Depois de ter definido o limite de uma função e estudado as suas principais propriedades, podemos abordar o problema do cálculo de limites de somas, diferenças, produtos, quocientes e outras expressões obtidas combinando várias funções.
As regras que permitem efetuar estas operações não são simples convenções de cálculo, mas consequências de teoremas precisos. Por exemplo, se duas funções admitem limite finito, sob hipóteses adequadas o limite da sua soma coincide com a soma dos respetivos limites, enquanto o limite do seu produto coincide com o produto dos limites. Para aplicar o teorema do quociente é ainda necessário que o limite do denominador seja diferente de zero.
Estes resultados permitem frequentemente reduzir o cálculo de um limite às operações usuais entre números reais. Contudo, tal procedimento não pode ser aplicado indiscriminadamente. Quando intervêm quantidades que tendem para zero ou para infinito, algumas combinações conduzem a expressões como \(0\cdot\infty\), \(\infty-\infty\), \(\displaystyle\frac{0}{0}\) ou \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\). Estas expressões não determinam, por si só, o valor do limite e recebem o nome de formas indeterminadas.
É ainda essencial recordar que os símbolos \(+\infty\) e \(-\infty\) não representam números reais. As chamadas operações com o infinito devem, por isso, ser interpretadas como regras relativas ao comportamento das funções, e não como operações aritméticas comuns efetuadas sobre dois novos números.
Nesta página enunciaremos e demonstraremos os principais teoremas sobre as operações com limites, esclareceremos cuidadosamente as hipóteses necessárias para os aplicar e distinguiremos os casos determinados das formas indeterminadas. As regras obtidas serão, por fim, aplicadas ao cálculo de limites de polinómios, funções racionais e funções algébricas simples.
Índice
- Hipóteses e significado das operações sobre limites
- Limite da soma e da diferença
- Limite do produto
- Limite do recíproco e do quociente
- Limite das potências
- Limite das raízes
- Limite do valor absoluto
- Limite de uma função composta
- Operações com limites infinitos
- Formas determinadas e formas indeterminadas
- Limites de polinómios e funções racionais
- Exemplos de síntese e erros a evitar
Hipóteses e significado das operações sobre limites
As operações sobre limites dizem respeito a funções obtidas combinando, ponto a ponto, outras funções. Sejam \(f\) e \(g\) duas funções reais definidas numa vizinhança perfurada de \(x_0\) — ou seja, numa vizinhança de \(x_0\) da qual se retira apenas o ponto \(x_0\) — e suponhamos que \(x_0\) é um ponto de acumulação do seu domínio comum, condição necessária para que o limite tenha significado. Podemos então considerar, por exemplo, as funções
\[ (f+g)(x)=f(x)+g(x), \qquad (fg)(x)=f(x)g(x). \]
De modo análogo, nos pontos em que \(g(x)\neq 0\), podemos definir
\[ \left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}. \]
O problema consiste em determinar se o limite da função assim obtida pode ser calculado conhecendo separadamente os limites de \(f\) e de \(g\). Suponhamos, inicialmente, que
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=M, \]
onde \(L\) e \(M\) são números reais. Os teoremas sobre as operações com limites estabelecem as condições sob as quais é possível obter, a partir de \(L\) e \(M\), o limite da soma, do produto, do quociente ou de outras combinações das duas funções.
É importante compreender que expressões como
\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)+g(x)\bigr) = \lim_{x\to x_0}f(x) + \lim_{x\to x_0}g(x) \]
não são definições nem representam transformações puramente formais. Exprimem a conclusão de um teorema e são válidas apenas quando todas as suas hipóteses se encontram satisfeitas.
Antes de aplicar uma regra é ainda necessário verificar que a função obtida através da operação está efetivamente definida para valores de \(x\) arbitrariamente próximos de \(x_0\), com \(x\neq x_0\). No caso de um quociente, por exemplo, não basta que \(f\) e \(g\) estejam definidas: é necessário considerar apenas os pontos nos quais o denominador não se anula.
O valor que as funções eventualmente assumem no ponto \(x_0\) não intervém no cálculo. Com efeito, o limite depende do comportamento das funções na vizinhança do ponto, e não do valor que assumem no próprio ponto. Por esta razão, os teoremas permanecem válidos mesmo quando uma das funções, ou ambas, não está definida em \(x_0\).
Dois limites fundamentais
Antes de examinar as operações entre funções, recordemos dois resultados elementares que serão utilizados mais à frente.
Se \(c\in\mathbb{R}\), para a função constante \(f(x)=c\) tem-se
\[ \lim_{x\to x_0}c=c. \]
Com efeito, para qualquer \(\varepsilon>0\),
\[ |c-c|=0<\varepsilon, \]
independentemente da escolha de \(x\). A mesma função mantém o seu valor mesmo quando a variável tende para infinito:
\[ \lim_{x\to+\infty}c=c, \qquad \lim_{x\to-\infty}c=c. \]
Para a função identidade \(f(x)=x\), por sua vez,
\[ \lim_{x\to x_0}x=x_0. \]
A relação resulta diretamente da definição, uma vez que
\[ |f(x)-x_0|=|x-x_0|. \]
No infinito, a função identidade acompanha o comportamento da variável:
\[ \lim_{x\to+\infty}x=+\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty}x=-\infty. \]
Estes limites, combinados com os teoremas sobre as operações, permitirão calcular os limites dos polinómios e de outras expressões algébricas.
As primeiras regras serão formuladas e demonstradas para limites finitos no caso \(x\to x_0\). As mesmas regras, com as respetivas hipóteses, valem também para os limites laterais, à direita e à esquerda, e para \(x\to+\infty\) ou \(x\to-\infty\). As demonstrações obtêm-se substituindo a condição \(0<|x-x_0|<\delta\) pela correspondente condição unilateral, ou por uma condição do tipo \(x>R\) ou \(x<-R\). Os casos em que uma função tende para \(+\infty\) ou para \(-\infty\) exigem, pelo contrário, uma análise à parte, porque algumas operações mantêm um significado determinado, ao passo que outras conduzem a formas indeterminadas.
Limite da soma e da diferença
Sejam \(f\) e \(g\) duas funções definidas numa vizinhança perfurada de \(x_0\) e suponhamos que
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=M, \]
com \(L,M\in\mathbb{R}\). Então também a função \(f+g\) admite limite quando \(x\to x_0\) e tem-se
\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=L+M. \]
Ou seja, quando ambos os limites são finitos, o limite da soma é igual à soma dos limites.
Demonstração. Temos de provar que, para qualquer \(\varepsilon>0\), existe \(\delta>0\) tal que
\[ 0<|x-x_0|<\delta \quad\Longrightarrow\quad \bigl|f(x)+g(x)-(L+M)\bigr|<\varepsilon. \]
Observemos, antes de mais, que
\[ f(x)+g(x)-(L+M) = \bigl(f(x)-L\bigr)+\bigl(g(x)-M\bigr). \]
Pela desigualdade triangular,
\[ \bigl|f(x)+g(x)-(L+M)\bigr| \leq |f(x)-L|+|g(x)-M|. \]
Uma vez que \(f(x)\to L\), existe \(\delta_1>0\) tal que
\[ 0<|x-x_0|<\delta_1 \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-L|<\frac{\varepsilon}{2}. \]
De modo análogo, uma vez que \(g(x)\to M\), existe \(\delta_2>0\) tal que
\[ 0<|x-x_0|<\delta_2 \quad\Longrightarrow\quad |g(x)-M|<\frac{\varepsilon}{2}. \]
Ponhamos
\[ \delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}. \]
Se \(0<|x-x_0|<\delta\), ambas as estimativas anteriores são válidas. Consequentemente,
\[ \begin{aligned} \bigl|f(x)+g(x)-(L+M)\bigr| &\leq |f(x)-L|+|g(x)-M|\\ &<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}\\ &=\varepsilon. \end{aligned} \]
Portanto,
\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=L+M. \]
Limite da diferença
A diferença pode reescrever-se como uma soma:
\[ f(x)-g(x)=f(x)+\bigl(-g(x)\bigr). \]
Uma vez que
\[ \bigl|-g(x)-(-M)\bigr|=|g(x)-M|, \]
da definição de limite resulta que
\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(-g(x)\bigr)=-M. \]
Aplicando o teorema da soma, obtemos
\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)=L-M. \]
Podemos, assim, reunir os dois resultados na fórmula
\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)\pm g(x)\bigr)=L\pm M. \]
Soma de um número finito de funções
Aplicando repetidamente o teorema, o resultado estende-se a qualquer número finito de funções. Se
\[ \lim_{x\to x_0}f_k(x)=L_k \qquad \text{para }k=1,\ldots,n, \]
então
\[ \lim_{x\to x_0}\sum_{k=1}^{n}f_k(x) = \sum_{k=1}^{n}L_k. \]
O teorema diz respeito a limites finitos. Quando uma das funções, ou ambas, tende para \(+\infty\) ou para \(-\infty\), o comportamento da soma ou da diferença deve ser examinado separadamente.
Limite do produto
Sejam \(f\) e \(g\) duas funções definidas numa vizinhança perfurada de \(x_0\) e suponhamos que
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=M, \]
com \(L,M\in\mathbb{R}\). Então também o produto \(fg\) admite limite quando \(x\to x_0\) e tem-se
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)g(x)=LM. \]
Antes de demonstrar o teorema, recordemos uma consequência fundamental da existência de um limite finito.
Limitação local
Se
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L\in\mathbb{R}, \]
então \(f\) é limitada numa vizinhança perfurada adequada de \(x_0\). Em particular, escolhendo \(\varepsilon=1\), existe \(\delta_0>0\) tal que
\[ 0<|x-x_0|<\delta_0 \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-L|<1. \]
Da desigualdade triangular resulta
\[ |f(x)| \leq |f(x)-L|+|L| < |L|+1. \]
Assim, suficientemente perto de \(x_0\), os valores de \(f(x)\) não podem tornar-se arbitrariamente grandes em valor absoluto.
Demonstração do teorema
Consideremos a diferença entre o produto \(f(x)g(x)\) e o valor esperado \(LM\). Somando e subtraindo \(f(x)M\), obtemos
\[ \begin{aligned} f(x)g(x)-LM &=f(x)g(x)-f(x)M+f(x)M-LM\\ &=f(x)\bigl(g(x)-M\bigr)+M\bigl(f(x)-L\bigr). \end{aligned} \]
Aplicando a desigualdade triangular,
\[ |f(x)g(x)-LM| \leq |f(x)|\,|g(x)-M| + |M|\,|f(x)-L|. \]
Uma vez que \(f(x)\to L\), da limitação local existem um número \(K>0\) e um número \(\delta_0>0\) tais que
\[ 0<|x-x_0|<\delta_0 \quad\Longrightarrow\quad |f(x)|<K. \]
Por exemplo, podemos escolher \(K=|L|+1\).
Fixado \(\varepsilon>0\), uma vez que \(g(x)\to M\), existe \(\delta_1>0\) tal que
\[ 0<|x-x_0|<\delta_1 \quad\Longrightarrow\quad |g(x)-M|<\frac{\varepsilon}{2K}. \]
Além disso, uma vez que \(f(x)\to L\), existe \(\delta_2>0\) tal que
\[ 0<|x-x_0|<\delta_2 \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-L|<\frac{\varepsilon}{2(|M|+1)}. \]
Ponhamos
\[ \delta=\min\{\delta_0,\delta_1,\delta_2\}. \]
Se \(0<|x-x_0|<\delta\), então
\[ \begin{aligned} |f(x)g(x)-LM| &\leq |f(x)|\,|g(x)-M|+|M|\,|f(x)-L|\\ &<K\frac{\varepsilon}{2K} +|M|\frac{\varepsilon}{2(|M|+1)}\\ &<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}\\ &=\varepsilon. \end{aligned} \]
Fica assim demonstrado que
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)g(x)=LM. \]
Produto por uma constante
Se \(c\in\mathbb{R}\) é uma constante e
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L, \]
considerando a função constante \(g(x)=c\), o teorema do produto fornece
\[ \lim_{x\to x_0}c\,f(x)=cL. \]
Este resultado permite retirar de dentro do símbolo de limite qualquer fator constante.
Produto de um número finito de funções
Aplicando repetidamente o teorema, se
\[ \lim_{x\to x_0}f_k(x)=L_k \qquad \text{para }k=1,\ldots,n, \]
então
\[ \lim_{x\to x_0}\prod_{k=1}^{n}f_k(x) = \prod_{k=1}^{n}L_k. \]
Limite do recíproco e do quociente
A passagem ao recíproco exige uma condição adicional: o limite da função no denominador deve ser diferente de zero. Esta hipótese garante que a função não se anula numa vizinhança perfurada adequada do ponto considerado.
Limite do recíproco
Seja \(g\) uma função definida numa vizinhança perfurada de \(x_0\) e suponhamos que
\[ \lim_{x\to x_0}g(x)=M, \qquad M\neq 0. \]
Então existe uma vizinhança perfurada de \(x_0\) na qual \(g(x)\neq 0\), e tem-se
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{1}{g(x)}=\frac{1}{M}. \]
O denominador mantém-se afastado de zero
Uma vez que \(M\neq 0\), podemos escolher
\[ \varepsilon_0=\frac{|M|}{2}. \]
Da convergência de \(g(x)\) para \(M\), existe \(\delta_0>0\) tal que
\[ 0<|x-x_0|<\delta_0 \quad\Longrightarrow\quad |g(x)-M|<\frac{|M|}{2}. \]
Pela desigualdade triangular inversa,
\[ |g(x)| \geq |M|-|g(x)-M| > |M|-\frac{|M|}{2} = \frac{|M|}{2}. \]
Assim, \(g(x)\neq 0\) para todo \(x\) suficientemente perto de \(x_0\), com \(x\neq x_0\). Além disso, o valor absoluto do denominador é limitado inferiormente por uma constante positiva.
Demonstração. Consideremos a diferença
\[ \frac{1}{g(x)}-\frac{1}{M}. \]
Reduzindo ao mesmo denominador, obtemos
\[ \left|\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{M}\right| = \frac{|M-g(x)|}{|M|\,|g(x)|}. \]
Para \(0<|x-x_0|<\delta_0\) temos \(|g(x)|>\displaystyle\frac{|M|}{2}\), logo
\[ \left|\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{M}\right| < \frac{2}{|M|^2}|g(x)-M|. \]
Fixado \(\varepsilon>0\), uma vez que \(g(x)\to M\), existe \(\delta_1>0\) tal que
\[ 0<|x-x_0|<\delta_1 \quad\Longrightarrow\quad |g(x)-M|<\frac{\varepsilon |M|^2}{2}. \]
Pondo
\[ \delta=\min\{\delta_0,\delta_1\}, \]
para \(0<|x-x_0|<\delta\) resulta que
\[ \left|\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{M}\right| < \frac{2}{|M|^2}\cdot\frac{\varepsilon |M|^2}{2} = \varepsilon. \]
Fica, pois, demonstrado que
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{1}{g(x)}=\frac{1}{M}. \]
Limite do quociente
Sejam agora \(f\) e \(g\) duas funções definidas numa vizinhança perfurada de \(x_0\) e suponhamos que
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L, \qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=M, \]
com \(L,M\in\mathbb{R}\) e \(M\neq 0\). Uma vez que
\[ \frac{f(x)}{g(x)} = f(x)\frac{1}{g(x)}, \]
aplicando o teorema do produto e o do recíproco obtemos
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}. \]
A condição \(M\neq 0\) não é um pormenor técnico. Se o denominador tende para zero, o teorema do quociente não pode ser aplicado e os limites de \(f\) e de \(g\) não são, em geral, suficientes para determinar o resultado. Em particular, quando também o numerador tende para zero, surge a forma indeterminada \(\displaystyle\frac{0}{0}\), que será estudada mais adiante.
Limite das potências
O teorema do produto permite determinar o limite das potências inteiras de uma função. Seja \(f\) definida numa vizinhança perfurada de \(x_0\) e suponhamos que
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L, \qquad L\in\mathbb{R}. \]
Expoente inteiro positivo
Se \(n\in\mathbb{N}\) e \(n\geq 1\), então
\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)\bigr)^n=L^n. \]
Com efeito, a potência \(\bigl(f(x)\bigr)^n\) é o produto de \(n\) fatores iguais a \(f(x)\):
\[ \bigl(f(x)\bigr)^n = \underbrace{f(x)\cdot f(x)\cdots f(x)}_{n\text{ fatores}}. \]
Aplicando repetidamente o teorema do produto, obtemos
\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)\bigr)^n = \underbrace{L\cdot L\cdots L}_{n\text{ fatores}} = L^n. \]
Expoente zero
Nos pontos em que \(f(x)\neq 0\), tem-se
\[ \bigl(f(x)\bigr)^0=1. \]
Se \(L\neq 0\), a função \(f\) mantém-se diferente de zero numa vizinhança perfurada adequada de \(x_0\). Nessa vizinhança, a potência de expoente zero está, portanto, definida e
\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)\bigr)^0=1=L^0. \]
Se, pelo contrário, \(L=0\), a expressão \(L^0\) não está definida e a fórmula anterior não pode ser utilizada. Contudo, nos pontos em que \(f(x)\neq 0\), tem-se ainda assim
\[ \bigl(f(x)\bigr)^0=1. \]
Assim, se \(x_0\) é um ponto de acumulação do domínio da função \(\bigl(f(x)\bigr)^0\), o respetivo limite é igual a \(1\).
Expoente inteiro negativo
Seja \(n\in\mathbb{N}\) com \(n\geq 1\). Se \(L\neq 0\), então \(f(x)\neq 0\) para todo \(x\) suficientemente perto de \(x_0\), com \(x\neq x_0\), e podemos escrever
\[ \bigl(f(x)\bigr)^{-n} = \frac{1}{\bigl(f(x)\bigr)^n}. \]
Do limite das potências positivas e do teorema do recíproco resulta
\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)\bigr)^{-n} = \frac{1}{L^n} = L^{-n}. \]
Podemos, então, resumir os resultados distinguindo os vários casos. Para todo inteiro positivo \(n\),
\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)\bigr)^n=L^n. \]
Para \(n=0\), a função \(\bigl(f(x)\bigr)^0\) vale \(1\) nos pontos em que \(f(x)\neq 0\); portanto, se \(x_0\) é um ponto de acumulação do seu domínio, o limite é igual a \(1\).
Para \(n<0\), é necessário que \(L\neq 0\); nesse caso,
\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)\bigr)^n=L^n. \]
Polinómios numa função
Combinando o limite das potências com os teoremas da soma e do produto por uma constante, obtemos um resultado mais geral. Se
\[ P(t)=a_0+a_1t+\cdots+a_nt^n \]
é um polinómio, então
\[ \lim_{x\to x_0}P\bigl(f(x)\bigr)=P(L). \]
Explicitamente,
\[ \lim_{x\to x_0} \left( a_0+a_1f(x)+\cdots+a_n\bigl(f(x)\bigr)^n \right) = a_0+a_1L+\cdots+a_nL^n. \]
Este resultado mostra que, quando o limite de \(f\) é finito, um polinómio em \(f(x)\) conserva na passagem ao limite a sua própria estrutura algébrica.
Limite das raízes
Seja \(n\in\mathbb{N}\), com \(n\geq 2\), e suponhamos que
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L, \qquad L\in\mathbb{R}. \]
Para determinar o limite de \(\sqrt[n]{f(x)}\), é necessário distinguir o caso em que \(n\) é ímpar do caso em que \(n\) é par.
Raízes de índice ímpar
Se \(n\) é ímpar, a raiz de índice \(n\) está definida para todo número real. Portanto,
\[ \lim_{x\to x_0}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{L}. \]
O resultado vale para qualquer valor real de \(L\), positivo, nulo ou negativo.
Raízes de índice par
Se \(n\) é par, a raiz real \(\sqrt[n]{f(x)}\) está definida apenas nos pontos em que \(f(x)\geq 0\). Consequentemente, o limite deve ser considerado relativamente ao domínio da função, isto é, ao longo dos pontos do domínio que se aproximam de \(x_0\).
Se \(L>0\), da convergência de \(f(x)\) para \(L\) resulta que \(f(x)>0\) para todo \(x\) suficientemente perto de \(x_0\). Neste caso,
\[ \lim_{x\to x_0}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{L}. \]
A mesma fórmula vale quando \(L=0\), desde que \(x_0\) seja um ponto de acumulação do domínio da função \(x\mapsto\sqrt[n]{f(x)}\):
\[ \lim_{x\to x_0}\sqrt[n]{f(x)}=0. \]
Se, pelo contrário, \(L<0\), pelo teorema da permanência do sinal tem-se \(f(x)<0\) para todo \(x\) suficientemente perto de \(x_0\), com \(x\neq x_0\). A raiz de índice par não está, então, definida nos números reais em nenhuma vizinhança perfurada suficientemente pequena de \(x_0\), o qual não pode ser um ponto de acumulação do seu domínio.
Demonstração. Ponhamos
\[ u(x)=\sqrt[n]{f(x)} \qquad\text{e}\qquad a=\sqrt[n]{L}, \]
nos casos em que estas quantidades sejam reais.
Se \(L=0\), então \(a=0\) e, nos pontos pertencentes ao domínio da raiz,
\[ |u(x)-a| = \left|\sqrt[n]{f(x)}\right| = \sqrt[n]{|f(x)|}. \]
Fixado \(\varepsilon>0\), da convergência de \(f(x)\) para \(0\) existe \(\delta>0\) tal que
\[ 0<|x-x_0|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)|<\varepsilon^n. \]
Daí resulta
\[ |u(x)| = \sqrt[n]{|f(x)|} < \varepsilon, \]
e, portanto, \(u(x)\to 0\).
Suponhamos agora \(L\neq 0\). Se \(n\) é par, necessariamente \(L>0\) e, portanto, \(a>0\). Fixado \(\varepsilon>0\), ponhamos
\[ \varepsilon_0= \begin{cases} \varepsilon, & n\text{ ímpar},\\ \min\left\{\varepsilon,\displaystyle\frac{a}{2}\right\}, & n\text{ par}. \end{cases} \]
A função \(t\mapsto t^n\) é estritamente crescente em \(\mathbb{R}\) quando \(n\) é ímpar e em \([0,+\infty)\) quando \(n\) é par. Portanto, os números
\[ \eta_1=(a+\varepsilon_0)^n-a^n, \qquad \eta_2=a^n-(a-\varepsilon_0)^n \]
são ambos positivos. Ponhamos
\[ \eta=\min\{\eta_1,\eta_2\}. \]
Uma vez que \(f(x)\to L=a^n\), existe \(\delta>0\) tal que
\[ 0<|x-x_0|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-a^n|<\eta. \]
Nos pontos pertencentes ao domínio da raiz, esta desigualdade implica
\[ (a-\varepsilon_0)^n < f(x) < (a+\varepsilon_0)^n. \]
Pela monotonia da raiz de índice \(n\) resulta
\[ a-\varepsilon_0 < u(x) < a+\varepsilon_0. \]
Consequentemente,
\[ |u(x)-a|<\varepsilon_0\leq\varepsilon. \]
Fica assim demonstrado que
\[ \lim_{x\to x_0}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{L} \]
desde que \(x_0\) seja um ponto de acumulação do domínio real da função \(x\mapsto\sqrt[n]{f(x)}\).
Potências com expoente racional
Sejam \(m\in\mathbb{Z}\) e \(n\in\mathbb{N}\), com \(n\geq 1\), e suponhamos que a fração \(\displaystyle\frac{m}{n}\) está reduzida à sua expressão mais simples. Se \(x_0\) é um ponto de acumulação do domínio real da função
\[ x\mapsto\bigl(f(x)\bigr)^{\frac{m}{n}} \]
e o número \(L^{\frac{m}{n}}\) está definido nos números reais, então
\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)\bigr)^{\frac{m}{n}}=L^{\frac{m}{n}}. \]
O resultado obtém-se compondo o limite das potências inteiras com o das raízes, escrevendo \(\bigl(f(x)\bigr)^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{\bigl(f(x)\bigr)^{m}}\) e aplicando sucessivamente os dois teoremas já demonstrados.
Se \(n\) é par, a base deve ser não negativa nos pontos considerados; quando \(m<0\), deve ainda ser estritamente positiva e é necessário que \(L>0\). Se \(n\) é ímpar, são admitidas também bases negativas; quando \(m<0\), é, no entanto, necessário que a base seja diferente de zero nos pontos considerados e que \(L\neq 0\).
Limite do valor absoluto
Seja \(f\) uma função definida numa vizinhança perfurada de \(x_0\) e suponhamos que
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L, \qquad L\in\mathbb{R}. \]
Então
\[ \lim_{x\to x_0}|f(x)|=|L|. \]
Demonstração. Pela desigualdade triangular inversa, para todo \(x\) pertencente ao domínio de \(f\) tem-se
\[ \bigl||f(x)|-|L|\bigr| \leq |f(x)-L|. \]
Fixado \(\varepsilon>0\), da convergência de \(f(x)\) para \(L\) existe \(\delta>0\) tal que
\[ 0<|x-x_0|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-L|<\varepsilon. \]
Nas mesmas condições tem-se, então,
\[ \bigl||f(x)|-|L|\bigr| \leq |f(x)-L| < \varepsilon. \]
Isto demonstra que
\[ \lim_{x\to x_0}|f(x)|=|L|. \]
O recíproco não vale em geral
Da existência do limite de \(|f(x)|\) não resulta necessariamente a existência do limite de \(f(x)\). Por exemplo, consideremos
\[ f(x)= \begin{cases} 1, & x>0,\\ -1, & x<0. \end{cases} \]
Para todo \(x\neq 0\) resulta \(|f(x)|=1\), pelo que
\[ \lim_{x\to 0}|f(x)|=1. \]
Contudo,
\[ \lim_{x\to 0^+}f(x)=1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 0^-}f(x)=-1. \]
Uma vez que o limite à direita e o limite à esquerda são diferentes, o limite de \(f\) quando \(x\to 0\) não existe.
Permanência do sinal
Se \(L>0\), então \(f(x)>0\) para todo \(x\) suficientemente perto de \(x_0\), com \(x\neq x_0\). Com efeito, escolhendo \(\varepsilon=L/2\), obtém-se
\[ |f(x)-L|<\frac{L}{2}, \]
donde
\[ f(x)>L-\frac{L}{2}=\frac{L}{2}>0. \]
De modo análogo, se \(L<0\), a função assume valores negativos numa vizinhança perfurada adequada de \(x_0\).
Quando o limite é diferente de zero, o valor absoluto pode, então, ser eliminado localmente tendo em conta o sinal de \(L\):
\[ |f(x)|= \begin{cases} f(x), & L>0,\\ -f(x), & L<0, \end{cases} \]
para todo \(x\) suficientemente perto de \(x_0\).
Limite de uma função composta
Seja \(f\) uma função definida numa vizinhança perfurada de \(x_0\) e seja \(\varphi\) uma função definida numa vizinhança perfurada de um ponto \(L\). Suponhamos que
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L. \]
A função composta
\[ (\varphi\circ f)(x)=\varphi\bigl(f(x)\bigr) \]
está definida nos pontos em que o valor \(f(x)\) pertence ao domínio de \(\varphi\). Para determinar o seu limite é, portanto, necessário estudar o comportamento da função externa \(\varphi\) quando o seu argumento tende para \(L\).
Teorema sobre o limite da função composta
Suponhamos que
\[ \lim_{t\to L}\varphi(t)=M, \]
com \(M\in\mathbb{R}\), e que, para todo \(x\) suficientemente perto de \(x_0\), com \(x\neq x_0\), se verificam as condições
\[ f(x)\in\operatorname{Dom}(\varphi) \qquad\text{e}\qquad f(x)\neq L. \]
Então
\[ \lim_{x\to x_0}\varphi\bigl(f(x)\bigr)=M. \]
A condição \(f(x)\neq L\) é exigida porque o limite de \(\varphi(t)\) quando \(t\to L\) descreve o comportamento da função nos pontos próximos de \(L\), mas diferentes de \(L\). O valor \(\varphi(L)\), quando existe, não está envolvido nesta formulação do teorema.
Demonstração. Fixado \(\varepsilon>0\), da relação
\[ \lim_{t\to L}\varphi(t)=M \]
resulta que existe \(\eta>0\) tal que
\[ 0<|t-L|<\eta \quad\Longrightarrow\quad |\varphi(t)-M|<\varepsilon. \]
Uma vez que \(f(x)\to L\), existe \(\delta>0\) tal que
\[ 0<|x-x_0|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-L|<\eta. \]
Por hipótese, restringindo eventualmente \(\delta\), podemos ainda supor que
\[ f(x)\in\operatorname{Dom}(\varphi) \qquad\text{e}\qquad f(x)\neq L. \]
Assim,
\[ 0<|f(x)-L|<\eta, \]
e, aplicando a condição relativa ao limite de \(\varphi\), obtemos
\[ \bigl|\varphi(f(x))-M\bigr|<\varepsilon. \]
Daí resulta que
\[ \lim_{x\to x_0}\varphi\bigl(f(x)\bigr)=M. \]
Caso da função externa contínua
Se \(\varphi\) é contínua no ponto \(L\), então
\[ \lim_{t\to L}\varphi(t)=\varphi(L). \]
Neste caso não é necessário exigir que \(f(x)\neq L\) perto de \(x_0\), porque a função externa está definida também no ponto \(L\) e o seu valor coincide com o limite. Obtém-se, então, a regra
\[ \lim_{x\to x_0}\varphi\bigl(f(x)\bigr) = \varphi\left(\lim_{x\to x_0}f(x)\right) = \varphi(L). \]
Esta fórmula exprime a possibilidade de fazer passar o limite através de uma função contínua.
Por exemplo, uma vez que a função cosseno é contínua em todo ponto real, se \(f(x)\to L\), então
\[ \lim_{x\to x_0}\cos\bigl(f(x)\bigr)=\cos L. \]
O papel do domínio
Antes de aplicar o teorema é sempre necessário verificar que a composição está definida nos pontos considerados. Se, por exemplo, a função externa é
\[ \varphi(t)=\sqrt{t}, \]
é necessário que \(f(x)\geq 0\) nos pontos do domínio suficientemente perto de \(x_0\). De modo análogo, se
\[ \varphi(t)=\frac{1}{t}, \]
é necessário que \(f(x)\neq 0\).
O teorema da função composta não elimina, pois, as condições de existência das operações envolvidas: permite determinar o limite apenas depois de tais condições terem sido verificadas.
Operações com limites infinitos
Quando uma função tende para \(+\infty\) ou para \(-\infty\), o limite não é um número real. As expressões que envolvem os símbolos de infinito não devem, por isso, ser interpretadas como igualdades aritméticas comuns: elas resumem teoremas sobre o comportamento das funções.
Nesta parte consideraremos apenas as combinações que determinam univocamente o resultado. As operações para as quais os limites de cada função não são suficientes serão examinadas separadamente.
Soma e diferença
Sejam \(f\) e \(g\) definidas numa vizinhança perfurada de \(x_0\). Se
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=M, \]
com \(M\in\mathbb{R}\), então
\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=+\infty. \]
Com efeito, uma vez que \(g(x)\to M\), para \(x\) suficientemente perto de \(x_0\) tem-se
\[ g(x)>M-1. \]
Fixado um número real \(A\), da relação \(f(x)\to+\infty\) resulta que, a partir de certo ponto,
\[ f(x)>A-M+1. \]
Portanto,
\[ f(x)+g(x)>A-M+1+M-1=A. \]
A soma ultrapassa, pois, qualquer limiar real prefixado. De modo análogo,
\[ \begin{aligned} +\infty+M&=+\infty,\\ -\infty+M&=-\infty, \end{aligned} \qquad M\in\mathbb{R}, \]
onde estas expressões representam sinteticamente os correspondentes resultados sobre limites.
Se ambas as funções tendem para o mesmo infinito, os seus efeitos somam-se:
\[ \begin{aligned} +\infty+(+\infty)&=+\infty,\\ -\infty+(-\infty)&=-\infty. \end{aligned} \]
Por exemplo, no primeiro caso, fixado \(A\in\mathbb{R}\), basta ter
\[ f(x)>\frac{A}{2} \qquad\text{e}\qquad g(x)>\frac{A}{2} \]
para obter \(f(x)+g(x)>A\).
A diferença reduz-se à soma através da identidade
\[ f(x)-g(x)=f(x)+\bigl(-g(x)\bigr). \]
Daí resultam, entre outros, os casos determinados
\[ \begin{aligned} +\infty-M&=+\infty,\\ -\infty-M&=-\infty,\\ M-(+\infty)&=-\infty,\\ M-(-\infty)&=+\infty, \end{aligned} \qquad M\in\mathbb{R}. \]
Se os dois termos tendem para infinitos de sinal oposto, tem-se ainda os casos determinados
\[ +\infty-(-\infty)=+\infty, \qquad -\infty-(+\infty)=-\infty. \]
Uma diferença entre duas quantidades que tendem ambas para o mesmo infinito não se enquadra, pelo contrário, nestas regras.
Produto
Suponhamos que
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=M, \]
com \(M>0\). Uma vez que \(g(x)\to M\), para \(x\) suficientemente perto de \(x_0\) tem-se
\[ g(x)>\frac{M}{2}>0. \]
Fixado \(A>0\), da relação \(f(x)\to+\infty\) resulta que, para \(x\) suficientemente perto de \(x_0\),
\[ f(x)>\frac{2A}{M}. \]
Consequentemente,
\[ f(x)g(x)>\frac{2A}{M}\cdot\frac{M}{2}=A, \]
e, portanto,
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)g(x)=+\infty. \]
O sinal do produto depende dos sinais assumidos, a partir de certo ponto, pelos dois fatores. Se \(M\neq 0\), podemos resumir os vários casos do seguinte modo:
\[ \begin{array}{c|cc} & M>0 & M<0\\ \hline f(x)\to+\infty & f(x)g(x)\to+\infty & f(x)g(x)\to-\infty\\ f(x)\to-\infty & f(x)g(x)\to-\infty & f(x)g(x)\to+\infty \end{array} \]
Se ambos os fatores têm limite infinito, valem as habituais regras dos sinais:
\[ \begin{aligned} (+\infty)(+\infty)&=+\infty,\\ (-\infty)(-\infty)&=+\infty,\\ (+\infty)(-\infty)&=-\infty,\\ (-\infty)(+\infty)&=-\infty. \end{aligned} \]
O produto entre uma função que tende para zero e uma função que tende em valor absoluto para infinito não é, pelo contrário, determinado só por estas informações.
Recíproco e quociente
Se
\[ \lim_{x\to x_0}g(x)=+\infty \qquad\text{ou}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=-\infty, \]
então
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{1}{g(x)}=0. \]
Com efeito, fixado \(\varepsilon>0\), o valor absoluto de \(g(x)\) excede, a partir de certo ponto, \(\displaystyle\frac{1}{\varepsilon}\). Portanto,
\[ \left|\frac{1}{g(x)}\right| = \frac{1}{|g(x)|} < \varepsilon. \]
Se \(f(x)\to L\in\mathbb{R}\), aplicando o teorema do produto para limites finitos a
\[ \frac{f(x)}{g(x)} = f(x)\frac{1}{g(x)}, \]
e recordando que \(\displaystyle\frac{1}{g(x)}\to 0\), obtemos
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0 \]
sempre que o numerador tem limite finito e o denominador tende para \(+\infty\) ou para \(-\infty\).
Se, pelo contrário, o numerador tende para infinito e o denominador tende para um número real \(M\neq 0\), o quociente reduz-se ao produto entre o numerador e uma função que tende para \(\displaystyle\frac{1}{M}\). O sinal do resultado depende, então, do sinal do infinito e do de \(M\).
Denominador que tende para zero
Para descrever o comportamento do recíproco quando o denominador tende para zero, é necessário conhecer o sinal com que ele se aproxima de zero.
Se
\[ g(x)\to 0^+, \]
isto é, \(g(x)\to 0\) assumindo valores positivos na vizinhança de \(x_0\), então
\[ \frac{1}{g(x)}\to+\infty. \]
Se, pelo contrário,
\[ g(x)\to 0^-, \]
então
\[ \frac{1}{g(x)}\to-\infty. \]
Consequentemente, se \(f(x)\to L\neq 0\), o limite do quociente depende do sinal de \(L\) e do sinal com que \(g(x)\) tende para zero:
\[ \begin{array}{c|cc} & g(x)\to 0^+ & g(x)\to 0^-\\ \hline L>0 & \displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\to+\infty & \displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\to-\infty\\ L<0 & \displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\to-\infty & \displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\to+\infty \end{array} \]
Se o denominador tende para zero mudando de sinal arbitrariamente perto de \(x_0\), estas informações não permitem, em geral, estabelecer um único limite.
Potências e raízes
Para todo inteiro positivo \(n\), se \(f(x)\to+\infty\), então
\[ \bigl(f(x)\bigr)^n\to+\infty. \]
Se, pelo contrário, \(f(x)\to-\infty\), o resultado depende da paridade do expoente:
\[ \bigl(f(x)\bigr)^n\to \begin{cases} +\infty, & n\text{ par},\\ -\infty, & n\text{ ímpar}. \end{cases} \]
Para \(n\geq 1\), das propriedades do recíproco resulta ainda
\[ \bigl(f(x)\bigr)^{-n}\to 0 \]
quando \(f(x)\to+\infty\) ou \(f(x)\to-\infty\).
Por fim, se \(f(x)\to+\infty\), então
\[ \sqrt[n]{f(x)}\to+\infty \]
para todo \(n\geq 2\). Se \(n\) é ímpar e \(f(x)\to-\infty\), tem-se, pelo contrário,
\[ \sqrt[n]{f(x)}\to-\infty. \]
Todas as regras apresentadas nesta parte dizem respeito a casos nos quais os limites das funções envolvidas determinam o resultado. Quando tal não acontece, a operação conduz a uma forma indeterminada.
Formas determinadas e formas indeterminadas
Quando se calcula o limite de uma expressão composta por várias funções, os limites de cada uma das partes podem ser suficientes para estabelecer o resultado ou podem deixar em aberto várias possibilidades.
No primeiro caso fala-se de forma determinada: o comportamento das funções envolvidas identifica univocamente o limite da expressão. No segundo caso fala-se de forma indeterminada: apenas as informações sobre os limites de cada uma das partes não permitem obter o resultado.
Uma forma indeterminada não indica, portanto, que o limite não existe. Significa apenas que ele não pode ser determinado aplicando diretamente as regras gerais sobre as operações.
Significado das formas simbólicas
Expressões como
\[ \frac{0}{0}, \qquad \frac{\infty}{\infty}, \qquad 0\cdot\infty, \qquad \infty-\infty \]
não representam operações efetuadas entre números. Descrevem sinteticamente o comportamento das funções que compõem um limite.
Por exemplo, a forma
\[ \frac{0}{0} \]
significa que o numerador tende para zero e, simultaneamente, o denominador tende para zero. Só destas informações não resulta nenhum valor preciso para o quociente.
Forma indeterminada \(\displaystyle\frac{0}{0}\)
Consideremos os limites
\[ \lim_{x\to 0}\frac{x}{x}, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x}, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{x}{x^2}. \]
Em todos os três casos, o numerador e o denominador tendem para zero. Contudo,
\[ \frac{x}{x}=1, \qquad \frac{x^2}{x}=x, \qquad \frac{x}{x^2}=\frac{1}{x}, \]
para \(x\neq 0\). Portanto, o primeiro limite vale \(1\) e o segundo vale \(0\). No terceiro caso,
\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x}=-\infty. \]
Uma vez que o limite à direita e o limite à esquerda são diferentes, o limite quando \(x\to 0\) não existe.
A forma \(\displaystyle\frac{0}{0}\) pode, então, conduzir a um número real não nulo, a zero, a um limite infinito ou à não existência do limite.
Forma indeterminada \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\)
Consideremos agora
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{x}, \qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{x^2}, \qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2}{x}. \]
Em cada quociente, o numerador e o denominador tendem para \(+\infty\), mas
\[ \frac{x}{x}=1, \qquad \frac{x}{x^2}=\frac{1}{x}, \qquad \frac{x^2}{x}=x. \]
Os respetivos limites são, portanto,
\[ 1, \qquad 0, \qquad +\infty. \]
O resultado depende da rapidez com que crescem o numerador e o denominador, e não apenas do facto de ambos tenderem para infinito.
Forma indeterminada \(0\cdot\infty\)
Num produto entre uma função que tende para zero e uma função que tende em valor absoluto para infinito, os dois fatores exercem efeitos opostos: o primeiro tende a tornar o produto pequeno, enquanto o segundo tende a aumentar o seu valor absoluto.
Por exemplo, quando \(x\to+\infty\),
\[ \frac{1}{x}\cdot x=1, \qquad \frac{1}{x^2}\cdot x=\frac{1}{x}, \qquad \frac{1}{x}\cdot x^2=x. \]
Em todos os três casos o primeiro fator tende para zero e o segundo tende para \(+\infty\), mas os produtos tendem, respetivamente, para \(1\), para \(0\) e para \(+\infty\).
A forma \(0\cdot\infty\) é frequentemente transformada numa forma de quociente. Uma vez que uma função que tende em valor absoluto para infinito é, a partir de certo ponto, diferente de zero, podemos escrever
\[ f(x)g(x) = \frac{f(x)}{\displaystyle\frac{1}{g(x)}}. \]
Nos pontos em que também \(f(x)\neq 0\), é possível usar, em alternativa,
\[ f(x)g(x) = \frac{g(x)}{\displaystyle\frac{1}{f(x)}}. \]
A escolha da transformação depende da estrutura da expressão.
Forma indeterminada \(\infty-\infty\)
Quando duas funções tendem para o mesmo infinito, a sua diferença depende do modo como elas se comparam.
Quando \(x\to+\infty\), consideremos
\[ (x+1)-x, \qquad x-x, \qquad x-2x. \]
Em cada caso os dois termos tendem para \(+\infty\), mas as diferenças são, respetivamente,
\[ 1, \qquad 0, \qquad -x. \]
Os limites são, portanto, \(1\), \(0\) e \(-\infty\).
Para eliminar esta forma procura-se, geralmente, pôr em evidência um fator comum, reduzir ao mesmo denominador, racionalizar ou reescrever a expressão numa forma equivalente mais adequada à comparação.
Formas indeterminadas exponenciais
Quando tanto a base como o expoente dependem de \(x\), podem surgir também as formas
\[ 1^\infty, \qquad 0^0, \qquad \infty^0. \]
A forma \(1^\infty\) surge quando a base tende para \(1\), enquanto o expoente tende para \(+\infty\) ou para \(-\infty\). O facto de a base se aproximar de \(1\) não é suficiente para determinar o limite da potência.
Por exemplo, quando \(x\to+\infty\),
\[ \left(1+\frac{1}{x^2}\right)^x\to 1, \qquad \left(1+\frac{1}{x}\right)^x\to e, \qquad \left(1+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^x\to+\infty. \]
Em todos os três casos a base tende para \(1\) e o expoente tende para \(+\infty\), mas os limites são diferentes.
Também a forma \(0^0\) pode produzir comportamentos diferentes. Quando \(x\to 0^+\), consideremos
\[ x^x\to 1, \qquad x^{\frac{1}{|\ln(x)|}}\to e^{-1}, \qquad x^{\frac{1}{\sqrt{|\ln(x)|}}}\to 0. \]
Em todos os três casos a base tende para \(0^+\) e o expoente tende para zero. Os limites são, no entanto, diferentes, porque o comportamento da potência depende do produto entre o expoente e o logaritmo natural da base.
Para a forma \(\infty^0\), quando \(x\to+\infty\), podem considerar-se
\[ x^{1/x}\to 1, \qquad x^{1/\ln(x)}\to e, \qquad x^{1/\sqrt{\ln(x)}}\to+\infty. \]
Em todos os três casos a base tende para \(+\infty\) e o expoente tende para zero, mas os limites são diferentes.
As formas exponenciais estudam-se, normalmente, aplicando o logaritmo natural. Se
\[ y(x)=\bigl(f(x)\bigr)^{g(x)} \]
e \(f(x)>0\) nos pontos considerados, então
\[ \ln\bigl(y(x)\bigr)=g(x)\ln\bigl(f(x)\bigr). \]
O problema reduz-se, assim, ao estudo do produto \(g(x)\ln\bigl(f(x)\bigr)\).
Quadro-resumo
As principais formas indeterminadas são
\[ \frac{0}{0}, \qquad \frac{\infty}{\infty}, \qquad 0\cdot\infty, \qquad \infty-\infty, \qquad 1^\infty, \qquad 0^0, \qquad \infty^0. \]
Reconhecer uma forma indeterminada não conclui o cálculo do limite: identifica o ponto em que as regras imediatas deixam de ser suficientes. A partir desse momento é necessário transformar a expressão ou comparar mais cuidadosamente as funções envolvidas.
Limites de polinómios e funções racionais
Os teoremas sobre as operações permitem calcular diretamente os limites dos polinómios e, quando o denominador não tende para zero, os das funções racionais.
Limite de um polinómio num ponto finito
Seja
\[ P(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n \]
um polinómio de coeficientes reais. Uma vez que
\[ \lim_{x\to x_0}x=x_0, \]
dos teoremas sobre a soma, sobre o produto por uma constante e sobre as potências resulta
\[ \lim_{x\to x_0}P(x) = a_0+a_1x_0+\cdots+a_nx_0^n = P(x_0). \]
O limite de um polinómio num ponto real calcula-se, portanto, substituindo diretamente \(x\) pelo valor \(x_0\).
Este resultado exprime a continuidade dos polinómios em todo o \(\mathbb{R}\).
Limite de uma função racional num ponto finito
Sejam \(P\) e \(Q\) dois polinómios, com \(Q\) não nulo, e consideremos a função racional
\[ R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}. \]
Se
\[ Q(x_0)\neq 0, \]
então o teorema do quociente fornece
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{P(x_0)}{Q(x_0)}. \]
Também neste caso o limite se obtém mediante substituição direta.
Se, pelo contrário, \(Q(x_0)=0\), o teorema do quociente não pode ser aplicado. O comportamento depende do numerador e da estrutura algébrica da fração.
Se
\[ P(x_0)\neq 0 \qquad\text{e}\qquad Q(x)\to 0, \]
o valor absoluto do quociente cresce sem limite, mas para determinar o seu sinal é necessário estudar o do numerador e o do denominador na vizinhança de \(x_0\).
Se, pelo contrário,
\[ P(x_0)=Q(x_0)=0, \]
surge a forma indeterminada \(\displaystyle\frac{0}{0}\). Neste caso pode ser possível decompor os polinómios e simplificar os fatores comuns.
Se \(P\) é o polinómio nulo, a função racional vale \(0\) em todo ponto do seu domínio e o limite é igual a \(0\). Suponhamos, então, que \(P\) e \(Q\) não são polinómios nulos e indiquemos por \(r,s\geq 1\) as respetivas multiplicidades de \(x_0\) como raiz. Podemos, então, escrever
\[ P(x)=(x-x_0)^rP_1(x), \qquad Q(x)=(x-x_0)^sQ_1(x), \]
com
\[ P_1(x_0)\neq 0, \qquad Q_1(x_0)\neq 0. \]
Para \(x\neq x_0\) tem-se
\[ \frac{P(x)}{Q(x)} = (x-x_0)^{r-s}\frac{P_1(x)}{Q_1(x)}. \]
Se \(r>s\), então
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{P(x)}{Q(x)}=0. \]
Se \(r=s\), então
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{P_1(x_0)}{Q_1(x_0)}. \]
Se \(r<s\), por fim,
\[ \left|\frac{P(x)}{Q(x)}\right|\to+\infty. \]
Neste último caso, para estabelecer se o limite é \(+\infty\), \(-\infty\) ou se o limite à direita e o limite à esquerda são diferentes, é necessário analisar o sinal da expressão.
Limite de um polinómio no infinito
Consideremos um polinómio de grau \(n\geq 1\):
\[ P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0, \qquad a_n\neq 0. \]
Pondo em evidência a potência de maior grau, obtemos
\[ P(x) = x^n \left( a_n+\frac{a_{n-1}}{x} +\cdots+ \frac{a_1}{x^{n-1}} +\frac{a_0}{x^n} \right). \]
Quando \(x\to+\infty\) ou \(x\to-\infty\), todos os termos que contêm uma potência positiva de \(x\) no denominador tendem para zero. Consequentemente,
\[ a_n+\frac{a_{n-1}}{x} +\cdots+ \frac{a_0}{x^n} \to a_n. \]
O comportamento do polinómio é, portanto, determinado pelo termo de maior grau:
\[ P(x)\sim a_nx^n \qquad \text{para }x\to\pm\infty. \]
O símbolo \(\sim\) indica que a razão entre as duas expressões tende para \(1\):
\[ \lim_{x\to\pm\infty}\frac{P(x)}{a_nx^n}=1. \]
Quando \(x\to+\infty\), o sinal do limite coincide com o do coeficiente principal \(a_n\):
\[ \lim_{x\to+\infty}P(x) = \begin{cases} +\infty, & a_n>0,\\ -\infty, & a_n<0. \end{cases} \]
Quando \(x\to-\infty\), intervém também a paridade do grau:
\[ \lim_{x\to-\infty}P(x) = \begin{cases} +\infty, & n\text{ par e }a_n>0,\\ -\infty, & n\text{ par e }a_n<0,\\ -\infty, & n\text{ ímpar e }a_n>0,\\ +\infty, & n\text{ ímpar e }a_n<0. \end{cases} \]
Limite de uma função racional no infinito
Sejam
\[ P(x)=a_nx^n+\cdots+a_0, \qquad Q(x)=b_mx^m+\cdots+b_0, \]
com \(a_n\neq 0\) e \(b_m\neq 0\). Para estudar
\[ \lim_{x\to\pm\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}, \]
pomos em evidência \(x^n\) no numerador e \(x^m\) no denominador:
\[ \begin{aligned} \frac{P(x)}{Q(x)} &= \frac{ x^n\left( a_n+\displaystyle\frac{a_{n-1}}{x}+\cdots+ \displaystyle\frac{a_0}{x^n} \right) }{ x^m\left( b_m+\displaystyle\frac{b_{m-1}}{x}+\cdots+ \displaystyle\frac{b_0}{x^m} \right) }\\ &= x^{n-m} \frac{ a_n+\displaystyle\frac{a_{n-1}}{x}+\cdots+ \displaystyle\frac{a_0}{x^n} }{ b_m+\displaystyle\frac{b_{m-1}}{x}+\cdots+ \displaystyle\frac{b_0}{x^m} }. \end{aligned} \]
A fração que fica dentro tende para
\[ \frac{a_n}{b_m}. \]
O resultado depende, portanto, da comparação entre os graus \(n\) e \(m\).
Se \(n<m\), então \(x^{n-m}\to 0\) e
\[ \lim_{x\to\pm\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}=0. \]
Se \(n=m\), então
\[ \lim_{x\to\pm\infty}\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{a_n}{b_m}. \]
Se \(n>m\), o valor absoluto do quociente tende para \(+\infty\):
\[ \left|\frac{P(x)}{Q(x)}\right|\to+\infty. \]
O sinal do limite determina-se estudando
\[ \frac{a_n}{b_m}x^{n-m}. \]
Em particular, quando \(x\to+\infty\) o sinal coincide com o da razão \(\displaystyle\frac{a_n}{b_m}\). Quando \(x\to-\infty\), é necessário considerar também a paridade da diferença \(n-m\).
Princípio do termo dominante
Os resultados anteriores podem ser sintetizados observando que, no infinito, os termos de grau inferior se tornam desprezáveis face aos de maior grau:
\[ P(x)\sim a_nx^n, \qquad Q(x)\sim b_mx^m. \]
Consequentemente,
\[ \frac{P(x)}{Q(x)} \sim \frac{a_n}{b_m}x^{n-m}. \]
Esta relação não substitui a demonstração, mas resume o seu conteúdo: o comportamento assintótico de uma função racional é governado pelos termos de maior grau do numerador e do denominador.
Exemplos de síntese e erros a evitar
No cálculo de um limite, o primeiro passo consiste em identificar os limites de cada uma das partes da expressão. Só depois desta verificação é possível estabelecer se os teoremas sobre as operações conduzem diretamente ao resultado ou se surge uma forma indeterminada.
Soma, produto e potências
Consideremos
\[ \lim_{x\to 2}\left(3x^2-5x+4\right). \]
Uma vez que a função é um polinómio, o limite obtém-se mediante substituição direta:
\[ \begin{aligned} \lim_{x\to 2}\left(3x^2-5x+4\right) &=3\cdot 2^2-5\cdot 2+4\\ &=12-10+4\\ &=6. \end{aligned} \]
A substituição é legítima porque o resultado decorre dos teoremas sobre a soma, sobre o produto e sobre as potências.
Quociente com denominador não nulo
Consideremos
\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^2+2x}{x+3}. \]
O numerador tende para \(3\), enquanto o denominador tende para \(4\neq 0\). Podemos, então, aplicar o teorema do quociente:
\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^2+2x}{x+3} = \frac{3}{4}. \]
Forma indeterminada \(\displaystyle\frac{0}{0}\)
Consideremos
\[ \lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}. \]
A substituição direta produz a forma indeterminada
\[ \frac{0}{0}. \]
Decompomos o numerador:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2). \]
Para \(x\neq 2\), podemos simplificar o fator comum:
\[ \frac{x^2-4}{x-2}=x+2. \]
Uma vez que o limite depende dos valores assumidos na vizinhança de \(2\), e não do valor no próprio ponto, resulta
\[ \lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x\to 2}(x+2) = 4. \]
Forma indeterminada \(\infty-\infty\)
Consideremos
\[ \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right). \]
Ambos os termos tendem para \(+\infty\), pelo que surge a forma indeterminada \(\infty-\infty\). Multiplicamos e dividimos pela expressão conjugada:
\[ \begin{aligned} \sqrt{x^2+x}-x &= \frac{ \left(\sqrt{x^2+x}-x\right) \left(\sqrt{x^2+x}+x\right) }{ \sqrt{x^2+x}+x }\\ &= \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}. \end{aligned} \]
Uma vez que \(x>0\) para todo \(x\) suficientemente grande, podemos dividir o numerador e o denominador por \(x\):
\[ \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x} = \frac{1}{\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{x}}+1}. \]
Neste ponto o limite está determinado:
\[ \lim_{x\to+\infty} \frac{1}{\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{x}}+1} = \frac{1}{2}. \]
Quociente de polinómios no infinito
Consideremos
\[ \lim_{x\to-\infty} \frac{2x^3-x+1}{x^2+4}. \]
O grau do numerador é maior do que o do denominador. O comportamento do quociente é, portanto, governado pela razão entre os termos de maior grau:
\[ \frac{2x^3}{x^2}=2x. \]
Uma vez que \(2x\to-\infty\) quando \(x\to-\infty\), obtemos
\[ \lim_{x\to-\infty} \frac{2x^3-x+1}{x^2+4} = -\infty. \]
O mesmo resultado pode ser verificado dividindo o numerador e o denominador por \(x^2\):
\[ \frac{2x^3-x+1}{x^2+4} = \frac{ 2x-\displaystyle\frac{1}{x} +\displaystyle\frac{1}{x^2} }{ 1+\displaystyle\frac{4}{x^2} }. \]
O denominador tende para \(1\), enquanto o numerador tende para \(-\infty\).
Denominador que tende para zero
Consideremos
\[ \lim_{x\to 1}\frac{1}{x-1}. \]
O denominador tende para zero e assume sinais opostos à direita e à esquerda de \(x=1\). Quando \(x\to 1^+\),
\[ x-1\to 0^+, \]
e, portanto,
\[ \lim_{x\to 1^+}\frac{1}{x-1}=+\infty. \]
Quando \(x\to 1^-\), pelo contrário,
\[ x-1\to 0^-, \]
donde
\[ \lim_{x\to 1^-}\frac{1}{x-1}=-\infty. \]
O limite à direita e o limite à esquerda são diferentes; portanto, o limite quando \(x\to 1\) não existe, nem sequer como limite infinito.
Erros a evitar
O primeiro erro consiste em aplicar o teorema do quociente quando o limite do denominador é zero. De
\[ f(x)\to L \qquad\text{e}\qquad g(x)\to 0 \]
não resulta uma fórmula geral para o limite de \(\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\). É necessário distinguir o caso \(L\neq 0\) do caso \(L=0\) e, quando necessário, estudar o sinal do denominador.
Um segundo erro consiste em considerar as formas indeterminadas como resultados. Escrever
\[ \frac{0}{0}, \qquad \infty-\infty \qquad\text{ou}\qquad 0\cdot\infty \]
não conclui o cálculo: assinala apenas que a expressão deve ser transformada ou analisada com mais atenção.
Não se deve, além disso, tratar \(+\infty\) e \(-\infty\) como números reais. Fórmulas como
\[ +\infty+M=+\infty \]
são abreviaturas de resultados sobre limites e só têm significado no contexto das hipóteses que as justificam.
Outro erro frequente consiste em ignorar o domínio. Antes de calcular o limite de uma expressão que contém uma raiz, um denominador, um logaritmo ou uma potência real, é necessário verificar que a expressão está definida em pontos do seu domínio arbitrariamente próximos do ponto para o qual a variável tende.
Por fim, a substituição direta não é uma regra universal. É válida quando decorre da continuidade das funções envolvidas e quando todas as operações permanecem definidas na passagem ao limite. Se produz uma forma indeterminada, não fornece o valor procurado.
As operações sobre limites permitem, pois, conservar, sob hipóteses precisas, a estrutura algébrica das funções. A sua aplicação correta exige, no entanto, distinguir sempre entre casos determinados, formas indeterminadas e situações nas quais o limite não existe.