As operações com limites de sucessões permitem calcular o limite de uma sucessão obtida ao combinar duas sucessões mais simples por meio da soma, da diferença, do produto ou do quociente.
A ideia fundamental é a seguinte: se duas sucessões \((a_n)\) e \((b_n)\) têm limite finito, então, sob hipóteses adequadas, as sucessões obtidas por meio de operações algébricas termo a termo entre \(a_n\) e \(b_n\) também têm limite, e esse limite pode ser calculado aplicando as mesmas operações aos limites.
Consideremos o caso em que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=A \qquad\text{e}\qquad \lim_{n\to+\infty}b_n=B, \]
com \(A,B\in\mathbb{R}\). Estudaremos, então, as operações com limites finitos de sucessões reais convergentes.
Convém precisar desde já que as regras algébricas sobre limites não podem ser aplicadas automaticamente na presença de formas indeterminadas, como \(+\infty-\infty\), \(0\cdot\infty\), \(\displaystyle \frac{0}{0}\) ou \(\displaystyle \frac{\infty}{\infty}\). Nesses casos é necessário um estudo específico.
Índice
- Operações com limites de sucessões
- Limite da soma
- Limite da diferença
- Limite do produto
- Limite do quociente
- Observações sobre as formas indeterminadas
- Exemplos de operações com limites
Operações com limites de sucessões
Sejam \((a_n)\) e \((b_n)\) duas sucessões reais convergentes, isto é, tais que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=A, \qquad \lim_{n\to+\infty}b_n=B, \]
com \(A,B\in\mathbb{R}\).
Nestas hipóteses, verificam-se as seguintes regras:
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n+b_n)=A+B, \]
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n-b_n)=A-B, \]
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n b_n)=AB. \]
Além disso, se \(B\neq0\), então \(b_n\neq0\) a partir de certa ordem, e vale também
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{A}{B}. \]
A condição \(B\neq0\) no limite do quociente é essencial. Com efeito, se o limite do denominador fosse \(0\), não seria possível concluir, em geral, que o quociente tem limite finito.
As secções seguintes demonstram rigorosamente estas propriedades a partir da definição de limite de uma sucessão.
Limite da soma
Sejam \((a_n)\) e \((b_n)\) duas sucessões reais tais que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=A \qquad\text{e}\qquad \lim_{n\to+\infty}b_n=B, \]
com \(A,B\in\mathbb{R}\). Então
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n+b_n)=A+B. \]
Demonstração. Pretendemos mostrar que, para todo \(\varepsilon>0\), existe \(N\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq N\), se verifica
\[ |(a_n+b_n)-(A+B)|<\varepsilon. \]
Observemos que
\[ (a_n+b_n)-(A+B)=(a_n-A)+(b_n-B). \]
Aplicando a desigualdade triangular, obtemos
\[ |(a_n+b_n)-(A+B)| = |(a_n-A)+(b_n-B)| \leq |a_n-A|+|b_n-B|. \]
Como \(a_n\to A\), para \(\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}>0\) existe \(N_1\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq N_1\),
\[ |a_n-A|<\frac{\varepsilon}{2}. \]
Como \(b_n\to B\), para \(\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}>0\) existe \(N_2\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq N_2\),
\[ |b_n-B|<\frac{\varepsilon}{2}. \]
Tomemos
\[ N=\max\{N_1,N_2\}. \]
Então, para todo \(n\geq N\), verificam-se ambas as desigualdades anteriores. Consequentemente,
\[ |(a_n+b_n)-(A+B)| \leq |a_n-A|+|b_n-B| < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon. \]
Pela definição de limite,
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n+b_n)=A+B. \]
Limite da diferença
Sejam \((a_n)\) e \((b_n)\) duas sucessões reais tais que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=A \qquad\text{e}\qquad \lim_{n\to+\infty}b_n=B, \]
com \(A,B\in\mathbb{R}\). Então
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n-b_n)=A-B. \]
Demonstração. Pretendemos mostrar que, para todo \(\varepsilon>0\), existe \(N\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq N\), se verifica
\[ |(a_n-b_n)-(A-B)|<\varepsilon. \]
Observemos que
\[ (a_n-b_n)-(A-B)=(a_n-A)-(b_n-B). \]
Aplicando a desigualdade triangular, obtemos
\[ |(a_n-b_n)-(A-B)|=|(a_n-A)-(b_n-B)|\leq |a_n-A|+|b_n-B|. \]
Como \(a_n\to A\), para \(\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}>0\) existe \(N_1\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq N_1\),
\[ |a_n-A|<\frac{\varepsilon}{2}. \]
Como \(b_n\to B\), para \(\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}>0\) existe \(N_2\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq N_2\),
\[ |b_n-B|<\frac{\varepsilon}{2}. \]
Tomemos
\[ N=\max\{N_1,N_2\}. \]
Então, para todo \(n\geq N\),
\[ |(a_n-b_n)-(A-B)|\leq |a_n-A|+|b_n-B|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon. \]
Pela definição de limite,
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n-b_n)=A-B. \]
Limite do produto
Sejam \((a_n)\) e \((b_n)\) duas sucessões reais tais que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=A \qquad\text{e}\qquad \lim_{n\to+\infty}b_n=B, \]
com \(A,B\in\mathbb{R}\). Então
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n b_n)=AB. \]
Demonstração. Pretendemos mostrar que, para todo \(\varepsilon>0\), existe \(N\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq N\), se verifica
\[ |a_n b_n-AB|<\varepsilon. \]
Escrevamos a diferença numa forma conveniente:
\[ a_n b_n-AB = a_n b_n-A b_n+A b_n-AB. \]
Logo,
\[ a_n b_n-AB = (a_n-A)b_n+A(b_n-B). \]
Aplicando a desigualdade triangular, obtemos
\[ |a_n b_n-AB| \leq |a_n-A|\,|b_n|+|A|\,|b_n-B|. \]
Usemos agora o facto de que toda sucessão convergente é limitada a partir de certa ordem. Como \(b_n\to B\), aplicando a definição de limite com \(\varepsilon=1\), existe \(N_0\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq N_0\),
\[ |b_n-B|<1. \]
Daí
\[ |b_n| = |b_n-B+B| \leq |b_n-B|+|B| < |B|+1. \]
Logo, a partir de certa ordem,
\[ |b_n|<|B|+1. \]
Fixemos agora \(\varepsilon>0\). Como \(a_n\to A\), existe \(N_1\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq N_1\),
\[ |a_n-A|<\frac{\varepsilon}{2(|B|+1)}. \]
Como \(b_n\to B\), existe \(N_2\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq N_2\),
\[ |b_n-B|<\frac{\varepsilon}{2(|A|+1)}. \]
Tomemos
\[ N=\max\{N_0,N_1,N_2\}. \]
Então, para todo \(n\geq N\), temos
\[ |b_n|<|B|+1, \qquad |a_n-A|<\frac{\varepsilon}{2(|B|+1)} \]
e
\[ |b_n-B|<\frac{\varepsilon}{2(|A|+1)}. \]
Portanto,
\[ |a_n-A|\,|b_n| < \frac{\varepsilon}{2(|B|+1)}(|B|+1) = \frac{\varepsilon}{2}. \]
Além disso,
\[ |A|\,|b_n-B| \leq |A|\frac{\varepsilon}{2(|A|+1)} = \frac{|A|}{|A|+1}\cdot\frac{\varepsilon}{2} < \frac{\varepsilon}{2}. \]
Consequentemente,
\[ |a_n b_n-AB| \leq |a_n-A|\,|b_n|+|A|\,|b_n-B| < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon. \]
Pela definição de limite,
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n b_n)=AB. \]
Limite do quociente
Sejam \((a_n)\) e \((b_n)\) duas sucessões reais tais que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=A \qquad\text{e}\qquad \lim_{n\to+\infty}b_n=B, \]
com \(A,B\in\mathbb{R}\) e \(B\neq0\). Então \(b_n\neq0\) a partir de certa ordem, e verifica-se
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{A}{B}. \]
Demonstração. Como \(b_n\to B\) e \(B\neq0\), o número
\[ \frac{|B|}{2} \]
é positivo.
Pela convergência de \((b_n)\) para \(B\), existe \(N_0\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq N_0\),
\[ |b_n-B|<\frac{|B|}{2}. \]
Da desigualdade triangular inversa segue-se que
\[ |b_n|=|B+(b_n-B)|\geq |B|-|b_n-B|. \]
Assim, para todo \(n\geq N_0\),
\[ |b_n|>|B|-\frac{|B|}{2}=\frac{|B|}{2}. \]
Em particular, \(b_n\neq0\) para todo \(n\geq N_0\). Isto mostra que o quociente \(\frac{a_n}{b_n}\) está bem definido a partir de certa ordem.
Estimemos agora a diferença entre o quociente e o limite pretendido:
\[ \left|\frac{a_n}{b_n}-\frac{A}{B}\right|. \]
Reduzindo ao mesmo denominador, obtemos
\[ \left|\frac{a_n}{b_n}-\frac{A}{B}\right| = \left|\frac{B a_n-A b_n}{B b_n}\right|. \]
Somando e subtraindo \(AB\) no numerador,
\[ B a_n-A b_n = B a_n-AB+AB-A b_n. \]
Logo,
\[ B a_n-A b_n = B(a_n-A)+A(B-b_n). \]
Aplicando a desigualdade triangular,
\[ |B a_n-A b_n| \leq |B|\,|a_n-A|+|A|\,|B-b_n|. \]
Como
\[ |B-b_n|=|b_n-B|, \]
obtemos
\[ |B a_n-A b_n| \leq |B|\,|a_n-A|+|A|\,|b_n-B|. \]
Consequentemente,
\[ \left|\frac{a_n}{b_n}-\frac{A}{B}\right| \leq \frac{|B|\,|a_n-A|+|A|\,|b_n-B|}{|B|\,|b_n|}. \]
Para \(n\geq N_0\), sabemos que
\[ |b_n|>\frac{|B|}{2}. \]
Portanto,
\[ |B|\,|b_n| > |B|\cdot\frac{|B|}{2} = \frac{|B|^2}{2}. \]
Assim, para todo \(n\geq N_0\),
\[ \left|\frac{a_n}{b_n}-\frac{A}{B}\right| \leq \frac{2}{|B|^2} \left( |B|\,|a_n-A|+|A|\,|b_n-B| \right). \]
Fixemos agora \(\varepsilon>0\). Como \(a_n\to A\), existe \(N_1\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq N_1\),
\[ |a_n-A|<\frac{\varepsilon |B|}{4}. \]
Como \(b_n\to B\), existe \(N_2\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq N_2\),
\[ |b_n-B|<\frac{\varepsilon |B|^2}{4(|A|+1)}. \]
Tomemos
\[ N=\max\{N_0,N_1,N_2\}. \]
Então, para todo \(n\geq N\), verificam-se todas as estimativas anteriores. Em particular,
\[ |B|\,|a_n-A| < |B|\cdot\frac{\varepsilon |B|}{4} = \frac{\varepsilon |B|^2}{4}. \]
Além disso,
\[ |A|\,|b_n-B| \leq |A|\frac{\varepsilon |B|^2}{4(|A|+1)} = \frac{|A|}{|A|+1}\cdot\frac{\varepsilon |B|^2}{4} < \frac{\varepsilon |B|^2}{4}. \]
Somando,
\[ |B|\,|a_n-A|+|A|\,|b_n-B| < \frac{\varepsilon |B|^2}{4} + \frac{\varepsilon |B|^2}{4} = \frac{\varepsilon |B|^2}{2}. \]
Portanto,
\[ \left|\frac{a_n}{b_n}-\frac{A}{B}\right| < \frac{2}{|B|^2}\cdot\frac{\varepsilon |B|^2}{2} = \varepsilon. \]
Pela definição de limite,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{A}{B}. \]
Observações sobre as formas indeterminadas
As regras anteriores foram demonstradas no caso em que as sucessões \((a_n)\) e \((b_n)\) têm limites reais finitos. Neste contexto, as operações comportam-se de modo natural:
\[ a_n\to A,\quad b_n\to B \quad\Longrightarrow\quad a_n+b_n\to A+B, \]
\[ a_n b_n\to AB, \]
e, se \(B\neq0\),
\[ \frac{a_n}{b_n}\to\frac{A}{B}. \]
É preciso, no entanto, ter cuidado quando surgem limites infinitos ou quocientes em que o denominador tende para zero. Nesses casos, nem sempre é possível aplicar diretamente as regras algébricas.
Por exemplo, expressões do tipo
\[ +\infty-\infty, \qquad 0\cdot\infty, \qquad \frac{0}{0}, \qquad \frac{+\infty}{+\infty} \]
são chamadas formas indeterminadas. O termo "indeterminada" significa que o simples conhecimento dos limites das partes isoladas não basta para determinar o limite da expressão global.
Por exemplo, se \(a_n\to+\infty\) e \(b_n\to+\infty\), o limite de \(a_n-b_n\) não fica determinado automaticamente. Pode ser um número real, pode ser \(+\infty\), pode ser \(-\infty\), ou pode não existir.
Do mesmo modo, se \(a_n\to0\) e \(b_n\to0\), o quociente
\[ \frac{a_n}{b_n} \]
pode comportar-se de maneira diferente conforme as sucessões consideradas.
Por exemplo,
\[ \frac{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \frac{1}{n}}=1 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}_{\ge 1}\), logo o limite é \(1\). Por outro lado,
\[ \frac{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \frac{1}{n^2}}=n, \]
e, portanto, o limite é \(+\infty\).
Isto mostra que a simples informação de que "o numerador tende para \(0\)" e "o denominador tende para \(0\)" não basta para determinar o limite do quociente.
Por este motivo, as regras para as operações com limites devem ser aplicadas apenas quando as hipóteses dos teoremas correspondentes estão satisfeitas.
Exemplos de operações com limites
Exemplo 1 (limite de uma soma). Consideremos a sucessão
\[ c_n=\frac{1}{n}+\frac{n}{n+1}, \qquad n\in\mathbb{N}_{\ge 1}. \]
Sabemos que
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0 \]
e
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n+1}=1. \]
Pelo limite da soma,
\[ \lim_{n\to+\infty} \left( \frac{1}{n}+\frac{n}{n+1} \right) = 0+1 = 1. \]
Exemplo 2 (limite de uma diferença). Consideremos a sucessão
\[ c_n=\frac{n}{n+1}-\frac{1}{n}, \qquad n\in\mathbb{N}_{\ge 1}. \]
Como
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n+1}=1 \]
e
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0, \]
pelo limite da diferença obtemos
\[ \lim_{n\to+\infty} \left( \frac{n}{n+1}-\frac{1}{n} \right) = 1-0 = 1. \]
Exemplo 3 (limite de um produto). Consideremos a sucessão
\[ c_n= \left(2+\frac{1}{n}\right) \left(3-\frac{1}{n}\right), \qquad n\in\mathbb{N}_{\ge 1}. \]
Temos
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(2+\frac{1}{n}\right)=2 \]
e
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(3-\frac{1}{n}\right)=3. \]
Pelo limite do produto,
\[ \lim_{n\to+\infty} \left(2+\frac{1}{n}\right) \left(3-\frac{1}{n}\right) = 2\cdot3 = 6. \]
Exemplo 4 (limite de um quociente). Consideremos a sucessão
\[ c_n= \frac{2+\displaystyle \frac{1}{n}}{3-\displaystyle \frac{1}{n}}, \qquad n\in\mathbb{N}_{\ge 1}. \]
O numerador tende para \(2\), pois
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(2+\frac{1}{n}\right)=2. \]
O denominador tende para \(3\), pois
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(3-\frac{1}{n}\right)=3. \]
Como o limite do denominador é diferente de zero, podemos aplicar o limite do quociente:
\[ \lim_{n\to+\infty} \frac{2+\displaystyle \frac{1}{n}}{3-\displaystyle \frac{1}{n}} = \frac{2}{3}. \]
Exemplo 5 (cuidado com o quociente cujo denominador tende para zero). Consideremos a sucessão
\[ c_n=\frac{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \frac{1}{n}}, \qquad n\in\mathbb{N}_{\ge 1}. \]
O numerador e o denominador tendem ambos para \(0\), pois
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0. \]
No entanto, não podemos aplicar diretamente o teorema sobre o limite do quociente, porque o limite do denominador é \(0\).
Neste caso, simplificando, obtemos
\[ c_n=1 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}_{\ge 1}\), logo
\[ \lim_{n\to+\infty}c_n=1. \]
Este exemplo mostra que uma forma do tipo \(\displaystyle \frac{0}{0}\) deve ser estudada separadamente: não é possível determinar o seu limite aplicando automaticamente a regra do quociente, porque o limite do denominador é igual a \(0\).
Em conclusão, as operações com limites permitem calcular muitos limites de sucessões de modo simples e rigoroso, desde que sejam satisfeitas as hipóteses dos teoremas. Em particular, para o limite do quociente é indispensável que o limite do denominador seja diferente de zero.