Exercícios resolvidos sobre operações entre conjuntos: uma colectânea progressiva de 20 exercícios para aprender a calcular correctamente união, intersecção, diferença e complementar. Cada exercício é resolvido passo a passo, com explicações pensadas para esclarecer o significado lógico de cada operação.
Recordemos as definições fundamentais:
\[ A \cup B=\{x \mid x \in A \ \text{ou} \ x \in B\} \]
\[ A \cap B=\{x \mid x \in A \ \text{e} \ x \in B\} \]
\[ A \setminus B=\{x \mid x \in A \ \text{e} \ x \notin B\} \]
\[ A^c=U \setminus A \]
Exercício 1 — nível ★☆☆☆☆
Dados os conjuntos
\[ A=\{1,2,3\}, \qquad B=\{3,4,5\} \]
Calcular:
\[ A \cup B \]
Resultado
\[ A \cup B=\{1,2,3,4,5\} \]
Resolução
A operação pedida é a união. A união \(A \cup B\) contém todos os elementos que pertencem a pelo menos um dos dois conjuntos.
Comecemos pelos elementos de \(A\):
\[ A=\{1,2,3\} \]
Acrescentamos depois os elementos de \(B\):
\[ B=\{3,4,5\} \]
O elemento \(3\) figura tanto em \(A\) como em \(B\), mas nos conjuntos os elementos não se repetem. Por esse motivo, escrevêmo-lo uma só vez.
Portanto:
\[ A \cup B=\{1,2,3,4,5\} \]
Exercício 2 — nível ★☆☆☆☆
Dados os conjuntos
\[ A=\{1,2,3,4\}, \qquad B=\{3,4,5,6\} \]
Calcular:
\[ A \cap B \]
Resultado
\[ A \cap B=\{3,4\} \]
Resolução
A operação pedida é a intersecção. A intersecção \(A \cap B\) contém apenas os elementos que pertencem simultaneamente a \(A\) e a \(B\).
Observamos os elementos de \(A\):
\[ A=\{1,2,3,4\} \]
e os elementos de \(B\):
\[ B=\{3,4,5,6\} \]
Os elementos \(1\) e \(2\) pertencem só a \(A\), pelo que não fazem parte da intersecção. Os elementos \(5\) e \(6\) pertencem só a \(B\), pelo que também não fazem parte da intersecção.
Os únicos elementos presentes em ambos os conjuntos são \(3\) e \(4\). Logo:
\[ A \cap B=\{3,4\} \]
Exercício 3 — nível ★☆☆☆☆
Dados os conjuntos
\[ A=\{1,2,3,4,5\}, \qquad B=\{2,4,6\} \]
Calcular:
\[ A \setminus B \]
Resultado
\[ A \setminus B=\{1,3,5\} \]
Resolução
A operação pedida é a diferença entre conjuntos. A diferença \(A \setminus B\) contém os elementos que pertencem a \(A\), mas não pertencem a \(B\).
Partamos então de \(A\):
\[ A=\{1,2,3,4,5\} \]
Devemos eliminar de \(A\) todos os elementos que se encontram também em \(B\). Como:
\[ B=\{2,4,6\} \]
os elementos de \(A\) que figuram também em \(B\) são \(2\) e \(4\).
Retirando \(2\) e \(4\) de \(A\), restam:
\[ 1,3,5 \]
Portanto:
\[ A \setminus B=\{1,3,5\} \]
Exercício 4 — nível ★☆☆☆☆
Dados os conjuntos
\[ A=\{a,b,c,d\}, \qquad B=\{b,d,e\} \]
Calcular:
\[ B \setminus A \]
Resultado
\[ B \setminus A=\{e\} \]
Resolução
A diferença \(B \setminus A\) contém os elementos que pertencem a \(B\), mas não pertencem a \(A\).
Desta vez, o conjunto de partida é \(B\), e não \(A\). Com efeito:
\[ B=\{b,d,e\} \]
Devemos retirar de \(B\) os elementos que pertencem também a \(A\). Como:
\[ A=\{a,b,c,d\} \]
os elementos \(b\) e \(d\) estão presentes tanto em \(B\) como em \(A\), pelo que ficam excluídos.
O único elemento de \(B\) que não pertence a \(A\) é \(e\). Portanto:
\[ B \setminus A=\{e\} \]
Exercício 5 — nível ★★☆☆☆
Seja
\[ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\} \]
e seja
\[ A=\{2,4,6,8\} \]
Calcular:
\[ A^c \]
Resultado
\[ A^c=\{1,3,5,7\} \]
Resolução
A operação pedida é o complementar de \(A\) em relação ao conjunto universal \(U\).
O complementar \(A^c\) contém todos os elementos do universal \(U\) que não pertencem a \(A\). Em símbolos:
\[ A^c=U \setminus A \]
O conjunto universal é:
\[ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\} \]
O conjunto \(A\) é:
\[ A=\{2,4,6,8\} \]
Devemos, então, retirar de \(U\) os elementos \(2,4,6,8\). Restam os elementos ímpares:
\[ 1,3,5,7 \]
Portanto:
\[ A^c=\{1,3,5,7\} \]
Exercício 6 — nível ★★☆☆☆
Dados os conjuntos
\[ A=\{x \in \mathbb{N} \mid 1 \le x \le 6\} \]
e
\[ B=\{2,4,6,8\} \]
Calcular:
\[ A \cap B \]
Resultado
\[ A \cap B=\{2,4,6\} \]
Resolução
Antes de efectuar a operação, convém escrever explicitamente o conjunto \(A\), que está definido por compreensão.
A escrita
\[ A=\{x \in \mathbb{N} \mid 1 \le x \le 6\} \]
lê-se: «\(A\) é o conjunto dos números naturais \(x\) tais que \(x\) esteja compreendido entre \(1\) e \(6\), inclusivamente». Enumerando os elementos, obtemos:
\[ A=\{1,2,3,4,5,6\} \]
O conjunto \(B\) está, por outro lado, escrito em extensão:
\[ B=\{2,4,6,8\} \]
Devemos calcular a intersecção \(A \cap B\), isto é, o conjunto dos elementos que pertencem simultaneamente a \(A\) e a \(B\).
Confrontemos os elementos:
- \(2 \in A\) e \(2 \in B\): pertence à intersecção;
- \(4 \in A\) e \(4 \in B\): pertence à intersecção;
- \(6 \in A\) e \(6 \in B\): pertence à intersecção;
- \(8 \in B\), mas \(8 \notin A\), pois \(8 > 6\): não pertence à intersecção.
Portanto:
\[ A \cap B=\{2,4,6\} \]
Exercício 8 — nível ★★☆☆☆
Dados os conjuntos
\[ A=\{1,2,3,4,5\}, \qquad B=\{4,5,6,7\} \]
Calcular:
\[ (A \cup B) \setminus A \]
Resultado
\[ (A \cup B) \setminus A=\{6,7\} \]
Resolução
A expressão contém duas operações. É preciso respeitar os parênteses e calcular primeiro:
\[ A \cup B \]
A união entre \(A\) e \(B\) contém todos os elementos presentes em pelo menos um dos dois conjuntos:
\[ A \cup B=\{1,2,3,4,5,6,7\} \]
Resta calcular:
\[ (A \cup B) \setminus A \]
Isto significa que partimos do conjunto \(A \cup B\) e retiramos todos os elementos que pertencem a \(A\).
Como:
\[ A=\{1,2,3,4,5\} \]
eliminando \(1,2,3,4,5\) do conjunto \(\{1,2,3,4,5,6,7\}\), restam:
\[ 6,7 \]
Portanto:
\[ (A \cup B) \setminus A=\{6,7\} \]
Exercício 9 — nível ★★★☆☆
Dados os conjuntos
\[ A=\{1,2,3,4\}, \qquad B=\{3,4,5,6\} \]
Calcular:
\[ (A \cap B) \cup \{7\} \]
Resultado
\[ (A \cap B) \cup \{7\}=\{3,4,7\} \]
Resolução
Também aqui devemos calcular primeiro o que se encontra entre parênteses:
\[ A \cap B \]
A intersecção contém os elementos comuns a \(A\) e \(B\). Como:
\[ A=\{1,2,3,4\} \]
e
\[ B=\{3,4,5,6\} \]
os elementos comuns são \(3\) e \(4\). Logo:
\[ A \cap B=\{3,4\} \]
Há agora que reunir este conjunto com \(\{7\}\):
\[ (A \cap B) \cup \{7\}=\{3,4\} \cup \{7\} \]
A união acrescenta o elemento \(7\), por este não estar já presente.
Portanto:
\[ (A \cap B) \cup \{7\}=\{3,4,7\} \]
Exercício 10 — nível ★★★☆☆
Dados os conjuntos
\[ A=\{1,2,3,4,5,6\}, \qquad B=\{2,4,6\} \]
Calcular:
\[ A \setminus B \]
Resultado
\[ A \setminus B=\{1,3,5\} \]
Resolução
Devemos calcular a diferença \(A \setminus B\). Isto significa que devemos conservar apenas os elementos de \(A\) que não pertencem a \(B\).
O conjunto \(A\) é:
\[ A=\{1,2,3,4,5,6\} \]
O conjunto \(B\) é:
\[ B=\{2,4,6\} \]
Os elementos \(2,4,6\) pertencem a \(A\), mas pertencem também a \(B\). Por esse motivo, devem ser excluídos da diferença.
Os elementos de \(A\) que não pertencem a \(B\) são, em vez disso, \(1,3,5\).
Portanto:
\[ A \setminus B=\{1,3,5\} \]
Exercício 11 — nível ★★★☆☆
Seja
\[ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} \]
e sejam
\[ A=\{1,2,3,4,5\}, \qquad B=\{4,5,6,7\} \]
Calcular:
\[ (A \cup B)^c \]
Resultado
\[ (A \cup B)^c=\{8,9,10\} \]
Resolução
A expressão exige primeiro o cálculo da união \(A \cup B\) e, depois, do complementar do resultado em relação a \(U\).
Calculemos a união:
\[ A \cup B=\{1,2,3,4,5,6,7\} \]
Há agora que determinar o complementar de \(A \cup B\), isto é, todos os elementos de \(U\) que não pertencem à união.
O conjunto universal é:
\[ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} \]
A união \(A \cup B\) contém:
\[ 1,2,3,4,5,6,7 \]
Os elementos do universal que ficam fora da união são:
\[ 8,9,10 \]
Portanto:
\[ (A \cup B)^c=\{8,9,10\} \]
Exercício 12 — nível ★★★☆☆
Seja
\[ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\} \]
e sejam
\[ A=\{1,2,3,4\}, \qquad B=\{3,4,5,6\} \]
Calcular:
\[ A^c \cap B^c \]
Resultado
\[ A^c \cap B^c=\{7,8\} \]
Resolução
Devemos calcular a intersecção entre os complementares de \(A\) e \(B\). Procedamos com ordem.
O complementar de \(A\) é formado pelos elementos de \(U\) que não pertencem a \(A\):
\[ A^c=U \setminus A \]
Como:
\[ A=\{1,2,3,4\} \]
obtemos:
\[ A^c=\{5,6,7,8\} \]
De modo análogo:
\[ B^c=U \setminus B \]
Como:
\[ B=\{3,4,5,6\} \]
obtemos:
\[ B^c=\{1,2,7,8\} \]
Calculemos agora a intersecção:
\[ A^c \cap B^c=\{5,6,7,8\} \cap \{1,2,7,8\} \]
Os elementos comuns aos dois complementares são \(7\) e \(8\). Portanto:
\[ A^c \cap B^c=\{7,8\} \]
Exercício 13 — nível ★★★★☆
Seja
\[ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\} \]
e sejam
\[ A=\{1,2,3,4\}, \qquad B=\{3,4,5,6\} \]
verificar que:
\[ (A \cup B)^c=A^c \cap B^c \]
Resultado
\[ (A \cup B)^c=A^c \cap B^c=\{7,8\} \]
Resolução
Para verificar a identidade, calculamos separadamente o primeiro membro e o segundo membro.
Comecemos pelo primeiro membro:
\[ (A \cup B)^c \]
Calculemos primeiro a união:
\[ A \cup B=\{1,2,3,4,5,6\} \]
Tomemos agora o complementar em relação a \(U\):
\[ (A \cup B)^c=U \setminus (A \cup B) \]
ou seja:
\[ (A \cup B)^c=\{7,8\} \]
Calculemos agora o segundo membro:
\[ A^c \cap B^c \]
O complementar de \(A\) é:
\[ A^c=\{5,6,7,8\} \]
O complementar de \(B\) é:
\[ B^c=\{1,2,7,8\} \]
Intersectemos os dois complementares:
\[ A^c \cap B^c=\{5,6,7,8\} \cap \{1,2,7,8\} \]
Os elementos comuns são \(7\) e \(8\). Portanto:
\[ A^c \cap B^c=\{7,8\} \]
Os dois membros deram o mesmo conjunto:
\[ (A \cup B)^c=A^c \cap B^c=\{7,8\} \]
A identidade fica verificada. Trata-se da primeira lei de De Morgan.
Exercício 14 — nível ★★★★☆
Seja
\[ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\} \]
e sejam
\[ A=\{1,2,3,4\}, \qquad B=\{3,4,5,6\} \]
verificar que:
\[ (A \cap B)^c=A^c \cup B^c \]
Resultado
\[ (A \cap B)^c=A^c \cup B^c=\{1,2,5,6,7,8\} \]
Resolução
Também aqui confrontamos o primeiro membro com o segundo membro.
Calculemos primeiro o primeiro membro:
\[ (A \cap B)^c \]
A intersecção entre \(A\) e \(B\) contém os elementos comuns:
\[ A \cap B=\{3,4\} \]
O complementar de \(A \cap B\) contém todos os elementos de \(U\) distintos de \(3\) e \(4\):
\[ (A \cap B)^c=\{1,2,5,6,7,8\} \]
Calculemos agora o segundo membro:
\[ A^c \cup B^c \]
Temos:
\[ A^c=\{5,6,7,8\} \]
e:
\[ B^c=\{1,2,7,8\} \]
Fazendo a união dos dois complementares, obtemos:
\[ A^c \cup B^c=\{5,6,7,8\} \cup \{1,2,7,8\} \]
ou seja:
\[ A^c \cup B^c=\{1,2,5,6,7,8\} \]
Os dois membros coincidem:
\[ (A \cap B)^c=A^c \cup B^c \]
A identidade fica verificada. Trata-se da segunda lei de De Morgan.
Exercício 15 — nível ★★★★☆
Dados os conjuntos
\[ A=\{1,2,3,4,5\}, \qquad B=\{4,5,6,7\} \]
Calcular:
\[ (A \setminus B) \cup (B \setminus A) \]
Resultado
\[ (A \setminus B) \cup (B \setminus A)=\{1,2,3,6,7\} \]
Resolução
A expressão é formada por duas diferenças e, depois, por uma união.
Calculemos primeiro:
\[ A \setminus B \]
Esta diferença contém os elementos de \(A\) que não pertencem a \(B\). Como \(4\) e \(5\) pertencem também a \(B\), devem ser excluídos.
Portanto:
\[ A \setminus B=\{1,2,3\} \]
Calculemos agora:
\[ B \setminus A \]
Esta diferença contém os elementos de \(B\) que não pertencem a \(A\). Os elementos \(4\) e \(5\) estão presentes também em \(A\), pelo que ficam excluídos.
Restam:
\[ B \setminus A=\{6,7\} \]
Por fim, façamos a união:
\[ (A \setminus B) \cup (B \setminus A)=\{1,2,3\} \cup \{6,7\} \]
Logo:
\[ (A \setminus B) \cup (B \setminus A)=\{1,2,3,6,7\} \]
Este conjunto contém os elementos que pertencem a um só dos dois conjuntos, mas não a ambos. Trata-se da diferença simétrica.
Exercício 16 — nível ★★★★☆
Dados os conjuntos
\[ A=\{1,2,3,4,5,6\}, \qquad B=\{2,4,6\}, \qquad C=\{1,2,7\} \]
Calcular:
\[ (A \cap B) \cup C \]
Resultado
\[ (A \cap B) \cup C=\{1,2,4,6,7\} \]
Resolução
A expressão contém primeiro uma intersecção e depois uma união. Comecemos pelo parêntesis:
\[ A \cap B \]
A intersecção contém os elementos comuns a \(A\) e \(B\). Observemos que:
\[ B=\{2,4,6\} \]
e todos estes elementos pertencem também a \(A\), pois:
\[ A=\{1,2,3,4,5,6\} \]
Portanto:
\[ A \cap B=\{2,4,6\} \]
Há agora que reunir este resultado com \(C\):
\[ (A \cap B) \cup C=\{2,4,6\} \cup \{1,2,7\} \]
Na união, escrevemos todos os elementos sem repetições. O elemento \(2\) figura em ambos os conjuntos, pelo que se escreve uma só vez.
Obtemos:
\[ (A \cap B) \cup C=\{1,2,4,6,7\} \]
Exercício 17 — nível ★★★★★
Seja
\[ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\} \]
e sejam
\[ A=\{1,2,3,4,5\}, \qquad B=\{4,5,6,7\} \]
calcular:
\[ (A \cap B)^c \cap A \]
Resultado
\[ (A \cap B)^c \cap A=\{1,2,3\} \]
Resolução
Devemos calcular uma expressão composta. Procedamos respeitando a ordem das operações.
Calculemos primeiro:
\[ A \cap B \]
Os elementos comuns a \(A\) e \(B\) são \(4\) e \(5\). Logo:
\[ A \cap B=\{4,5\} \]
Calculemos agora o complementar deste conjunto em relação a \(U\):
\[ (A \cap B)^c=U \setminus \{4,5\} \]
Como:
\[ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\} \]
retirando \(4\) e \(5\), obtemos:
\[ (A \cap B)^c=\{1,2,3,6,7,8,9\} \]
Por fim, há que intersectar este conjunto com \(A\):
\[ (A \cap B)^c \cap A=\{1,2,3,6,7,8,9\} \cap \{1,2,3,4,5\} \]
Os elementos comuns são \(1,2,3\).
Portanto:
\[ (A \cap B)^c \cap A=\{1,2,3\} \]
Observemos que o resultado coincide com os elementos de \(A\) que não pertencem também a \(B\).
Exercício 18 — nível ★★★★★
Seja
\[ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} \]
e sejam
\[ A=\{1,2,3,4,5\}, \qquad B=\{3,4,5,6,7\} \]
Calcular:
\[ (A^c \cup B^c)^c \]
Resultado
\[ (A^c \cup B^c)^c=\{3,4,5\} \]
Resolução
A expressão contém complementares, união e, depois, mais um complementar. Procedamos com ordem.
Calculemos primeiro o complementar de \(A\):
\[ A^c=U \setminus A \]
Como:
\[ A=\{1,2,3,4,5\} \]
obtemos:
\[ A^c=\{6,7,8,9,10\} \]
Calculemos agora o complementar de \(B\):
\[ B^c=U \setminus B \]
Como:
\[ B=\{3,4,5,6,7\} \]
obtemos:
\[ B^c=\{1,2,8,9,10\} \]
Calculemos agora a união dos dois complementares:
\[ A^c \cup B^c=\{6,7,8,9,10\} \cup \{1,2,8,9,10\} \]
ou seja:
\[ A^c \cup B^c=\{1,2,6,7,8,9,10\} \]
Por fim, calculemos o complementar deste conjunto:
\[ (A^c \cup B^c)^c=U \setminus \{1,2,6,7,8,9,10\} \]
Os elementos de \(U\) que não figuram em \(\{1,2,6,7,8,9,10\}\) são:
\[ 3,4,5 \]
Portanto:
\[ (A^c \cup B^c)^c=\{3,4,5\} \]
O resultado coincide com \(A \cap B\), como prevê a lei de De Morgan.
Exercício 19 — nível ★★★★★
Dados os conjuntos
\[ A=\{1,2,3,4\}, \qquad B=\{3,4,5,6\}, \qquad C=\{4,6,8\} \]
Calcular:
\[ (A \cup B) \cap C \]
Resultado
\[ (A \cup B) \cap C=\{4,6\} \]
Resolução
A expressão pede primeiro o cálculo da união entre \(A\) e \(B\), e depois da intersecção com \(C\).
Calculemos a união:
\[ A \cup B=\{1,2,3,4\} \cup \{3,4,5,6\} \]
Na união, incluímos todos os elementos presentes em pelo menos um dos dois conjuntos, sem repetições:
\[ A \cup B=\{1,2,3,4,5,6\} \]
Resta calcular:
\[ (A \cup B) \cap C \]
ou seja:
\[ \{1,2,3,4,5,6\} \cap \{4,6,8\} \]
A intersecção contém apenas os elementos comuns aos dois conjuntos. Os elementos comuns são \(4\) e \(6\).
O elemento \(8\) pertence a \(C\), mas não pertence a \(A \cup B\), pelo que não é incluído.
Portanto:
\[ (A \cup B) \cap C=\{4,6\} \]
Exercício 20 — nível ★★★★★
Sejam \(A\) e \(B\) dois conjuntos quaisquer. Demonstrar a lei de absorção:
\[ A \cup (A \cap B)=A \]
Resultado
\[ A \cup (A \cap B)=A \]
Resolução
Queremos demonstrar que:
\[ A \cup (A \cap B)=A \]
Consideremos o conjunto:
\[ A \cap B \]
Por definição, \(A \cap B\) contém os elementos que pertencem tanto a \(A\) como a \(B\).
Em particular, todo o elemento de \(A \cap B\) pertence necessariamente a \(A\). Logo, \(A \cap B\) está contido em \(A\):
\[ A \cap B \subseteq A \]
Observemos agora a união:
\[ A \cup (A \cap B) \]
Estamos a unir \(A\) com um conjunto que já está contido em \(A\). Acrescentar a \(A\) elementos que já lá se encontram não modifica o conjunto.
Por isso:
\[ A \cup (A \cap B)=A \]
Esta propriedade é chamada lei de absorção.