As operações sobre limites de sucessões permitem calcular o limite de uma sucessão obtida combinando duas sucessões mais simples por meio da soma, da diferença, do produto ou do quociente.
A ideia fundamental é a seguinte: se duas sucessões \((a_n)\) e \((b_n)\) têm limite finito, então, sob hipóteses adequadas, as sucessões obtidas mediante as operações algébricas entre \(a_n\) e \(b_n\) também têm limite, e esse limite calcula-se operando sobre os limites.
Neste artigo consideramos o caso em que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=A \qquad\text{e}\qquad \lim_{n\to+\infty}b_n=B, \]
com \(A,B\in\mathbb{R}\). Estudaremos, portanto, as operações sobre os limites finitos de sucessões reais convergentes.
Importa precisar desde o início que as regras algébricas dos limites não podem ser aplicadas de forma automática quando surgem formas indeterminadas, como \(+\infty-\infty\), \(0\cdot\infty\), \(\frac{0}{0}\) ou \(\frac{\infty}{\infty}\). Nesses casos é necessário um estudo específico.
Índice
- Operações sobre limites de sucessões
- Limite da soma
- Limite da diferença
- Limite do produto
- Limite do quociente
- Observações sobre as formas indeterminadas
- Exemplos sobre as operações com limites
Operações sobre limites de sucessões
Sejam \((a_n)\) e \((b_n)\) duas sucessões reais convergentes, isto é, tais que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=A, \qquad \lim_{n\to+\infty}b_n=B, \]
com \(A,B\in\mathbb{R}\).
Sob estas hipóteses, valem as seguintes regras:
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n+b_n)=A+B, \]
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n-b_n)=A-B, \]
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n b_n)=AB. \]
Além disso, se \(B\neq0\), então \(b_n\neq0\) a partir de certa ordem e vale também
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{A}{B}. \]
A condição \(B\neq0\) no limite do quociente é essencial. Com efeito, se o limite do denominador fosse \(0\), não se poderia concluir, em geral, que o quociente tem limite finito.
Mais adiante demonstram-se com rigor estas propriedades, recorrendo à definição de limite de uma sucessão.
Limite da soma
Sejam \((a_n)\) e \((b_n)\) duas sucessões reais tais que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=A \qquad\text{e}\qquad \lim_{n\to+\infty}b_n=B, \]
com \(A,B\in\mathbb{R}\). Então
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n+b_n)=A+B. \]
Demonstração. Queremos demonstrar que, para todo \(\varepsilon>0\), existe \(N\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq N\), se tenha
\[ |(a_n+b_n)-(A+B)|<\varepsilon. \]
Observemos que
\[ (a_n+b_n)-(A+B)=(a_n-A)+(b_n-B). \]
Aplicando a desigualdade triangular, obtemos
\[ |(a_n+b_n)-(A+B)| = |(a_n-A)+(b_n-B)| \leq |a_n-A|+|b_n-B|. \]
Como \(a_n\to A\), para \(\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}>0\) existe \(N_1\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq N_1\),
\[ |a_n-A|<\frac{\varepsilon}{2}. \]
Como \(b_n\to B\), para \(\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}>0\) existe \(N_2\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq N_2\),
\[ |b_n-B|<\frac{\varepsilon}{2}. \]
Tomemos
\[ N=\max\{N_1,N_2\}. \]
Então, para todo \(n\geq N\), valem ambas as desigualdades anteriores. Por conseguinte
\[ |(a_n+b_n)-(A+B)| \leq |a_n-A|+|b_n-B| < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon. \]
Pela definição de limite,
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n+b_n)=A+B. \]
Limite da diferença
Sejam \((a_n)\) e \((b_n)\) duas sucessões reais tais que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=A \qquad\text{e}\qquad \lim_{n\to+\infty}b_n=B, \]
com \(A,B\in\mathbb{R}\). Então
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n-b_n)=A-B. \]
Este resultado decorre diretamente do limite da soma, observando que
\[ a_n-b_n=a_n+(-b_n). \]
Como \(b_n\to B\), tem-se
\[ -b_n\to -B. \]
Logo, aplicando o limite da soma,
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n-b_n) = \lim_{n\to+\infty}\bigl(a_n+(-b_n)\bigr) = A+(-B) = A-B. \]
De modo equivalente, pode demonstrar-se diretamente a partir da definição de limite. Com efeito:
\[ |(a_n-b_n)-(A-B)| = |(a_n-A)-(b_n-B)| \leq |a_n-A|+|b_n-B|. \]
A conclusão decorre exatamente como no caso da soma.
Limite do produto
Sejam \((a_n)\) e \((b_n)\) duas sucessões reais tais que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=A \qquad\text{e}\qquad \lim_{n\to+\infty}b_n=B, \]
com \(A,B\in\mathbb{R}\). Então
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n b_n)=AB. \]
Demonstração. Queremos demonstrar que, para todo \(\varepsilon>0\), existe \(N\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq N\), se tenha
\[ |a_n b_n-AB|<\varepsilon. \]
Escrevemos a diferença numa forma conveniente:
\[ a_n b_n-AB = a_n b_n-A b_n+A b_n-AB. \]
Logo
\[ a_n b_n-AB = (a_n-A)b_n+A(b_n-B). \]
Aplicando a desigualdade triangular, obtemos
\[ |a_n b_n-AB| \leq |a_n-A|\,|b_n|+|A|\,|b_n-B|. \]
Usamos agora um resultado fundamental: toda sucessão convergente é limitada. Como \(b_n\to B\), existe uma constante real positiva \(C\) tal que
\[ |b_n|\leq C \]
para todo \(n\) suficientemente grande.
Para sermos explícitos, tomando \(1>0\), da convergência \(b_n\to B\) resulta que existe \(N_0\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq N_0\),
\[ |b_n-B|<1. \]
Donde
\[ |b_n| = |b_n-B+B| \leq |b_n-B|+|B| < |B|+1. \]
Assim, a partir de certa ordem,
\[ |b_n|<|B|+1. \]
Fixemos agora \(\varepsilon>0\). Como \(a_n\to A\), existe \(N_1\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq N_1\),
\[ |a_n-A|<\frac{\varepsilon}{2(|B|+1)}. \]
Como \(b_n\to B\), existe \(N_2\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq N_2\),
\[ |b_n-B|<\frac{\varepsilon}{2(|A|+1)}. \]
Tomemos
\[ N=\max\{N_0,N_1,N_2\}. \]
Então, para todo \(n\geq N\), temos
\[ |b_n|<|B|+1, \qquad |a_n-A|<\frac{\varepsilon}{2(|B|+1)} \]
e
\[ |b_n-B|<\frac{\varepsilon}{2(|A|+1)}. \]
Portanto
\[ |a_n-A|\,|b_n| < \frac{\varepsilon}{2(|B|+1)}(|B|+1) = \frac{\varepsilon}{2}. \]
Além disso
\[ |A|\,|b_n-B| \leq (|A|+1)|b_n-B| < (|A|+1)\frac{\varepsilon}{2(|A|+1)} = \frac{\varepsilon}{2}. \]
Por conseguinte
\[ |a_n b_n-AB| \leq |a_n-A|\,|b_n|+|A|\,|b_n-B| < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon. \]
Pela definição de limite,
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n b_n)=AB. \]
Limite do quociente
Sejam \((a_n)\) e \((b_n)\) duas sucessões reais tais que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=A \qquad\text{e}\qquad \lim_{n\to+\infty}b_n=B, \]
com \(A,B\in\mathbb{R}\) e \(B\neq0\). Então \(b_n\neq0\) a partir de certa ordem e vale
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{A}{B}. \]
Demonstração. Como \(b_n\to B\) e \(B\neq0\), podemos escolher a distância positiva
\[ \frac{|B|}{2}>0. \]
Da convergência de \((b_n)\) para \(B\), existe \(N_0\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq N_0\),
\[ |b_n-B|<\frac{|B|}{2}. \]
Da desigualdade triangular resulta que
\[ |B| = |B-b_n+b_n| \leq |B-b_n|+|b_n|. \]
Logo
\[ |b_n| \geq |B|-|B-b_n| = |B|-|b_n-B|. \]
Logo, para todo \(n\geq N_0\),
\[ |b_n| > |B|-\frac{|B|}{2} = \frac{|B|}{2}. \]
Em particular, para todo \(n\geq N_0\) tem-se \(b_n\neq0\). Isto mostra que o quociente \(\frac{a_n}{b_n}\) está bem definido a partir de certa ordem.
Estimamos agora a diferença entre o quociente e o limite esperado:
\[ \left|\frac{a_n}{b_n}-\frac{A}{B}\right|. \]
Reduzindo ao mesmo denominador, obtemos
\[ \left|\frac{a_n}{b_n}-\frac{A}{B}\right| = \left|\frac{B a_n-A b_n}{B b_n}\right|. \]
Somamos e subtraímos \(AB\) no numerador:
\[ B a_n-A b_n = B a_n-AB+AB-A b_n. \]
Logo
\[ B a_n-A b_n = B(a_n-A)+A(B-b_n). \]
Aplicando a desigualdade triangular,
\[ |B a_n-A b_n| \leq |B|\,|a_n-A|+|A|\,|B-b_n|. \]
Como
\[ |B-b_n|=|b_n-B|, \]
obtemos
\[ |B a_n-A b_n| \leq |B|\,|a_n-A|+|A|\,|b_n-B|. \]
Por conseguinte
\[ \left|\frac{a_n}{b_n}-\frac{A}{B}\right| \leq \frac{|B|\,|a_n-A|+|A|\,|b_n-B|}{|B|\,|b_n|}. \]
Para \(n\geq N_0\), sabemos que
\[ |b_n|>\frac{|B|}{2}. \]
Portanto
\[ |B|\,|b_n| > |B|\cdot\frac{|B|}{2} = \frac{|B|^2}{2}. \]
Logo, para todo \(n\geq N_0\),
\[ \left|\frac{a_n}{b_n}-\frac{A}{B}\right| \leq \frac{2}{|B|^2} \left( |B|\,|a_n-A|+|A|\,|b_n-B| \right). \]
Fixemos agora \(\varepsilon>0\). Como \(a_n\to A\), existe \(N_1\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq N_1\),
\[ |a_n-A|<\frac{\varepsilon |B|}{4}. \]
Como \(b_n\to B\), existe \(N_2\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq N_2\),
\[ |b_n-B|<\frac{\varepsilon |B|^2}{4(|A|+1)}. \]
Tomemos
\[ N=\max\{N_0,N_1,N_2\}. \]
Então, para todo \(n\geq N\), valem todas as estimativas anteriores. Em particular,
\[ |B|\,|a_n-A| < |B|\cdot\frac{\varepsilon |B|}{4} = \frac{\varepsilon |B|^2}{4}. \]
Além disso
\[ |A|\,|b_n-B| \leq (|A|+1)|b_n-B| < (|A|+1)\frac{\varepsilon |B|^2}{4(|A|+1)} = \frac{\varepsilon |B|^2}{4}. \]
Somando,
\[ |B|\,|a_n-A|+|A|\,|b_n-B| < \frac{\varepsilon |B|^2}{4} + \frac{\varepsilon |B|^2}{4} = \frac{\varepsilon |B|^2}{2}. \]
Portanto
\[ \left|\frac{a_n}{b_n}-\frac{A}{B}\right| < \frac{2}{|B|^2}\cdot\frac{\varepsilon |B|^2}{2} = \varepsilon. \]
Pela definição de limite,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{A}{B}. \]
Observações sobre as formas indeterminadas
As regras anteriores foram demonstradas no caso em que as sucessões \((a_n)\) e \((b_n)\) têm limites reais finitos. Neste contexto, as operações comportam-se de modo natural:
\[ a_n\to A,\quad b_n\to B \quad\Longrightarrow\quad a_n+b_n\to A+B, \]
\[ a_n b_n\to AB, \]
e, se \(B\neq0\),
\[ \frac{a_n}{b_n}\to\frac{A}{B}. \]
É preciso, no entanto, ter atenção quando surgem limites infinitos ou denominadores que tendem para zero. Nesses casos, nem sempre é possível aplicar diretamente as regras algébricas.
Por exemplo, expressões do tipo
\[ +\infty-\infty, \qquad 0\cdot\infty, \qquad \frac{0}{0}, \qquad \frac{+\infty}{+\infty} \]
chamam-se formas indeterminadas. O termo “indeterminada” significa que conhecer apenas os limites de cada uma das partes não é suficiente para determinar o limite da expressão global.
Por exemplo, se \(a_n\to+\infty\) e \(b_n\to+\infty\), o limite de \(a_n-b_n\) não fica determinado de forma automática. Pode ser um número real, pode ser \(+\infty\), pode ser \(-\infty\), ou pode não existir.
Do mesmo modo, se \(a_n\to0\) e \(b_n\to0\), o quociente
\[ \frac{a_n}{b_n} \]
pode ter comportamentos diferentes conforme as sucessões consideradas.
Por exemplo,
\[ \frac{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \frac{1}{n}}=1 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}_{\ge 1}\), pelo que o limite é \(1\). Por outro lado,
\[ \frac{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \frac{1}{n^2}}=n, \]
e, portanto, o limite é \(+\infty\).
Isto mostra que a informação “numerador que tende para \(0\)” e “denominador que tende para \(0\)”, por si só, não é suficiente para determinar o limite do quociente.
Por esta razão, as regras sobre as operações com limites só devem ser aplicadas quando as hipóteses dos teoremas estão satisfeitas.
Exemplos sobre as operações com limites
Exemplo 1 (limite de uma soma). Consideremos a sucessão
\[ c_n=\frac{1}{n}+\frac{n}{n+1}. \]
Sabemos que
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0 \]
e
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n+1}=1. \]
Pelo limite da soma,
\[ \lim_{n\to+\infty} \left( \frac{1}{n}+\frac{n}{n+1} \right) = 0+1 = 1. \]
Exemplo 2 (limite de uma diferença). Consideremos a sucessão
\[ c_n=\frac{n}{n+1}-\frac{1}{n}. \]
Como
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n+1}=1 \]
e
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0, \]
pelo limite da diferença obtemos
\[ \lim_{n\to+\infty} \left( \frac{n}{n+1}-\frac{1}{n} \right) = 1-0 = 1. \]
Exemplo 3 (limite de um produto). Consideremos a sucessão
\[ c_n= \left(2+\frac{1}{n}\right) \left(3-\frac{1}{n}\right). \]
Temos
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(2+\frac{1}{n}\right)=2 \]
e
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(3-\frac{1}{n}\right)=3. \]
Pelo limite do produto,
\[ \lim_{n\to+\infty} \left(2+\frac{1}{n}\right) \left(3-\frac{1}{n}\right) = 2\cdot3 = 6. \]
Exemplo 4 (limite de um quociente). Consideremos a sucessão
\[ c_n= \frac{2+\displaystyle \frac{1}{n}}{3-\displaystyle \frac{1}{n}}. \]
O numerador tende para \(2\); com efeito,
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(2+\frac{1}{n}\right)=2. \]
O denominador tende para \(3\); com efeito,
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(3-\frac{1}{n}\right)=3. \]
Como o limite do denominador é diferente de zero, podemos aplicar o limite do quociente:
\[ \lim_{n\to+\infty} \frac{2+\displaystyle \frac{1}{n}}{3-\displaystyle \frac{1}{n}} = \frac{2}{3}. \]
Exemplo 5 (atenção ao quociente com denominador a tender para zero). Consideremos a sucessão
\[ c_n=\frac{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \frac{1}{n}}. \]
Tanto o numerador como o denominador tendem para \(0\):
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0. \]
Contudo, não podemos aplicar diretamente o teorema sobre o limite do quociente, porque o limite do denominador é \(0\).
Neste caso, simplificando, obtemos
\[ c_n=1 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}_{\ge 1}\), pelo que
\[ \lim_{n\to+\infty}c_n=1. \]
Este exemplo mostra que uma forma do tipo \(\displaystyle \frac{0}{0}\) deve ser estudada separadamente: não é possível determinar o seu limite aplicando automaticamente a regra do quociente, porque o limite do denominador é igual a \(0\).
Em conclusão, as operações sobre limites permitem calcular muitos limites de sucessões de modo simples e rigoroso, desde que sejam respeitadas as hipóteses dos teoremas. Em particular, para o limite do quociente é indispensável que o limite do denominador seja diferente de zero.