Uma coletânea progressiva de 20 exercícios resolvidos sobre o produto cartesiano, desenvolvidos com rigor teórico e atenção à compreensão concetual. Os exercícios conduzem o leitor desde a construção de pares ordenados até ao estudo de subconjuntos, relações e interpretações geométricas no plano.
Exercício 1 — nível ★☆☆☆☆
Sejam \( A = \{1,2\} \) e \( B = \{a,b\} \). Determinar o produto cartesiano \( A \times B \).
Resultado
\[ A \times B = \{(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)\} \]
Resolução
Definição formal
\[ A \times B = \{(x,y) \mid x \in A,\ y \in B\} \]
Interpretação
Cada elemento de \(A\) é emparelhado com todos os elementos de \(B\). O processo está concluído quando se geraram todas as combinações possíveis.
Construção
Com \(1\):
\[(1,a),(1,b)\]
Com \(2\):
\[(2,a),(2,b)\]
Conclusão
O conjunto final é a reunião de todos os pares construídos.
Observação
A ordem é essencial: \((1,a)\neq(a,1)\).
Exercício 2 — nível ★☆☆☆☆
Sejam \( A = \{0,1\} \) e \( B = \{2,3,4\} \). Determinar \( A \times B \) e a sua cardinalidade.
Resultado
\[ A \times B = \{(0,2),(0,3),(0,4),(1,2),(1,3),(1,4)\} \]
\[ |A \times B| = 6 \]
Resolução
Estrutura do problema
Cada elemento de \(A\) gera um “bloco” de pares com todos os elementos de \(B\).
Construção
Com \(0\):
\[(0,2),(0,3),(0,4)\]
Com \(1\):
\[(1,2),(1,3),(1,4)\]
Cardinalidade
\[ |A \times B| = |A|\cdot|B| = 2\cdot3 = 6 \]
Interpretação
O produto cartesiano dá origem a uma estrutura “em grelha”: a escolha da primeira coordenada é independente da segunda.
Exercício 3 — nível ★★☆☆☆
Sejam \( A = \{-1,1\} \) e \( B = \{0,2\} \). Determinar \( A \times B \) e interpretá-lo no plano cartesiano.
Resultado
\[ A \times B = \{(-1,0),(-1,2),(1,0),(1,2)\} \]
Resolução
Construção
Com \(-1\):
\[(-1,0),(-1,2)\]
Com \(1\):
\[(1,0),(1,2)\]
Interpretação geométrica
Os pares correspondem a pontos do plano. O conjunto é constituído pelos vértices de um retângulo.
Observação fundamental
\[ A \times B \neq B \times A \]
Trocando a ordem dos conjuntos obtêm-se pontos distintos.
Exercício 4 — nível ★★☆☆☆
Sejam \( A = \{1,2,3\} \) e \( B = \{x\} \). Determinar \( A \times B \).
Resultado
\[ A \times B = \{(1,x),(2,x),(3,x)\} \]
Resolução
Análise
O conjunto \(B\) tem um único elemento, o que fixa a segunda coordenada.
Construção
\[ (1,x),(2,x),(3,x) \]
Interpretação
Todos os pares partilham a mesma segunda coordenada.
Cardinalidade
\[ |A \times B| = 3 \]
Exercício 5 — nível ★★☆☆☆
Sejam \( A = \{a,b\} \) e \( B = \varnothing \). Determinar \( A \times B \).
Resultado
\[ A \times B = \varnothing \]
Resolução
Definição
Para construir um par é necessário um elemento \(y \in B\).
Observação
Como \(B\) é vazio, não há nenhuma escolha possível.
Conclusão
Não existem pares:
\[ A \times B = \varnothing \]
Propriedade geral
\[ A \times \varnothing = \varnothing \]
Exercício 6 — nível ★★☆☆☆
Sejam \( A = \{1,2,3\} \) e \( B = \{a,b\} \). Determinar o subconjunto de \( A \times B \) definido por:
\[ S = \{(x,y) \in A \times B \mid x > 1\} \]
Resultado
\[ S = \{(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)\} \]
Resolução
Leitura da condição
A condição \(x > 1\) seleciona apenas alguns elementos de \(A\).
Seleção
\[ A = \{1,2,3\} \Rightarrow x > 1 \Rightarrow x \in \{2,3\} \]
Construção
Com \(2\):
\[(2,a),(2,b)\]
Com \(3\):
\[(3,a),(3,b)\]
Interpretação
A restrição atua apenas sobre a primeira coordenada, pelo que se selecionam “colunas” inteiras.
Exercício 7 — nível ★★☆☆☆
Sejam \( A = \{1,2,3\} \) e \( B = \{1,2\} \). Determinar:
\[ S = \{(x,y) \in A \times B \mid x = y\} \]
Resultado
\[ S = \{(1,1),(2,2)\} \]
Resolução
Significado da condição
A relação \(x = y\) impõe que as duas coordenadas coincidam.
Verificação elemento a elemento
Pares possíveis:
\((1,1)\) ✔
\((1,2)\) ✘
\((2,1)\) ✘
\((2,2)\) ✔
\((3,1)\) ✘
\((3,2)\) ✘
Conclusão
\[ S = \{(1,1),(2,2)\} \]
Observação
O par \((3,3)\) não aparece porque \(3 \notin B\).
Exercício 8 — nível ★★★☆☆
Seja \( A = \{1,2,3\} \). Determinar:
\[ A \times A \]
Resultado
\[ A \times A = \{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)\} \]
Resolução
Estrutura
Trata-se do produto de um conjunto consigo próprio.
Construção
Com \(1\):
\[(1,1),(1,2),(1,3)\]
Com \(2\):
\[(2,1),(2,2),(2,3)\]
Com \(3\):
\[(3,1),(3,2),(3,3)\]
Cardinalidade
\[ |A \times A| = |A|^2 = 3^2 = 9 \]
Interpretação
Obtém-se uma grelha quadrada: cada elemento aparece também emparelhado consigo próprio.
Exercício 9 — nível ★★★☆☆
Sejam \( A = \{1,2,3\} \) e \( B = \{1,2,3\} \). Determinar:
\[ S = \{(x,y) \in A \times B \mid x < y\} \]
Resultado
\[ S = \{(1,2),(1,3),(2,3)\} \]
Resolução
Significado da condição
A relação \(x < y\) retém apenas os pares cuja primeira coordenada é estritamente menor do que a segunda.
Análise sistemática
Verificamos:
\((1,2)\) ✔
\((1,3)\) ✔
\((2,3)\) ✔
os restantes pares ✘
Interpretação geométrica
Os pontos selecionados situam-se estritamente acima da diagonal \(x=y\).
Exercício 10 — nível ★★★☆☆
Sejam \( A = \{1,2\} \), \( B = \{a,b\} \), \( C = \{0,1\} \). Determinar:
\[ A \times B \times C \]
Resultado
\[ \begin{aligned} A \times B \times C = \{ & (1,a,0),(1,a,1),(1,b,0),(1,b,1), \\ & (2,a,0),(2,a,1),(2,b,0),(2,b,1) \} \end{aligned} \]
Resolução
Definição
\[ A \times B \times C = \{(x,y,z) \mid x \in A,\ y \in B,\ z \in C\} \]
Estratégia
Construímos primeiro \(A \times B\) e, em seguida, acrescentamos a terceira coordenada.
Construção
Cada par de \(A \times B\) dá origem a dois ternos (com 0 e com 1).
Cardinalidade
\[ |A \times B \times C| = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \]
Interpretação
Trata-se de um produto cartesiano de três fatores: cada elemento é um terno ordenado.
Exercício 11 — nível ★★★☆☆
Sejam \( A = \{1,2,3\} \) e \( B = \{1,2,3\} \). Determinar:
\[ S = \{(x,y) \in A \times B \mid x \ge y\} \]
Resultado
\[ S = \{(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3)\} \]
Resolução
Leitura da condição
A relação \(x \ge y\) seleciona todos os pares em que a primeira coordenada é maior ou igual à segunda.
Análise sistemática
\((1,1)\) ✔
\((2,1)\),\((2,2)\) ✔
\((3,1)\),\((3,2)\),\((3,3)\) ✔
Interpretação geométrica
Obtém-se a parte do plano sobre a diagonal ou abaixo dela.
Exercício 12 — nível ★★★☆☆
Sejam \( A = \{1,2,3,4\} \) e \( B = \{1,2,3\} \). Determinar:
\[ S = \{(x,y) \in A \times B \mid x + y = 4\} \]
Resultado
\[ S = \{(1,3),(2,2),(3,1)\} \]
Resolução
Significado da condição
A relação impõe uma restrição que liga as duas coordenadas: a sua soma tem de ser igual a 4.
Verificação
\((1,3)\) ✔
\((2,2)\) ✔
\((3,1)\) ✔
os restantes pares ✘
Interpretação geométrica
Os pontos selecionados situam-se sobre uma reta discreta: \(x + y = 4\).
Exercício 13 — nível ★★★★☆
Seja \( A = \{1,2,3\} \). Determinar:
\[ S = \{(x,y) \in A \times A \mid x \neq y\} \]
Resultado
\[ S = \{(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)\} \]
Resolução
Interpretação
A condição elimina todos os pares com coordenadas iguais.
Construção
Partimos de \(A \times A\) (com 9 elementos) e descartamos:
\[ (1,1),(2,2),(3,3) \]
Conclusão
Restam 6 pares.
Observação
\[ |S| = |A|^2 - |A| = 3^2 - 3 = 6 \]
Conjuntos deste tipo desempenham um papel central no estudo das relações.
Exercício 14 — nível ★★★★☆
Sejam \( A = \mathbb{N} \), \( B = \mathbb{N} \). Determinar:
\[ S = \{(x,y) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \mid y = 2x\} \]
Resultado
\[ S = \{(x,2x) \mid x \in \mathbb{N}\} \]
Resolução
Análise
O conjunto é infinito: contém todos os pares que satisfazem \(y = 2x\).
Construção
Para cada \(x \in \mathbb{N}\) existe um único \(y = 2x\).
Interpretação
O conjunto traça uma reta discreta no plano cartesiano.
Observação
Não se trata da totalidade de \( \mathbb{N} \times \mathbb{N} \), mas apenas de uma “linha” no seu interior.
Exercício 15 — nível ★★★★☆
Determinar o subconjunto de \( \mathbb{R}^2 \) definido por:
\[ S = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid y = x^2\} \]
Resultado
\[ S = \text{conjunto dos pontos da parábola } y = x^2 \]
Resolução
Interpretação
O conjunto contém todos os pares reais que satisfazem a relação \(y = x^2\).
Estrutura
Não é um conjunto discreto, mas sim contínuo.
Significado geométrico
Representa uma parábola no plano cartesiano.
Observação fundamental
O produto cartesiano \( \mathbb{R}^2 \) é o plano todo, ao passo que \(S\) é apenas uma curva nele contida.
Exercício 16 — nível ★★★★☆
Seja \( A = \{1,2,3\} \). Determinar:
\[ S = \{(x,y) \in A \times A \mid x + y \text{ é par}\} \]
Resultado
\[ S = \{(1,1),(1,3),(2,2),(3,1),(3,3)\} \]
Resolução
Análise da condição
Uma soma é par precisamente quando:
- par + par
- ímpar + ímpar
Classificação
\(1,3\) são ímpares — \(2\) é par.
Construção
\[ (1,1),(1,3),(3,1),(3,3),(2,2) \]
Interpretação
Obtém-se uma estrutura regular (do tipo tabuleiro de xadrez), fundamental no estudo das relações.
Exercício 17 — nível ★★★★★
Seja \( A = \{1,2,3\} \). Determinar se a relação
\[ R = \{(x,y) \in A \times A \mid x \le y\} \]
é reflexiva, simétrica, transitiva.
Resultado
Reflexiva ✔ — Simétrica ✘ — Transitiva ✔
Resolução
Reflexividade
\[ (1,1),(2,2),(3,3) \in R \]
✔ propriedade satisfeita
Simetria
Sendo \((1,2) \in R\), a simetria exigiria que também \((2,1) \in R\), mas:
\[ 2 \le 1 \text{ é falso} \]
✘ não é simétrica
Transitividade
Se \(x \le y\) e \(y \le z\), então \(x \le z\).
✔ propriedade satisfeita
Interpretação
Trata-se da relação de ordem natural.
Exercício 18 — nível ★★★★★
Determinar o subconjunto de \( \mathbb{R}^2 \) definido por:
\[ S = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid xy = 1\} \]
Resultado
\[ S = \text{hipérbole } xy = 1 \]
Resolução
Análise
A relação liga as duas variáveis de modo não linear.
Construção
\[ y = \frac{1}{x}, \quad x \neq 0 \]
Interpretação geométrica
Obtém-se uma hipérbole formada por dois ramos.
Observação
O produto cartesiano cobre o plano inteiro, mas esta relação destaca apenas uma curva.
Exercício 19 — nível ★★★★★
Seja \( A = \{1,2,3\} \). Determinar:
\[ S = \{(x,y) \in A \times A \mid |x - y| = 1\} \]
Resultado
\[ S = \{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\} \]
Resolução
Interpretação
A condição seleciona pares cuja distância é igual a 1.
Construção
\((1,2)\),\((2,1)\)
\((2,3)\),\((3,2)\)
Observação
A relação é simétrica.
Interpretação gráfica
Obtêm-se duas diagonais paralelas à principal.
Exercício 20 — nível ★★★★★
Determinar o subconjunto de \( \mathbb{R}^2 \) definido por:
\[ S = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid y \ge x^2\} \]
Resultado
\[ S = \text{região situada acima da parábola } y = x^2 \text{, parábola incluída} \]
Resolução
Interpretação
Esta relação não destaca apenas uma curva, mas toda uma região do plano.
Estrutura
\[ y \ge x^2 \]
engloba todos os pontos situados acima da parábola, juntamente com os pontos da própria parábola.
Significado geométrico
Obtém-se uma região não limitada e conexa.
Observação final
Este exemplo evidencia que um subconjunto de \( \mathbb{R}^2 \) pode ser, conforme os casos:
- discreto
- uma curva
- uma região