Nesta coletânea apresentamos 20 exercícios resolvidos sobre as operações com limites de sucessões. Os exercícios mostram como aplicar corretamente as regras relativas à soma, à diferença, ao produto e ao quociente, tendo sempre em atenção as hipóteses dos teoremas e as formas indeterminadas.
A ideia fundamental é a seguinte: se duas sucessões convergem para limites finitos, então, sob hipóteses adequadas, o limite da sucessão obtida por meio de uma operação algébrica é calculado aplicando a mesma operação aos limites.
Exercício 1 — nível ★☆☆☆☆
Calcular o limite da sucessão
\[ c_n=\frac{1}{n}+\frac{n}{n+1}. \]
Resultado
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{1}{n}+\frac{n}{n+1}\right)=1. \]
Resolução
A sucessão é a soma de duas sucessões:
\[ \frac{1}{n} \qquad\text{e}\qquad \frac{n}{n+1}. \]
Calculemos separadamente os dois limites.
Tem-se
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0. \]
Além disso,
\[ \frac{n}{n+1}=\frac{n+1-1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}. \]
Como
\[ \frac{1}{n+1}\to0, \]
segue-se que
\[ \frac{n}{n+1}\to1. \]
Podemos então aplicar o limite da soma:
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{1}{n}+\frac{n}{n+1}\right) = \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n} + \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n+1}. \]
Portanto,
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{1}{n}+\frac{n}{n+1}\right)=0+1=1. \]
Exercício 2 — nível ★☆☆☆☆
Calcular o limite da sucessão
\[ c_n=\left(2+\frac{1}{n}\right)-\left(3-\frac{2}{n}\right). \]
Resultado
\[ \lim_{n\to+\infty}\left[\left(2+\frac{1}{n}\right)-\left(3-\frac{2}{n}\right)\right]=-1. \]
Resolução
Consideremos as duas sucessões
\[ a_n=2+\frac{1}{n} \qquad\text{e}\qquad b_n=3-\frac{2}{n}. \]
Como
\[ \frac{1}{n}\to0, \]
obtemos
\[ a_n=2+\frac{1}{n}\to2. \]
Analogamente, como
\[ \frac{2}{n}\to0, \]
tem-se
\[ b_n=3-\frac{2}{n}\to3. \]
Apliquemos agora o limite da diferença:
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n-b_n) = \lim_{n\to+\infty}a_n-\lim_{n\to+\infty}b_n. \]
Portanto,
\[ \lim_{n\to+\infty}\left[\left(2+\frac{1}{n}\right)-\left(3-\frac{2}{n}\right)\right]=2-3=-1. \]
Exercício 3 — nível ★☆☆☆☆
Calcular o limite da sucessão
\[ c_n=\left(2+\frac{1}{n}\right)\left(3-\frac{1}{n}\right). \]
Resultado
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(2+\frac{1}{n}\right)\left(3-\frac{1}{n}\right)=6. \]
Resolução
A sucessão é o produto de duas sucessões:
\[ a_n=2+\frac{1}{n}, \qquad b_n=3-\frac{1}{n}. \]
Como
\[ \frac{1}{n}\to0, \]
temos
\[ a_n=2+\frac{1}{n}\to2. \]
Além disso,
\[ b_n=3-\frac{1}{n}\to3. \]
Podemos aplicar o limite do produto, pois ambas as sucessões têm limite finito:
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n b_n) = \left(\lim_{n\to+\infty}a_n\right) \left(\lim_{n\to+\infty}b_n\right). \]
Portanto,
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(2+\frac{1}{n}\right)\left(3-\frac{1}{n}\right)=2\cdot3=6. \]
Exercício 4 — nível ★☆☆☆☆
Calcular o limite da sucessão
\[ c_n=\frac{2+\displaystyle \frac{1}{n}}{5-\displaystyle \frac{3}{n}}. \]
Resultado
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2+\displaystyle \frac{1}{n}}{5-\displaystyle \frac{3}{n}}=\frac25. \]
Resolução
Estudemos separadamente o numerador e o denominador.
Para o numerador:
\[ 2+\frac{1}{n}\to2. \]
Para o denominador:
\[ 5-\frac{3}{n}\to5. \]
O limite do denominador é \(5\), portanto é diferente de \(0\). Podemos, então, aplicar o limite do quociente.
Obtemos
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2+\displaystyle \frac{1}{n}}{5-\displaystyle \frac{3}{n}} = \frac{\lim_{n\to+\infty}\left(2+\displaystyle \frac{1}{n}\right)} {\lim_{n\to+\infty}\left(5-\displaystyle \frac{3}{n}\right)} = \frac25. \]
A condição sobre o denominador é essencial: aqui está satisfeita, pois o limite do denominador é \(5\neq0\).
Exercício 5 — nível ★★☆☆☆
Calcular o limite da sucessão
\[ c_n=\frac{3n+1}{n}. \]
Resultado
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{3n+1}{n}=3. \]
Resolução
Separemos a fração:
\[ \frac{3n+1}{n} = \frac{3n}{n}+\frac{1}{n}. \]
Portanto,
\[ \frac{3n+1}{n}=3+\frac{1}{n}. \]
Usemos agora as operações com limites. A sucessão constante \(3\) tende para \(3\), enquanto
\[ \frac{1}{n}\to0. \]
Pelo limite da soma, obtemos
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(3+\frac{1}{n}\right) = 3+0=3. \]
Portanto,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{3n+1}{n}=3. \]
Exercício 6 — nível ★★☆☆☆
Calcular o limite da sucessão
\[ c_n=\frac{4n-5}{2n+1}. \]
Resultado
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{4n-5}{2n+1}=2. \]
Resolução
O numerador e o denominador são expressões polinomiais do primeiro grau em \(n\). Dividamos ambos por \(n\):
\[ \frac{4n-5}{2n+1} = \frac{4-\displaystyle \frac{5}{n}}{2+\displaystyle \frac{1}{n}}. \]
Calculemos agora o limite do numerador:
\[ 4-\frac{5}{n}\to4. \]
Calculemos o limite do denominador:
\[ 2+\frac{1}{n}\to2. \]
O limite do denominador é \(2\), portanto é diferente de \(0\). Podemos aplicar o teorema sobre o limite do quociente:
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{4-\displaystyle \frac{5}{n}}{2+\displaystyle \frac{1}{n}} = \frac{4}{2}=2. \]
Portanto,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{4n-5}{2n+1}=2. \]
Exercício 7 — nível ★★☆☆☆
Calcular o limite da sucessão
\[ c_n=\left(\frac{n}{n+1}\right)\left(\frac{2n+3}{n}\right). \]
Resultado
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)\left(\frac{2n+3}{n}\right)=2. \]
Resolução
A sucessão é o produto de duas sucessões:
\[ a_n=\frac{n}{n+1} \qquad\text{e}\qquad b_n=\frac{2n+3}{n}. \]
Para a primeira sucessão:
\[ \frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}\to1. \]
Para a segunda:
\[ \frac{2n+3}{n}=2+\frac{3}{n}\to2. \]
Ambas têm limite finito. Podemos, então, aplicar o limite do produto:
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)\left(\frac{2n+3}{n}\right) = 1\cdot2=2. \]
Exercício 8 — nível ★★☆☆☆
Calcular o limite da sucessão
\[ c_n=\left(\frac{n+1}{n}\right)^2. \]
Resultado
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^2=1. \]
Resolução
Reescrevamos a base da potência:
\[ \frac{n+1}{n}=1+\frac1n. \]
Como
\[ \frac1n\to0, \]
obtemos
\[ 1+\frac1n\to1. \]
A sucessão dada é
\[ \left(1+\frac1n\right)^2 = \left(1+\frac1n\right)\left(1+\frac1n\right). \]
Apliquemos o limite do produto:
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac1n\right)^2 = 1\cdot1=1. \]
Exercício 9 — nível ★★☆☆☆
Calcular o limite da sucessão
\[ c_n=\frac{\displaystyle \frac{2}{n}+3}{4-\displaystyle \frac{1}{n}}. \]
Resultado
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\displaystyle \frac{2}{n}+3}{4-\displaystyle \frac{1}{n}}=\frac34. \]
Resolução
Estudemos o numerador e o denominador.
O numerador é
\[ \frac{2}{n}+3. \]
Como
\[ \frac{2}{n}\to0, \]
tem-se
\[ \frac{2}{n}+3\to3. \]
O denominador é
\[ 4-\frac{1}{n}. \]
Como
\[ \frac{1}{n}\to0, \]
tem-se
\[ 4-\frac{1}{n}\to4. \]
O limite do denominador é diferente de \(0\). Portanto, podemos aplicar o limite do quociente:
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\displaystyle \frac{2}{n}+3}{4-\displaystyle \frac{1}{n}}=\frac{3}{4}. \]
Exercício 10 — nível ★★★☆☆
Calcular o limite da sucessão
\[ c_n=\frac{n^2+3n}{2n^2-5}. \]
Resultado
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2+3n}{2n^2-5}=\frac12. \]
Resolução
O numerador e o denominador são expressões polinomiais do mesmo grau, isto é, de grau \(2\).
Dividamos o numerador e o denominador por \(n^2\):
\[ \frac{n^2+3n}{2n^2-5} = \frac{1+\displaystyle \frac3n}{2-\displaystyle \frac5{n^2}}. \]
Calculemos os limites das partes:
\[ \frac3n\to0 \qquad\text{e}\qquad \frac5{n^2}\to0. \]
Assim, o numerador tende para
\[ 1+0=1, \]
ao passo que o denominador tende para
\[ 2-0=2. \]
Como o limite do denominador é \(2\neq0\), podemos aplicar o limite do quociente:
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1+\displaystyle \frac3n}{2-\displaystyle \frac5{n^2}}=\frac12. \]
Portanto,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2+3n}{2n^2-5}=\frac12. \]
Exercício 11 — nível ★★★☆☆
Calcular o limite da sucessão
\[ c_n=\frac{2n^2-n+1}{n^2+4}. \]
Resultado
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2n^2-n+1}{n^2+4}=2. \]
Resolução
Dividamos o numerador e o denominador por \(n^2\), isto é, pela maior potência de \(n\) que aparece:
\[ \frac{2n^2-n+1}{n^2+4} = \frac{2-\displaystyle \frac1n+\displaystyle \frac1{n^2}}{1+\displaystyle \frac4{n^2}}. \]
Observemos agora que
\[ \frac1n\to0 \qquad\text{e}\qquad \frac1{n^2}\to0. \]
Assim, o numerador tende para
\[ 2-0+0=2, \]
e o denominador tende para
\[ 1+0=1. \]
Como o limite do denominador é \(1\neq0\), apliquemos o limite do quociente:
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2-\displaystyle \frac1n+\displaystyle \frac1{n^2}}{1+\displaystyle \frac4{n^2}} = \frac21=2. \]
Portanto,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2n^2-n+1}{n^2+4}=2. \]
Exercício 12 — nível ★★★☆☆
Calcular o limite da sucessão
\[ c_n=\frac{3n+1}{n^2+1}. \]
Resultado
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{3n+1}{n^2+1}=0. \]
Resolução
O denominador tem grau superior ao do numerador. Dividamos o numerador e o denominador por \(n^2\):
\[ \frac{3n+1}{n^2+1} = \frac{\displaystyle \frac3n+\displaystyle \frac1{n^2}}{1+\displaystyle \frac1{n^2}}. \]
Agora,
\[ \frac3n\to0, \qquad \frac1{n^2}\to0. \]
Assim, o numerador tende para
\[ 0+0=0, \]
enquanto o denominador tende para
\[ 1+0=1. \]
Como o limite do denominador é diferente de \(0\), podemos aplicar a regra do quociente:
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\displaystyle \frac3n+\displaystyle \frac1{n^2}}{1+\displaystyle \frac1{n^2}} = \frac01=0. \]
Portanto,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{3n+1}{n^2+1}=0. \]
Exercício 13 — nível ★★★☆☆
Calcular o limite da sucessão
\[ c_n=\frac{n^3+2n}{n^2+1}. \]
Resultado
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^3+2n}{n^2+1}=+\infty. \]
Resolução
O numerador tem grau \(3\), enquanto o denominador tem grau \(2\). Esperamos, portanto, que o quociente cresça sem limite.
Dividamos o numerador e o denominador por \(n^2\):
\[ \frac{n^3+2n}{n^2+1} = \frac{n+\displaystyle \frac2n}{1+\displaystyle \frac1{n^2}}. \]
Para \(n\to+\infty\), o numerador
\[ n+\frac2n \]
tende para \(+\infty\), pois o termo \(n\) cresce sem limite.
O denominador, por sua vez, tende para
\[ 1+0=1. \]
Portanto, o quociente tende para \(+\infty\).
Podemos também dar uma estimativa por baixo. Para \(n\geq1\), tem-se
\[ n^2+1\leq2n^2 \]
e
\[ n^3+2n\geq n^3. \]
Portanto,
\[ \frac{n^3+2n}{n^2+1}\geq \frac{n^3}{2n^2}=\frac n2. \]
Como
\[ \frac n2\to+\infty, \]
também a sucessão dada tende para \(+\infty\).
Exercício 14 — nível ★★★☆☆
Calcular o limite da sucessão
\[ c_n=\frac{1}{n}\left(4-\frac{3}{n}\right). \]
Resultado
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}\left(4-\frac{3}{n}\right)=0. \]
Resolução
A sucessão é um produto:
\[ \frac{1}{n} \qquad\text{e}\qquad 4-\frac{3}{n}. \]
O primeiro fator tende para \(0\):
\[ \frac1n\to0. \]
O segundo fator tende para \(4\), pois
\[ \frac3n\to0. \]
Portanto,
\[ 4-\frac3n\to4. \]
Podemos aplicar o limite do produto:
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}\left(4-\frac{3}{n}\right)=0\cdot4=0. \]
Neste caso não há forma indeterminada: o segundo fator tende para um número finito, e não para \(+\infty\).
Exercício 15 — nível ★★★☆☆
Calcular o limite da sucessão
\[ c_n=\frac{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \frac{1}{n}+1}. \]
Resultado
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \frac{1}{n}+1}=0. \]
Resolução
Estudemos o numerador e o denominador.
O numerador é
\[ \frac1n, \]
portanto tende para \(0\).
O denominador é
\[ \frac1n+1, \]
e tende para
\[ 0+1=1. \]
O limite do denominador é \(1\), portanto é diferente de \(0\). Podemos, então, aplicar o limite do quociente:
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \frac{1}{n}+1} = \frac{0}{1}=0. \]
Exercício 16 — nível ★★★★☆
Calcular o limite da sucessão
\[ c_n=\frac{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \frac{1}{n}}. \]
Resultado
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \frac{1}{n}}=1. \]
Resolução
O numerador tende para \(0\):
\[ \frac1n\to0. \]
Também o denominador tende para \(0\):
\[ \frac1n\to0. \]
Portanto, não podemos aplicar diretamente o teorema sobre o limite do quociente, pois a hipótese exigida é que o limite do denominador seja diferente de \(0\).
A expressão é do tipo
\[ \frac00, \]
isto é, uma forma indeterminada.
Contudo, podemos simplificar a sucessão. Para todo \(n\geq1\), tem-se
\[ \frac{\displaystyle \frac1n}{\displaystyle \frac1n}=1. \]
Logo, a sucessão é constante e igual a \(1\).
Portanto,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \frac{1}{n}}=1. \]
Este exercício mostra que uma forma \(\displaystyle \frac00\) não determina automaticamente o limite: é necessário estudar a expressão.
Exercício 17 — nível ★★★★☆
Calcular o limite da sucessão
\[ c_n=\frac{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \frac{1}{n^2}}. \]
Resultado
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \frac{1}{n^2}}=+\infty. \]
Resolução
O numerador tende para \(0\):
\[ \frac1n\to0. \]
Também o denominador tende para \(0\):
\[ \frac1{n^2}\to0. \]
Estamos, portanto, diante de uma forma do tipo
\[ \frac00. \]
Não podemos aplicar diretamente a regra do quociente, pois o limite do denominador é \(0\).
Simplifiquemos a expressão:
\[ \frac{\displaystyle \frac1n}{\displaystyle \frac1{n^2}} = \frac1n\cdot n^2. \]
Portanto,
\[ \frac{\displaystyle \frac1n}{\displaystyle \frac1{n^2}}=n. \]
Como
\[ n\to+\infty, \]
obtemos
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \frac{1}{n^2}}=+\infty. \]
Isto confirma que a forma \(\displaystyle \frac00\) é indeterminada: num exercício anterior dava \(1\), ao passo que aqui dá \(+\infty\).
Exercício 18 — nível ★★★★☆
Calcular o limite da sucessão
\[ c_n=\frac{\displaystyle \frac{1}{n^2}}{\displaystyle \frac{1}{n}}. \]
Resultado
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\displaystyle \frac{1}{n^2}}{\displaystyle \frac{1}{n}}=0. \]
Resolução
Também neste caso o numerador e o denominador tendem ambos para \(0\):
\[ \frac1{n^2}\to0 \qquad\text{e}\qquad \frac1n\to0. \]
A expressão é, portanto, uma forma do tipo
\[ \frac00. \]
Não podemos aplicar diretamente a regra do quociente. Devemos simplificar.
Escrevamos:
\[ \frac{\displaystyle \frac1{n^2}}{\displaystyle \frac1n} = \frac1{n^2}\cdot n. \]
Portanto,
\[ \frac{\displaystyle \frac1{n^2}}{\displaystyle \frac1n} = \frac1n. \]
Como
\[ \frac1n\to0, \]
concluímos que
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\displaystyle \frac{1}{n^2}}{\displaystyle \frac{1}{n}}=0. \]
Este é mais um exemplo de que a forma \(\frac00\) pode produzir resultados diferentes.
Exercício 19 — nível ★★★★★
Calcular o limite da sucessão
\[ c_n=\sqrt{n^2+n}-n. \]
Resultado
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\sqrt{n^2+n}-n\right)=\frac12. \]
Resolução
A sucessão é
\[ c_n=\sqrt{n^2+n}-n. \]
Observemos que
\[ \sqrt{n^2+n}\to+\infty \qquad\text{e}\qquad n\to+\infty. \]
Portanto, a expressão é do tipo
\[ +\infty-\infty, \]
isto é, uma forma indeterminada. Não podemos calcular o limite subtraindo simplesmente os limites.
Para eliminar a indeterminação, racionalizemos:
\[ \sqrt{n^2+n}-n = \frac{(\sqrt{n^2+n}-n)(\sqrt{n^2+n}+n)}{\sqrt{n^2+n}+n}. \]
No numerador, usamos a diferença de quadrados:
\[ (\sqrt{n^2+n})^2-n^2=n^2+n-n^2=n. \]
Portanto,
\[ \sqrt{n^2+n}-n = \frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}. \]
Coloquemos agora \(n\) em evidência dentro da raiz:
\[ \sqrt{n^2+n}=\sqrt{n^2\left(1+\frac1n\right)}. \]
Como \(n>0\), tem-se
\[ \sqrt{n^2\left(1+\frac1n\right)} = n\sqrt{1+\frac1n}. \]
Portanto,
\[ \frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n} = \frac{n}{n\sqrt{1+\frac1n}+n}. \]
Colocando \(n\) em evidência no denominador:
\[ \frac{n}{n\left(\sqrt{1+\frac1n}+1\right)} = \frac{1}{\sqrt{1+\frac1n}+1}. \]
Agora,
\[ \frac1n\to0, \]
portanto
\[ \sqrt{1+\frac1n}\to\sqrt1=1. \]
Portanto,
\[ \frac{1}{\sqrt{1+\frac1n}+1}\to\frac{1}{1+1}=\frac12. \]
Concluímos que
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\sqrt{n^2+n}-n\right)=\frac12. \]
Exercício 20 — nível ★★★★★
Calcular o limite da sucessão
\[ c_n=n\left(\frac{n+1}{n}-1\right). \]
Resultado
\[ \lim_{n\to+\infty}n\left(\frac{n+1}{n}-1\right)=1. \]
Resolução
Consideremos a sucessão
\[ c_n=n\left(\frac{n+1}{n}-1\right). \]
Se observarmos separadamente os fatores, temos
\[ n\to+\infty \]
e
\[ \frac{n+1}{n}-1\to1-1=0. \]
A expressão é, portanto, do tipo
\[ +\infty\cdot0, \]
isto é, uma forma indeterminada. Não podemos concluir automaticamente que o limite seja \(0\) ou \(+\infty\).
Devemos simplificar a expressão. Calculemos primeiro a expressão entre parênteses:
\[ \frac{n+1}{n}-1 = \frac{n+1}{n}-\frac{n}{n} = \frac{1}{n}. \]
Portanto,
\[ c_n=n\cdot\frac1n. \]
Assim,
\[ c_n=1 \]
para todo \(n\geq1\).
A sucessão é, portanto, constante e igual a \(1\). Por conseguinte,
\[ \lim_{n\to+\infty}n\left(\frac{n+1}{n}-1\right)=1. \]
Este exercício mostra que também a forma \(0\cdot\infty\) é indeterminada: é necessário transformar a expressão antes de calcular o limite.