Nesta página veremos como calcular a derivada do logaritmo na base \( b > 0 \) utilizando duas formas equivalentes para expressar a razão incremental: para \( h \to 0 \) e para \( x \to x_0 \):
\[ \lim_{h \to 0}\frac{\log_b(x + h) - \log_b(x)}{h}, \quad \lim_{x \to x_0}\frac{\log_b(x) - \log_b(x_0)}{x - x_0} \]
Índice
- Limite do quociente de diferenças para \( h \to 0 \)
- Limite do quociente de diferenças para \( x \to x_0 \)
Limite do quociente de diferenças para \( h \to 0 \)
Consideremos a função \( f(x) = \log_b(x) \). A derivada de \( f(x) \) é dada por:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\log_b(x + h) - \log_b(x)}{h} \quad ( * ) \]
Utilizamos a fórmula da mudança de base dos logaritmos (Propriedades dos Logaritmos):
\[ \log_b(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(b)} \]
Portanto, o numerador em \( (*) \) torna-se:
\[ \log_b(x + h) - \log_b(x) = \frac{\ln(x + h) - \ln(x)}{\ln(b)} \]
Simplificando:
\[ f'(x) = \frac{1}{\ln(b)} \cdot \lim_{h \to 0} \frac{\ln(x + h) - \ln(x)}{h} \]
Já sabemos que:
\[ \lim_{h \to 0} \frac{\ln(x + h) - \ln(x)}{h} = \frac{1}{x} \]
Portanto:
\[ f'(x) = \frac{1}{x \ln(b)} \]
Encontramos então que a derivada de \( \log_b(x) \) é:
\[ f'(x) = \frac{1}{x \ln(b)}, \quad \forall x > 0 \]
Limite do quociente de diferenças para \( x \to x_0 \)
Consideremos agora a razão incremental para \( x \to x_0 \):
\[ f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{\log_b(x) - \log_b(x_0)}{x - x_0} \]
Aplicando a fórmula da mudança de base dos logaritmos (Propriedades dos Logaritmos)
\[ \log_b(x) - \log_b(x_0) = \frac{\ln(x) - \ln(x_0)}{\ln(b)} \]
Simplificando:
\[ f'(x_0) = \frac{1}{\ln(b)} \cdot \lim_{x \to x_0} \frac{\ln(x) - \ln(x_0)}{x - x_0} \]
Sabemos que:
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{\ln(x) - \ln(x_0)}{x - x_0} = \frac{1}{x_0} \]
Portanto:
\[ f'(x_0) = \frac{1}{x_0 \ln(b)} \]
Também neste caso, obtemos:
\[ f'(x) = \frac{1}{x \ln(b)}, \quad \forall x > 0 \]