Uma função é descontínua num ponto quando, nesse ponto, deixa de se verificar uma das condições exigidas para a continuidade. Do ponto de vista intuitivo, o gráfico pode apresentar uma interrupção, um salto, um crescimento ilimitado ou um comportamento oscilatório que impede a função de se aproximar de um único valor.
A noção de descontinuidade não deve, no entanto, ser interpretada apenas em termos gráficos. A sua classificação depende, de forma precisa, do comportamento do limite da função e, sempre que o domínio permita aproximar-se do ponto por ambos os lados, da comparação entre o limite à esquerda e o limite à direita.
Nesta página estudaremos, de modo rigoroso, os principais tipos de descontinuidade, esclarecendo o papel do valor \(f(x_0)\), do domínio e dos limites laterais. Veremos ainda por que razão algumas descontinuidades podem ser eliminadas alterando o valor da função num único ponto, enquanto outras dependem do comportamento da função em toda a vizinhança do ponto considerado.
Índice
- Continuidade e descontinuidade num ponto
- O papel fundamental do limite
- Limite à direita e limite à esquerda
- Descontinuidade removível
- Descontinuidade de salto
- Descontinuidade infinita
- Descontinuidade essencial e comportamento oscilatório
- Classificação tradicional das descontinuidades
- O papel do domínio da função
- Descontinuidade e extremos do domínio
- Interpretação gráfica
- Exemplos de classificação
- Procedimento para estudar uma descontinuidade
- Erros frequentes
- Quadro-resumo
Continuidade e descontinuidade num ponto
Seja \(A\subseteq\mathbb{R}\), seja \(f:A\to\mathbb{R}\) uma função real e seja \(x_0\in A\). Se \(x_0\) é um ponto de acumulação do domínio \(A\), a função \(f\) é contínua em \(x_0\) quando
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0). \]
Esta igualdade engloba duas condições fundamentais: o limite deve existir e ser finito, e o seu valor deve coincidir com o valor que a função assume no ponto.
Se
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L, \]
a continuidade exige então que
\[ L=f(x_0). \]
Se alguma destas condições não se verificar, a função não é contínua em \(x_0\).
Se \(x_0\) for, pelo contrário, um ponto isolado do domínio, a função é automaticamente contínua em \(x_0\). Por este motivo, no estudo das descontinuidades a atenção concentra-se sobretudo nos pontos de acumulação do domínio e nos pontos excluídos do domínio nos quais, ainda assim, é possível estudar o comportamento da função quando \(x\) se aproxima do ponto.
Podem então ocorrer situações muito diversas: o limite pode existir sem coincidir com \(f(x_0)\); o limite à esquerda e o limite à direita podem ser diferentes; a função pode crescer sem limite; ou pode oscilar indefinidamente sem se aproximar de nenhum valor.
A classificação das descontinuidades resulta precisamente da análise destes diferentes comportamentos.
O papel fundamental do limite
Para compreender corretamente as descontinuidades, é essencial distinguir o valor da função no ponto do comportamento da função nas proximidades do ponto.
O valor
\[ f(x_0) \]
descreve o que acontece exatamente em \(x_0\).
O limite
\[ \lim_{x\to x_0}f(x) \]
descreve, pelo contrário, o comportamento de \(f(x)\) quando \(x\) se aproxima de \(x_0\). O valor que a função assume exatamente no ponto não intervém no cálculo do limite.
Exemplo. Consideremos
\[ f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}, \qquad x\neq1. \]
Para \(x\neq1\) podemos decompor o numerador em fatores:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1). \]
Por conseguinte,
\[ f(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1, \qquad x\neq1. \]
Logo,
\[ \lim_{x\to1}f(x) = \lim_{x\to1}(x+1) = 2. \]
A função original não está, no entanto, definida em \(x=1\).
Embora \(f(1)\) não esteja definido, isso não impede que o limite exista. O limite depende do que acontece quando \(x\) está arbitrariamente próximo de \(1\), e não do que acontece exatamente no ponto.
Esta distinção é fundamental para compreender as descontinuidades removíveis.
Limite à direita e limite à esquerda
Quando o domínio permite aproximar-se de \(x_0\) tanto por valores inferiores como por valores superiores a \(x_0\), é frequentemente necessário estudar separadamente os dois comportamentos.
O limite à esquerda é
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x), \]
enquanto o limite à direita é
\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x). \]
Quando ambos têm sentido em relação ao domínio, o limite
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L \]
existe e é igual a \(L\) se e somente se o limite à esquerda e o limite à direita existirem e coincidirem:
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x) = \lim_{x\to x_0^+}f(x) = L. \]
Esta propriedade permite classificar muitas descontinuidades.
Se, por exemplo,
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=L_1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x)=L_2, \]
com
\[ L_1,L_2\in\mathbb{R}, \qquad L_1\neq L_2, \]
então o limite quando \(x\to x_0\) não existe e ocorre uma descontinuidade de salto.
Descontinuidade removível
Diz-se que existe uma descontinuidade removível quando existe um limite finito
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L, \qquad L\in\mathbb{R}, \]
mas a função não assume em \(x_0\) o valor \(L\).
Podem ocorrer duas situações.
Se \(x_0\) pertence ao domínio, \(f(x_0)\) está definido, mas
\[ f(x_0)\neq L. \]
Se, pelo contrário, \(x_0\) não pertence ao domínio mas é um ponto de acumulação do domínio, então \(f(x_0)\) não está definido. Em sentido estritamente formal, não se pode dizer que a função original seja descontínua num ponto que não pertence ao seu domínio. No estudo das funções, contudo, é habitual falar também neste caso de descontinuidade removível, ou de singularidade removível, porque a função pode ser prolongada com continuidade atribuindo a \(x_0\) o valor \(L\).
Exemplo. Consideremos
\[ f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}, \qquad x\neq2. \]
Para \(x\neq2\),
\[ f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2. \]
Logo,
\[ \lim_{x\to2}f(x)=4. \]
Como \(f(2)\) não está definido, a função apresenta um ponto em falta em \(x=2\).
Podemos corrigir esta situação definindo
\[ g(x)= \begin{cases} f(x), & x\neq2,\\ 4, & x=2. \end{cases} \]
Obtém-se assim
\[ \lim_{x\to2}g(x)=g(2)=4, \]
pelo que \(g\) é contínua em \(x=2\).
A descontinuidade diz-se removível precisamente porque basta atribuir ao ponto o valor do limite.
Descontinuidade de salto
Há uma descontinuidade de salto em \(x_0\) quando o limite à esquerda e o limite à direita existem e são finitos, mas diferentes:
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=L_1, \qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x)=L_2, \]
com
\[ L_1\neq L_2. \]
Neste caso,
\[ \lim_{x\to x_0}f(x) \]
não existe, porque a função se aproxima de dois valores diferentes consoante \(x\) tende para \(x_0\) pela esquerda ou pela direita.
Exemplo. Consideremos
\[ f(x)= \begin{cases} 1, & x<0,\\ 3, & x\geq0. \end{cases} \]
O limite à esquerda é
\[ \lim_{x\to0^-}f(x)=1, \]
enquanto o limite à direita é
\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=3. \]
Como
\[ 1\neq3, \]
o limite quando \(x\to0\) não existe e a função apresenta uma descontinuidade de salto.
A amplitude do salto é
\[ |L_2-L_1|. \]
Neste exemplo:
\[ |3-1|=2. \]
O valor que a função assume exatamente em \(x=0\) não altera a natureza da descontinuidade: ainda que \(f(0)\) fosse modificado, o limite à esquerda continuaria a ser \(1\) e o limite à direita continuaria a ser \(3\).
Uma descontinuidade de salto não pode, portanto, ser eliminada alterando o valor da função num único ponto.
Descontinuidade infinita
Fala-se de descontinuidade infinita quando, considerando os lados a partir dos quais o domínio permite aproximar-se de \(x_0\), pelo menos um dos limites laterais é igual a \(+\infty\) ou a \(-\infty\).
Por exemplo, pode acontecer que
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=+\infty \]
ou que
\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=-\infty. \]
Nestes casos, a função não se aproxima de nenhum valor real finito. Se \(x_0\) pertence ao domínio, a função não pode ser contínua em \(x_0\); se \(x_0\) não pertence ao domínio, não é possível obter um prolongamento contínuo atribuindo-lhe um valor real nesse ponto.
Exemplo. Consideremos
\[ f(x)=\frac{1}{(x-2)^2}. \]
Quando \(x\) se aproxima de \(2\), o denominador permanece positivo e tende para zero. Por conseguinte,
\[ \lim_{x\to2^-}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty \]
e
\[ \lim_{x\to2^+}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty. \]
Logo,
\[ \lim_{x\to2}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty. \]
A função apresenta, portanto, uma descontinuidade infinita em \(x=2\).
Além disso, a reta
\[ x=2 \]
é uma assíntota vertical.
Em geral, para que \(x=x_0\) seja uma assíntota vertical basta que pelo menos um dos limites laterais seja infinito.
Por exemplo, se
\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=+\infty, \]
então \(x=x_0\) é uma assíntota vertical independentemente do que acontece à esquerda do ponto.
Descontinuidade essencial e comportamento oscilatório
Há uma descontinuidade essencial quando nenhum dos limites à esquerda ou à direita que tem sentido em relação ao domínio é infinito e pelo menos um deles não existe nem sequer como limite finito ou infinito.
Um caso particularmente importante é aquele em que a não existência do limite é causada por oscilações persistentes da função. Fala-se então de comportamento oscilatório ou de descontinuidade oscilatória.
Exemplo. Consideremos
\[ f(x)=\sin\left(\frac{1}{x}\right), \qquad x\neq0. \]
Quando \(x\to0\), a quantidade
\[ \frac{1}{x} \]
assume valores arbitrariamente grandes em valor absoluto. Por conseguinte, a função seno continua a oscilar entre \(-1\) e \(1\) sem se estabilizar.
Por muito que se reduza a vizinhança de \(0\), a função continua a assumir valores arbitrariamente próximos de \(1\), de \(-1\) e de todos os valores intermédios.
Logo,
\[ \lim_{x\to0}\sin\left(\frac{1}{x}\right) \]
não existe.
A não existência do limite não resulta, neste caso, de um salto entre dois valores finitos, nem de um crescimento para \(+\infty\) ou \(-\infty\): é a própria oscilação da função que impede a existência do limite.
Nenhuma atribuição de um valor a \(f(0)\) poderia tornar a função contínua, porque o problema diz respeito ao comportamento de \(f(x)\) em toda a vizinhança de \(0\).
Classificação tradicional das descontinuidades
Nos manuais escolares e nos tratados de Análise Matemática encontram-se diversas convenções para classificar as descontinuidades. Em particular, empregam-se por vezes as expressões descontinuidade de primeira espécie, de segunda espécie e de terceira espécie.
Esta terminologia não é totalmente uniforme entre os autores. Por este motivo, num estudo rigoroso de uma função é preferível descrever diretamente o comportamento matemático observado.
Nesta página utilizamos, portanto, as seguintes designações:
- descontinuidade removível, quando existe um limite finito mas a função não assume no ponto o valor do limite;
- descontinuidade de salto, quando o limite à esquerda e o limite à direita existem, são finitos e são diferentes;
- descontinuidade infinita, quando pelo menos um dos limites laterais que tem sentido em relação ao domínio é infinito;
- descontinuidade essencial, quando nenhum dos limites à esquerda ou à direita que tem sentido em relação ao domínio é infinito e pelo menos um deles não existe nem sequer como limite finito ou infinito.
Esta classificação tem a vantagem de descrever diretamente o que acontece à função e não depende da convenção particular utilizada para numerar as diferentes espécies de descontinuidade.
O papel do domínio da função
Antes de classificar uma possível descontinuidade, é indispensável determinar o domínio da função.
Um ponto excluído do domínio não implica automaticamente um crescimento infinito da função. É sempre necessário estudar o comportamento de \(f(x)\) quando \(x\) se aproxima desse ponto.
Consideremos, por exemplo,
\[ f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}. \]
O domínio é
\[ \mathbb{R}\setminus\{1\}, \]
mas
\[ \lim_{x\to1}f(x)=2. \]
A função admite, portanto, um prolongamento contínuo em \(x=1\) definindo \(f(1)=2\).
Em sentido estritamente formal, a continuidade de uma função num ponto só é definida quando o ponto pertence ao domínio. No estudo das funções, contudo, é habitual falar de descontinuidade removível em \(x=1\), no sentido de que a função apresenta um ponto em falta que pode ser completado por meio de um prolongamento contínuo.
A situação é completamente diferente para
\[ g(x)=\frac{1}{x-1}. \]
Neste caso,
\[ \lim_{x\to1^-}\frac{1}{x-1}=-\infty \]
e
\[ \lim_{x\to1^+}\frac{1}{x-1}=+\infty. \]
A função apresenta, portanto, uma descontinuidade infinita em \(x=1\).
Duas funções podem, assim, não estar definidas no mesmo tipo de ponto, por exemplo porque o denominador se anula, e ainda assim apresentar comportamentos completamente diferentes.
Descontinuidade e extremos do domínio
A comparação entre o limite à esquerda e o limite à direita só é necessária quando o domínio permite aproximar-se de \(x_0\) por ambos os lados.
Se \(x_0\) for, pelo contrário, um extremo do domínio, a continuidade estuda-se considerando o limite apenas do lado que pertence ao domínio.
Por exemplo, seja
\[ f:[a,b]\to\mathbb{R}. \]
A função é contínua no extremo esquerdo \(a\) quando
\[ \lim_{x\to a^+}f(x)=f(a), \]
enquanto é contínua no extremo direito \(b\) quando
\[ \lim_{x\to b^-}f(x)=f(b). \]
Não faria sentido exigir o limite à esquerda em \(a\) se a função estiver definida apenas para \(x\geq a\), tal como não faria sentido exigir o limite à direita em \(b\) se a função estiver definida apenas para \(x\leq b\).
O estudo da continuidade deve, portanto, ser sempre coerente com a estrutura do domínio da função.
Interpretação gráfica
Os diferentes tipos de descontinuidade possuem características geométricas distintas.
Descontinuidade removível
O gráfico apresenta tipicamente um ponto em falta. Quando o ponto pode ser alcançado tanto pela esquerda como pela direita, o gráfico aproxima-se da mesma ordenada por ambos os lados, mas o valor da função está em falta ou situa-se numa ordenada diferente.
Descontinuidade de salto
Os dois ramos do gráfico aproximam-se de duas ordenadas finitas diferentes. A distância vertical entre estas ordenadas representa a amplitude do salto.
Descontinuidade infinita
Pelo menos um ramo do gráfico cresce ou decresce sem limite à medida que \(x\) se aproxima de \(x_0\). Neste caso, a reta \(x=x_0\) é uma assíntota vertical.
Descontinuidade oscilatória
O gráfico continua a oscilar sem se estabilizar em torno de um único valor.
A interpretação gráfica é útil para compreender intuitivamente o que acontece, mas a classificação matemática deve ser determinada através do estudo dos limites.
Exemplos de classificação
Exemplo 1 (descontinuidade removível). Consideremos
\[ f(x)=\frac{x^2-9}{x-3}. \]
A função não está definida em \(x=3\). Para \(x\neq3\),
\[ f(x) = \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3. \]
Logo,
\[ \lim_{x\to3}f(x)=6. \]
O limite existe e é finito, enquanto \(f(3)\) não está definido. A descontinuidade é removível.
Exemplo 2 (valor da função diferente do limite). Consideremos
\[ f(x)= \begin{cases} x^2, & x\neq2,\\ 7, & x=2. \end{cases} \]
Tem-se
\[ \lim_{x\to2}f(x)=4, \]
enquanto
\[ f(2)=7. \]
Como
\[ \lim_{x\to2}f(x)\neq f(2), \]
a função é descontínua em \(x=2\).
A descontinuidade é removível, pois bastaria redefinir
\[ f(2)=4. \]
Exemplo 3 (descontinuidade de salto). Consideremos
\[ f(x)= \begin{cases} x+1, & x<1,\\ x+3, & x\geq1. \end{cases} \]
O limite à esquerda é
\[ \lim_{x\to1^-}f(x)=2, \]
enquanto o limite à direita é
\[ \lim_{x\to1^+}f(x)=4. \]
Como
\[ 2\neq4, \]
o limite quando \(x\to1\) não existe e a função apresenta uma descontinuidade de salto.
Exemplo 4 (descontinuidade infinita). Consideremos
\[ f(x)=\frac{1}{x-1}. \]
Quando \(x\to1^-\), o denominador tende para zero através de valores negativos:
\[ \lim_{x\to1^-}\frac{1}{x-1}=-\infty. \]
Quando \(x\to1^+\), o denominador tende para zero através de valores positivos:
\[ \lim_{x\to1^+}\frac{1}{x-1}=+\infty. \]
A função apresenta, portanto, uma descontinuidade infinita em \(x=1\), e a reta
\[ x=1 \]
é uma assíntota vertical.
Exemplo 5 (descontinuidade oscilatória). Consideremos
\[ f(x)=\cos\left(\frac{1}{x}\right), \qquad x\neq0. \]
Quando \(x\to0\), o argumento \(1/x\) assume valores arbitrariamente grandes em valor absoluto e o cosseno continua a oscilar entre \(-1\) e \(1\).
Logo,
\[ \lim_{x\to0}\cos\left(\frac{1}{x}\right) \]
não existe.
A função apresenta, portanto, uma descontinuidade essencial de tipo oscilatório em \(x=0\).
Procedimento para estudar uma descontinuidade
Para determinar corretamente a natureza de uma possível descontinuidade em \(x_0\), convém proceder de forma ordenada.
Determinar o domínio
É necessário, antes de mais, estabelecer se \(x_0\) pertence ao domínio e verificar por que lados é possível aproximar-se do ponto.
Estudar o limite à esquerda e o limite à direita
Quando ambos têm sentido em relação ao domínio, calculam-se
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x) \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x). \]
Se o domínio só permite aproximar-se do ponto por um dos lados, considera-se apenas o limite correspondente.
Verificar se existe um limite finito
Se o limite à esquerda e o limite à direita forem ambos finitos e coincidirem,
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x) = \lim_{x\to x_0^+}f(x) = L, \]
então
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L. \]
Se o domínio só permite aproximar-se de \(x_0\) por um dos lados, basta considerar o limite correspondente. Se esse limite existir e for finito, desempenha o mesmo papel no estudo da continuidade relativamente ao domínio.
Se \(x_0\) pertence ao domínio, é preciso comparar \(L\) com \(f(x_0)\).
Se
\[ f(x_0)=L, \]
a função é contínua em \(x_0\).
Se, pelo contrário,
\[ f(x_0)\neq L, \]
a descontinuidade é removível.
Se \(x_0\) não pertence ao domínio mas existe o limite finito \(L\), a função pode ser prolongada com continuidade atribuindo ao ponto o valor \(L\).
Verificar se há um salto
Se o limite à esquerda e o limite à direita existem e são finitos, mas diferentes, a descontinuidade é de salto.
Verificar a presença de um comportamento infinito
Se pelo menos um dos limites laterais que tem sentido em relação ao domínio for igual a \(+\infty\) ou a \(-\infty\), a descontinuidade é infinita.
Verificar a não existência do limite
Se nenhum dos limites à esquerda ou à direita que deve ser considerado é infinito e pelo menos um deles não existe nem sequer como limite finito ou infinito, a descontinuidade é essencial.
Se a não existência se dever a oscilações persistentes, fala-se mais especificamente de descontinuidade oscilatória.
Este procedimento evita classificar uma descontinuidade observando apenas a fórmula da função ou o mero facto de um determinado ponto estar excluído do domínio.
Erros frequentes
Confundir o limite com o valor da função
Embora \(f(x_0)\) não esteja definido, isso não implica que
\[ \lim_{x\to x_0}f(x) \]
não exista.
O limite descreve o comportamento da função quando \(x\) se aproxima de \(x_0\), e não o que acontece exatamente no ponto.
Considerar automaticamente infinita uma descontinuidade causada por um denominador nulo
Se o denominador de uma função racional se anula em \(x_0\), é preciso verificar se o numerador e o denominador possuem fatores comuns.
Por exemplo,
\[ \frac{x^2-1}{x-1} \]
apresenta uma descontinuidade removível em \(x=1\), enquanto
\[ \frac{1}{x-1} \]
apresenta uma descontinuidade infinita.
Olhar apenas para \(f(x_0)\)
Conhecer o valor da função no ponto não é suficiente para estabelecer a continuidade.
Pode acontecer, por exemplo, que \(f(x_0)\) esteja perfeitamente definido, mas que o limite à esquerda e o limite à direita sejam diferentes. Nesse caso, a função permanece descontínua independentemente do valor atribuído a \(f(x_0)\).
Não distinguir o limite à direita do limite à esquerda
Nos pontos em que muda a fórmula da função, o denominador se anula, ou o comportamento pode ser diferente nos dois lados, é frequentemente indispensável estudar separadamente
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x) \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x). \]
Concluir que o limite não existe quando ambos os valores são \(+\infty\)
Se
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=+\infty \]
e
\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=+\infty, \]
escreve-se corretamente
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty. \]
Não existe um limite real finito, mas existe um limite infinito.
Classificar como salto dois comportamentos infinitos diferentes
Se
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=-\infty \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x)=+\infty, \]
não se trata de uma descontinuidade de salto.
Uma descontinuidade de salto exige, de facto, que o limite à esquerda e o limite à direita sejam ambos finitos.
Neste caso, a descontinuidade é infinita.
Quadro-resumo
A classificação de uma descontinuidade depende do comportamento da função quando \(x\) se aproxima do ponto considerado e, em seguida, da comparação com o valor eventualmente assumido pela função nesse ponto.
| Comportamento em \(x_0\) | Conclusão |
|---|---|
| \(\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)=L\) | Função contínua |
| \(\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=L\in\mathbb{R}\), mas \(f(x_0)\) não está definido ou \(f(x_0)\neq L\) | Descontinuidade removível |
| \(\displaystyle\lim_{x\to x_0^-}f(x)=L_1\), \(\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x)=L_2\), com \(L_1,L_2\in\mathbb{R}\) e \(L_1\neq L_2\) | Descontinuidade de salto |
| Pelo menos um dos limites laterais que tem sentido em relação ao domínio é igual a \(+\infty\) ou a \(-\infty\) | Descontinuidade infinita |
| Nenhum dos limites à esquerda ou à direita que tem sentido em relação ao domínio é infinito e pelo menos um deles não existe nem sequer como limite finito ou infinito | Descontinuidade essencial; oscilatória quando a não existência se deve a oscilações persistentes |
O estudo das descontinuidades é, portanto, antes de mais, um estudo do comportamento local da função.
Se existe um limite finito, a comparação com \(f(x_0)\) permite estabelecer se a função é contínua ou apresenta uma descontinuidade removível. Se o limite à esquerda e o limite à direita forem finitos mas diferentes, há uma descontinuidade de salto. Se pelo menos um dos dois comportamentos for infinito, há uma descontinuidade infinita. Se nenhum dos comportamentos for infinito e pelo menos um dos limites que deve ser considerado não existir nem sequer como limite finito ou infinito, há uma descontinuidade essencial.
A comparação sistemática entre o domínio, o limite à esquerda, o limite à direita e o valor da função permite, assim, identificar e classificar com rigor o comportamento da função em cada ponto significativo do domínio ou na sua proximidade.