Esta coletânea apresenta 20 exercícios resolvidos sobre as propriedades das potências, organizados por ordem crescente de dificuldade. O objetivo não é apenas efetuar corretamente os cálculos, mas aprender a reconhecer a estrutura de uma expressão e a identificar a propriedade das potências que pode ser aplicada.
Estudaremos o produto e o quociente de potências com a mesma base, a potência de uma potência, a potência de um produto e a potência de um quociente. Abordaremos ainda exercícios sobre potências de expoente zero, negativo e racional.
Nos primeiros exercícios, aplicaremos uma propriedade de cada vez. Nos seguintes, pelo contrário, será necessário empregar várias propriedades sucessivamente, prestando atenção à ordem pela qual as diferentes transformações devem ser efetuadas.
Quando surgirem variáveis, denominadores ou expoentes negativos e racionais, examinaremos também as condições sob as quais as expressões estão definidas. Deste modo, cada simplificação preservará não só o valor da expressão, mas também o domínio da expressão inicial.
Exercício 1 — nível ★☆☆☆☆
Calcular:
\[ 2^3\cdot 2^4. \]
Resultado
\[ 2^3\cdot 2^4=128. \]
Resolução
A expressão é o produto de duas potências com a mesma base, igual a \(2\). Ao multiplicar potências com a mesma base, mantém-se a base e somam-se os expoentes:
\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n}. \]
No nosso caso, os expoentes são \(3\) e \(4\). Portanto,
\[ 2^3\cdot 2^4=2^{3+4}=2^7. \]
Por definição, \(2^7\) é o produto de sete fatores iguais a \(2\):
\[ 2^7=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=128. \]
Consequentemente,
\[ 2^3\cdot 2^4=128. \]
Exercício 2 — nível ★☆☆☆☆
Calcular:
\[ \frac{5^6}{5^4}. \]
Resultado
\[ \frac{5^6}{5^4}=25. \]
Resolução
No numerador e no denominador surgem duas potências com a mesma base, igual a \(5\). Como a base é diferente de zero, podemos aplicar a propriedade do quociente de potências com a mesma base:
\[ \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}, \qquad a\neq0. \]
Mantém-se a base, e o expoente resultante é a diferença entre o expoente do numerador e o do denominador. Obtemos assim
\[ \frac{5^6}{5^4}=5^{6-4}=5^2. \]
Calculamos a potência resultante:
\[ 5^2=5\cdot5=25. \]
Portanto,
\[ \frac{5^6}{5^4}=25. \]
Exercício 3 — nível ★☆☆☆☆
Calcular:
\[ \left(3^2\right)^3. \]
Resultado
\[ \left(3^2\right)^3=729. \]
Resolução
A expressão é constituída pela potência \(3^2\), elevada por sua vez ao cubo. Trata-se, portanto, de uma potência de uma potência.
Neste caso, os expoentes não se somam. Mantém-se a base e multiplicam-se o expoente interior e o exterior:
\[ \left(a^m\right)^n=a^{mn}. \]
O expoente interior é \(2\) e o exterior é \(3\). Portanto,
\[ \left(3^2\right)^3=3^{2\cdot3}=3^6. \]
Calculando a sexta potência de \(3\), obtemos
\[ 3^6=3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3=729. \]
O mesmo resultado poderia ser obtido calculando primeiro \(3^2=9\) e depois \(9^3=729\). No entanto, aplicar a propriedade da potência de uma potência permite evidenciar diretamente a estrutura da expressão. Consequentemente,
\[ \left(3^2\right)^3=729. \]
Exercício 4 — nível ★☆☆☆☆
Calcular:
\[ (2\cdot5)^3. \]
Resultado
\[ (2\cdot5)^3=1000. \]
Resolução
Dentro dos parênteses surge o produto \(2\cdot5\), e todo o produto está elevado ao cubo. Podemos, então, aplicar a propriedade da potência de um produto:
\[ (ab)^n=a^n b^n. \]
Esta propriedade estabelece que o expoente deve ser aplicado a cada fator do produto. Portanto,
\[ (2\cdot5)^3=2^3\cdot5^3. \]
Calculamos separadamente as duas potências:
\[ 2^3=8 \qquad\text{e}\qquad 5^3=125. \]
Consequentemente,
\[ 2^3\cdot5^3=8\cdot125=1000. \]
Podemos verificar o resultado calculando primeiro o produto contido nos parênteses:
\[ (2\cdot5)^3=10^3=1000. \]
Portanto,
\[ (2\cdot5)^3=1000. \]
Exercício 5 — nível ★☆☆☆☆
Calcular:
\[ \left(\frac{6}{3}\right)^4. \]
Resultado
\[ \left(\frac{6}{3}\right)^4=16. \]
Resolução
A expressão é um quociente elevado à quarta potência. Podemos proceder de duas maneiras: simplificar primeiro o quociente ou aplicar a propriedade da potência de um quociente.
Neste caso, o primeiro procedimento é o mais imediato, pois
\[ \frac{6}{3}=2. \]
Portanto,
\[ \left(\frac{6}{3}\right)^4=2^4=16. \]
Podemos obter o mesmo resultado aplicando a propriedade
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}, \qquad b\neq0. \]
Como o denominador é \(3\neq0\), podemos escrever
\[ \left(\frac{6}{3}\right)^4=\frac{6^4}{3^4}. \]
Calculando o numerador e o denominador, obtemos
\[ 6^4=1296 \qquad\text{e}\qquad 3^4=81. \]
Então,
\[ \frac{6^4}{3^4}=\frac{1296}{81}=16. \]
Ambos os procedimentos conduzem, pois, ao mesmo resultado:
\[ \left(\frac{6}{3}\right)^4=16. \]
Exercício 6 — nível ★★☆☆☆
Simplificar:
\[ x^4\cdot x^5. \]
Resultado
\[ x^4\cdot x^5=x^9. \]
Resolução
A expressão é o produto de duas potências com a mesma base \(x\). Que a base seja uma variável, em vez de um número fixo, não altera a propriedade a aplicar.
Ao multiplicar duas potências com a mesma base, mantém-se a base e somam-se os expoentes:
\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n}. \]
No nosso caso, a base comum é \(x\) e os expoentes são \(4\) e \(5\). Portanto,
\[ x^4\cdot x^5=x^{4+5}=x^9. \]
Não é necessária qualquer condição sobre a variável, pois surgem apenas potências de expoente inteiro positivo. A igualdade é, portanto, válida para todo \(x\in\mathbb{R}\):
\[ x^4\cdot x^5=x^9. \]
Exercício 7 — nível ★★☆☆☆
Simplificar:
\[ \frac{x^9}{x^4} \qquad (x\neq0). \]
Resultado
\[ \frac{x^9}{x^4}=x^5 \qquad (x\neq0). \]
Resolução
Antes de simplificar a expressão, devemos examinar o seu domínio. Como \(x^4\) surge no denominador, o quociente está definido apenas quando
\[ x^4\neq0. \]
Uma potência de expoente inteiro positivo é igual a zero se e somente se a sua base for igual a zero. Portanto,
\[ x^4\neq0 \iff x\neq0. \]
Sob esta condição, o numerador e o denominador são potências com a mesma base \(x\). Podemos, então, aplicar a propriedade
\[ \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}, \qquad a\neq0. \]
Mantemos a base \(x\), e o novo expoente é a diferença entre o expoente do numerador e o do denominador:
\[ \frac{x^9}{x^4}=x^{9-4}=x^5. \]
Embora a expressão simplificada \(x^5\) esteja também definida para \(x=0\), o quociente inicial não está. Por isso, a condição \(x\neq0\) deve ser mantida. Portanto,
\[ \frac{x^9}{x^4}=x^5 \qquad (x\neq0). \]
Exercício 8 — nível ★★☆☆☆
Simplificar:
\[ \left(x^3\right)^5. \]
Resultado
\[ \left(x^3\right)^5=x^{15}. \]
Resolução
A expressão é constituída pela potência \(x^3\), elevada por sua vez à quinta potência. Trata-se, portanto, de uma potência de uma potência.
Neste caso, os expoentes não se somam. Mantém-se a base e multiplicam-se o expoente interior e o exterior:
\[ \left(a^m\right)^n=a^{mn}. \]
O expoente interior é \(3\) e o exterior é \(5\). Consequentemente,
\[ \left(x^3\right)^5=x^{3\cdot5}=x^{15}. \]
Como todos os expoentes envolvidos são inteiros positivos, a igualdade é válida para todo \(x\in\mathbb{R}\). Portanto,
\[ \left(x^3\right)^5=x^{15}. \]
Exercício 9 — nível ★★☆☆☆
Simplificar:
\[ (3x)^3. \]
Resultado
\[ (3x)^3=27x^3. \]
Resolução
Dentro dos parênteses surge o produto do fator numérico \(3\) pela variável \(x\). Como todo o produto está elevado ao cubo, o expoente deve ser aplicado a ambos os fatores.
Utilizamos a propriedade
\[ (ab)^n=a^n b^n. \]
Tomando \(a=3\), \(b=x\) e \(n=3\), obtemos
\[ (3x)^3=3^3x^3. \]
Calculamos agora a potência do fator numérico:
\[ 3^3=3\cdot3\cdot3=27. \]
Portanto,
\[ (3x)^3=27x^3. \]
Não seria correto escrever \(3x^3\), pois o expoente atua sobre todo o produto contido nos parênteses e, portanto, também sobre o fator \(3\). Consequentemente,
\[ (3x)^3=27x^3. \]
Exercício 10 — nível ★★☆☆☆
Simplificar:
\[ \left(\frac{x}{2}\right)^4. \]
Resultado
\[ \left(\frac{x}{2}\right)^4=\frac{x^4}{16}. \]
Resolução
Todo o quociente \(\displaystyle\frac{x}{2}\) está elevado à quarta potência. Como o denominador é o número \(2\), diferente de zero, a expressão está definida para todo \(x\in\mathbb{R}\).
Podemos, então, aplicar a propriedade da potência de um quociente:
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}, \qquad b\neq0. \]
O expoente \(4\) deve ser aplicado tanto ao numerador como ao denominador. Portanto,
\[ \left(\frac{x}{2}\right)^4=\frac{x^4}{2^4}. \]
Como
\[ 2^4=16, \]
obtemos
\[ \left(\frac{x}{2}\right)^4=\frac{x^4}{16}. \]
Exercício 11 — nível ★★☆☆☆
Calcular:
\[ 4^0\cdot 7^2. \]
Resultado
\[ 4^0\cdot 7^2=49. \]
Resolução
Na expressão surge a potência \(4^0\). Para calculá-la, utilizamos a definição de potência de expoente zero.
Para todo número real \(a\neq0\), tem-se
\[ a^0=1. \]
A condição \(a\neq0\) é essencial, pois, no âmbito das propriedades algébricas das potências, a expressão \(0^0\) não é definida.
Neste exercício, a base é \(4\), diferente de zero. Portanto,
\[ 4^0=1. \]
Além disso,
\[ 7^2=7\cdot7=49. \]
Substituindo estes valores na expressão inicial, obtemos
\[ 4^0\cdot7^2=1\cdot49=49. \]
Consequentemente,
\[ 4^0\cdot7^2=49. \]
Exercício 12 — nível ★★☆☆☆
Calcular:
\[ 3^{-2}. \]
Resultado
\[ 3^{-2}=\frac{1}{9}. \]
Resolução
O expoente é negativo. O sinal de menos do expoente não determina o sinal da potência, mas indica que devemos tomar o inverso da potência correspondente de expoente positivo.
Se \(a\neq0\) e \(n\in\mathbb{N}^*\), define-se
\[ a^{-n}=\frac{1}{a^n}. \]
Neste exercício, a base é \(3\), diferente de zero, pelo que a potência está definida. Aplicando a definição com \(a=3\) e \(n=2\), obtemos
\[ 3^{-2}=\frac{1}{3^2}. \]
Como
\[ 3^2=9, \]
segue-se que
\[ 3^{-2}=\frac{1}{9}. \]
Não seria correto escrever \(3^{-2}=-9\), pois o sinal de menos pertence ao expoente e indica a passagem ao inverso; não indica que o valor da potência seja negativo.
Exercício 13 — nível ★★★☆☆
Simplificar:
\[ x^{-3}\cdot x^7 \qquad (x\neq0). \]
Resultado
\[ x^{-3}\cdot x^7=x^4 \qquad (x\neq0). \]
Resolução
Na expressão surge a potência \(x^{-3}\). Por definição,
\[ x^{-3}=\frac{1}{x^3}. \]
Este inverso está definido apenas quando \(x^3\neq0\), condição equivalente a
\[ x\neq0. \]
Sob esta condição, as duas potências do produto têm a mesma base \(x\). A propriedade do produto de potências com a mesma base continua válida para expoentes inteiros:
\[ a^h\cdot a^k=a^{h+k}, \qquad a\neq0,\quad h,k\in\mathbb{Z}. \]
Somamos, então, algebricamente os expoentes, tendo em conta o seu sinal:
\[ x^{-3}\cdot x^7=x^{-3+7}. \]
Como
\[ -3+7=4, \]
obtemos
\[ x^{-3}\cdot x^7=x^4. \]
Podemos verificar o mesmo resultado diretamente a partir da definição de expoente negativo:
\[ x^{-3}\cdot x^7=\frac{1}{x^3}\cdot x^7=\frac{x^7}{x^3}=x^{7-3}=x^4. \]
Embora a expressão simplificada \(x^4\) esteja também definida para \(x=0\), a expressão inicial não está. Por isso, a condição \(x\neq0\) deve ser mantida. Portanto,
\[ x^{-3}\cdot x^7=x^4 \qquad (x\neq0). \]
Exercício 14 — nível ★★★☆☆
Simplificar:
\[ \left(x^2y^3\right)^4. \]
Resultado
\[ \left(x^2y^3\right)^4=x^8y^{12}. \]
Resolução
Dentro dos parênteses surge o produto das duas potências \(x^2\) e \(y^3\), e todo o produto está elevado à quarta potência.
Aplicamos, em primeiro lugar, a propriedade da potência de um produto:
\[ (ab)^n=a^n b^n. \]
Considerando \(x^2\) e \(y^3\) como os dois fatores, obtemos
\[ \left(x^2y^3\right)^4=\left(x^2\right)^4\left(y^3\right)^4. \]
Cada fator é agora uma potência de uma potência. Utilizamos, então, a propriedade
\[ \left(a^m\right)^n=a^{mn}. \]
Aplicando-a ao primeiro fator, obtemos
\[ \left(x^2\right)^4=x^{2\cdot4}=x^8. \]
Aplicando-a ao segundo fator, obtemos
\[ \left(y^3\right)^4=y^{3\cdot4}=y^{12}. \]
Substituindo os resultados obtidos, segue-se que
\[ \left(x^2y^3\right)^4=x^8y^{12}. \]
Todos os expoentes envolvidos são inteiros positivos e não surgem denominadores. A igualdade é, portanto, válida para todos \(x,y\in\mathbb{R}\).
Exercício 15 — nível ★★★☆☆
Simplificar:
\[ \left(\frac{2}{x}\right)^{-3} \qquad (x\neq0). \]
Resultado
\[ \left(\frac{2}{x}\right)^{-3}=\frac{x^3}{8} \qquad (x\neq0). \]
Resolução
Antes de simplificar a expressão, devemos examinar o seu domínio. A variável \(x\) surge no denominador do quociente \(\displaystyle\frac{2}{x}\), de modo que devemos impor
\[ x\neq0. \]
Além disso, todo o quociente está elevado a um expoente negativo, logo a sua base deve ser diferente de zero. Esta segunda condição verifica-se automaticamente, pois o numerador é \(2\neq0\) e, portanto, \(\displaystyle\frac{2}{x}\neq0\) sempre que \(x\neq0\).
Um expoente negativo indica o inverso da potência correspondente de expoente positivo. Para \(a\neq0\), \(b\neq0\) e \(n\in\mathbb{N}^*\), tem-se
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^n. \]
Aplicando esta propriedade com \(a=2\), \(b=x\) e \(n=3\), obtemos
\[ \left(\frac{2}{x}\right)^{-3}=\left(\frac{x}{2}\right)^3. \]
Aplicamos agora a propriedade da potência de um quociente:
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}, \qquad b\neq0. \]
Portanto,
\[ \left(\frac{x}{2}\right)^3=\frac{x^3}{2^3}. \]
Como
\[ 2^3=8, \]
segue-se que
\[ \left(\frac{2}{x}\right)^{-3}=\frac{x^3}{8}. \]
Embora na forma simplificada \(x\) já não surja no denominador, a condição \(x\neq0\) deve ser mantida, pois faz parte das condições de definição da expressão inicial. Consequentemente,
\[ \left(\frac{2}{x}\right)^{-3}=\frac{x^3}{8} \qquad (x\neq0). \]
Exercício 16 — nível ★★★☆☆
Calcular:
\[ 25^{\frac{1}{2}}. \]
Resultado
\[ 25^{\frac{1}{2}}=5. \]
Resolução
O expoente é o número racional \(\displaystyle\frac{1}{2}\). Uma potência cujo expoente tem a forma \(\displaystyle\frac{1}{q}\) interpreta-se por meio de uma raiz.
Se \(a>0\) e \(q\in\mathbb{N}^*\), define-se
\[ a^{\frac{1}{q}}=\sqrt[q]{a}. \]
Quando \(q=2\), esta definição reduz-se a
\[ a^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a}. \]
Como a base \(25\) é positiva, podemos escrever
\[ 25^{\frac{1}{2}}=\sqrt{25}. \]
O símbolo \(\sqrt{25}\) designa a raiz quadrada aritmética de \(25\), ou seja, o único número não negativo cujo quadrado é igual a \(25\).
Como
\[ 5^2=25, \]
segue-se que
\[ \sqrt{25}=5. \]
Portanto,
\[ 25^{\frac{1}{2}}=5. \]
O resultado é \(5\), não \(\pm5\). Os números \(5\) e \(-5\) são ambos soluções da equação \(x^2=25\), ao passo que o radical \(\sqrt{25}\) designa apenas a solução não negativa.
Exercício 17 — nível ★★★☆☆
Calcular:
\[ 8^{\frac{1}{3}}. \]
Resultado
\[ 8^{\frac{1}{3}}=2. \]
Resolução
O expoente é \(\displaystyle\frac{1}{3}\). Uma potência com este expoente representa a raiz cúbica da base.
Para uma base positiva \(a\), tem-se
\[ a^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{a}. \]
Como \(8>0\), podemos escrever
\[ 8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}. \]
Devemos, então, determinar o número que, elevado ao cubo, dá \(8\).
Como
\[ 2^3=2\cdot2\cdot2=8, \]
obtemos
\[ \sqrt[3]{8}=2. \]
Portanto,
\[ 8^{\frac{1}{3}}=2. \]
Exercício 18 — nível ★★★☆☆
Simplificar:
\[ x^{\frac{2}{3}}\cdot x^{\frac{1}{3}} \qquad (x>0). \]
Resultado
\[ x^{\frac{2}{3}}\cdot x^{\frac{1}{3}}=x \qquad (x>0). \]
Resolução
Na expressão surgem potências de expoente racional. No âmbito da teoria desenvolvida, admitimos que a base é estritamente positiva:
\[ x>0. \]
Sob esta condição, as propriedades das potências continuam válidas também para expoentes racionais.
As duas potências estão multiplicadas entre si e têm a mesma base \(x\). Podemos, então, aplicar a propriedade
\[ a^r\cdot a^s=a^{r+s}, \qquad a>0,\quad r,s\in\mathbb{Q}. \]
Mantemos a base \(x\) e somamos os expoentes:
\[ x^{\frac{2}{3}}\cdot x^{\frac{1}{3}} =x^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}}. \]
As duas frações têm o mesmo denominador, de modo que podemos somar os numeradores:
\[ \frac{2}{3}+\frac{1}{3} =\frac{2+1}{3} =\frac{3}{3} =1. \]
Consequentemente,
\[ x^{\frac{2}{3}}\cdot x^{\frac{1}{3}}=x^1. \]
Como todo número elevado à primeira potência é igual a si mesmo,
\[ x^1=x. \]
Portanto,
\[ x^{\frac{2}{3}}\cdot x^{\frac{1}{3}}=x \qquad (x>0). \]
Podemos verificar o mesmo resultado reescrevendo as potências racionais por meio de raízes:
\[ x^{\frac{2}{3}}=\left(\sqrt[3]{x}\right)^2 \qquad\text{e}\qquad x^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{x}. \]
Consequentemente,
\[ x^{\frac{2}{3}}\cdot x^{\frac{1}{3}} =\left(\sqrt[3]{x}\right)^2\cdot\sqrt[3]{x} =\left(\sqrt[3]{x}\right)^3 =x. \]
Exercício 19 — nível ★★★☆☆
Calcular:
\[ 27^{\frac{2}{3}}. \]
Resultado
\[ 27^{\frac{2}{3}}=9. \]
Resolução
O expoente é o número racional \(\displaystyle\frac{2}{3}\). O denominador \(3\) indica uma raiz cúbica, enquanto o numerador \(2\) indica que o resultado da raiz deve ser elevado ao quadrado.
Se \(a>0\), \(p\in\mathbb{Z}\) e \(q\in\mathbb{N}^*\), tem-se
\[ a^{\frac{p}{q}}=\left(\sqrt[q]{a}\right)^p. \]
Neste exercício, \(a=27\), \(p=2\) e \(q=3\). Portanto,
\[ 27^{\frac{2}{3}}=\left(\sqrt[3]{27}\right)^2. \]
A raiz cúbica de \(27\) é \(3\), porque
\[ 3^3=27. \]
Consequentemente,
\[ 27^{\frac{2}{3}}=3^2=9. \]
Podemos também empregar a representação equivalente
\[ a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}, \qquad a>0. \]
Deste modo, obtemos
\[ 27^{\frac{2}{3}} =\sqrt[3]{27^2} =\sqrt[3]{729} =9, \]
uma vez que
\[ 9^3=729. \]
Ambos os procedimentos são corretos. Neste caso, é mais conveniente calcular primeiro a raiz cúbica, pois permite trabalhar com números menores. Portanto,
\[ 27^{\frac{2}{3}}=9. \]
Exercício 20 — nível ★★★☆☆
Simplificar:
\[ \left(x^{-2}\right)^3\cdot x^9 \qquad (x\neq0). \]
Resultado
\[ \left(x^{-2}\right)^3\cdot x^9=x^3 \qquad (x\neq0). \]
Resolução
Na expressão surge a potência \(x^{-2}\). Por definição,
\[ x^{-2}=\frac{1}{x^2}. \]
Esta expressão está definida apenas quando \(x\neq0\). Por isso, a mesma condição deve ser mantida ao longo de toda a simplificação e no resultado final.
Simplifiquemos, em primeiro lugar, a potência de uma potência \(\left(x^{-2}\right)^3\). Para uma base diferente de zero e expoentes inteiros, tem-se
\[ \left(a^h\right)^k=a^{hk}. \]
O expoente interior é \(-2\) e o exterior é \(3\). Portanto,
\[ \left(x^{-2}\right)^3=x^{(-2)\cdot3}=x^{-6}. \]
Substituindo este resultado na expressão inicial, obtemos
\[ \left(x^{-2}\right)^3\cdot x^9=x^{-6}\cdot x^9. \]
As duas potências têm agora a mesma base \(x\). Podemos, então, somar os expoentes:
\[ x^{-6}\cdot x^9=x^{-6+9}. \]
Como
\[ -6+9=3, \]
obtemos
\[ \left(x^{-2}\right)^3\cdot x^9=x^3. \]
Podemos verificar o resultado diretamente a partir da definição de expoente negativo:
\[ \left(x^{-2}\right)^3 =\left(\frac{1}{x^2}\right)^3 =\frac{1}{x^6}. \]
Consequentemente,
\[ \left(x^{-2}\right)^3\cdot x^9 =\frac{x^9}{x^6} =x^{9-6} =x^3. \]
Embora a expressão simplificada \(x^3\) esteja também definida para \(x=0\), a expressão inicial não está. Por isso, a condição \(x\neq0\) deve ser mantida. Portanto,
\[ \left(x^{-2}\right)^3\cdot x^9=x^3 \qquad (x\neq0). \]
Exercício 21 — nível ★★★★☆
Simplificar:
\[ \frac{(4x^3)^2}{(2x^2)^3} \qquad (x\neq0). \]
Resultado
\[ \frac{(4x^3)^2}{(2x^2)^3}=2 \qquad (x\neq0). \]
Resolução
A variável \(x\) surge no denominador, pelo que a expressão está definida apenas quando \(x\neq0\).
Desenvolvemos separadamente o numerador e o denominador:
\[ (4x^3)^2=4^2\left(x^3\right)^2=16x^6 \]
e
\[ (2x^2)^3=2^3\left(x^2\right)^3=8x^6. \]
Portanto,
\[ \frac{(4x^3)^2}{(2x^2)^3} =\frac{16x^6}{8x^6} =2. \]
Exercício 22 — nível ★★★★☆
Simplificar:
\[ \frac{\left(a^2b^3\right)^4}{a^5b^7} \qquad (a\neq0,\ b\neq0). \]
Resultado
\[ \frac{\left(a^2b^3\right)^4}{a^5b^7} =a^3b^5 \qquad (a\neq0,\ b\neq0). \]
Resolução
As potências \(a^5\) e \(b^7\) surgem no denominador, pelo que devemos impor \(a\neq0\) e \(b\neq0\).
Desenvolvendo o numerador, obtemos
\[ \left(a^2b^3\right)^4 =\left(a^2\right)^4\left(b^3\right)^4 =a^8b^{12}. \]
Assim,
\[ \frac{a^8b^{12}}{a^5b^7} =a^{8-5}b^{12-7} =a^3b^5. \]
Exercício 23 — nível ★★★★☆
Simplificar:
\[ \frac{(2x^3)^4}{(4x^2)^3} \qquad (x\neq0). \]
Resultado
\[ \frac{(2x^3)^4}{(4x^2)^3} =\frac{x^6}{4} \qquad (x\neq0). \]
Resolução
A expressão está definida apenas para \(x\neq0\), pois \(x\) surge no denominador.
Desenvolvemos o numerador e o denominador:
\[ (2x^3)^4=16x^{12} \qquad\text{e}\qquad (4x^2)^3=64x^6. \]
Portanto,
\[ \frac{(2x^3)^4}{(4x^2)^3} =\frac{16x^{12}}{64x^6} =\frac{x^6}{4}. \]
Exercício 24 — nível ★★★★☆
Simplificar:
\[ \left(a^{\frac12}b^{\frac13}\right)^6 \qquad (a\geq0,\ b\geq0). \]
Resultado
\[ \left(a^{\frac12}b^{\frac13}\right)^6 =a^3b^2 \qquad (a\geq0,\ b\geq0). \]
Resolução
As condições \(a\geq0\) e \(b\geq0\) garantem que as potências racionais estejam definidas no contexto considerado.
Distribuímos o expoente \(6\) pelos dois fatores:
\[ \left(a^{\frac12}b^{\frac13}\right)^6 =\left(a^{\frac12}\right)^6 \left(b^{\frac13}\right)^6. \]
Multiplicando os expoentes, obtemos
\[ \left(a^{\frac12}\right)^6=a^3 \qquad\text{e}\qquad \left(b^{\frac13}\right)^6=b^2. \]
Portanto,
\[ \left(a^{\frac12}b^{\frac13}\right)^6=a^3b^2. \]
Exercício 25 — nível ★★★★☆
Simplificar:
\[ \left(\frac{x^2}{y^3}\right)^{-2} \qquad (x\neq0,\ y\neq0). \]
Resultado
\[ \left(\frac{x^2}{y^3}\right)^{-2} =\frac{y^6}{x^4} \qquad (x\neq0,\ y\neq0). \]
Resolução
A condição \(y\neq0\) garante que o quociente esteja definido. Como este é elevado a um expoente negativo, a sua base também deve ser diferente de zero, pelo que devemos impor \(x\neq0\).
Invertemos o quociente e substituímos o expoente negativo pelo correspondente positivo:
\[ \left(\frac{x^2}{y^3}\right)^{-2} =\left(\frac{y^3}{x^2}\right)^2. \]
Aplicando a potência de um quociente, obtemos
\[ \left(\frac{y^3}{x^2}\right)^2 =\frac{\left(y^3\right)^2}{\left(x^2\right)^2} =\frac{y^6}{x^4}. \]
Exercício 26 — nível ★★★★☆
Simplificar:
\[ \frac{2^n\cdot4^n}{8^n}. \]
Resultado
\[ \frac{2^n\cdot4^n}{8^n}=1. \]
Resolução
As bases \(2\), \(4\) e \(8\) são positivas, pelo que as potências estão definidas para todo \(n\in\mathbb{R}\), e o denominador nunca é nulo.
Escrevemos todas as potências na base \(2\):
\[ 4^n=2^{2n} \qquad\text{e}\qquad 8^n=2^{3n}. \]
Assim,
\[ \frac{2^n\cdot4^n}{8^n} =\frac{2^n\cdot2^{2n}}{2^{3n}} =\frac{2^{3n}}{2^{3n}} =1. \]
Exercício 27 — nível ★★★★☆
Simplificar:
\[ \frac{(3x^2)^3(2x)^2}{(6x^4)^2} \qquad (x\neq0). \]
Resultado
\[ \frac{(3x^2)^3(2x)^2}{(6x^4)^2} =3 \qquad (x\neq0). \]
Resolução
Desenvolvemos os dois fatores do numerador:
\[ (3x^2)^3=27x^6 \qquad\text{e}\qquad (2x)^2=4x^2. \]
O numerador é, portanto,
\[ 27x^6\cdot4x^2=108x^8. \]
O denominador é
\[ (6x^4)^2=36x^8. \]
Como \(x\neq0\), podemos simplificar \(x^8\):
\[ \frac{108x^8}{36x^8}=3. \]
Exercício 28 — nível ★★★★★
Simplificar:
\[ \frac{a^{m+n}a^{m-n}}{\left(a^m\right)^2} \qquad (a\neq0). \]
Resultado
\[ \frac{a^{m+n}a^{m-n}}{\left(a^m\right)^2}=1 \qquad (a\neq0). \]
Resolução
A condição \(a\neq0\) garante que o denominador não seja nulo. Se \(m\) e \(n\) forem inteiros, todas as potências estão definidas; de forma mais geral, o procedimento é válido sempre que as potências consideradas estejam definidas.
Simplificamos o numerador:
\[ a^{m+n}a^{m-n} =a^{(m+n)+(m-n)} =a^{2m}. \]
O denominador também é igual a \(a^{2m}\):
\[ \left(a^m\right)^2=a^{2m}. \]
Portanto,
\[ \frac{a^{m+n}a^{m-n}}{\left(a^m\right)^2} =\frac{a^{2m}}{a^{2m}} =1. \]
Exercício 29 — nível ★★★★★
Simplificar:
\[ \frac{3^{n+2}-3^{n+1}}{2\cdot3^n}. \]
Resultado
\[ \frac{3^{n+2}-3^{n+1}}{2\cdot3^n}=3. \]
Resolução
A expressão está definida para todo \(n\in\mathbb{R}\), pois \(3^n\) é sempre positivo.
Colocamos \(3^n\) em evidência no numerador:
\[ 3^{n+2}-3^{n+1} =3^n\left(3^2-3\right) =3^n(9-3) =6\cdot3^n. \]
Portanto,
\[ \frac{3^{n+2}-3^{n+1}}{2\cdot3^n} =\frac{6\cdot3^n}{2\cdot3^n} =3. \]
Exercício 30 — nível ★★★★★
Simplificar:
\[ \frac{x^{a+b}x^{b+c}x^{c+a}} {\left(x^ax^bx^c\right)^2} \qquad (x>0). \]
Resultado
\[ \frac{x^{a+b}x^{b+c}x^{c+a}} {\left(x^ax^bx^c\right)^2} =1 \qquad (x>0). \]
Resolução
A condição \(x>0\) garante que todas as potências estejam definidas mesmo quando \(a\), \(b\) e \(c\) são números reais.
O numerador reduz-se a
\[ x^{(a+b)+(b+c)+(c+a)} =x^{2(a+b+c)}. \]
No denominador,
\[ \left(x^ax^bx^c\right)^2 =\left(x^{a+b+c}\right)^2 =x^{2(a+b+c)}. \]
Como o numerador e o denominador são iguais,
\[ \frac{x^{a+b}x^{b+c}x^{c+a}} {\left(x^ax^bx^c\right)^2} =1. \]