Quando duas funções tendem ambas para \(+\infty\), saber que são infinitas não basta para descrever o seu comportamento. Com efeito, podem crescer a velocidades muito distintas: um logaritmo cresce mais lentamente do que uma potência, uma potência mais lentamente do que uma exponencial, e uma exponencial mais lentamente do que funções como \(x^x\).
A hierarquia dos infinitos permite ordenar as funções segundo a sua velocidade de crescimento. A comparação efetua-se estudando o limite do quociente entre elas: deste modo, é possível determinar se uma função é desprezável em relação à outra, se ambas têm a mesma ordem de crescimento ou se uma cresce mais rapidamente do que a outra.
Nesta página desenvolvemos, de forma rigorosa mas acessível, os principais critérios de comparação entre infinitos e construímos as escalas assintóticas fundamentais. O termo «hierarquia» não se refere aqui às diferentes cardinalidades dos conjuntos infinitos, mas exclusivamente às ordens de crescimento das funções.
Índice
- Como se comparam dois infinitos
- Infinitos de ordem superior, inferior e da mesma ordem
- Infinitos equivalentes
- A hierarquia fundamental dos infinitos
- Aplicações e exemplos de comparação
Como se comparam dois infinitos
Dizer que duas funções tendem ambas para infinito não significa que cresçam com a mesma rapidez. Para comparar o seu comportamento, é necessário considerá-las em um mesmo processo de passagem ao limite e determinar como cada uma varia em relação à outra.
Sejam \(f\) e \(g\) duas funções tais que
\[ |f(x)|\to+\infty \qquad\text{e}\qquad |g(x)|\to+\infty \]
quando \(x\to x_0\), onde \(x_0\) pode ser um número real, \(+\infty\) ou \(-\infty\). Para comparar as suas ordens de crescimento, estuda-se, quando existe, o limite do quociente dos seus módulos:
\[ L=\lim_{x\to x_0}\frac{|f(x)|}{|g(x)|}. \]
Este quociente mede a grandeza de \(f(x)\) em relação à de \(g(x)\). Se tende para \(0\), a grandeza de \(f(x)\) torna-se desprezável em relação à de \(g(x)\); se tende para um número real positivo, ambas as funções têm grandezas comparáveis; se tende para \(+\infty\), \(f(x)\) domina \(g(x)\).
Quando as duas funções têm o mesmo sinal a partir de certo ponto do processo de passagem ao limite considerado, podem omitir-se os valores absolutos e estudar-se diretamente
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}. \]
Por exemplo, quando \(x\to+\infty\),
\[ \frac{x^2}{x^3}=\frac{1}{x}\to 0. \]
Assim, embora \(x^2\) e \(x^3\) tendam ambas para \(+\infty\), a função \(x^2\) cresce mais lentamente do que \(x^3\).
O limite do quociente não existe necessariamente. Nesse caso, este critério, por si só, não permite atribuir de imediato às duas funções nenhuma das relações que serão definidas na secção seguinte.
Infinitos de ordem superior, inferior e da mesma ordem
Sejam \(f\) e \(g\) duas funções infinitas quando \(x\to x_0\). O limite do quociente dos seus módulos permite precisar qual das duas prevalece no processo considerado.
Se
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{|f(x)|}{|g(x)|}=0, \]
então \(f\) é um infinito de ordem inferior em relação a \(g\), ao passo que \(g\) é um infinito de ordem superior em relação a \(f\). Escreve-se
\[ f(x)=o\bigl(g(x)\bigr) \qquad\text{quando }x\to x_0. \]
Esta relação significa que, embora ambas sejam infinitas, a grandeza de \(f(x)\) se torna desprezável em relação à de \(g(x)\).
Se, pelo contrário,
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{|f(x)|}{|g(x)|}=L, \qquad 0<L<+\infty, \]
então \(f\) e \(g\) são infinitos da mesma ordem. O quociente dos seus módulos não tende nem para \(0\) nem para \(+\infty\): ambas as funções têm, portanto, grandezas assintoticamente comparáveis.
Por fim, se
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{|f(x)|}{|g(x)|}=+\infty, \]
então \(f\) é um infinito de ordem superior em relação a \(g\). Esta situação equivale a
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{|g(x)|}{|f(x)|}=0. \]
Por exemplo, quando \(x\to+\infty\),
\[ \frac{3x^2}{5x^2}=\frac{3}{5}. \]
Como o quociente tende para um número positivo e finito, \(3x^2\) e \(5x^2\) são infinitos da mesma ordem. Não são, porém, equivalentes, uma vez que o limite do seu quociente não é igual a \(1\): esta distinção será precisada na secção seguinte.
Infinitos equivalentes
Sejam \(f\) e \(g\) duas funções infinitas quando \(x\to x_0\). Diz-se que são infinitos equivalentes se
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=1. \]
Nesse caso, escreve-se
\[ f(x)\sim g(x) \qquad\text{quando }x\to x_0. \]
A equivalência significa que o quociente das duas funções tende para \(1\): cada uma delas fornece, por conseguinte, uma aproximação assintótica de primeira ordem da outra.
Dois infinitos equivalentes são necessariamente da mesma ordem, mas o recíproco nem sempre é verdadeiro. Por exemplo, \(3x^2\) e \(5x^2\) são da mesma ordem quando \(x\to+\infty\), mas não são equivalentes, uma vez que
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2}{5x^2}=\frac{3}{5}\neq 1. \]
Se, mais geralmente,
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=L, \qquad L\in\mathbb{R}\setminus\{0\}, \]
então \(f\) e \(g\) são da mesma ordem e tem-se
\[ f(x)\sim Lg(x). \]
Por exemplo, quando \(x\to+\infty\),
\[ \frac{x^2+3x}{x^2}=1+\frac{3}{x}\to 1. \]
Portanto,
\[ x^2+3x\sim x^2. \]
A equivalência assintótica não é uma igualdade: descreve apenas o comportamento relativo das funções no processo de passagem ao limite considerado. Por esse motivo, a substituição de uma função por uma equivalente sua deve ser efetuada com cautela, sobretudo nas somas e nas diferenças, onde podem ocorrer cancelamentos.
A hierarquia fundamental dos infinitos
Quando \(x\to+\infty\), as principais funções que tendem para \(+\infty\) podem ordenar-se segundo a sua velocidade de crescimento. As famílias fundamentais são as funções logarítmicas, as potências e as funções exponenciais.
Dentro da família das potências, se \(0<\alpha<\beta\), então
\[ x^\alpha=o\bigl(x^\beta\bigr). \]
Uma potência de expoente maior é, portanto, um infinito de ordem superior em relação a uma potência de expoente menor.
Analogamente, entre duas funções exponenciais de base maior do que \(1\), se \(1<a<b\), tem-se
\[ a^x=o\bigl(b^x\bigr). \]
Para os logaritmos, pelo contrário, a mudança de base introduz apenas um fator constante. Se \(a>1\), então
\[ \log_a(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(a)}. \]
Em consequência, todas as funções logarítmicas de base maior do que \(1\) são infinitos da mesma ordem. Para estudar a hierarquia basta, pois, fixar uma base; a seguir, utilizaremos o logaritmo natural, denotado por \(\ln(x)\).
A comparação entre famílias distintas conduz às relações fundamentais
\[ \bigl(\ln(x)\bigr)^p=o\bigl(x^q\bigr) \qquad\text{e}\qquad x^q=o\bigl(a^x\bigr), \]
válidas para todo \(p>0\), \(q>0\) e \(a>1\). Assim, qualquer potência positiva do logaritmo natural cresce mais lentamente do que qualquer potência positiva de \(x\), ao passo que qualquer potência positiva de \(x\) cresce mais lentamente do que toda exponencial de base maior do que \(1\).
A hierarquia pode ser alargada de modo a incluir o logaritmo iterado e a função \(x^x\):
\[ \ln\bigl(\ln(x)\bigr)=o\bigl(\bigl(\ln(x)\bigr)^p\bigr), \qquad \bigl(\ln(x)\bigr)^p=o\bigl(x^q\bigr), \qquad x^q=o\bigl(a^x\bigr), \qquad a^x=o\bigl(x^x\bigr). \]
Esta cadeia não compara os valores das funções para todo \(x\), mas descreve exclusivamente o seu comportamento assintótico quando \(x\to+\infty\). Cada função situada mais à direita domina assintoticamente todas as que a precedem.
Aplicações e exemplos de comparação
Uma vez estabelecida a hierarquia fundamental, muitas comparações podem ser resolvidas reconhecendo as famílias a que pertencem as funções, sem necessidade de calcular, em cada caso, o limite por meio de procedimentos mais longos.
Consideremos, por exemplo,
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\bigl(\ln(x)\bigr)^4}{x^{1/3}}. \]
Toda potência positiva do logaritmo natural cresce mais lentamente do que qualquer potência positiva de \(x\). Portanto,
\[ \bigl(\ln(x)\bigr)^4=o\bigl(x^{1/3}\bigr) \]
e, em consequência,
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\bigl(\ln(x)\bigr)^4}{x^{1/3}}=0. \]
Analogamente, no limite
\[ \lim_{x\to+\infty}x^5e^{-x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^5}{e^x}, \]
a função exponencial domina a potência. Como
\[ x^5=o\bigl(e^x\bigr), \]
obtém-se
\[ \lim_{x\to+\infty}x^5e^{-x}=0. \]
A hierarquia permite também comparar funções pertencentes a uma mesma família. Por exemplo,
\[ \frac{2^x}{5^x}=\left(\frac{2}{5}\right)^x\to 0, \]
portanto,
\[ 2^x=o\bigl(5^x\bigr) \qquad\text{quando }x\to+\infty. \]
Outra aplicação importante consiste em identificar o termo dominante de uma soma. Consideremos
\[ f(x)=3e^x+7x^4-\bigl(\ln(x)\bigr)^2. \]
Dividindo por \(3e^x\), tem-se
\[ \frac{f(x)}{3e^x}=1+\frac{7x^4}{3e^x}-\frac{\bigl(\ln(x)\bigr)^2}{3e^x}. \]
Como tanto \(x^4\) como \(\bigl(\ln(x)\bigr)^2\) são de ordem inferior em relação a \(e^x\), os dois últimos termos tendem para \(0\). Segue-se que
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{3e^x}=1, \]
e, por conseguinte,
\[ 3e^x+7x^4-\bigl(\ln(x)\bigr)^2\sim 3e^x. \]
A equivalência assintótica conserva-se nos produtos e nos quocientes: se \(f\sim g\) e \(h\sim k\) no mesmo processo de passagem ao limite, então \(fh\sim gk\) e, desde que \(h\) e \(k\) não se anulem a partir de certo ponto desse processo, \(\displaystyle\frac{f}{h}\sim\frac{g}{k}\). Nas somas e nas diferenças, pelo contrário, uma função não pode ser substituída indiscriminadamente por uma equivalente sua. Por exemplo,
\[ x^2+x\sim x^2, \]
mas na diferença
\[ (x^2+x)-x^2=x, \]
os termos dominantes cancelam-se. Substituir \(x^2+x\) pela sua equivalente \(x^2\) faria, portanto, perder precisamente o termo que determina o resultado.