Nesta página apresentamos 20 exercícios resolvidos passo a passo sobre sucessões limitadas. Os exercícios foram pensados para ajudar a reconhecer quando uma sucessão é limitada superiormente, limitada inferiormente ou limitada tanto inferiormente como superiormente.
Em cada exercício trabalharemos com sucessões reais definidas em \(\mathbb{N}\), onde
\[ \mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}. \]
Recordemos que uma sucessão \((a_n)\) é limitada superiormente se existe \(M\in\mathbb{R}\) tal que
\[ a_n\le M \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). De modo análogo, é limitada inferiormente se existe \(m\in\mathbb{R}\) tal que
\[ a_n\ge m \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Por fim, uma sucessão é limitada se for limitada tanto inferiormente como superiormente. De modo equivalente, \((a_n)\) é limitada se existe \(K>0\) tal que
\[ |a_n|\le K \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Exercício 1 — nível ★☆☆☆☆
Determinar se a sucessão
\[ a_n=\frac{1}{n+1} \]
é limitada superiormente, limitada inferiormente e limitada.
Resultado
A sucessão é limitada. Mais precisamente,
\[ 0\le a_n\le 1 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Resolução
A sucessão é definida por
\[ a_n=\frac{1}{n+1}, \qquad n\in\mathbb{N}. \]
Uma vez que, nesta coletânea de exercícios, assumimos
\[ \mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}, \]
tem-se
\[ n\ge 0. \]
Somando \(1\) a ambos os membros, obtemos
\[ n+1\ge 1. \]
Portanto, o denominador \(n+1\) é sempre positivo e pelo menos igual a \(1\).
De \(n+1\ge 1\) resulta que
\[ 0<\frac{1}{n+1}\le 1. \]
Como
\[ a_n=\frac{1}{n+1}, \]
podemos escrever
\[ 0<a_n\le 1. \]
Em particular, de \(a_n\le 1\) resulta que \(1\) é um majorante da sucessão. Logo, a sucessão é limitada superiormente.
Além disso, de \(a_n>0\) resulta também que
\[ a_n\ge 0. \]
Portanto, \(0\) é um minorante da sucessão, e a sucessão é limitada inferiormente.
A sucessão é, portanto, limitada.
Exercício 2 — nível ★☆☆☆☆
Determinar se a sucessão
\[ a_n=\frac{n}{n+1} \]
é limitada superiormente, limitada inferiormente e limitada.
Resultado
A sucessão é limitada. Mais precisamente,
\[ 0\le a_n<1 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). Em particular, \(0\) é um minorante e \(1\) é um majorante.
Resolução
Consideremos a sucessão
\[ a_n=\frac{n}{n+1}. \]
Uma vez que \(n\in\mathbb{N}\), temos
\[ n\ge 0. \]
Além disso
\[ n+1>0. \]
O numerador é, portanto, não negativo, ao passo que o denominador é positivo. Consequentemente
\[ \frac{n}{n+1}\ge 0. \]
Logo
\[ a_n\ge 0 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). Isto mostra que a sucessão é limitada inferiormente.
Estudemos agora a limitação superior. Como
\[ n<n+1 \]
e como \(n+1>0\), dividindo ambos os membros por \(n+1\) obtemos
\[ \frac{n}{n+1}<1. \]
Por conseguinte
\[ a_n<1. \]
Em particular, \(1\) é um majorante da sucessão, pois todos os seus termos são menores que \(1\). Logo, a sucessão é limitada superiormente.
Provámos que
\[ 0\le a_n<1 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
A sucessão é, portanto, limitada.
Exercício 3 — nível ★☆☆☆☆
Determinar se a sucessão
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n+1} \]
é limitada.
Resultado
A sucessão é limitada. Com efeito,
\[ |a_n|\le 1 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). Logo
\[ -1\le a_n\le 1. \]
Resolução
A sucessão é
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n+1}. \]
Para determinar se é limitada, convém estimar o valor absoluto dos seus termos.
Calculemos:
\[ |a_n| = \left|\frac{(-1)^n}{n+1}\right|. \]
O valor absoluto de um quociente é o quociente dos valores absolutos, pelo que
\[ |a_n| = \frac{|(-1)^n|}{|n+1|}. \]
Para todo \(n\in\mathbb{N}\), tem-se
\[ |(-1)^n|=1. \]
Além disso, uma vez que \(n+1>0\), tem-se
\[ |n+1|=n+1. \]
Logo
\[ |a_n|=\frac{1}{n+1}. \]
Como \(n+1\ge 1\), temos
\[ \frac{1}{n+1}\le 1. \]
Por conseguinte
\[ |a_n|\le 1 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Pela caracterização através do valor absoluto, uma sucessão real é limitada se existe \(K>0\) tal que
\[ |a_n|\le K \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). Neste caso, podemos tomar \(K=1\).
A sucessão é, portanto, limitada.
Exercício 4 — nível ★☆☆☆☆
Determinar se a sucessão
\[ a_n=n+3 \]
é limitada superiormente, limitada inferiormente e limitada.
Resultado
A sucessão é limitada inferiormente, mas não é limitada superiormente. Logo, não é limitada.
Resolução
Consideremos a sucessão
\[ a_n=n+3. \]
Uma vez que \(n\in\mathbb{N}\), tem-se
\[ n\ge 0. \]
Somando \(3\) a ambos os membros, obtemos
\[ n+3\ge 3. \]
Como \(a_n=n+3\), resulta que
\[ a_n\ge 3 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). Portanto, \(3\) é um minorante da sucessão, e, em consequência, a sucessão é limitada inferiormente.
Verifiquemos agora se a sucessão é limitada superiormente.
Para que fosse limitada superiormente, deveria existir um número real \(M\) tal que
\[ a_n\le M \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). Mostremos que tal não sucede.
Seja \(M\in\mathbb{R}\) um número real qualquer. Como os números naturais não são limitados superiormente, podemos escolher \(n\in\mathbb{N}\) tal que
\[ n>M-3. \]
Somando \(3\) a ambos os membros, obtemos
\[ n+3>M. \]
Mas \(a_n=n+3\), pelo que
\[ a_n>M. \]
Provámos que, qualquer que seja \(M\in\mathbb{R}\), existe um termo da sucessão maior que \(M\). Logo, a sucessão não é limitada superiormente.
Uma vez que é limitada inferiormente mas não superiormente, a sucessão não é limitada.
Exercício 5 — nível ★☆☆☆☆
Determinar se a sucessão
\[ a_n=-n^2 \]
é limitada superiormente, limitada inferiormente e limitada.
Resultado
A sucessão é limitada superiormente, mas não é limitada inferiormente. Logo, não é limitada.
Resolução
Consideremos a sucessão
\[ a_n=-n^2. \]
Como o quadrado de um número real é sempre não negativo, para todo \(n\in\mathbb{N}\) tem-se
\[ n^2\ge 0. \]
Multiplicando ambos os membros por \(-1\), o sentido da desigualdade inverte-se. Obtemos então
\[ -n^2\le 0. \]
Como \(a_n=-n^2\), resulta que
\[ a_n\le 0 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). Portanto, \(0\) é um majorante da sucessão, e, em consequência, a sucessão é limitada superiormente.
Estudemos agora a limitação inferior.
Para que fosse limitada inferiormente, deveria existir um número real \(m\) tal que
\[ a_n\ge m \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). Mostremos que nenhum número real \(m\) pode ser um minorante.
Seja \(m\in\mathbb{R}\). Pretendemos encontrar um índice \(n\in\mathbb{N}\) tal que
\[ a_n<m. \]
Basta escolher \(n\in\mathbb{N}\) suficientemente grande para que
\[ n^2>|m|+1. \]
Esta escolha é possível porque \(n^2\) cresce sem limite à medida que \(n\) aumenta.
De
\[ n^2>|m|+1 \]
resulta em particular que
\[ n^2>|m|. \]
Uma vez que \(|m|\ge -m\) para todo \(m\in\mathbb{R}\), obtemos
\[ n^2>-m. \]
Multiplicando por \(-1\), o sentido da desigualdade inverte-se:
\[ -n^2<m. \]
Como \(a_n=-n^2\), resulta que
\[ a_n<m. \]
Provámos que, para todo \(m\in\mathbb{R}\), existe um termo da sucessão menor que \(m\). Logo, a sucessão não é limitada inferiormente.
Uma vez que é limitada superiormente mas não inferiormente, a sucessão não é limitada.
Exercício 6 — nível ★☆☆☆☆
Determinar se a sucessão
\[ a_n=\frac{n^2}{n^2+1} \]
é limitada superiormente, limitada inferiormente e limitada.
Resultado
A sucessão é limitada. Mais precisamente,
\[ 0\le a_n<1 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). Em particular, \(0\) é um minorante e \(1\) é um majorante.
Resolução
Consideremos a sucessão
\[ a_n=\frac{n^2}{n^2+1}. \]
Para todo \(n\in\mathbb{N}\), tem-se
\[ n^2\ge 0. \]
Além disso
\[ n^2+1>0. \]
O numerador é, portanto, não negativo, ao passo que o denominador é positivo. Consequentemente
\[ \frac{n^2}{n^2+1}\ge 0. \]
Logo
\[ a_n\ge 0 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). Isto mostra que a sucessão é limitada inferiormente.
Estudemos agora a limitação superior. Como
\[ n^2<n^2+1 \]
e como \(n^2+1>0\), dividindo ambos os membros por \(n^2+1\) obtemos
\[ \frac{n^2}{n^2+1}<1. \]
Logo
\[ a_n<1 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). Em particular, \(1\) é um majorante da sucessão, e, em consequência, a sucessão é limitada superiormente.
Provámos que
\[ 0\le a_n<1 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
A sucessão é, portanto, limitada.
Exercício 7 — nível ★★☆☆☆
Determinar se a sucessão
\[ a_n=(-1)^n n \]
é limitada superiormente, limitada inferiormente e limitada.
Resultado
A sucessão não é limitada superiormente nem limitada inferiormente. Logo, não é limitada.
Resolução
Consideremos a sucessão
\[ a_n=(-1)^n n. \]
O fator \((-1)^n\) muda de sinal conforme a paridade de \(n\).
Se \(n\) é par, então \((-1)^n=1\), e portanto
\[ a_n=n. \]
Se, pelo contrário, \(n\) é ímpar, então \((-1)^n=-1\), e portanto
\[ a_n=-n. \]
Estudemos primeiro a limitação superior.
Para demonstrar que a sucessão não é limitada superiormente, devemos mostrar que, qualquer que seja \(M\in\mathbb{R}\), existe um índice \(n\in\mathbb{N}\) tal que
\[ a_n>M. \]
Seja, então, \(M\in\mathbb{R}\). Escolhemos um índice par \(n=2q\) suficientemente grande de modo que
\[ 2q>M. \]
Esta escolha é possível porque os números naturais pares crescem sem limite.
Para tal índice \(n=2q\), sendo \(n\) par, tem-se
\[ (-1)^n=1. \]
Logo
\[ a_n=(-1)^n n=n=2q>M. \]
Provámos, assim, que nenhum número real \(M\) pode ser um majorante. A sucessão não é limitada superiormente.
Estudemos agora a limitação inferior.
Para demonstrar que a sucessão não é limitada inferiormente, devemos mostrar que, qualquer que seja \(m\in\mathbb{R}\), existe um índice \(n\in\mathbb{N}\) tal que
\[ a_n<m. \]
Seja, então, \(m\in\mathbb{R}\). Escolhemos um índice ímpar \(n=2q+1\) suficientemente grande de modo que
\[ -(2q+1)<m. \]
Esta escolha é possível porque os números da forma \(-(2q+1)\) decrescem sem limite à medida que \(q\) aumenta.
Para tal índice \(n=2q+1\), sendo \(n\) ímpar, tem-se
\[ (-1)^n=-1. \]
Logo
\[ a_n=(-1)^n n=-n=-(2q+1)<m. \]
Provámos, assim, que nenhum número real \(m\) pode ser um minorante. A sucessão não é limitada inferiormente.
Uma vez que a sucessão não é limitada superiormente nem limitada inferiormente, não é limitada.
Exercício 8 — nível ★★☆☆☆
Determinar se a sucessão
\[ a_n=(-1)^n\frac{n}{n+1} \]
é limitada.
Resultado
A sucessão é limitada. Com efeito,
\[ |a_n|<1 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). Logo, em particular,
\[ -1\le a_n\le 1. \]
Resolução
Consideremos a sucessão
\[ a_n=(-1)^n\frac{n}{n+1}. \]
Como a sucessão contém o fator alternante \((-1)^n\), é natural estimar o valor absoluto dos seus termos.
Calculemos:
\[ |a_n| = \left|(-1)^n\frac{n}{n+1}\right|. \]
Usando as propriedades do valor absoluto, obtemos
\[ |a_n| = |(-1)^n|\left|\frac{n}{n+1}\right|. \]
Para todo \(n\in\mathbb{N}\), tem-se
\[ |(-1)^n|=1. \]
Além disso \(n\ge 0\) e \(n+1>0\), pelo que
\[ \left|\frac{n}{n+1}\right|=\frac{n}{n+1}. \]
Logo
\[ |a_n|=\frac{n}{n+1}. \]
Como
\[ n<n+1 \]
e \(n+1>0\), dividindo por \(n+1\) obtemos
\[ \frac{n}{n+1}<1. \]
Logo
\[ |a_n|<1 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Em particular, tem-se também
\[ |a_n|\le 1. \]
Pela caracterização através do valor absoluto, como existe \(K>0\), por exemplo \(K=1\), tal que
\[ |a_n|\le K \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\), a sucessão é limitada.
Da desigualdade \(|a_n|\le 1\) resulta também que
\[ -1\le a_n\le 1. \]
Exercício 9 — nível ★★☆☆☆
Determinar se a sucessão
\[ a_n=\frac{2n+1}{n+2} \]
é limitada superiormente, limitada inferiormente e limitada.
Resultado
A sucessão é limitada. Mais precisamente,
\[ \frac{1}{2}\le a_n<2 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Resolução
Consideremos a sucessão
\[ a_n=\frac{2n+1}{n+2}. \]
Para estudar a sua limitação, reescrevemos o numerador em função do denominador. Observemos que
\[ 2n+1=2(n+2)-3. \]
Com efeito
\[ 2(n+2)-3=2n+4-3=2n+1. \]
Logo
\[ a_n=\frac{2(n+2)-3}{n+2}. \]
Separando a fração, obtemos
\[ a_n = \frac{2(n+2)}{n+2}-\frac{3}{n+2} = 2-\frac{3}{n+2}. \]
Uma vez que \(n\in\mathbb{N}\), tem-se
\[ n+2\ge 2. \]
Logo
\[ \frac{3}{n+2}>0. \]
De
\[ a_n=2-\frac{3}{n+2} \]
e de \(\displaystyle\frac{3}{n+2}>0\), resulta que
\[ a_n<2. \]
Portanto, \(2\) é um majorante da sucessão, e a sucessão é limitada superiormente.
Procuremos agora um minorante. Como \(n+2\ge 2\), ao dividir \(3\) por um número maior ou igual a \(2\), obtemos
\[ \frac{3}{n+2}\le \frac{3}{2}. \]
Mudando o sinal, o sentido da desigualdade inverte-se:
\[ -\frac{3}{n+2}\ge -\frac{3}{2}. \]
Somando \(2\) a ambos os membros, obtemos
\[ 2-\frac{3}{n+2}\ge 2-\frac{3}{2}. \]
Como
\[ 2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}, \]
resulta que
\[ a_n\ge \frac{1}{2}. \]
Portanto, \(\displaystyle\frac{1}{2}\) é um minorante da sucessão, e a sucessão é limitada inferiormente.
Provámos que
\[ \frac{1}{2}\le a_n<2 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). A sucessão é, portanto, limitada.
Exercício 10 — nível ★★☆☆☆
Determinar se a sucessão
\[ a_n=\frac{n^2+3}{n^2+1} \]
é limitada superiormente, limitada inferiormente e limitada.
Resultado
A sucessão é limitada. Mais precisamente,
\[ 1<a_n\le 3 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Resolução
Consideremos a sucessão
\[ a_n=\frac{n^2+3}{n^2+1}. \]
Para estudar a sua limitação, reescrevemos o numerador de modo a evidenciar o denominador:
\[ n^2+3=(n^2+1)+2. \]
Logo
\[ a_n=\frac{(n^2+1)+2}{n^2+1}. \]
Separando a fração, obtemos
\[ a_n = \frac{n^2+1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} = 1+\frac{2}{n^2+1}. \]
Como \(n^2\ge 0\), tem-se
\[ n^2+1\ge 1. \]
Consequentemente
\[ \frac{2}{n^2+1}>0. \]
De
\[ a_n=1+\frac{2}{n^2+1} \]
resulta então que
\[ a_n>1. \]
Em particular, \(1\) é um minorante da sucessão, e, em consequência, a sucessão é limitada inferiormente.
Procuremos agora um majorante. De \(n^2+1\ge 1\) resulta que
\[ \frac{2}{n^2+1}\le 2. \]
Somando \(1\) a ambos os membros, obtemos
\[ 1+\frac{2}{n^2+1}\le 3. \]
Como
\[ a_n=1+\frac{2}{n^2+1}, \]
resulta que
\[ a_n\le 3. \]
Portanto, \(3\) é um majorante da sucessão, e a sucessão é limitada superiormente.
Provámos que
\[ 1<a_n\le 3 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). A sucessão é, portanto, limitada.
Exercício 11 — nível ★★☆☆☆
Determinar se a sucessão
\[ a_n=\frac{3n^2-2}{n^2+1} \]
é limitada superiormente, limitada inferiormente e limitada.
Resultado
A sucessão é limitada. Mais precisamente,
\[ -2\le a_n<3 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Resolução
Consideremos a sucessão
\[ a_n=\frac{3n^2-2}{n^2+1}. \]
Para estudar a sua limitação, reescrevemos o numerador de modo a evidenciar o denominador. Observemos que
\[ 3n^2-2=3(n^2+1)-5. \]
Com efeito
\[ 3(n^2+1)-5=3n^2+3-5=3n^2-2. \]
Logo
\[ a_n=\frac{3(n^2+1)-5}{n^2+1}. \]
Separando a fração, obtemos
\[ a_n = \frac{3(n^2+1)}{n^2+1}-\frac{5}{n^2+1} = 3-\frac{5}{n^2+1}. \]
Como \(n^2\ge 0\), tem-se
\[ n^2+1\ge 1. \]
Em particular, o denominador \(n^2+1\) é sempre positivo. Logo
\[ \frac{5}{n^2+1}>0. \]
De
\[ a_n=3-\frac{5}{n^2+1} \]
e de \(\displaystyle\frac{5}{n^2+1}>0\), resulta que
\[ a_n<3. \]
Portanto, \(3\) é um majorante da sucessão, e a sucessão é limitada superiormente.
Procuremos agora um minorante. De \(n^2+1\ge 1\) resulta que
\[ \frac{5}{n^2+1}\le 5. \]
Mudando o sinal, o sentido da desigualdade inverte-se:
\[ -\frac{5}{n^2+1}\ge -5. \]
Somando \(3\) a ambos os membros, obtemos
\[ 3-\frac{5}{n^2+1}\ge 3-5. \]
Como
\[ 3-5=-2, \]
resulta que
\[ a_n\ge -2. \]
Portanto, \(-2\) é um minorante da sucessão, e a sucessão é limitada inferiormente.
Provámos que
\[ -2\le a_n<3 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). A sucessão é, portanto, limitada.
Exercício 12 — nível ★★☆☆☆
Determinar se a sucessão
\[ a_n=\frac{n}{n^2+1} \]
é limitada superiormente, limitada inferiormente e limitada.
Resultado
A sucessão é limitada. Mais precisamente,
\[ 0\le a_n\le \frac{1}{2} \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Resolução
Consideremos a sucessão
\[ a_n=\frac{n}{n^2+1}. \]
Uma vez que \(n\in\mathbb{N}\), tem-se
\[ n\ge 0. \]
Além disso
\[ n^2+1>0. \]
O numerador é não negativo, ao passo que o denominador é positivo. Consequentemente
\[ \frac{n}{n^2+1}\ge 0. \]
Logo
\[ a_n\ge 0 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). A sucessão é, pois, limitada inferiormente.
Estudemos agora a limitação superior. Pretendemos mostrar que
\[ \frac{n}{n^2+1}\le \frac{1}{2}. \]
Como \(n^2+1>0\), podemos multiplicar ambos os membros por \(2(n^2+1)\), que é positivo. A desigualdade anterior é equivalente a
\[ 2n\le n^2+1. \]
Passando tudo para o segundo membro, obtemos
\[ 0\le n^2-2n+1. \]
Mas
\[ n^2-2n+1=(n-1)^2. \]
Assim, a desigualdade torna-se
\[ 0\le (n-1)^2. \]
Esta é sempre verdadeira, pois o quadrado de um número real é sempre não negativo.
Logo
\[ \frac{n}{n^2+1}\le \frac{1}{2} \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Por conseguinte, \(\displaystyle\frac{1}{2}\) é um majorante da sucessão, e a sucessão é limitada superiormente.
Provámos que
\[ 0\le a_n\le \frac{1}{2} \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). A sucessão é, portanto, limitada.
Exercício 13 — nível ★★☆☆☆
Determinar se a sucessão
\[ a_n=(-1)^n\frac{n+2}{n+1} \]
é limitada.
Resultado
A sucessão é limitada. Com efeito,
\[ |a_n|\le 2 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). Logo
\[ -2\le a_n\le 2. \]
Resolução
Consideremos a sucessão
\[ a_n=(-1)^n\frac{n+2}{n+1}. \]
Como está presente o fator alternante \((-1)^n\), convém estudar o valor absoluto dos termos.
Calculemos:
\[ |a_n| = \left|(-1)^n\frac{n+2}{n+1}\right|. \]
Usando as propriedades do valor absoluto, obtemos
\[ |a_n| = |(-1)^n|\left|\frac{n+2}{n+1}\right|. \]
Para todo \(n\in\mathbb{N}\), tem-se
\[ |(-1)^n|=1. \]
Além disso \(n+1>0\) e \(n+2>0\), pelo que
\[ \left|\frac{n+2}{n+1}\right|=\frac{n+2}{n+1}. \]
Por conseguinte
\[ |a_n|=\frac{n+2}{n+1}. \]
Reescrevamos agora a fração:
\[ \frac{n+2}{n+1} = \frac{(n+1)+1}{n+1} = 1+\frac{1}{n+1}. \]
Como \(n+1\ge 1\), temos
\[ \frac{1}{n+1}\le 1. \]
Somando \(1\) a ambos os membros, obtemos
\[ 1+\frac{1}{n+1}\le 2. \]
Como
\[ |a_n|=1+\frac{1}{n+1}, \]
resulta que
\[ |a_n|\le 2. \]
Pela caracterização através do valor absoluto, como existe \(K>0\), por exemplo \(K=2\), tal que
\[ |a_n|\le K \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\), a sucessão é limitada.
Em particular, da desigualdade \(|a_n|\le 2\) resulta que
\[ -2\le a_n\le 2. \]
Exercício 14 — nível ★★☆☆☆
Determinar se a sucessão
\[ a_n=\frac{n^3}{n^2+1} \]
é limitada superiormente, limitada inferiormente e limitada.
Resultado
A sucessão é limitada inferiormente, mas não é limitada superiormente. Logo, não é limitada.
Resolução
Consideremos a sucessão
\[ a_n=\frac{n^3}{n^2+1}. \]
Uma vez que \(n\in\mathbb{N}\), tem-se
\[ n\ge 0. \]
Logo
\[ n^3\ge 0. \]
Além disso
\[ n^2+1>0. \]
O numerador é não negativo, ao passo que o denominador é positivo. Por conseguinte
\[ \frac{n^3}{n^2+1}\ge 0. \]
Logo
\[ a_n\ge 0 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). A sucessão é, pois, limitada inferiormente.
Mostremos agora que a sucessão não é limitada superiormente.
Para \(n\ge 1\), tem-se
\[ n^2+1\le 2n^2. \]
Com efeito, se \(n\ge 1\), então \(1\le n^2\), e portanto
\[ n^2+1\le n^2+n^2=2n^2. \]
Como \(n^2+1\le 2n^2\) e todas as quantidades envolvidas são positivas, ao passar aos inversos o sentido da desigualdade inverte-se:
\[ \frac{1}{n^2+1}\ge \frac{1}{2n^2}. \]
Multiplicando por \(n^3\ge 0\), obtemos
\[ \frac{n^3}{n^2+1}\ge \frac{n^3}{2n^2}. \]
Simplificando,
\[ \frac{n^3}{2n^2}=\frac{n}{2}. \]
Logo, para todo \(n\ge 1\),
\[ a_n\ge \frac{n}{2}. \]
Seja agora \(M\in\mathbb{R}\). Pretendemos encontrar um índice \(n\in\mathbb{N}\) tal que
\[ a_n>M. \]
Escolhemos \(n\in\mathbb{N}\) tal que
\[ n\ge 1 \qquad \text{e} \qquad \frac{n}{2}>M. \]
Esta escolha é possível porque \(\displaystyle\frac{n}{2}\) cresce sem limite à medida que \(n\) aumenta.
Para tal índice, usando a estimativa anterior, temos
\[ a_n\ge \frac{n}{2}>M. \]
Provámos, assim, que, qualquer que seja \(M\in\mathbb{R}\), existe um termo da sucessão maior que \(M\). Logo, a sucessão não é limitada superiormente.
Uma vez que a sucessão é limitada inferiormente mas não superiormente, não é limitada.
Exercício 15 — nível ★★☆☆☆
Determinar se a sucessão
\[ a_n=n^2-4n \]
é limitada superiormente, limitada inferiormente e limitada.
Resultado
A sucessão é limitada inferiormente, mas não é limitada superiormente. Logo, não é limitada.
Resolução
Consideremos a sucessão
\[ a_n=n^2-4n. \]
Para estudar a limitação inferior, completamos o quadrado:
\[ n^2-4n=n^2-4n+4-4. \]
Como
\[ n^2-4n+4=(n-2)^2, \]
obtemos
\[ a_n=(n-2)^2-4. \]
Ora, para todo \(n\in\mathbb{N}\), o quadrado \((n-2)^2\) é não negativo. Logo
\[ (n-2)^2\ge 0. \]
Subtraindo \(4\) a ambos os membros, obtemos
\[ (n-2)^2-4\ge -4. \]
Como
\[ a_n=(n-2)^2-4, \]
resulta que
\[ a_n\ge -4. \]
Portanto, \(-4\) é um minorante da sucessão, e a sucessão é limitada inferiormente.
Mostremos agora que a sucessão não é limitada superiormente.
Para \(n\ge 8\), tem-se
\[ n^2-4n\ge \frac{n^2}{2}. \]
Verifiquemos esta estimativa. A desigualdade
\[ n^2-4n\ge \frac{n^2}{2} \]
é equivalente a
\[ \frac{n^2}{2}-4n\ge 0. \]
Pondo \(n\) em evidência, obtemos
\[ n\left(\frac{n}{2}-4\right)\ge 0. \]
Se \(n\ge 8\), então
\[ \frac{n}{2}-4\ge 0, \]
e, como \(n\ge 0\), o produto é não negativo. Logo, para todo \(n\ge 8\),
\[ a_n=n^2-4n\ge \frac{n^2}{2}. \]
Seja agora \(M\in\mathbb{R}\). Pretendemos encontrar um índice \(n\in\mathbb{N}\) tal que
\[ a_n>M. \]
Como \(\displaystyle\frac{n^2}{2}\) cresce sem limite à medida que \(n\) aumenta, podemos escolher \(n\in\mathbb{N}\) tal que
\[ n\ge 8 \qquad \text{e} \qquad \frac{n^2}{2}>M. \]
Para tal índice, da estimativa anterior resulta que
\[ a_n\ge \frac{n^2}{2}>M. \]
Logo, qualquer que seja \(M\in\mathbb{R}\), existe um termo da sucessão maior que \(M\). A sucessão não é limitada superiormente.
Uma vez que a sucessão é limitada inferiormente mas não superiormente, não é limitada.
Exercício 16 — nível ★★☆☆☆
Determinar se a sucessão
\[ a_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n} \]
é limitada superiormente, limitada inferiormente e limitada.
Resultado
A sucessão é limitada. Mais precisamente,
\[ 0<a_n\le 1 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Resolução
Consideremos a sucessão
\[ a_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}. \]
Como \(n+1>n\) e a função raiz quadrada é crescente em \([0,+\infty)\), tem-se
\[ \sqrt{n+1}>\sqrt{n}. \]
Subtraindo \(\sqrt{n}\) a ambos os membros, obtemos
\[ \sqrt{n+1}-\sqrt{n}>0. \]
Logo
\[ a_n>0 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). Em particular, \(0\) é um minorante da sucessão, e, em consequência, a sucessão é limitada inferiormente.
Estudemos agora a limitação superior. Para estimar \(a_n\), racionalizamos:
\[ a_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n} = \frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}. \]
No numerador, usamos a identidade
\[ (x-y)(x+y)=x^2-y^2. \]
Obtemos então
\[ a_n= \frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}. \]
Como \(n\ge 0\), temos
\[ \sqrt{n+1}\ge 1 \qquad \text{e} \qquad \sqrt{n}\ge 0. \]
Logo
\[ \sqrt{n+1}+\sqrt{n}\ge 1. \]
Consequentemente
\[ \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\le 1. \]
Como
\[ a_n=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}, \]
resulta que
\[ a_n\le 1. \]
Portanto, \(1\) é um majorante da sucessão, e a sucessão é limitada superiormente.
Provámos que
\[ 0<a_n\le 1 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
A sucessão é, portanto, limitada.
Exercício 17 — nível ★★☆☆☆
Determinar se a sucessão
\[ a_n=\sqrt{n^2+1}-n \]
é limitada superiormente, limitada inferiormente e limitada.
Resultado
A sucessão é limitada. Mais precisamente,
\[ 0<a_n\le 1 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Resolução
Consideremos a sucessão
\[ a_n=\sqrt{n^2+1}-n. \]
Como
\[ n^2+1>n^2, \]
e, como a raiz quadrada é crescente em \([0,+\infty)\), obtemos
\[ \sqrt{n^2+1}>\sqrt{n^2}. \]
Uma vez que \(n\in\mathbb{N}\), tem-se \(n\ge 0\), pelo que
\[ \sqrt{n^2}=n. \]
Por conseguinte
\[ \sqrt{n^2+1}>n. \]
Subtraindo \(n\) a ambos os membros, resulta que
\[ \sqrt{n^2+1}-n>0. \]
Logo
\[ a_n>0 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). A sucessão é, pois, limitada inferiormente, por exemplo por \(0\).
Estudemos agora a limitação superior. Racionalizamos a expressão:
\[ a_n=\sqrt{n^2+1}-n = \frac{(\sqrt{n^2+1}-n)(\sqrt{n^2+1}+n)}{\sqrt{n^2+1}+n}. \]
No numerador, obtemos
\[ (\sqrt{n^2+1})^2-n^2=n^2+1-n^2=1. \]
Logo
\[ a_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}+n}. \]
Como \(n\ge 0\), temos
\[ \sqrt{n^2+1}\ge 1 \qquad \text{e} \qquad n\ge 0. \]
Logo
\[ \sqrt{n^2+1}+n\ge 1. \]
Daqui resulta que
\[ \frac{1}{\sqrt{n^2+1}+n}\le 1. \]
Como
\[ a_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}+n}, \]
obtemos
\[ a_n\le 1. \]
Portanto, \(1\) é um majorante da sucessão, e a sucessão é limitada superiormente.
Provámos que
\[ 0<a_n\le 1 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). A sucessão é, portanto, limitada.
Exercício 18 — nível ★★★☆☆
Determinar se a sucessão
\[ a_n=(-1)^n+\frac{1}{n+1} \]
é limitada.
Resultado
A sucessão é limitada. Por exemplo,
\[ -1\le a_n\le 2 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Resolução
Consideremos a sucessão
\[ a_n=(-1)^n+\frac{1}{n+1}. \]
Para todo \(n\in\mathbb{N}\), o termo \((-1)^n\) só pode tomar os valores \(1\) e \(-1\). Logo
\[ -1\le (-1)^n\le 1. \]
Além disso, como \(n+1\ge 1\), tem-se
\[ 0<\frac{1}{n+1}\le 1. \]
Desta desigualdade resulta, em particular, que
\[ 0\le \frac{1}{n+1}\le 1. \]
Somemos agora as duas estimativas:
\[ -1\le (-1)^n\le 1 \]
e
\[ 0\le \frac{1}{n+1}\le 1. \]
Somando membro a membro, obtemos
\[ -1+0\le (-1)^n+\frac{1}{n+1}\le 1+1. \]
Logo
\[ -1\le (-1)^n+\frac{1}{n+1}\le 2. \]
Como
\[ a_n=(-1)^n+\frac{1}{n+1}, \]
resulta que
\[ -1\le a_n\le 2 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Portanto, \(-1\) é um minorante e \(2\) é um majorante da sucessão. A sucessão é, portanto, limitada.
Exercício 19 — nível ★★★☆☆
Determinar se a sucessão
\[ a_n=\frac{(-1)^n n^2+n}{n^2+1} \]
é limitada.
Resultado
A sucessão é limitada. Por exemplo,
\[ |a_n|\le 2 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Resolução
Consideremos a sucessão
\[ a_n=\frac{(-1)^n n^2+n}{n^2+1}. \]
Para demonstrar que a sucessão é limitada, estimamos o valor absoluto:
\[ |a_n| = \left|\frac{(-1)^n n^2+n}{n^2+1}\right|. \]
Como \(n^2+1>0\), podemos escrever
\[ |a_n| = \frac{|(-1)^n n^2+n|}{n^2+1}. \]
Utilizemos agora a desigualdade triangular:
\[ |x+y|\le |x|+|y|. \]
No nosso caso,
\[ |(-1)^n n^2+n| \le |(-1)^n n^2|+|n|. \]
Como
\[ |(-1)^n|=1 \]
e \(n\ge 0\), obtemos
\[ |(-1)^n n^2|=n^2 \qquad \text{e} \qquad |n|=n. \]
Logo
\[ |(-1)^n n^2+n|\le n^2+n. \]
Consequentemente
\[ |a_n| \le \frac{n^2+n}{n^2+1}. \]
Pretendemos agora majorar esta fração. Uma vez que \(n\in\mathbb{N}\), para todo \(n\) tem-se
\[ n\le n^2+1. \]
Com efeito, esta desigualdade equivale a
\[ n^2-n+1\ge 0, \]
e é verdadeira para todo \(n\in\mathbb{N}\). Por exemplo, se \(n=0\) é imediata, ao passo que se \(n\ge 1\) então \(n^2\ge n\), donde \(n^2+1\ge n\).
De \(n\le n^2+1\) resulta que
\[ n^2+n\le n^2+(n^2+1)=2n^2+1. \]
Como
\[ 2n^2+1\le 2n^2+2=2(n^2+1), \]
obtemos
\[ n^2+n\le 2(n^2+1). \]
Dividindo por \(n^2+1>0\), resulta que
\[ \frac{n^2+n}{n^2+1}\le 2. \]
Por conseguinte
\[ |a_n|\le 2. \]
Como existe \(K>0\), por exemplo \(K=2\), tal que
\[ |a_n|\le K \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\), a sucessão é limitada.
Exercício 20 — nível ★★★☆☆
Determinar se a sucessão
\[ a_n=(-1)^n n+\frac{1}{n+1} \]
é limitada superiormente, limitada inferiormente e limitada.
Resultado
A sucessão não é limitada superiormente nem limitada inferiormente. Logo, não é limitada.
Resolução
Consideremos a sucessão
\[ a_n=(-1)^n n+\frac{1}{n+1}. \]
O termo principal é \((-1)^n n\), que toma valores positivos cada vez maiores nos índices pares e valores cada vez mais negativos nos índices ímpares. O termo
\[ \frac{1}{n+1} \]
é, por outro lado, sempre positivo e está compreendido entre \(0\) e \(1\). Mostremos de modo rigoroso que a sucessão não é limitada nem superiormente nem inferiormente.
Estudemos primeiro a limitação superior. Seja \(M\in\mathbb{R}\). Pretendemos encontrar um índice \(n\in\mathbb{N}\) tal que
\[ a_n>M. \]
Escolhemos um índice par \(n=2q\). Então
\[ (-1)^n=(-1)^{2q}=1. \]
Para tais índices, a sucessão torna-se
\[ a_{2q}=2q+\frac{1}{2q+1}. \]
Como
\[ \frac{1}{2q+1}>0, \]
resulta que
\[ a_{2q}=2q+\frac{1}{2q+1}>2q. \]
Escolhemos agora \(q\in\mathbb{N}\) suficientemente grande de modo que
\[ 2q>M. \]
Então
\[ a_{2q}>2q>M. \]
Provámos que, qualquer que seja \(M\in\mathbb{R}\), existe um termo da sucessão maior que \(M\). Logo, a sucessão não é limitada superiormente.
Estudemos agora a limitação inferior. Seja \(m\in\mathbb{R}\). Pretendemos encontrar um índice \(n\in\mathbb{N}\) tal que
\[ a_n<m. \]
Escolhemos um índice ímpar \(n=2q+1\). Então
\[ (-1)^n=(-1)^{2q+1}=-1. \]
Para tais índices, a sucessão torna-se
\[ a_{2q+1}=-(2q+1)+\frac{1}{2q+2}. \]
Como
\[ 0<\frac{1}{2q+2}\le 1, \]
obtemos
\[ a_{2q+1} = -(2q+1)+\frac{1}{2q+2} \le -(2q+1)+1. \]
Logo
\[ a_{2q+1}\le -2q. \]
Escolhemos agora \(q\in\mathbb{N}\) suficientemente grande de modo que
\[ -2q<m. \]
Esta escolha é possível porque \(-2q\) tende para \(-\infty\) à medida que \(q\) aumenta.
Para tal escolha de \(q\), temos
\[ a_{2q+1}\le -2q<m. \]
Provámos que, qualquer que seja \(m\in\mathbb{R}\), existe um termo da sucessão menor que \(m\). Logo, a sucessão não é limitada inferiormente.
Uma vez que a sucessão não é limitada superiormente nem limitada inferiormente, não é limitada.