|=|a_n|=\frac1n. \]
Basta, então, impor
\[ \frac1n<\varepsilon. \]
Como já vimos, esta condição verifica-se para
\[ n>\frac1\varepsilon. \]
Escolhendo \(n_\varepsilon\in\mathbb N\) tal que
\[ n_\varepsilon>\frac1\varepsilon, \]
para todo \(n\geq n_\varepsilon\) temos
\[ |a_n-0|<\varepsilon. \]
Logo,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{(-1)^n}{n}=0. \]
A sucessão é convergente. Este exemplo mostra que uma sucessão pode oscilar nos sinais e, ainda assim, convergir, desde que a amplitude da oscilação tenda para zero.
Exercício 13 — nível ★★★☆☆
Estudar o comportamento da sucessão
\[ a_n=\frac{n^2+1}{n}. \]
Determinar se é convergente, divergente ou oscilante.
Resultado
A sucessão é divergente para \(+\infty\) e
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2+1}{n}=+\infty. \]
Resolução
Reescrevemos o termo geral:
\[ a_n=\frac{n^2+1}{n}=n+\frac1n. \]
O termo \(n\) tende para \(+\infty\), ao passo que o termo \(\displaystyle \frac1n\) tende para \(0\). O comportamento dominante é, portanto, o de \(n\).
Mostremos que \(a_n\to+\infty\). Fixado \(M>0\), queremos que
\[ n+\frac1n>M. \]
Uma vez que
\[ \frac1n>0 \]
para todo \(n\in\mathbb N\), tem-se
\[ n+\frac1n>n. \]
Assim, se impusermos
\[ n>M, \]
obtemos automaticamente
\[ n+\frac1n>M. \]
Escolhemos \(n_M\in\mathbb N\) tal que
\[ n_M>M. \]
Assim, para todo \(n\geq n_M\), resulta
\[ a_n=n+\frac1n>n\geq n_M>M. \]
Logo, a sucessão diverge para \(+\infty\).
Exercício 14 — nível ★★★☆☆
Estudar o comportamento da sucessão
\[ a_n=\frac{n}{n^2+1}. \]
Determinar se é convergente, divergente ou oscilante.
Resultado
A sucessão é convergente e
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n^2+1}=0. \]
Resolução
Consideremos
\[ a_n=\frac{n}{n^2+1}. \]
O denominador tem grau \(2\) e o numerador tem grau \(1\). Quando \(n\to+\infty\), o denominador cresce mais rapidamente do que o numerador.
Dividimos o numerador e o denominador por \(n^2\):
\[ \frac{n}{n^2+1} = \frac{\frac1n}{1+\frac1{n^2}}. \]
Uma vez que
\[ \frac1n\to0 \qquad\text{e}\qquad \frac1{n^2}\to0, \]
obtemos
\[ \frac{\frac1n}{1+\frac1{n^2}}\to\frac0{1+0}=0. \]
Logo,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n^2+1}=0. \]
O limite é finito, pelo que a sucessão é convergente.
Exercício 15 — nível ★★★☆☆
Estudar o comportamento da sucessão
\[ a_n=\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right). \]
Determinar se é convergente, divergente ou oscilante.
Resultado
A sucessão é oscilante.
Resolução
Consideremos
\[ a_n=\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right). \]
Calculemos alguns termos:
\[ a_1=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1, \]
\[ a_2=\sin(\pi)=0, \]
\[ a_3=\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-1, \]
\[ a_4=\sin(2\pi)=0. \]
Assim, os termos repetem-se segundo o padrão
\[ 1,\ 0,\ -1,\ 0,\ 1,\ 0,\ -1,\ 0,\ \ldots \]
A sucessão não se aproxima de um único número real.
Com efeito, considerando os índices da forma \(4k+1\), obtemos
\[ a_{4k+1}=1. \]
Logo,
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{4k+1}=1. \]
Considerando, em vez disso, os índices da forma \(4k+2\), obtemos
\[ a_{4k+2}=0. \]
Logo,
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{4k+2}=0. \]
A sucessão possui duas subsucessões convergentes para limites diferentes. Em consequência, não é convergente.
Além disso, para todo \(n\in\mathbb N\), tem-se
\[ -1\leq a_n\leq 1. \]
A sucessão é, portanto, limitada e não pode divergir nem para \(+\infty\) nem para \(-\infty\).
Por conseguinte, é oscilante.
Exercício 16 — nível ★★★★☆
Estudar o comportamento da sucessão
\[ a_n=n(-1)^n. \]
Determinar se é convergente, divergente ou oscilante.
Resultado
A sucessão é oscilante.
Resolução
A sucessão é
\[ a_n=n(-1)^n. \]
Estudamos separadamente os índices pares e os índices ímpares.
Se \(n=2k\), então
\[ a_{2k}=2k(-1)^{2k}=2k. \]
Logo,
\[ a_{2k}\to+\infty \]
quando \(k\to+\infty\).
Se, em vez disso, \(n=2k-1\), então
\[ a_{2k-1}=(2k-1)(-1)^{2k-1}=-(2k-1). \]
Logo,
\[ a_{2k-1}\to-\infty \]
quando \(k\to+\infty\).
A sucessão não pode convergir para um número real, pois uma parte dos seus termos cresce ilimitadamente no sentido positivo e a outra parte decresce ilimitadamente no sentido negativo.
Não diverge para \(+\infty\), pois os termos de índice ímpar tornam-se cada vez mais negativos e, por isso, não podem ser, a partir de certo ponto, maiores do que qualquer limiar positivo.
Também não diverge para \(-\infty\), pois os termos de índice par tornam-se cada vez mais positivos e, por isso, não podem ser, a partir de certo ponto, menores do que qualquer limiar negativo.
Assim, a sucessão não é convergente e não diverge nem para \(+\infty\) nem para \(-\infty\).
Por conseguinte, é oscilante.
Exercício 17 — nível ★★★★☆
Estudar o comportamento da sucessão
\[ a_n=\frac{(-1)^n n}{n+1}. \]
Determinar se é convergente, divergente ou oscilante.
Resultado
A sucessão é oscilante.
Resolução
Consideremos
\[ a_n=\frac{(-1)^n n}{n+1}. \]
O fator
\[ \frac{n}{n+1} \]
tende para \(1\), ao passo que o fator \((-1)^n\) alterna o sinal.
Estudamos as subsucessões de índice par e de índice ímpar.
Se \(n=2k\), então
\[ a_{2k}=\frac{(-1)^{2k}\,2k}{2k+1}=\frac{2k}{2k+1}. \]
Uma vez que
\[ \frac{2k}{2k+1}\to1, \]
temos
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{2k}=1. \]
Se, em vez disso, \(n=2k-1\), então
\[ a_{2k-1}=\frac{(-1)^{2k-1}(2k-1)}{2k}=-\frac{2k-1}{2k}. \]
Uma vez que
\[ \frac{2k-1}{2k}\to1, \]
obtemos
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{2k-1}=-1. \]
A sucessão possui, então, duas subsucessões convergentes para limites diferentes:
\[ 1 \qquad\text{e}\qquad -1. \]
Por isso, a sucessão não é convergente.
Além disso, é limitada, pois
\[ \left|\frac{(-1)^n n}{n+1}\right|=\frac{n}{n+1}<1. \]
Por ser limitada, não diverge nem para \(+\infty\) nem para \(-\infty\).
Logo, a sucessão é oscilante.
Exercício 18 — nível ★★★★☆
Estudar o comportamento da sucessão
\[ a_n=\frac{n^2+3n}{2n^2-1}. \]
Determinar se é convergente, divergente ou oscilante.
Resultado
A sucessão é convergente e
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2+3n}{2n^2-1}=\frac12. \]
Resolução
Consideremos
\[ a_n=\frac{n^2+3n}{2n^2-1}. \]
O numerador e o denominador têm o mesmo grau, isto é, grau \(2\).
Nestes casos, o limite é o quociente entre os coeficientes dos termos de maior grau. Confirmemos isto, dividindo o numerador e o denominador por \(n^2\):
\[ \frac{n^2+3n}{2n^2-1} = \frac{1+\frac3n}{2-\frac1{n^2}}. \]
Ora,
\[ \frac3n\to0 \qquad\text{e}\qquad \frac1{n^2}\to0. \]
Logo,
\[ \frac{1+\frac3n}{2-\frac1{n^2}}\to\frac{1+0}{2-0}=\frac12. \]
Por conseguinte,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2+3n}{2n^2-1}=\frac12. \]
Como o limite é real e finito, a sucessão é convergente.
Exercício 19 — nível ★★★★☆
Estudar o comportamento da sucessão
\[ a_n=\frac{n^3+1}{n^2+1}. \]
Determinar se é convergente, divergente ou oscilante.
Resultado
A sucessão é divergente para \(+\infty\) e
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^3+1}{n^2+1}=+\infty. \]
Resolução
Consideremos
\[ a_n=\frac{n^3+1}{n^2+1}. \]
O numerador tem grau \(3\) e o denominador tem grau \(2\). Assim, o numerador cresce mais rapidamente do que o denominador.
Dividimos o numerador e o denominador por \(n^2\):
\[ \frac{n^3+1}{n^2+1} = \frac{n+\frac1{n^2}}{1+\frac1{n^2}}. \]
Quando \(n\to+\infty\), temos
\[ n+\frac1{n^2}\to+\infty \]
e
\[ 1+\frac1{n^2}\to1. \]
Logo, a sucessão tende para \(+\infty\).
Estabeleçamos também uma estimativa simples. Para todo \(n\geq1\), tem-se
\[ n^2+1\leq 2n^2. \]
Além disso,
\[ n^3+1\geq n^3. \]
Por conseguinte,
\[ a_n=\frac{n^3+1}{n^2+1}\geq\frac{n^3}{2n^2}=\frac n2. \]
Uma vez que
\[ \frac n2\to+\infty, \]
também \(a_n\to+\infty\).
Assim,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^3+1}{n^2+1}=+\infty. \]
A sucessão é divergente para \(+\infty\).
Exercício 20 — nível ★★★★★
Estudar o comportamento da sucessão
\[ a_n= \begin{cases} \dfrac{1}{n} & \text{se } n \text{ é par},\\[6pt] 2+\dfrac{1}{n} & \text{se } n \text{ é ímpar}. \end{cases} \]
Determinar se é convergente, divergente ou oscilante.
Resultado
A sucessão é oscilante.
Resolução
A sucessão está definida de modo diferente conforme o índice \(n\) seja par ou ímpar:
\[ a_n= \begin{cases} \dfrac{1}{n} & \text{se } n \text{ é par},\\[6pt] 2+\dfrac{1}{n} & \text{se } n \text{ é ímpar}. \end{cases} \]
Estudamos a subsucessão dos índices pares. Se \(n=2k\), então
\[ a_{2k}=\frac{1}{2k}. \]
Uma vez que
\[ \frac{1}{2k}\to0 \]
quando \(k\to+\infty\), obtemos
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{2k}=0. \]
Estudamos agora a subsucessão dos índices ímpares. Se \(n=2k-1\), então
\[ a_{2k-1}=2+\frac{1}{2k-1}. \]
Uma vez que
\[ \frac{1}{2k-1}\to0, \]
segue-se que
\[ 2+\frac{1}{2k-1}\to2. \]
Logo,
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{2k-1}=2. \]
A sucessão possui, então, duas subsucessões convergentes para limites diferentes:
\[ 0 \qquad\text{e}\qquad 2. \]
Por este motivo, a sucessão não pode ser convergente.
Além disso, a sucessão é limitada. Com efeito, para \(n\) par tem-se
\[ a_n=\frac1n, \]
pelo que \(0<a_n\leq \frac12\), ao passo que para \(n\) ímpar tem-se
\[ a_n=2+\frac1n, \]
pelo que \(2<a_n\leq3\).
Em qualquer caso, os termos permanecem contidos num intervalo limitado. Por exemplo,
\[ 0<a_n\leq3 \]
para todo \(n\in\mathbb N\).
Por ser limitada, a sucessão não pode divergir nem para \(+\infty\) nem para \(-\infty\).
Assim, a sucessão não é convergente e não diverge nem para \(+\infty\) nem para \(-\infty\).
Por conseguinte, é oscilante.