Depois de termos introduzido as vizinhanças, podemos definir dois conceitos fundamentais no estudo dos conjuntos de números reais: os pontos de acumulação e os pontos isolados.
Estas noções descrevem o comportamento local de um conjunto sobre a recta real e permitem determinar se os seus elementos se acumulam em torno de certos pontos ou, pelo contrário, permanecem separados uns dos outros. Desempenham um papel central no estudo dos limites, das sucessões, dos conjuntos fechados e, de um modo mais geral, da análise matemática.
De seguida, apresentaremos as definições rigorosas de ponto de acumulação e de ponto isolado, juntamente com as suas principais propriedades e caracterizações.
Índice
- Ponto de acumulação
- Ponto isolado
- Exemplos fundamentais
- Caracterização através de sucessões
- Conjunto derivado e conjuntos fechados
Ponto de acumulação
Seja \( A\subseteq\mathbb R \). Um ponto \( x_0\in\mathbb R \) diz-se ponto de acumulação de \( A \) se toda a vizinhança de \( x_0 \) contém pelo menos um elemento de \( A \) distinto de \( x_0 \).
De forma equivalente,
\[ \forall r>0, \qquad \Bigl((x_0-r,x_0+r)\setminus\{x_0\}\Bigr)\cap A \neq\varnothing. \]
Por outras palavras, por mais que se reduza a vizinhança centrada em \( x_0 \), encontram-se sempre pontos de \( A \) arbitrariamente próximos de \( x_0 \).
É importante observar que \( x_0 \) não tem necessariamente de pertencer ao conjunto \( A \). A definição exige apenas que nas suas proximidades existam elementos de \( A \) distintos de \( x_0 \).
Além disso, toda a vizinhança de um ponto de acumulação contém necessariamente infinitos pontos do conjunto distintos de \( x_0 \). Com efeito, se uma certa vizinhança contivesse apenas um número finito deles, seria possível construir uma vizinhança mais pequena que os excluísse a todos, em contradição com a definição.
Em particular, nenhum conjunto finito pode possuir pontos de acumulação.
Do ponto de vista geométrico, um ponto de acumulação é um ponto em torno do qual o conjunto se concentra. Imaginando efectuar ampliações sucessivas da recta real nas proximidades de \( x_0 \), continuaríamos sempre a observar elementos do conjunto arbitrariamente próximos desse ponto.
Um ponto de acumulação pode ou não pertencer ao conjunto. Por exemplo, se \( A=(0,1) \), o ponto \( \displaystyle \frac12 \) pertence a \( A \) e é um ponto de acumulação. Os pontos \( 0 \) e \( 1 \) são igualmente pontos de acumulação, embora não pertençam ao conjunto, visto que toda a vizinhança de cada um deles contém elementos de \( A \).
Ponto isolado
Seja \( A\subseteq\mathbb R \). Um ponto \( x_0\in A \) diz-se ponto isolado de \( A \) se existe uma vizinhança de \( x_0 \) que não contém nenhum outro elemento do conjunto.
Em símbolos,
\[ \exists r>0 \quad\text{tal que}\quad (x_0-r,x_0+r)\cap A=\{x_0\}. \]
Isto significa que \( x_0 \) está separado dos restantes elementos de \( A \) por uma distância positiva. Numa vizinhança suficientemente pequena de \( x_0 \), o único ponto do conjunto presente é precisamente \( x_0 \).
Do ponto de vista geométrico, um ponto isolado pode ser pensado como um elemento «solitário» do conjunto, rodeado por uma região da recta real desprovida de outros pontos pertencentes a \( A \).
As noções de ponto isolado e ponto de acumulação estão estreitamente relacionadas. Se \( x_0\in A \), então verifica-se exactamente uma das seguintes possibilidades:
- \( x_0 \) é um ponto isolado;
- \( x_0 \) é um ponto de acumulação.
As duas propriedades são incompatíveis. Com efeito, se existe uma vizinhança que contém apenas \( x_0 \), então \( x_0 \) não pode ser um ponto de acumulação. Reciprocamente, se \( x_0 \) é um ponto de acumulação, toda a sua vizinhança contém infinitos pontos do conjunto distintos de \( x_0 \), pelo que \( x_0 \) não pode ser isolado.
Comparação entre pontos isolados e pontos de acumulação
| Aspecto | Ponto isolado | Ponto de acumulação |
|---|---|---|
| Pertença a \(A\) | Tem de pertencer a \(A\) | Pode ou não pertencer a \(A\) |
| Vizinhanças | Existe uma vizinhança que contém apenas esse ponto do conjunto | Toda a vizinhança contém infinitos pontos do conjunto distintos de \( x_0 \) |
| Comportamento local | O ponto está separado do resto do conjunto | O conjunto acumula-se em torno do ponto |
Um mesmo conjunto pode conter tanto pontos isolados como pontos de acumulação. Por exemplo, no conjunto
\[ \left\{0\right\} \cup \left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}, \]
o ponto \(0\) é um ponto de acumulação, ao passo que todos os pontos da forma \( \displaystyle \frac1n \) são isolados.
Exemplos fundamentais
Consideremos alguns exemplos fundamentais, úteis para distinguir com precisão os pontos de acumulação dos pontos isolados.
Intervalos
Seja \( A=(0,1) \). Todo o ponto de \( (0,1) \) é um ponto de acumulação de \( A \), uma vez que qualquer vizinhança sua contém infinitos pontos do intervalo. Também \(0\) e \(1\) são pontos de acumulação, embora não pertençam a \(A\). Com efeito, toda a vizinhança de \(0\) contém pontos positivos menores que \(1\), ao passo que toda a vizinhança de \(1\) contém pontos do intervalo menores que \(1\).
Assim, o conjunto dos pontos de acumulação de \( (0,1) \) é
\[ [0,1]. \]
Conjuntos finitos e conjuntos discretos
Se \( A=\{1,3,7\} \), então todos os elementos de \(A\) são pontos isolados. Por exemplo, em torno do ponto \(3\) é possível escolher um intervalo suficientemente pequeno que não contenha nem \(1\) nem \(7\). De um modo mais geral, todo o conjunto finito de números reais é formado apenas por pontos isolados e não possui pontos de acumulação.
Também o conjunto dos inteiros \( \mathbb Z \) é formado apenas por pontos isolados. Com efeito, para todo \( n\in\mathbb Z \), a vizinhança
\[ \left(n-\frac12,n+\frac12\right) \]
contém como único inteiro o ponto \(n\). Por conseguinte, todo o inteiro é isolado e \( \mathbb Z \) não tem pontos de acumulação em \( \mathbb R \).
Um conjunto com pontos isolados e um ponto de acumulação
Consideremos o conjunto
\[ A=\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}. \]
Todo o ponto da forma \(\displaystyle \frac1n \) é isolado. Com efeito, fixado um valor de \(n\), é possível escolher uma vizinhança suficientemente pequena de \( \displaystyle \frac1n \) que não contenha nenhum outro elemento da sucessão \(1,\displaystyle\frac12,\displaystyle\frac13,\ldots\).
No entanto, \(0\) é um ponto de acumulação de \(A\). Com efeito, para todo \(r>0\) existe \(n\in\mathbb N\) suficientemente grande tal que
\[ 0<\frac1n<r. \]
Logo, toda a vizinhança de \(0\) contém elementos de \(A\) distintos de \(0\). Observemos que \(0\notin A\): isto mostra que um ponto de acumulação não tem necessariamente de pertencer ao conjunto.
Se, em vez disso, considerarmos
\[ B=\{0\}\cup\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}, \]
o ponto \(0\) continua a ser um ponto de acumulação, mas agora pertence também ao conjunto \(B\). Os pontos \( \displaystyle\frac1n \), por seu turno, mantêm-se pontos isolados.
Os números racionais
Consideremos o conjunto dos números racionais \( \mathbb Q \). Graças à densidade dos racionais em \( \mathbb R \), entre dois números reais distintos existem sempre infinitos números racionais. Em consequência, toda a vizinhança de um qualquer ponto da recta real contém infinitos elementos de \( \mathbb Q \).
Por conseguinte, todo o número real é um ponto de acumulação de \( \mathbb Q \), isto é,
\[ \mathbb Q' = \mathbb R. \]
Além disso, \( \mathbb Q \) não possui qualquer ponto isolado. Este exemplo mostra de modo notável que um conjunto pode ter pontos de acumulação em cada ponto da recta real, sem ser um intervalo e sendo, de facto, totalmente desconexo.
Caracterização através de sucessões
Os pontos de acumulação podem ser caracterizados por meio de sucessões. Este resultado é particularmente importante porque permite traduzir uma propriedade geométrica dos conjuntos numa propriedade de convergência.
Teorema. Seja \( A\subseteq\mathbb R \) e seja \( x_0\in\mathbb R \). Então \( x_0 \) é um ponto de acumulação de \( A \) se e só se existe uma sucessão \( (x_n) \subseteq A\setminus\{x_0\} \) tal que
\[ \lim_{n\to\infty}x_n=x_0. \]
Demonstração. Suponhamos que \( x_0 \) é um ponto de acumulação de \( A \). Para cada \( n\in\mathbb N \), a vizinhança
\[ \left(x_0-\frac1n,x_0+\frac1n\right) \]
contém pelo menos um ponto \( x_n\in A\setminus\{x_0\} \). Daqui resulta que
\[ 0<|x_n-x_0|<\frac1n. \]
Como \( \displaystyle \frac1n\to0 \), pelo teorema do enquadramento obtemos \( x_n\to x_0 \).
Reciprocamente, suponhamos que existe uma sucessão \( (x_n)\subseteq A\setminus\{x_0\} \) tal que \( x_n\to x_0 \). Seja \( r>0 \). Pela definição de limite, existe \( N\in\mathbb N \) tal que
\[ n\ge N \quad\Longrightarrow\quad |x_n-x_0|<r. \]
Em particular, \( x_N\in(x_0-r,x_0+r) \), com \( x_N\in A \) e \( x_N\neq x_0 \). Portanto, toda a vizinhança de \( x_0 \) contém um elemento de \( A \) distinto de \( x_0 \), pelo que \( x_0 \) é um ponto de acumulação de \( A \).
Esta caracterização constitui um dos principais elos entre a teoria dos conjuntos e o estudo das sucessões.
Conjunto derivado e conjuntos fechados
O conjunto de todos os pontos de acumulação de um conjunto \( A \subseteq \mathbb R \) recebe o nome de conjunto derivado de \( A \) e representa-se por \( A' \).
Em símbolos,
\[ A'=\{x\in\mathbb R : x \text{ é ponto de acumulação de } A\}. \]
O conjunto derivado descreve o comportamento de \( A \) nas suas proximidades e reúne todos os pontos em torno dos quais o conjunto se acumula.
Observemos que os pontos de \( A' \) não têm necessariamente de pertencer a \( A \). Por exemplo, se \( A=(0,1) \), então \( 0 \) e \( 1 \) pertencem a \( A' \) embora não pertençam ao conjunto.
Vejamos alguns exemplos.
- Se \( A=(0,1) \), então \[ A'=[0,1]. \]
- Se \( A=\mathbb Z \), então \[ A'=\varnothing, \] visto que todo o inteiro é um ponto isolado.
- Se \[ A=\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}, \] então \[ A'=\{0\}. \]
O conceito de conjunto derivado permite caracterizar de modo simples os conjuntos fechados.
Teorema. Um conjunto \( A\subseteq\mathbb R \) é fechado se e só se contém todos os seus pontos de acumulação.
De forma equivalente,
\[ A \text{ é fechado} \quad\Longleftrightarrow\quad A'\subseteq A. \]
Por outras palavras, um conjunto é fechado quando não «perde» nenhum ponto para o qual os seus elementos possam acumular-se.
Por exemplo, o intervalo fechado \( [0,1] \) contém todos os seus pontos de acumulação e é, por isso, um conjunto fechado. Pelo contrário,
\[ (0,1) \]
não é fechado, visto que os pontos \(0\) e \(1\) são pontos de acumulação mas não pertencem ao conjunto.
Os pontos de acumulação desempenham um papel fundamental na análise matemática. Um dos teoremas mais importantes da análise real, o teorema de Bolzano–Weierstrass, afirma precisamente que todo o subconjunto infinito e limitado de \( \mathbb R \) possui pelo menos um ponto de acumulação.
Este resultado sublinha como a presença de pontos de acumulação é uma propriedade intrínseca dos conjuntos infinitos limitados e constitui um dos pilares da análise matemática.