Limites de Funções: Definição, Propriedades e Cálculo

O que é o limite de uma função

O limite de uma função descreve o comportamento dos valores \(f(x)\) quando a variável \(x\) se aproxima de um determinado valor, ou quando \(x\) assume valores cada vez maiores em valor absoluto.

Por exemplo, escrever

\[ \lim_{x \to x_0} f(x)=L \]

significa que, à medida que \(x\) se aproxima de \(x_0\), os valores da função \(f(x)\) se aproximam do número real \(L\).

O aspeto importante é que não se está necessariamente a estudar o valor da função no ponto \(x_0\), mas sim o seu comportamento nos pontos próximos de \(x_0\). Por essa razão, o limite pode existir mesmo quando a função não está definida em \(x_0\), ou quando \(f(x_0)\) existe mas é diferente do limite.

Por outras palavras, o limite diz respeito ao que acontece ao aproximarmo-nos do ponto, e não ao que acontece exatamente no ponto. É isso que distingue o conceito de limite do simples cálculo do valor \(f(x_0)\).

A mesma ideia aplica-se quando a variável não tende para um número real, mas para o infinito. Escrever

\[ \lim_{x \to +\infty} f(x)=L \]

significa que os valores \(f(x)\) se aproximam de \(L\) quando \(x\) assume valores positivos cada vez maiores.

O conceito de limite permite, assim, estudar o comportamento local de uma função na vizinhança de um ponto, bem como o seu comportamento global para valores muito grandes da variável. Dele dependem noções fundamentais da análise, como a continuidade, as assíntotas e o cálculo diferencial.

Pontos de acumulação e o significado de \(x \to x_0\)

Antes de apresentar uma definição rigorosa de limite, é necessário esclarecer o que significa afirmar que \(x\) tende para um ponto \(x_0\).

Seja \(f:A\to\mathbb{R}\) uma função real de variável real, definida num conjunto \(A\subseteq\mathbb{R}\). Quando escrevemos

\[ x \to x_0 \]

não estamos a dizer que \(x\) é igual a \(x_0\), mas sim que \(x\) assume valores do domínio \(A\) arbitrariamente próximos de \(x_0\) e distintos de \(x_0\).

Para que esta ideia faça sentido, o ponto \(x_0\) deve ser um ponto de acumulação do domínio da função. Isto significa que em qualquer vizinhança de \(x_0\) existe pelo menos um ponto de \(A\) distinto de \(x_0\).

De modo equivalente, \(x_0\) é um ponto de acumulação de \(A\) se, para todo \(\delta >0\), existir pelo menos um ponto \(x\in A\), com \(x\neq x_0\), tal que

\[ |x-x_0|<\delta. \]

A condição \(x\neq x_0\) é essencial: no estudo do limite interessa o comportamento da função nos pontos próximos de \(x_0\), não necessariamente o valor da função no próprio ponto \(x_0\).

Por essa razão, \(x_0\) pode até não pertencer ao domínio \(A\). Se, no entanto, existirem pontos de \(A\) arbitrariamente próximos de \(x_0\), então faz sentido estudar o limite de \(f(x)\) quando \(x\to x_0\).

Pelo contrário, se \(x_0\) for um ponto isolado do domínio, não existem pontos do domínio arbitrariamente próximos de \(x_0\) e distintos dele. Nesse caso, o limite quando \(x\to x_0\) não descreve um verdadeiro comportamento de aproximação da função.

Em síntese, a expressão \(x\to x_0\) deve ser sempre interpretada em relação ao domínio da função: a variável \(x\) aproxima-se de \(x_0\) assumindo valores para os quais \(f(x)\) está definida.

Limite finito quando \(x\) tende para um ponto finito

Consideremos uma função \(f:A\to\mathbb{R}\), com \(A\subseteq\mathbb{R}\), e seja \(x_0\in\mathbb{R}\) um ponto de acumulação de \(A\).

Dizer que \(f(x)\) tende para o número real \(L\) quando \(x\) tende para \(x_0\) significa que os valores \(f(x)\) podem tornar-se arbitrariamente próximos de \(L\), desde que \(x\) esteja suficientemente próximo de \(x_0\), com \(x\neq x_0\).

Em símbolos, escreve-se:

\[ \lim_{x\to x_0} f(x)=L. \]

A definição rigorosa é a seguinte:

\[ \lim_{x\to x_0} f(x)=L \]

se e somente se, para todo \(\varepsilon >0\), existir um \(\delta >0\) tal que, para todo \(x\in A\),

\[ 0<|x-x_0|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon. \]

O número \(\varepsilon\) mede a proximidade que exigimos entre \(f(x)\) e \(L\). A definição exige que essa proximidade possa ser obtida para qualquer escolha de \(\varepsilon >0\), por menor que seja.

O número \(\delta\), por sua vez, mede o quão próximo \(x\) deve estar de \(x_0\) para que \(f(x)\) fique próximo de \(L\). Em geral, \(\delta\) pode depender de \(\varepsilon\): quanto menor for a tolerância exigida sobre os valores de \(f(x)\), mais poderá ser necessário estreitar a vizinhança de \(x_0\).

A condição

\[ 0<|x-x_0|<\delta \]

indica que \(x\) pertence a uma vizinhança de \(x_0\), mas é distinto de \(x_0\). Por essa razão, o valor \(f(x_0)\), caso exista, não intervém na definição de limite.

Em consequência, o limite pode existir mesmo que a função não esteja definida em \(x_0\). Pode ainda acontecer que \(f(x_0)\) esteja definido, mas seja diferente do limite. Em ambos os casos, o limite descreve o comportamento da função nos pontos próximos de \(x_0\), não necessariamente o valor assumido no próprio ponto \(x_0\).

Consideremos, por exemplo, a função

\[ f(x)=\frac{x^2-1}{x-1} \]

que não está definida para \(x=1\). No entanto, para \(x\neq 1\), podemos simplificar:

\[ \frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1. \]

Assim, quando \(x\) se aproxima de \(1\), os valores da função aproximam-se de \(2\). Escrevemos, portanto:

\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}=2. \]

Este exemplo mostra por que, no estudo dos limites, é fundamental distinguir o comportamento da função na proximidade de um ponto do valor que a função assume nesse mesmo ponto.

Limite infinito quando \(x\) tende para um ponto finito

Consideremos uma função \(f:A\to\mathbb{R}\), com \(A\subseteq\mathbb{R}\), e seja \(x_0\in\mathbb{R}\) um ponto de acumulação de \(A\).

Pode acontecer que, quando \(x\) se aproxima de \(x_0\), os valores \(f(x)\) não se aproximem de um número real, mas se tornem cada vez maiores em valor absoluto. Neste caso, fala-se em limite infinito.

Escrever

\[ \lim_{x\to x_0} f(x)=+\infty \]

significa que os valores da função ultrapassam qualquer número positivo previamente fixado, desde que \(x\) esteja suficientemente próximo de \(x_0\), com \(x\neq x_0\).

A definição rigorosa é a seguinte:

\[ \lim_{x\to x_0} f(x)=+\infty \]

se e somente se, para todo \(M>0\), existir um \(\delta>0\) tal que, para todo \(x\in A\),

\[ 0<|x-x_0|<\delta \implies f(x)>M. \]

De modo análogo, escrever

\[ \lim_{x\to x_0} f(x)=-\infty \]

significa que os valores da função ficam abaixo de qualquer número negativo, por maior que seja em valor absoluto, desde que \(x\) esteja suficientemente próximo de \(x_0\), com \(x\neq x_0\).

Formalmente:

\[ \lim_{x\to x_0} f(x)=-\infty \]

se e somente se, para todo \(M>0\), existir um \(\delta>0\) tal que, para todo \(x\in A\),

\[ 0<|x-x_0|<\delta \implies f(x)<-M. \]

É importante observar que \(+\infty\) e \(-\infty\) não são números reais. Dizer que uma função tende para \(+\infty\) ou para \(-\infty\) não significa, portanto, que a função se aproxime de um valor numérico, mas sim que os seus valores crescem ou decrescem sem limite.

Consideremos, por exemplo, a função

\[ f(x)=\frac{1}{(x-1)^2}. \]

Ela não está definida para \(x=1\). No entanto, quando \(x\) se aproxima de \(1\), o denominador \((x-1)^2\) torna-se positivo e cada vez mais próximo de \(0\). Consequentemente, o quociente torna-se positivo e arbitrariamente grande.

Assim:

\[ \lim_{x\to 1}\frac{1}{(x-1)^2}=+\infty. \]

Analogamente, para a função

\[ g(x)=-\frac{1}{(x-1)^2} \]

tem-se:

\[ \lim_{x\to 1}\left(-\frac{1}{(x-1)^2}\right)=-\infty. \]

Os limites infinitos estão intimamente relacionados com as assíntotas verticais. Se uma função tende para \(+\infty\) ou para \(-\infty\) quando \(x\) tende para \(x_0\), então a reta vertical \(x=x_0\) é uma assíntota vertical do gráfico da função.

Limite finito quando \(x\) tende para o infinito

Até agora considerámos o comportamento de uma função quando \(x\) se aproxima de um ponto finito \(x_0\). Podemos, no entanto, estudar também o que acontece quando \(x\) assume valores cada vez maiores, ou cada vez menores.

Consideremos uma função \(f:A\to\mathbb{R}\), com \(A\subseteq\mathbb{R}\). Para estudar o limite quando \(x\to+\infty\), é necessário que o domínio \(A\) contenha valores arbitrariamente grandes. Por outras palavras, para todo número real \(R\) deve existir pelo menos um \(x\in A\) tal que \(x>R\).

Escrever

\[ \lim_{x\to+\infty} f(x)=L \]

significa que os valores \(f(x)\) se aproximam do número real \(L\) quando \(x\) se torna cada vez maior.

A definição rigorosa é a seguinte:

\[ \lim_{x\to+\infty} f(x)=L \]

se e somente se, para todo \(\varepsilon>0\), existir um número real \(R\) tal que, para todo \(x\in A\),

\[ x>R \implies |f(x)-L|<\varepsilon. \]

O significado é análogo ao da definição com \(\varepsilon\) e \(\delta\): o número \(\varepsilon\) fixa a proximidade que exigimos entre \(f(x)\) e \(L\), ao passo que o número \(R\) indica a partir de que ponto essa proximidade fica garantida.

De modo semelhante, para estudar o limite quando \(x\to-\infty\), o domínio \(A\) deve conter valores arbitrariamente pequenos. Escrever

\[ \lim_{x\to-\infty} f(x)=L \]

significa que os valores \(f(x)\) se aproximam do número real \(L\) quando \(x\) se torna cada vez menor.

Formalmente:

\[ \lim_{x\to-\infty} f(x)=L \]

se e somente se, para todo \(\varepsilon>0\), existir um número real \(R\) tal que, para todo \(x\in A\),

\[ x<R \implies |f(x)-L|<\varepsilon. \]

Nesta definição, \(R\) é escolhido de modo que, para valores de \(x\) menores do que \(R\), a função assuma valores próximos de \(L\).

Consideremos, por exemplo, a função

\[ f(x)=\frac{1}{x}. \]

Quando \(x\) assume valores positivos cada vez maiores, o quociente \(\displaystyle \frac{1}{x}\) torna-se cada vez mais próximo de \(0\). Assim:

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0. \]

O mesmo acontece quando \(x\) assume valores negativos cada vez menores: também neste caso o valor absoluto de \(\displaystyle \frac{1}{x}\) se torna cada vez mais pequeno. Assim:

\[ \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0. \]

Um limite finito quando \(x\to+\infty\) ou quando \(x\to-\infty\) exprime, portanto, o facto de que, ao afastarmo-nos indefinidamente ao longo do eixo real, a função se aproxima de um valor real determinado. Este comportamento está na base da noção de assíntota horizontal.

Limite infinito quando \(x\) tende para o infinito

Podemos, por último, considerar o caso em que a variável \(x\) tende para o infinito e, simultaneamente, também os valores da função se tornam arbitrariamente grandes ou arbitrariamente pequenos.

Consideremos uma função \(f:A\to\mathbb{R}\), com \(A\subseteq\mathbb{R}\), e suponhamos que o domínio \(A\) contém valores arbitrariamente grandes.

Escrever

\[ \lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty \]

significa que os valores da função ultrapassam qualquer número positivo previamente fixado, desde que \(x\) seja suficientemente grande.

A definição rigorosa é a seguinte:

\[ \lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty \]

se e somente se, para todo \(M>0\), existir um número real \(R\) tal que, para todo \(x\in A\),

\[ x>R \implies f(x)>M. \]

De modo análogo, escrever

\[ \lim_{x\to+\infty} f(x)=-\infty \]

significa que os valores da função ficam abaixo de qualquer número negativo, por maior que seja em valor absoluto, desde que \(x\) seja suficientemente grande.

Formalmente:

\[ \lim_{x\to+\infty} f(x)=-\infty \]

se e somente se, para todo \(M>0\), existir um número real \(R\) tal que, para todo \(x\in A\),

\[ x>R \implies f(x)<-M. \]

As definições para \(x\to-\infty\) são análogas. Se o domínio \(A\) contém valores arbitrariamente pequenos, então

\[ \lim_{x\to-\infty} f(x)=+\infty \]

se e somente se, para todo \(M>0\), existir um número real \(R\) tal que, para todo \(x\in A\),

\[ x<R \implies f(x)>M. \]

De igual modo,

\[ \lim_{x\to-\infty} f(x)=-\infty \]

se e somente se, para todo \(M>0\), existir um número real \(R\) tal que, para todo \(x\in A\),

\[ x<R \implies f(x)<-M. \]

Por exemplo, para a função \(f(x)=x^2\) tem-se:

\[ \lim_{x\to+\infty}x^2=+\infty \]

e também

\[ \lim_{x\to-\infty}x^2=+\infty. \]

Com efeito, quando \(x\) se torna cada vez maior em valor absoluto, o quadrado \(x^2\) torna-se arbitrariamente grande.

Para a função \(g(x)=x^3\), pelo contrário, tem-se:

\[ \lim_{x\to+\infty}x^3=+\infty \]

ao passo que

\[ \lim_{x\to-\infty}x^3=-\infty. \]

Neste caso, o sinal dos valores da função depende do sinal de \(x\), porque a potência tem expoente ímpar.

Os limites infinitos quando \(x\to+\infty\) ou quando \(x\to-\infty\) descrevem, assim, funções que não se aproximam de um valor real finito, mas que crescem ou decrescem sem limite ao longo de uma direção do eixo real.

Limite à direita e limite à esquerda

Ao estudar o limite de uma função quando \(x\to x_0\), a variável \(x\) pode aproximar-se de \(x_0\) a partir de duas direções distintas: pela direita ou pela esquerda.

Dizer que \(x\) tende para \(x_0\) pela direita significa que \(x\) se aproxima de \(x_0\) assumindo valores maiores do que \(x_0\). Em símbolos, escreve-se:

\[ x\to x_0^+. \]

Dizer, por sua vez, que \(x\) tende para \(x_0\) pela esquerda significa que \(x\) se aproxima de \(x_0\) assumindo valores menores do que \(x_0\). Em símbolos, escreve-se:

\[ x\to x_0^-. \]

Consideremos uma função \(f:A\to\mathbb{R}\), com \(A\subseteq\mathbb{R}\). Para estudar o limite à direita em \(x_0\), é necessário que existam pontos do domínio \(A\) arbitrariamente próximos de \(x_0\) e maiores do que \(x_0\).

Escrever

\[ \lim_{x\to x_0^+} f(x)=L \]

significa que os valores \(f(x)\) se aproximam de \(L\) quando \(x\) se aproxima de \(x_0\) assumindo valores maiores do que \(x_0\).

Formalmente:

\[ \lim_{x\to x_0^+} f(x)=L \]

se e somente se, para todo \(\varepsilon>0\), existir um \(\delta>0\) tal que, para todo \(x\in A\),

\[ 0<x-x_0<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon. \]

De modo análogo, para estudar o limite à esquerda em \(x_0\), é necessário que existam pontos do domínio \(A\) arbitrariamente próximos de \(x_0\) e menores do que \(x_0\).

Escrever

\[ \lim_{x\to x_0^-} f(x)=L \]

significa que os valores \(f(x)\) se aproximam de \(L\) quando \(x\) se aproxima de \(x_0\) assumindo valores menores do que \(x_0\).

Formalmente:

\[ \lim_{x\to x_0^-} f(x)=L \]

se e somente se, para todo \(\varepsilon>0\), existir um \(\delta>0\) tal que, para todo \(x\in A\),

\[ 0<x_0-x<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon. \]

As condições \(0<x-x_0<\delta\) e \(0<x_0-x<\delta\) indicam, respetivamente, que \(x\) pertence a uma vizinhança à direita ou à esquerda de \(x_0\), excluindo o próprio ponto \(x_0\).

Quando \(x_0\) é ponto de acumulação do domínio tanto pela esquerda como pela direita, o limite quando \(x\to x_0\) existe se e somente se existirem o limite à direita e o limite à esquerda e ambos forem iguais. Nesse caso, o seu valor comum é o limite da função em \(x_0\).

Em símbolos:

\[ \lim_{x\to x_0} f(x)=L \]

se e somente se

\[ \lim_{x\to x_0^-} f(x)=L \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0^+} f(x)=L. \]

Se, pelo contrário, o limite à direita e o limite à esquerda existirem mas forem diferentes, então o limite da função quando \(x\to x_0\) não existe.

Consideremos, por exemplo, a função

\[ f(x)=\frac{|x|}{x}. \]

Para \(x>0\) tem-se \(|x|=x\), logo \(f(x)=1\). Para \(x<0\), por sua vez, tem-se \(|x|=-x\), logo \(f(x)=-1\). Assim:

\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{|x|}{x}=1 \]

ao passo que

\[ \lim_{x\to 0^-}\frac{|x|}{x}=-1. \]

Uma vez que o limite à direita e o limite à esquerda são diferentes, o limite

\[ \lim_{x\to 0}\frac{|x|}{x} \]

não existe.

Unicidade do limite

Uma função não pode ter dois limites diferentes no mesmo ponto, ou para o mesmo modo de convergência. Este facto é expresso pelo seguinte teorema.

Teorema (unicidade do limite). Seja \(f:A\to\mathbb{R}\), com \(A\subseteq\mathbb{R}\), e seja \(x_0\) um ponto de acumulação de \(A\). Se existirem os limites

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0}f(x)=M, \]

então necessariamente

\[ L=M. \]

Demonstração. Suponhamos, por redução ao absurdo, que \(L\neq M\). Sem perda de generalidade, podemos supor que \(L<M\).

Escolhamos

\[ \varepsilon=\frac{M-L}{2}. \]

Uma vez que

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L, \]

existe \(\delta_1>0\) tal que

\[ 0<|x-x_0|<\delta_1 \implies |f(x)-L|<\varepsilon. \]

Analogamente, uma vez que

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=M, \]

existe \(\delta_2>0\) tal que

\[ 0<|x-x_0|<\delta_2 \implies |f(x)-M|<\varepsilon. \]

Seja

\[ \delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}. \]

Como \(x_0\) é um ponto de acumulação de \(A\), existe pelo menos um \(x\in A\) tal que

\[ 0<|x-x_0|<\delta. \]

Para esse \(x\), verificam-se simultaneamente as duas desigualdades:

\[ |f(x)-L|<\varepsilon \qquad\text{e}\qquad |f(x)-M|<\varepsilon. \]

Da primeira decorre

\[ L-\varepsilon<f(x)<L+\varepsilon, \]

enquanto da segunda obtemos

\[ M-\varepsilon<f(x)<M+\varepsilon. \]

Substituindo \(\varepsilon=\displaystyle\frac{M-L}{2}\), resulta

\[ L+\varepsilon = L+\frac{M-L}{2} = \frac{L+M}{2}, \]

e analogamente

\[ M-\varepsilon = M-\frac{M-L}{2} = \frac{L+M}{2}. \]

Consequentemente,

\[ f(x)<\frac{L+M}{2} \qquad\text{e}\qquad f(x)>\frac{L+M}{2}, \]

o que é impossível.

A hipótese \(L\neq M\) conduz, pois, a uma contradição. Segue-se que, necessariamente,

\[ L=M. \]

Observação

O teorema garante que, quando um limite existe, ele é único. Se, pelo contrário, o limite à direita e o limite à esquerda forem diferentes, o limite não existe, como se viu na secção anterior.

Teorema da permanência do sinal

O teorema da permanência do sinal afirma que, se uma função tende para um limite positivo, então ela é positiva numa vizinhança suficientemente pequena do ponto considerado. Analogamente, se tende para um limite negativo, então é negativa numa vizinhança suficientemente pequena.

Este resultado é importante porque permite transferir, pelo menos localmente, o sinal do limite para os valores da função.

Teorema. Seja \(f:A\to\mathbb{R}\) uma função e seja \(x_0\) um ponto de acumulação de \(A\). Suponhamos que

\[ \lim_{x\to x_0} f(x)=L. \]

Se \(L>0\), então existe um \(\delta>0\) tal que, para todo \(x\in A\),

\[ 0<|x-x_0|<\delta \implies f(x)>0. \]

Se, pelo contrário, \(L<0\), então existe um \(\delta>0\) tal que, para todo \(x\in A\),

\[ 0<|x-x_0|<\delta \implies f(x)<0. \]

Demonstração no caso \(L>0\)

Suponhamos que \(L>0\). Uma vez que

\[ \lim_{x\to x_0} f(x)=L, \]

podemos aplicar a definição de limite escolhendo

\[ \varepsilon=\frac{L}{2}. \]

Uma vez que \(L>0\), tem-se \(\varepsilon>0\). Existe, portanto, um \(\delta>0\) tal que, para todo \(x\in A\),

\[ 0<|x-x_0|<\delta \implies |f(x)-L|<\frac{L}{2}. \]

Da desigualdade

\[ |f(x)-L|<\frac{L}{2} \]

decorre, em particular,

\[ -\frac{L}{2}<f(x)-L<\frac{L}{2}. \]

Somando \(L\) aos três membros, obtemos

\[ \frac{L}{2}<f(x)<\frac{3L}{2}. \]

Em particular, uma vez que \(L>0\), resulta

\[ f(x)>0. \]

Assim, \(f(x)\) é positiva em todos os pontos do domínio suficientemente próximos de \(x_0\), com a possível exceção do próprio \(x_0\).

Caso \(L<0\)

O caso \(L<0\) demonstra-se de modo análogo. Escolhe-se

\[ \varepsilon=-\frac{L}{2}, \]

que é positivo porque \(L<0\). A partir da definição de limite, obtém-se, para \(x\) suficientemente próximo de \(x_0\),

\[ |f(x)-L|<-\frac{L}{2}. \]

Esta desigualdade implica que \(f(x)\) permanece próximo do número negativo \(L\). Mais precisamente, obtém-se

\[ \frac{3L}{2}<f(x)<\frac{L}{2}. \]

Uma vez que \(L<0\), também \(\frac{L}{2}\) é negativo. Consequentemente,

\[ f(x)<0. \]

Observações

O teorema não afirma que a função tenha o mesmo sinal do limite em todo o seu domínio, mas apenas numa vizinhança suficientemente pequena do ponto para o qual tende a variável.

Além disso, se o limite for igual a zero, não se pode deduzir nenhuma permanência do sinal. Uma função pode tender para \(0\) assumindo valores positivos, valores negativos, ou valores de sinal alternado.

As mesmas ideias são válidas também para os limites quando \(x\to+\infty\) e quando \(x\to-\infty\): se o limite for positivo, a função é positiva a partir de certo ponto; se o limite for negativo, a função é negativa a partir de certo ponto.

Teorema do confronto (teorema da compressão)

O teorema do confronto, também conhecido como teorema da compressão ou teorema do enquadramento, permite determinar o limite de uma função comparando-a com outras duas funções cujo limite já se conhece.

A ideia é simples: se uma função \(g(x)\) está compreendida entre duas funções \(f(x)\) e \(h(x)\), e se \(f(x)\) e \(h(x)\) tendem para o mesmo limite \(L\), então \(g(x)\) também deve tender para \(L\).

Teorema. Sejam \(f,g,h:A\to\mathbb{R}\) três funções e seja \(x_0\) um ponto de acumulação de \(A\). Suponhamos que existe uma vizinhança perfurada de \(x_0\) na qual se verifica

\[ f(x)\leq g(x)\leq h(x). \]

Suponhamos ainda que

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0}h(x)=L. \]

Então também existe o limite de \(g(x)\) quando \(x\to x_0\), e tem-se

\[ \lim_{x\to x_0}g(x)=L. \]

Demonstração. Fixemos um número \(\varepsilon>0\). Uma vez que

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L, \]

existe um número \(\delta_1>0\) tal que, para todo \(x\in A\),

\[ 0<|x-x_0|<\delta_1 \implies |f(x)-L|<\varepsilon. \]

Desta desigualdade decorre, em particular,

\[ L-\varepsilon<f(x)<L+\varepsilon. \]

Uma vez que

\[ \lim_{x\to x_0}h(x)=L, \]

existe um número \(\delta_2>0\) tal que, para todo \(x\in A\),

\[ 0<|x-x_0|<\delta_2 \implies |h(x)-L|<\varepsilon. \]

Desta desigualdade decorre, em particular,

\[ L-\varepsilon<h(x)<L+\varepsilon. \]

Por hipótese, existe ainda um número \(\delta_0>0\) tal que, para todo \(x\in A\),

\[ 0<|x-x_0|<\delta_0 \implies f(x)\leq g(x)\leq h(x). \]

Seja

\[ \delta=\min\{\delta_0,\delta_1,\delta_2\}. \]

Se \(x\in A\) e \(0<|x-x_0|<\delta\), então verificam-se simultaneamente

\[ L-\varepsilon<f(x), \qquad f(x)\leq g(x)\leq h(x), \qquad h(x)<L+\varepsilon. \]

Consequentemente,

\[ L-\varepsilon<g(x)<L+\varepsilon. \]

Isto equivale a dizer que

\[ |g(x)-L|<\varepsilon. \]

Demonstrámos, assim, que para todo \(\varepsilon>0\) existe um \(\delta>0\) tal que

\[ 0<|x-x_0|<\delta \implies |g(x)-L|<\varepsilon. \]

Por definição de limite, segue-se que

\[ \lim_{x\to x_0}g(x)=L. \]

Exemplo. Consideremos o limite

\[ \lim_{x\to 0}x^2\sin\frac{1}{x}. \]

A função \(\displaystyle \sin\frac{1}{x}\) não admite limite quando \(x\to 0\), pois oscila indefinidamente. No entanto, sabemos que, para todo \(x\neq 0\),

\[ -1\leq \sin\frac{1}{x}\leq 1. \]

Multiplicando todos os membros por \(x^2\), que é não negativo, obtemos

\[ -x^2\leq x^2\sin\frac{1}{x}\leq x^2. \]

Uma vez que

\[ \lim_{x\to 0}(-x^2)=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 0}x^2=0, \]

pelo teorema do confronto conclui-se que

\[ \lim_{x\to 0}x^2\sin\frac{1}{x}=0. \]

Confronto com limites infinitos

O teorema do confronto tem também versões úteis para os limites infinitos.

Se, numa vizinhança perfurada de \(x_0\), se verifica

\[ f(x)\leq g(x) \]

e

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty, \]

então

\[ \lim_{x\to x_0}g(x)=+\infty. \]

Com efeito, se \(f(x)\) ultrapassa qualquer número \(M>0\), então \(g(x)\), sendo maior ou igual a \(f(x)\), também ultrapassa \(M\).

Analogamente, se, numa vizinhança perfurada de \(x_0\), se verifica

\[ g(x)\leq h(x) \]

e

\[ \lim_{x\to x_0}h(x)=-\infty, \]

então

\[ \lim_{x\to x_0}g(x)=-\infty. \]

Estas versões exprimem o mesmo princípio: uma função obrigada, localmente, a permanecer acima de uma quantidade que tende para \(+\infty\) tende também para \(+\infty\); uma função obrigada a permanecer abaixo de uma quantidade que tende para \(-\infty\) tende também para \(-\infty\).

Observações

A comparação deve verificar-se numa vizinhança do ponto considerado, com a possível exceção do próprio ponto. Não é necessário que as desigualdades sejam válidas em todo o domínio da função.

O teorema do confronto é particularmente útil quando a função cujo limite se pretende calcular contém um fator oscilante mas limitado, como acontece com as funções seno e cosseno.

Operações com limites

As operações com limites permitem calcular o limite de funções obtidas por meio de somas, produtos, quocientes e potências, a partir de limites já conhecidos.

Consideremos duas funções \(f,g:A\to\mathbb{R}\), com \(A\subseteq\mathbb{R}\), e seja \(x_0\) um ponto de acumulação de \(A\). Suponhamos que existem dois limites finitos:

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=M. \]

Então verificam-se as seguintes propriedades.

Limite da soma

O limite da soma é igual à soma dos limites:

\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=L+M. \]

De modo análogo,

\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)=L-M. \]

Limite do produto

O limite do produto é igual ao produto dos limites:

\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)g(x)\bigr)=LM. \]

Em particular, se \(c\in\mathbb{R}\), então

\[ \lim_{x\to x_0}cf(x)=cL. \]

Limite do quociente

Se \(M\neq 0\), então o limite do quociente é igual ao quociente dos limites:

\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}. \]

A condição \(M\neq 0\) é essencial. Com efeito, se o limite do denominador for diferente de zero, pelo teorema da permanência do sinal a função \(g(x)\) é diferente de zero numa vizinhança perfurada de \(x_0\). Nessa vizinhança, o quociente está, portanto, bem definido.

Limite da potência

Se \(n\in\mathbb{N}\), então

\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)\bigr)^n=L^n. \]

Esta propriedade decorre do limite do produto, aplicado repetidamente.

Limite da raiz

Para as raízes é preciso prestar atenção ao domínio. Se \(\sqrt[n]{f(x)}\) estiver definida numa vizinhança perfurada de \(x_0\), então, nos casos em que a raiz real está bem definida, verifica-se

\[ \lim_{x\to x_0}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{L}. \]

Em particular, para raízes de índice par é necessário que os valores considerados sejam não negativos e que o limite \(L\) seja também não negativo.

Exemplos

Calculemos o limite

\[ \lim_{x\to 2}(3x^2-5x+1). \]

Uma vez que as funções potência, soma e produto respeitam as regras anteriores, podemos substituir diretamente \(x=2\):

\[ \lim_{x\to 2}(3x^2-5x+1) = 3\cdot 2^2-5\cdot 2+1 = 12-10+1 = 3. \]

Consideremos agora o limite

\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^2+1}{x+2}. \]

O limite do denominador é \(3\), logo é diferente de zero. Podemos, assim, aplicar a regra do quociente:

\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^2+1}{x+2} = \frac{1^2+1}{1+2} = \frac{2}{3}. \]

Quando as regras não bastam

As regras anteriores são válidas diretamente quando as operações entre os limites produzem um resultado determinado. Não podem, no entanto, ser aplicadas de forma mecânica quando surgem expressões desprovidas de significado determinado.

Por exemplo, se

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=0, \]

não podemos concluir que

\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} \]

tenha um valor determinado. A expressão

\[ \frac{0}{0} \]

não representa um resultado, mas sim uma forma indeterminada.

Nestes casos, é necessário transformar a expressão, simplificá-la ou aplicar instrumentos mais específicos. As principais formas indeterminadas serão estudadas na secção seguinte.

As mesmas propriedades são válidas, com as devidas adaptações, também para os limites quando \(x\to+\infty\), quando \(x\to-\infty\), para o limite à direita e para o limite à esquerda.

Formas indeterminadas

No cálculo de limites, pode acontecer que a aplicação direta das regras sobre operações não permita determinar o resultado. Nestes casos, fala-se em formas indeterminadas.

Uma forma indeterminada não é um número nem um resultado. É uma situação em que a informação sobre os limites individuais não é suficiente para estabelecer o limite da expressão considerada.

Por exemplo, se

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=0, \]

não podemos deduzir diretamente o limite do quociente

\[ \frac{f(x)}{g(x)}. \]

Com efeito, consoante as funções envolvidas, o limite pode ser um número real, pode ser infinito ou pode não existir.

A forma indeterminada \(0/0\)

A forma

\[ \frac{0}{0} \]

surge quando o numerador e o denominador tendem ambos para zero.

Por exemplo:

\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}. \]

Substituindo formalmente \(x=1\), obtém-se a forma \(0/0\). No entanto, para \(x\neq 1\), podemos simplificar:

\[ \frac{x^2-1}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1. \]

Assim:

\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x\to 1}(x+1) = 2. \]

Isto mostra que a forma \(0/0\) não indica que o limite seja igual a zero, mas sim que é necessário transformar a expressão.

A forma indeterminada \(\infty/\infty\)

A forma

\[ \frac{\infty}{\infty} \]

surge quando o numerador e o denominador se tornam ambos arbitrariamente grandes em valor absoluto.

Por exemplo:

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2+1}{x^2-5}. \]

O numerador e o denominador tendem ambos para \(+\infty\). Para calcular o limite, podemos dividir o numerador e o denominador por \(x^2\):

\[ \frac{3x^2+1}{x^2-5} = \frac{3+\displaystyle\frac{1}{x^2}}{1-\displaystyle\frac{5}{x^2}}. \]

Uma vez que \(\displaystyle\frac{1}{x^2}\to 0\) e \(\displaystyle\frac{5}{x^2}\to 0\) quando \(x\to+\infty\), obtemos:

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2+1}{x^2-5}=3. \]

Também neste caso a escrita \(\infty/\infty\) não representa por si só um resultado: indica apenas que é necessária uma análise mais atenta da expressão.

A forma indeterminada \(\infty-\infty\)

A forma

\[ \infty-\infty \]

surge quando duas quantidades divergentes são subtraídas entre si. O resultado depende da rapidez com que ambas as quantidades crescem.

Por exemplo:

\[ \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right). \]

Ambos os termos tendem para \(+\infty\), pelo que surge uma forma \(\infty-\infty\). Para a resolver, racionalizamos:

\[ \sqrt{x^2+x}-x = \frac{(\sqrt{x^2+x}-x)(\sqrt{x^2+x}+x)}{\sqrt{x^2+x}+x} = \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}. \]

Quando \(x\to+\infty\), podemos dividir o numerador e o denominador por \(x\):

\[ \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x} = \frac{1}{\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{x}}+1}. \]

Assim:

\[ \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right) = \frac{1}{2}. \]

A forma indeterminada \(0\cdot\infty\)

A forma

\[ 0\cdot\infty \]

surge quando um fator tende para zero e o outro se torna arbitrariamente grande em valor absoluto.

Nestes casos, procura-se frequentemente transformar o produto num quociente, de modo a reduzir a expressão a uma forma \(0/0\) ou \(\infty/\infty\).

Por exemplo:

\[ \lim_{x\to 0^+}x\ln x. \]

Quando \(x\to 0^+\), tem-se \(x\to 0\) e \(\ln x\to-\infty\), pelo que surge uma forma \(0\cdot(-\infty)\). Podemos reescrever:

\[ x\ln x=\frac{\ln x}{\displaystyle\frac{1}{x}}. \]

Deste modo, o limite reduz-se a uma forma \(\infty/\infty\), que pode ser estudada com instrumentos adequados. Em particular, obtém-se:

\[ \lim_{x\to 0^+}x\ln x=0. \]

Formas indeterminadas exponenciais

Existem também formas indeterminadas que envolvem potências com base e expoente variáveis. As principais são:

\[ 1^\infty, \qquad 0^0, \qquad \infty^0. \]

Estas formas surgem no estudo de limites do tipo

\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)\bigr)^{g(x)}, \]

quando a base \(f(x)\) e o expoente \(g(x)\) variam simultaneamente. Nestes casos exige-se, pelo menos numa vizinhança perfurada do ponto considerado, que a base seja positiva, de modo a poder usar-se a escrita exponencial

\[ \bigl(f(x)\bigr)^{g(x)} = e^{g(x)\ln(f(x))}. \]

O estudo do limite reduz-se assim ao cálculo do limite do expoente \(g(x)\ln(f(x))\).

Lista das principais formas indeterminadas

As principais formas indeterminadas são:

\[ \frac{0}{0}, \qquad \frac{\infty}{\infty}, \qquad \infty-\infty, \qquad 0\cdot\infty, \qquad 1^\infty, \qquad 0^0, \qquad \infty^0. \]

Quando surge uma forma indeterminada, não se deve atribuir automaticamente um valor ao limite. É preciso, em vez disso, transformar a expressão, usar limites notáveis, aplicar comparações ou recorrer a outros instrumentos da análise.

Formas não indeterminadas

Nem toda a expressão que envolve zero ou infinito é indeterminada. Por exemplo, se \(L\in\mathbb{R}\), em muitos casos o quociente entre uma quantidade que tende para \(L\) e uma quantidade que tende para infinito tende para zero:

\[ \frac{L}{\infty}=0. \]

Esta escrita é apenas uma abreviatura intuitiva: o seu significado rigoroso é que o numerador tende para um número real finito, enquanto o denominador se torna arbitrariamente grande em valor absoluto.

Analogamente, expressões como \(L+\infty\), com \(L\in\mathbb{R}\), não são formas indeterminadas: o termo infinito domina o termo finito.

A distinção entre formas determinadas e indeterminadas é essencial, pois permite saber quando as regras sobre limites fornecem de imediato uma resposta e quando, pelo contrário, é necessário um trabalho adicional.

Limites notáveis

Os limites notáveis são limites fundamentais que ocorrem com frequência no estudo das funções. Permitem resolver muitas formas indeterminadas, sobretudo do tipo \(0/0\), reduzindo a expressão a limites já conhecidos.

Estes limites não devem ser aplicados de forma mecânica: é preciso verificar sempre que a variável ou a expressão considerada tende para o valor exigido, e que as funções envolvidas estão definidas numa vizinhança perfurada do ponto considerado.

O limite notável do seno

Um dos limites notáveis mais importantes é

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1. \]

Este limite é válido quando o ângulo \(x\) é medido em radianos. Afirma que, para valores de \(x\) próximos de \(0\), o seno de \(x\) se comporta como \(x\).

De modo equivalente, quando \(x\to 0\) podemos escrever informalmente:

\[ \sin x \sim x. \]

A escrita \(\sin x \sim x\) significa que o quociente entre \(\sin x\) e \(x\) tende para \(1\).

O limite notável do cosseno

Outro limite fundamental é

\[ \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}. \]

Descreve o comportamento de \(1-\cos x\) na proximidade de \(0\). Em particular, quando \(x\to 0\), tem-se

\[ 1-\cos x \sim \frac{x^2}{2}. \]

Este limite é frequentemente útil quando surgem expressões trigonométricas em forma indeterminada.

O limite notável da tangente

A partir do limite notável do seno e da continuidade do cosseno em \(0\), obtém-se:

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1. \]

Com efeito,

\[ \frac{\tan x}{x} = \frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1}{\cos x}. \]

Uma vez que \(\displaystyle\frac{\sin x}{x}\to 1\) e \(\cos x\to 1\), segue-se que \(\displaystyle\frac{\tan x}{x}\to 1\).

O limite notável exponencial

Um limite fundamental relacionado com o número \(e\) é

\[ \lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e. \]

Nesta escrita considera-se \(x\) suficientemente próximo de \(0\), com \(x\neq 0\), e tal que \(1+x>0\).

Uma forma equivalente do mesmo limite é

\[ \lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e. \]

Estes limites estão na base de muitas transformações que envolvem expressões do tipo \(1^\infty\).

O limite notável do logaritmo

Para o logaritmo natural verifica-se o limite notável

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1. \]

A função está definida para \(1+x>0\), ou seja, para \(x>-1\). O limite afirma que, quando \(x\to 0\), o logaritmo \(\ln(1+x)\) se comporta como \(x\):

\[ \ln(1+x)\sim x. \]

De modo mais geral, se \(u(x)\to 0\) e \(1+u(x)>0\) numa vizinhança perfurada do ponto considerado, então

\[ \frac{\ln(1+u(x))}{u(x)}\to 1 \]

no mesmo processo de limite.

O limite notável da exponencial

Para a função exponencial natural verifica-se

\[ \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1. \]

Este limite afirma que, na proximidade de \(0\), a quantidade \(e^x-1\) se comporta como \(x\):

\[ e^x-1\sim x. \]

De modo mais geral, se \(a>0\), então

\[ \lim_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a. \]

Com efeito, \(a^x=e^{x\ln a}\), pelo que o comportamento de \(a^x-1\) na proximidade de \(0\) depende do fator \(\ln a\).

O limite notável das potências

Se \(\alpha\in\mathbb{R}\), verifica-se o limite

\[ \lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^\alpha-1}{x}=\alpha. \]

Também neste caso é preciso considerar \(x\) numa vizinhança de \(0\) na qual a potência real \((1+x)^\alpha\) esteja definida. Em particular, basta exigir \(1+x>0\).

Este limite é muito útil quando surgem raízes ou potências com expoente real. Por exemplo, escolhendo \(\alpha=\displaystyle\frac{1}{2}\), obtém-se:

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\frac{1}{2}. \]

Exemplo de aplicação

Calculemos o limite

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{x}. \]

Multipliquemos e dividamos por \(3\):

\[ \frac{\sin(3x)}{x} = 3\cdot\frac{\sin(3x)}{3x}. \]

Uma vez que \(3x\to 0\) quando \(x\to 0\), do limite notável do seno segue-se que

\[ \frac{\sin(3x)}{3x}\to 1. \]

Assim:

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{x}=3. \]

Tabela dos principais limites notáveis

Resumimos, em seguida, os principais limites notáveis:

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}. \]

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a. \]

\[ \lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e, \qquad \lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^\alpha-1}{x}=\alpha. \]

As formas equivalentes obtidas a partir destes limites são frequentemente decisivas no cálculo de limites. No entanto, devem usar-se apenas quando o argumento tende efetivamente para \(0\), ou quando a variável tende para infinito do modo exigido pela fórmula.

Infinitésimos e infinitos

No estudo dos limites é frequentemente útil descrever uma função não apenas em função do valor do seu limite, mas também segundo a rapidez com que tende para zero ou se torna arbitrariamente grande.

Esta necessidade conduz às noções de infinitésimo, infinito e comparação de ordens.

Infinitésimos

Uma função \(f\) diz-se infinitésima quando \(x\to x_0\) se

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=0. \]

Por outras palavras, um infinitésimo é uma função que, no processo de limite considerado, assume valores arbitrariamente próximos de zero.

Por exemplo, quando \(x\to 0\), são infinitésimas as funções

\[ x, \qquad x^2, \qquad \sin x, \qquad 1-\cos x. \]

Com efeito, todas estas funções tendem para zero quando \(x\to 0\).

Também a função \(\displaystyle\frac{1}{x}\) é infinitésima, mas quando \(x\to+\infty\) ou quando \(x\to-\infty\), uma vez que

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0. \]

Infinitos

Uma função \(f\) diz-se infinita quando \(x\to x_0\) se

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty \]

ou

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=-\infty. \]

De modo mais geral, fala-se de função infinita quando os valores de \(f(x)\) se tornam arbitrariamente grandes em valor absoluto no processo de limite considerado.

Por exemplo, quando \(x\to+\infty\), são funções infinitas

\[ x, \qquad x^2, \qquad e^x. \]

Quando \(x\to 0\), pelo contrário, é infinita a função

\[ \frac{1}{x^2}, \]

pois

\[ \lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2}=+\infty. \]

Relação entre infinitésimos e infinitos

As noções de infinitésimo e infinito estão intimamente relacionadas. Se \(f(x)\) é um infinitésimo e \(f(x)\neq 0\) numa vizinhança perfurada do ponto considerado, então a função recíproca

\[ \frac{1}{f(x)} \]

é infinita, exceto no caso em que o sinal de \(f(x)\) produza comportamentos distintos à direita e à esquerda.

Por exemplo, quando \(x\to 0\), a função \(x^2\) é infinitésima e positiva para \(x\neq 0\). Consequentemente,

\[ \frac{1}{x^2} \]

é infinita positiva quando \(x\to 0\).

Analogamente, se \(f(x)\) é infinita e não se anula numa vizinhança perfurada do ponto considerado, então

\[ \frac{1}{f(x)} \]

é infinitésima.

Comparação entre infinitésimos

Dois infinitésimos podem tender para zero com rapidezes diferentes. Para os comparar, estuda-se o limite do seu quociente.

Sejam \(f\) e \(g\) dois infinitésimos quando \(x\to x_0\), com \(g(x)\neq 0\) numa vizinhança perfurada de \(x_0\). Consideremos o limite

\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}. \]

Se

\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0, \]

então \(f\) é um infinitésimo de ordem superior relativamente a \(g\). Isto significa que \(f(x)\) tende para zero mais rapidamente do que \(g(x)\).

Se, pelo contrário,

\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\ell, \qquad \ell\in\mathbb{R},\quad \ell\neq 0, \]

então \(f\) e \(g\) são infinitésimos da mesma ordem.

Se, por fim,

\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\pm\infty, \]

então \(f\) tende para zero mais lentamente do que \(g\).

Exemplo sobre a comparação de infinitésimos

Quando \(x\to 0\), comparemos os infinitésimos \(x^2\) e \(x\). Calculamos:

\[ \lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x} = \lim_{x\to 0}x = 0. \]

Assim, \(x^2\) é um infinitésimo de ordem superior relativamente a \(x\): com efeito, \(x^2\) tende para zero mais rapidamente do que \(x\).

Comparemos agora \(\sin x\) e \(x\), novamente quando \(x\to 0\). Do limite notável

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1 \]

segue-se que \(\sin x\) e \(x\) são infinitésimos da mesma ordem.

Infinitos equivalentes e infinitésimos equivalentes

Duas funções \(f\) e \(g\) dizem-se equivalentes quando \(x\to x_0\) se

\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=1. \]

Nesse caso escreve-se

\[ f(x)\sim g(x) \qquad\text{quando }x\to x_0. \]

A escrita \(f(x)\sim g(x)\) significa que, no processo de limite considerado, as duas funções apresentam o mesmo comportamento principal.

Por exemplo, quando \(x\to 0\), dos limites notáveis obtêm-se as equivalências

\[ \sin x\sim x, \qquad \tan x\sim x, \qquad 1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}, \qquad \ln(1+x)\sim x, \qquad e^x-1\sim x. \]

Estas equivalências são muito úteis no cálculo de limites, pois permitem substituir uma função por outra mais simples que apresente o mesmo comportamento principal.

Uso correto dos equivalentes

Os equivalentes devem ser usados com cuidado. Em particular, a substituição por meio de equivalentes é segura em produtos e quocientes, mas não pode ser aplicada mecanicamente no interior de somas ou diferenças, onde pode ocorrer um cancelamento dos termos principais.

Por exemplo, uma vez que \(\sin x\sim x\) quando \(x\to 0\), podemos calcular:

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1. \]

No entanto, numa expressão como

\[ \sin x-x, \]

não podemos simplesmente substituir \(\sin x\) por \(x\) e concluir que a diferença é nula. Na realidade, a diferença tem uma ordem superior e requer instrumentos mais finos, como desenvolvimentos ou transformações específicas.

Esta observação é fundamental: os equivalentes descrevem o comportamento principal de uma função, mas podem não ser suficientes quando os termos principais se cancelam.

Comparação entre infinitos

As funções infinitas também podem ser comparadas por meio do quociente. Se \(f\) e \(g\) são infinitas quando \(x\to x_0\), estuda-se

\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}. \]

Se o limite for \(0\), então \(f\) cresce mais lentamente do que \(g\). Se o limite for um número real não nulo, as duas funções têm a mesma ordem de infinito. Se o limite for infinito, então \(f\) cresce mais rapidamente do que \(g\).

Por exemplo, quando \(x\to+\infty\),

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{x^2} = \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x} = 0. \]

Assim, \(x\) é um infinito de ordem inferior relativamente a \(x^2\), ou seja, \(x^2\) cresce mais rapidamente do que \(x\).

De modo mais geral, quando \(x\to+\infty\), as potências positivas de \(x\) crescem tanto mais rapidamente quanto maior for o expoente.

Observações

A comparação entre infinitésimos e infinitos não diz respeito apenas ao valor do limite, mas também à rapidez com que uma função tende para zero ou diverge. Este ponto de vista é essencial para resolver muitas formas indeterminadas.

Em particular, muitas técnicas de cálculo de limites consistem em identificar o termo dominante, isto é, o termo que determina o comportamento principal da expressão no processo de limite considerado.

Estratégias para o cálculo de limites

Calcular um limite não consiste em aplicar sempre a mesma regra. Consoante a forma da expressão, pode ser necessário recorrer a propriedades algébricas, limites notáveis, comparações, equivalências ou transformações específicas.

Uma boa estratégia consiste em reconhecer, antes de mais, se a expressão conduz a uma forma determinada ou a uma forma indeterminada.

Substituição direta quando possível

Quando as regras sobre limites são diretamente aplicáveis e não surgem formas indeterminadas, o limite calcula-se substituindo o valor para o qual tende \(x\).

Por exemplo:

\[ \lim_{x\to 2}(x^2+3x-1) = 2^2+3\cdot 2-1 = 9. \]

Neste caso não surge qualquer dificuldade: os polinómios, as somas e os produtos comportam-se de modo regular em relação ao limite.

Simplificação nas formas \(0/0\)

Quando surge uma forma \(0/0\), uma das primeiras estratégias consiste em simplificar a expressão, se possível.

Por exemplo:

\[ \lim_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3}. \]

Substituindo formalmente \(x=3\), obtém-se \(0/0\). Fatoricemos o numerador:

\[ x^2-9=(x-3)(x+3). \]

Para \(x\neq 3\), podemos então escrever:

\[ \frac{x^2-9}{x-3} = \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3. \]

Segue-se que

\[ \lim_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3} = \lim_{x\to 3}(x+3) = 6. \]

A simplificação é lícita porque o limite estuda o comportamento para \(x\) próximo de \(3\), mas distinto de \(3\).

Racionalização

Quando surgem radicais e diferenças, pode ser útil multiplicar e dividir pela expressão conjugada.

Consideremos:

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}. \]

Substituindo formalmente \(x=0\), obtém-se \(0/0\). Racionalizemos:

\[ \frac{\sqrt{1+x}-1}{x} = \frac{(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)}{x(\sqrt{1+x}+1)} = \frac{1+x-1}{x(\sqrt{1+x}+1)}. \]

Uma vez que \(1+x-1=x\), para \(x\neq 0\) obtemos:

\[ \frac{\sqrt{1+x}-1}{x} = \frac{1}{\sqrt{1+x}+1}. \]

Assim:

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x} = \frac{1}{2}. \]

Divisão pelo termo dominante

Nos limites de funções racionais quando \(x\to+\infty\) ou quando \(x\to-\infty\), uma estratégia fundamental consiste em dividir o numerador e o denominador pela potência de maior grau.

Por exemplo:

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{2x^3-x+1}{5x^3+4x^2-7}. \]

O termo dominante é \(x^3\). Dividamos o numerador e o denominador por \(x^3\):

\[ \frac{2x^3-x+1}{5x^3+4x^2-7} = \frac{2-\displaystyle\frac{1}{x^2}+\displaystyle\frac{1}{x^3}}{5+\displaystyle\frac{4}{x}-\displaystyle\frac{7}{x^3}}. \]

Uma vez que

\[ \frac{1}{x}\to 0, \qquad \frac{1}{x^2}\to 0, \qquad \frac{1}{x^3}\to 0 \]

quando \(x\to+\infty\), obtém-se:

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{2x^3-x+1}{5x^3+4x^2-7} = \frac{2}{5}. \]

Uso dos limites notáveis

Quando surgem funções trigonométricas, logarítmicas, exponenciais ou potências, muitos limites podem reduzir-se aos limites notáveis.

Por exemplo:

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+4x)}{x}. \]

Multipliquemos e dividamos por \(4\):

\[ \frac{\ln(1+4x)}{x} = 4\cdot\frac{\ln(1+4x)}{4x}. \]

Uma vez que \(4x\to 0\) quando \(x\to 0\), do limite notável

\[ \lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1 \]

segue-se que

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+4x)}{x}=4. \]

Uso dos infinitésimos equivalentes

Os infinitésimos equivalentes permitem substituir, no interior de produtos e quocientes, uma função por outra mais simples que apresente o mesmo comportamento principal.

Por exemplo, quando \(x\to 0\), sabemos que

\[ \sin x\sim x \qquad\text{e}\qquad e^x-1\sim x. \]

Assim:

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{e^x-1} = 1. \]

Com efeito, o numerador e o denominador são ambos equivalentes a \(x\).

Este método é muito rápido, mas deve usar-se com cuidado: os equivalentes são seguros em produtos e quocientes, ao passo que em somas e diferenças podem produzir erros se os termos principais se cancelarem.

Uso do teorema do confronto

Quando uma função é difícil de tratar diretamente, mas pode ficar compreendida entre duas funções com o mesmo limite, pode recorrer-se ao teorema do confronto.

Por exemplo:

\[ \lim_{x\to 0}x^2\cos\frac{1}{x}. \]

Uma vez que, para todo \(x\neq 0\),

\[ -1\leq \cos\frac{1}{x}\leq 1, \]

multiplicando por \(x^2\geq 0\) obtemos:

\[ -x^2\leq x^2\cos\frac{1}{x}\leq x^2. \]

Uma vez que

\[ \lim_{x\to 0}(-x^2)=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 0}x^2=0, \]

pelo teorema do confronto segue-se que

\[ \lim_{x\to 0}x^2\cos\frac{1}{x}=0. \]

Estudo separado à direita e à esquerda

Quando a expressão muda de comportamento consoante o sinal de \(x-x_0\), é necessário estudar separadamente o limite à direita e o limite à esquerda.

Consideremos, por exemplo,

\[ \lim_{x\to 0}\frac{|x|}{x}. \]

Para \(x>0\), tem-se \(|x|=x\), logo

\[ \frac{|x|}{x}=1. \]

Para \(x<0\), tem-se \(|x|=-x\), logo

\[ \frac{|x|}{x}=-1. \]

Assim:

\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{|x|}{x}=1, \qquad \lim_{x\to 0^-}\frac{|x|}{x}=-1. \]

Uma vez que o limite à direita e o limite à esquerda são diferentes, o limite quando \(x\to 0\) não existe.

Identificar o termo dominante

Em muitas expressões, sobretudo quando \(x\to+\infty\) ou quando \(x\to-\infty\), o comportamento do limite é determinado pelo termo dominante, isto é, pelo termo que cresce mais rapidamente.

Por exemplo:

\[ \lim_{x\to+\infty}(x^3-4x^2+7x). \]

O termo dominante é \(x^3\). Os restantes termos crescem mais lentamente e não alteram o comportamento principal. Assim:

\[ \lim_{x\to+\infty}(x^3-4x^2+7x)=+\infty. \]

Quando \(x\to-\infty\), pelo contrário, o termo dominante continua a ser \(x^3\), mas aqui \(x^3\to-\infty\). Logo:

\[ \lim_{x\to-\infty}(x^3-4x^2+7x)=-\infty. \]

Esquema de trabalho

Em síntese, para calcular um limite convém proceder do seguinte modo:

1. identificar o ponto ou a direção para a qual tende a variável;
2. verificar se as regras sobre limites se aplicam diretamente;
3. identificar eventuais formas indeterminadas;
4. escolher uma transformação adequada: fatoração, simplificação, racionalização, divisão pelo termo dominante, limites notáveis, equivalentes ou comparação;
5. se necessário, estudar separadamente o limite à direita e o limite à esquerda;
6. concluir apenas depois de verificar que as condições utilizadas são válidas no processo de limite considerado.

O ponto essencial é não confundir as escritas simbólicas com resultados automáticos. Uma forma indeterminada assinala que o limite exige uma análise mais precisa; uma forma determinada, pelo contrário, permite frequentemente concluir aplicando diretamente as propriedades dos limites.

Interpretação gráfica dos limites e assíntotas

O conceito de limite tem uma forte interpretação gráfica. Estudar um limite equivale a observar o comportamento do gráfico de uma função quando o ponto de abcissa \(x\) se aproxima de um valor fixado, ou quando \(x\) se afasta indefinidamente para \(+\infty\) ou para \(-\infty\).

O gráfico não substitui a definição rigorosa, mas ajuda a visualizar o significado das diferentes situações que se podem apresentar.

Limite finito num ponto

Se

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L, \]

então, quando \(x\) se aproxima de \(x_0\), os pontos do gráfico de \(f\) aproximam-se da altura \(L\).

Isto não significa necessariamente que o gráfico passe pelo ponto \((x_0,L)\). Com efeito, o valor \(f(x_0)\) pode não estar definido, ou pode ser diferente de \(L\).

Do ponto de vista gráfico, o limite descreve, portanto, a tendência do gráfico na proximidade da reta vertical \(x=x_0\), mas não depende necessariamente do ponto do gráfico com abcissa \(x_0\).

Limite à direita e limite à esquerda no gráfico

O limite à direita descreve o comportamento do gráfico quando nos aproximamos de \(x_0\) a partir de valores maiores do que \(x_0\). O limite à esquerda descreve, por sua vez, o comportamento do gráfico quando nos aproximamos de \(x_0\) a partir de valores menores do que \(x_0\).

Se \(x_0\) é ponto de acumulação do domínio tanto pela esquerda como pela direita e

\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=L \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x)=L, \]

então o gráfico aproxima-se da mesma altura \(L\) de ambos os lados, e o limite quando \(x\to x_0\) existe.

Se, pelo contrário, o limite à direita e o limite à esquerda forem diferentes, o gráfico aproxima-se de duas alturas distintas. Neste caso, o limite quando \(x\to x_0\) não existe.

Limite infinito e assíntota vertical

Se, quando \(x\) se aproxima de \(x_0\), os valores da função se tornam arbitrariamente grandes ou arbitrariamente pequenos, o gráfico aproxima-se da reta vertical \(x=x_0\).

Se pelo menos um dos dois limites, à direita ou à esquerda, for infinito, então a reta

\[ x=x_0 \]

é uma assíntota vertical do gráfico da função.

Por exemplo, se

\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=+\infty, \]

então, ao aproximarmo-nos de \(x_0\) pela direita, o gráfico sobe indefinidamente ao longo da direção da reta vertical \(x=x_0\).

Analogamente, se

\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=-\infty, \]

então, ao aproximarmo-nos de \(x_0\) pela esquerda, o gráfico desce indefinidamente ao longo da mesma reta vertical.

É, pois, possível que o comportamento à direita e à esquerda seja diferente. Por exemplo, uma função pode tender para \(+\infty\) de um lado e para \(-\infty\) do outro.

Limite finito no infinito e assíntota horizontal

Se uma função tende para um número real \(L\) quando \(x\to+\infty\), então o gráfico aproxima-se da reta horizontal

\[ y=L \]

à medida que nos deslocamos indefinidamente para a direita.

Neste caso, a reta \(y=L\) é uma assíntota horizontal à direita do gráfico da função.

Analogamente, se

\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=M, \]

então a reta

\[ y=M \]

é uma assíntota horizontal à esquerda.

As duas assíntotas horizontais podem coincidir ou ser diferentes. Por exemplo, pode acontecer que uma função tenda para um determinado valor quando \(x\to+\infty\) e para outro valor quando \(x\to-\infty\).

Assíntota oblíqua

Além das assíntotas verticais e horizontais, uma função pode ter uma assíntota oblíqua. Isto acontece quando, para \(x\to+\infty\) ou para \(x\to-\infty\), o gráfico da função se aproxima de uma reta não horizontal.

Uma reta de equação

\[ y=mx+q, \qquad m\neq 0, \]

é uma assíntota oblíqua de \(f\) quando \(x\to+\infty\) se

\[ \lim_{x\to+\infty}\bigl(f(x)-(mx+q)\bigr)=0. \]

De modo análogo, a mesma definição é válida quando \(x\to-\infty\), adaptando o processo de limite considerado.

A condição anterior significa que a distância vertical entre o gráfico da função e a reta \(y=mx+q\) tende para zero.

Quando a assíntota oblíqua existe, os coeficientes \(m\) e \(q\) calculam-se, nos casos ordinários, por meio dos limites

\[ m=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x} \]

e

\[ q=\lim_{x\to+\infty}\bigl(f(x)-mx\bigr), \]

desde que estes limites existam, sejam finitos e se verifique \(m\neq 0\). Para \(x\to-\infty\), usam-se as mesmas fórmulas com o limite calculado quando \(x\to-\infty\).

Exemplos de interpretação gráfica

Consideremos a função

\[ f(x)=\frac{1}{x}. \]

Quando \(x\to 0^+\), tem-se

\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty, \]

ao passo que quando \(x\to 0^-\) tem-se

\[ \lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x}=-\infty. \]

Assim, a reta \(x=0\), isto é, o eixo \(y\), é uma assíntota vertical do gráfico da função.

Além disso,

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0. \]

Por isso, a reta \(y=0\), isto é, o eixo \(x\), é uma assíntota horizontal tanto à direita como à esquerda.

Consideremos agora a função

\[ g(x)=x+\frac{1}{x}. \]

Quando \(x\to+\infty\), tem-se

\[ g(x)-x=\frac{1}{x}\to 0. \]

Assim, a reta

\[ y=x \]

é uma assíntota oblíqua quando \(x\to+\infty\). O mesmo se verifica quando \(x\to-\infty\), pois \(\displaystyle\frac{1}{x}\to 0\) também nessa direção.

Observações finais

A interpretação gráfica dos limites permite relacionar a definição rigorosa com o comportamento visível do gráfico. Contudo, o gráfico deve ser considerado um guia, não uma demonstração.

Para estabelecer com certeza a existência e o valor de um limite, é preciso remeter sempre para as definições, os teoremas e as propriedades estudadas nas secções anteriores.

Em síntese, os limites permitem descrever com precisão três aspetos fundamentais do comportamento de uma função: o que acontece na proximidade de um ponto, o que acontece no infinito e como o gráfico se posiciona em relação às suas possíveis assíntotas.