Nesta página estudaremos as subsucessões, ou seja, sucessões obtidas extraindo alguns termos de uma sucessão dada, sem alterar a ordem em que aparecem.
O conceito de subsucessão é fundamental no estudo das sucessões numéricas, pois permite analisar o comportamento de uma sucessão observando apenas uma parte dos seus termos. Em particular, as subsucessões são muito úteis para estudar a convergência, a divergência e as oscilações de uma sucessão.
Ao longo de todo o artigo consideraremos sucessões reais, isto é, sucessões da forma
\[ a:\mathbb{N}\to\mathbb{R}, \]
e denotaremos os seus termos por \(a_n\), quando \(n\) varia em \(\mathbb{N}\).
Em todo o texto admitimos que \(\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}\).
Índice
- Definição de subsucessão
- Interpretação intuitiva
- Exemplos de subsucessões
- Como reconhecer uma subsucessão
- Toda subsucessão de uma sucessão convergente converge para o mesmo limite
- Subsucessões e não convergência
- Subsucessões de sucessões divergentes para o infinito
Definição de subsucessão
Seja \((a_n)\) uma sucessão real. Uma subsucessão de \((a_n)\) é uma sucessão obtida escolhendo uma sucessão estritamente crescente de índices naturais
\[ k_0<k_1<k_2<\dots \]
e considerando os termos correspondentes da sucessão inicial:
\[ a_{k_0},a_{k_1},a_{k_2},\dots \]
Em símbolos, uma subsucessão de \((a_n)\) denota-se frequentemente por
\[ (a_{k_n}), \]
onde \((k_n)\) é uma sucessão de números naturais tal que
\[ k_n<k_{n+1} \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
A condição \(k_n<k_{n+1}\) é essencial: significa que os índices escolhidos devem crescer estritamente. Desse modo, os termos são extraídos da sucessão original respeitando a sua ordem natural.
Definição equivalente
Uma subsucessão de \((a_n)\) também pode ser definida por meio de uma função
\[ \varphi:\mathbb{N}\to\mathbb{N} \]
estritamente crescente. Nesse caso, a subsucessão é
\[ (a_{\varphi(n)}). \]
As duas definições são equivalentes: basta pôr
\[ k_n=\varphi(n). \]
Em qualquer dos dois casos, o ponto fundamental é que os índices devem aumentar estritamente.
Atenção. Uma subsucessão não é uma sucessão formada escolhendo termos ao acaso. É necessário que os termos escolhidos respeitem a ordem em que aparecem na sucessão de partida.
Por exemplo, se considerarmos os termos
\[ a_5,a_2,a_8, \]
estes não podem formar o início de uma subsucessão, porque os índices não estão em ordem crescente.
Em contrapartida, os termos
\[ a_2,a_5,a_8 \]
podem formar o início de uma subsucessão, porque os índices \(2,5,8\) são estritamente crescentes.
Interpretação intuitiva
Uma subsucessão obtém-se escolhendo termos da sucessão original e conservando-os na mesma ordem.
Por exemplo, dada uma sucessão
\[ a_0,a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,\dots, \]
podemos escolher apenas os termos de índice par:
\[ a_0,a_2,a_4,a_6,\dots \]
Esta é uma subsucessão da sucessão inicial.
Podemos igualmente escolher apenas os termos de índice ímpar:
\[ a_1,a_3,a_5,a_7,\dots \]
Esta também é uma subsucessão.
De um modo geral, uma subsucessão observa a sucessão de partida ao longo de uma sucessão crescente de índices.
Propriedade dos índices de uma subsucessão
Se \((k_n)\) é uma sucessão estritamente crescente de números naturais, então
\[ k_n\ge n \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Demonstração. Como \(k_0\in\mathbb{N}\), tem-se
\[ k_0\ge 0. \]
Além disso, dado que \((k_n)\) é estritamente crescente e assume valores naturais, de \(k_n<k_{n+1}\) decorre
\[ k_{n+1}\ge k_n+1. \]
Provemos por indução que \(k_n\ge n\) para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Para \(n=0\), já observámos que \(k_0\ge 0\). Suponhamos agora que \(k_n\ge n\). Então
\[ k_{n+1}\ge k_n+1\ge n+1. \]
Logo, pelo princípio de indução,
\[ k_n\ge n \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Esta propriedade mostra que os índices de uma subsucessão tendem necessariamente para infinito.
Exemplos de subsucessões
Vejamos alguns exemplos fundamentais.
Exemplo 1. Consideremos a sucessão
\[ a_n=n. \]
Se escolhermos os índices pares, isto é,
\[ k_n=2n, \]
obtemos a subsucessão
\[ a_{k_n}=a_{2n}=2n. \]
Portanto
\[ (a_{2n})=(0,2,4,6,\dots). \]
Esta é uma subsucessão de \((a_n)\), porque os índices
\[ 0,2,4,6,\dots \]
são estritamente crescentes.
Exemplo 2. Consideremos a sucessão
\[ a_n=(-1)^n. \]
Se escolhermos os índices pares \(k_n=2n\), obtemos
\[ a_{k_n}=a_{2n}=(-1)^{2n}=1. \]
Assim, a subsucessão dos termos de índice par é
\[ (a_{2n})=(1,1,1,1,\dots). \]
Se, em vez disso, escolhermos os índices ímpares \(k_n=2n+1\), obtemos
\[ a_{k_n}=a_{2n+1}=(-1)^{2n+1}=-1. \]
Assim, a subsucessão dos termos de índice ímpar é
\[ (a_{2n+1})=(-1,-1,-1,-1,\dots). \]
Este exemplo é muito importante: a sucessão \(((-1)^n)\) não converge, mas possui subsucessões convergentes.
Exemplo 3. Consideremos a sucessão
\[ a_n=\frac{1}{n+1}. \]
Se escolhermos os índices
\[ k_n=n^2, \]
obtemos
\[ a_{k_n}=a_{n^2}=\frac{1}{n^2+1}. \]
Portanto, \(\left(\displaystyle\frac{1}{n^2+1}\right)\) é uma subsucessão de \(\left(\displaystyle\frac{1}{n+1}\right)\).
Os índices escolhidos são
\[ 0,1,4,9,16,\dots \]
e formam uma sucessão estritamente crescente. Com efeito,
\[ 0<1<4<9<16<\dots. \]
Logo, a sucessão \((a_{n^2})\) é efetivamente uma subsucessão de \((a_n)\).
Como reconhecer uma subsucessão
Para determinar se uma sucessão \((b_n)\) é uma subsucessão de uma sucessão \((a_n)\), há que verificar se existe uma sucessão estritamente crescente de índices naturais \((k_n)\) tal que
\[ b_n=a_{k_n} \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Exemplo. Consideremos a sucessão
\[ a_n=n^2. \]
A sucessão
\[ b_n=(n+1)^2 \]
é uma subsucessão de \((a_n)\). Com efeito, basta escolher
\[ k_n=n+1. \]
Então
\[ a_{k_n}=a_{n+1}=(n+1)^2=b_n. \]
Como \(k_n=n+1\) é estritamente crescente, \((b_n)\) é uma subsucessão de \((a_n)\).
Contraexemplo. Consideremos novamente a sucessão
\[ a_n=n. \]
A sucessão
\[ b_n=-n \]
não é uma subsucessão de \((a_n)\), porque todos os termos de \((a_n)\) são números naturais, ao passo que \(b_n\) assume valores negativos para \(n\ge 1\).
Por conseguinte, não pode existir nenhuma sucessão de índices naturais \((k_n)\) tal que
\[ b_n=a_{k_n} \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Atenção. Não basta que os termos de \((b_n)\) pertençam ao conjunto dos valores assumidos por \((a_n)\). É necessário que apareçam na ordem correta e que possam ser associados a uma sucessão estritamente crescente de índices.
Por exemplo, consideremos
\[ a_n=(-1)^n. \]
A sucessão constante \(b_n=1\) é uma subsucessão de \((a_n)\), pois obtém-se escolhendo os índices pares.
Em contrapartida, a sucessão
\[ 1,-1,1,-1,\dots \]
é a própria sucessão, ou seja, a subsucessão trivial obtida ao escolher \(k_n=n\).
Toda subsucessão de uma sucessão convergente converge para o mesmo limite
O resultado mais importante sobre as subsucessões é o seguinte.
Teorema. Se uma sucessão real \((a_n)\) converge para um número real \(\ell\), então toda subsucessão \((a_{k_n})\) sua converge para o mesmo limite \(\ell\).
Demonstração. Suponhamos que
\[ a_n\to \ell. \]
Seja \((a_{k_n})\) uma subsucessão de \((a_n)\), com \((k_n)\) estritamente crescente.
Pela definição de limite, para todo \(\varepsilon>0\) existe \(N\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\ge N\),
\[ |a_n-\ell|<\varepsilon. \]
Como \((k_n)\) é uma sucessão estritamente crescente de números naturais, tem-se
\[ k_n\ge n \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Assim, se \(n\ge N\), então
\[ k_n\ge n\ge N. \]
Aplicando a definição de limite ao índice \(k_n\), obtemos
\[ |a_{k_n}-\ell|<\varepsilon. \]
Isto vale para todo \(n\ge N\). Logo
\[ a_{k_n}\to \ell. \]
Demonstrámos assim que toda subsucessão de uma sucessão convergente converge para o mesmo limite que a sucessão original.
Consequência
Se uma sucessão possui duas subsucessões que convergem para limites distintos, então a sucessão de partida não converge.
Demonstração. Suponhamos, por absurdo, que \((a_n)\) converge para um número real \(\ell\).
Então, pelo teorema que acabámos de demonstrar, toda subsucessão de \((a_n)\) deveria convergir para \(\ell\).
Mas, se existem duas subsucessões que convergem para dois limites distintos, chegamos a uma contradição.
Logo, a sucessão \((a_n)\) não pode convergir.
Subsucessões e não convergência
As subsucessões fornecem um método muito eficaz para demonstrar que uma sucessão não converge.
A ideia é simples: se conseguirmos encontrar duas subsucessões da mesma sucessão que convergem para limites distintos, então a sucessão original não pode ter limite.
Exemplo fundamental
Consideremos a sucessão
\[ a_n=(-1)^n. \]
A subsucessão dos índices pares é
\[ a_{2n}=(-1)^{2n}=1. \]
Logo
\[ a_{2n}\to 1. \]
A subsucessão dos índices ímpares é
\[ a_{2n+1}=(-1)^{2n+1}=-1. \]
Logo
\[ a_{2n+1}\to -1. \]
Encontrámos duas subsucessões da mesma sucessão que convergem para dois limites distintos:
\[ 1\ne -1. \]
Por conseguinte, a sucessão \(((-1)^n)\) não converge.
Outro exemplo
Consideremos a sucessão
\[ a_n=\frac{1+(-1)^n}{2}. \]
Para os índices pares tem-se
\[ a_{2n}=\frac{1+(-1)^{2n}}{2}=\frac{1+1}{2}=1. \]
Para os índices ímpares tem-se
\[ a_{2n+1}=\frac{1+(-1)^{2n+1}}{2}=\frac{1-1}{2}=0. \]
Logo
\[ a_{2n}\to 1 \]
enquanto
\[ a_{2n+1}\to 0. \]
Como as duas subsucessões convergem para limites distintos, a sucessão \((a_n)\) não converge.
Atenção. Encontrar uma subsucessão convergente não basta para concluir que a sucessão de partida converge.
Por exemplo, a sucessão \(((-1)^n)\) possui a subsucessão constante
\[ a_{2n}=1, \]
que converge para \(1\). No entanto, a sucessão \(((-1)^n)\) não converge.
Para demonstrar a convergência da sucessão original não basta examinar uma única subsucessão: é preciso controlar o comportamento de todos os termos, eventualmente por meio de critérios adequados.
Subsucessões de sucessões divergentes para o infinito
Também para as sucessões divergentes para o infinito existe uma ligação importante com as subsucessões.
Teorema. Se \(a_n\to+\infty\), então toda subsucessão \((a_{k_n})\) diverge para \(+\infty\).
Demonstração. Suponhamos que \(a_n\to+\infty\).
Por definição, para todo \(M\in\mathbb{R}\) existe \(N\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\ge N\),
\[ a_n>M. \]
Seja \((a_{k_n})\) uma subsucessão de \((a_n)\). Como \(k_n\ge n\), se \(n\ge N\), então
\[ k_n\ge n\ge N. \]
Logo
\[ a_{k_n}>M. \]
Isto vale para todo \(n\ge N\). Por conseguinte
\[ a_{k_n}\to +\infty. \]
Caso \(a_n\to -\infty\)
De modo análogo, se
\[ a_n\to -\infty, \]
então toda subsucessão \((a_{k_n})\) diverge para \(-\infty\).
Com efeito, para todo \(m\in\mathbb{R}\), de \(a_n\to -\infty\) decorre que existe \(N\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\ge N\),
\[ a_n<m. \]
Se \(n\ge N\), então \(k_n\ge n\ge N\), e portanto
\[ a_{k_n}<m. \]
Por conseguinte
\[ a_{k_n}\to -\infty. \]
Conclusão
As subsucessões são uma ferramenta fundamental para estudar o comportamento assintótico de uma sucessão, pois permitem isolar partes significativas da sucessão sem alterar a ordem dos seus termos.
Em resumo, uma subsucessão de \((a_n)\) é uma sucessão da forma
\[ (a_{k_n}), \]
onde \((k_n)\) é uma sucessão estritamente crescente de números naturais.
Se uma sucessão converge para um limite real \(\ell\), então toda subsucessão sua converge para o mesmo limite \(\ell\). Em consequência, se uma sucessão possui duas subsucessões que convergem para limites distintos, então a sucessão não converge.
Por outro lado, a existência de uma subsucessão convergente não implica que a sucessão de partida convirja, como mostra o exemplo da sucessão \(((-1)^n)\).
As subsucessões são, portanto, fundamentais tanto para reconhecer o comportamento local de uma sucessão como para demonstrar de maneira rigorosa a ausência de convergência.