As propriedades dos logaritmos permitem transformar expressões complexas em formas mais simples utilizando as regras do produto, do quociente e da potência. Esta coletânea apresenta 20 exercícios de dificuldade progressiva, com resolução detalhada e comentada.
Exercício 1 — nível ★☆☆☆☆
\[ \log_2(4 \cdot 8) \]
Resultado
\[ 5 \]
Resolução
Aplicamos a propriedade do logaritmo de um produto:
\[ \log_2(4 \cdot 8) = \log_2 4 + \log_2 8 \]
Calculamos cada logaritmo separadamente: \[ \log_2 4 = 2, \quad \log_2 8 = 3 \]
Somamos os resultados: \[ 2 + 3 = 5 \]
Exercício 2 — nível ★☆☆☆☆
\[ \log_3\left(\frac{81}{3}\right) \]
Resultado
\[ 3 \]
Resolução
Recorremos à propriedade do quociente:
\[ \log_3\left(\frac{81}{3}\right) = \log_3 81 - \log_3 3 \]
Calculamos os logaritmos: \[ \log_3 81 = 4, \quad \log_3 3 = 1 \]
Subtraímos: \[ 4 - 1 = 3 \]
Exercício 3 — nível ★☆☆☆☆
\[ \log_5(25^3) \]
Resultado
\[ 6 \]
Resolução
Aplicamos a propriedade da potência:
\[ \log_5(25^3) = 3\log_5 25 \]
Como \(25 = 5^2\), temos:
\[ \log_5 25 = 2 \]
Portanto:
\[ 3 \cdot 2 = 6 \]
Exercício 4 — nível ★★☆☆☆
\[ \log_2\sqrt{32} \]
Resultado
\[ \frac{5}{2} \]
Resolução
Reescrevemos a raiz como potência:
\[ \sqrt{32} = 32^{1/2} \]
Decompomos o 32:
\[ 32 = 2^5 \]
De modo que:
\[ (2^5)^{1/2} = 2^{5/2} \]
Aplicamos o logaritmo:
\[ \log_2(2^{5/2}) = \frac{5}{2} \]
Exercício 5 — nível ★★☆☆☆
\[ \log_3\left(\frac{1}{27}\right) \]
Resultado
\[ -3 \]
Resolução
Escrevemos 27 como potência de 3:
\[ 27 = 3^3 \Rightarrow \frac{1}{27} = 3^{-3} \]
Aplicamos o logaritmo:
\[ \log_3(3^{-3}) = -3 \]
Exercício 6 — nível ★★☆☆☆
\[ \ln(e^2 \cdot \sqrt{e}) \]
Resultado
\[ \frac{5}{2} \]
Resolução
Reescrevemos a raiz como potência:
\[ \sqrt{e} = e^{1/2} \]
Aplicamos a propriedade do produto:
\[ e^2 \cdot e^{1/2} = e^{5/2} \]
Por fim, aplicamos o logaritmo natural:
\[ \ln(e^{5/2}) = \frac{5}{2} \]
Exercício 7 — nível ★★☆☆☆
\[ \log(100x) \]
Resultado
\[ 2 + \log x \]
Resolução
Aplicamos a propriedade do logaritmo de um produto:
\[ \log(100x) = \log 100 + \log x \]
Calculamos o valor do logaritmo numérico:
\[ \log 100 = 2 \]
Substituindo, obtemos:
\[ 2 + \log x \]
Exercício 8 — nível ★★★☆☆
\[ 2\log a + 3\log b \]
Resultado
\[ \log(a^2 b^3) \]
Resolução
Recorremos à propriedade da potência dos logaritmos:
\[ 2\log a = \log(a^2), \quad 3\log b = \log(b^3) \]
Reescrevemos a expressão:
\[ \log(a^2) + \log(b^3) \]
Aplicamos a propriedade do produto:
\[ \log(a^2 b^3) \]
Exercício 9 — nível ★★★☆☆
\[ \log_b\left(\frac{x^2}{y}\right) \]
Resultado
\[ 2\log_b x - \log_b y \]
Resolução
Aplicamos a propriedade do quociente:
\[ \log_b\left(\frac{x^2}{y}\right) = \log_b(x^2) - \log_b(y) \]
Recorremos à propriedade da potência:
\[ \log_b(x^2) = 2\log_b x \]
Substituímos:
\[ 2\log_b x - \log_b y \]
Exercício 10 — nível ★★★☆☆
\[ \log_4 8 \]
Resultado
\[ \frac{3}{2} \]
Resolução
Aplicamos a fórmula da mudança de base:
\[ \log_4 8 = \frac{\log_2 8}{\log_2 4} \]
Calculamos os logaritmos:
\[ \log_2 8 = 3, \quad \log_2 4 = 2 \]
Dividimos:
\[ \frac{3}{2} \]
Exercício 11 — nível ★★★☆☆
\[ \log_2 6 + \log_2 4 - \log_2 3 \]
Resultado
\[ 3 \]
Resolução
Aplicamos as propriedades da soma e da diferença:
\[ \log_2 6 + \log_2 4 = \log_2(24) \]
Subtraímos o terceiro logaritmo:
\[ \log_2\left(\frac{24}{3}\right) \]
Simplificamos:
\[ \log_2 8 = 3 \]
Exercício 12 — nível ★★★★☆
\[ \log_b \sqrt[3]{\frac{a}{b}} \]
Resultado
\[ \frac{1}{3}\log_b a - \frac{1}{3} \]
Resolução
Reescrevemos a raiz como potência:
\[ \sqrt[3]{\frac{a}{b}} = \left(\frac{a}{b}\right)^{1/3} \]
Aplicamos a propriedade da potência:
\[ \log_b\left(\frac{a}{b}\right)^{1/3} = \frac{1}{3}\log_b\left(\frac{a}{b}\right) \]
Recorremos à propriedade do quociente:
\[ \log_b a - \log_b b \]
Como \(\log_b b = 1\), substituímos:
\[ \frac{1}{3}(\log_b a - 1) \]
Exercício 13 — nível ★★★★☆
\[ \frac{1}{2}\log x - 2\log y - 3\log z \]
Resultado
\[ \log\left(\frac{\sqrt{x}}{y^2 z^3}\right) \]
Resolução
Aplicamos a propriedade da potência:
\[ \frac{1}{2}\log x = \log(x^{1/2}), \quad 2\log y = \log(y^2), \quad 3\log z = \log(z^3) \]
Reescrevemos a expressão:
\[ \log(x^{1/2}) - \log(y^2) - \log(z^3) \]
Aplicamos as propriedades dos logaritmos:
\[ \log\left(\frac{x^{1/2}}{y^2 z^3}\right) \]
Exercício 14 — nível ★★★★☆
\[ \log_2(x^2 - 1) - \log_2(x - 1) \]
Resultado
\[ \log_2(x+1), \quad x>1 \]
Resolução
Aplicamos a propriedade do quociente:
\[ \log_2\left(\frac{x^2 - 1}{x - 1}\right) \]
Fatoramos a diferença de quadrados:
\[ x^2 - 1 = (x-1)(x+1) \]
Simplificamos:
\[ \log_2(x+1) \]
Exercício 15 — nível ★★★★☆
\[ \log_{1/2} 16 \]
Resultado
\[ -4 \]
Resolução
Aplicamos a mudança de base:
\[ \log_{1/2} 16 = \frac{\log_2 16}{\log_2(1/2)} \]
Calculamos os valores:
\[ \log_2 16 = 4, \quad \log_2(1/2) = -1 \]
Dividimos:
\[ -4 \]
Exercício 16 — nível ★★★★★
\[ e^{-2\ln x} \]
Resultado
\[ \frac{1}{x^2} \]
Resolução
Recorremos à propriedade:
\[ -2\ln x = \ln(x^{-2}) \]
Reescrevemos a expressão:
\[ e^{\ln(x^{-2})} \]
Simplificamos:
\[ x^{-2} = \frac{1}{x^2} \]
Exercício 17 — nível ★★★★★
\[ \log \sqrt{x\sqrt{x}} \]
Resultado
\[ \frac{3}{4}\log x \]
Resolução
Reescrevemos a raiz interior como potência:
\[ \sqrt{x} = x^{1/2} \]
A expressão torna-se então:
\[ \sqrt{x \cdot x^{1/2}} \]
Somamos os expoentes:
\[ x \cdot x^{1/2} = x^{3/2} \]
Aplicamos a raiz:
\[ (x^{3/2})^{1/2} = x^{3/4} \]
Aplicamos o logaritmo:
\[ \log(x^{3/4}) = \frac{3}{4}\log x \]
Exercício 18 — nível ★★★★★
\[ (\log_3 5)(\log_5 9) \]
Resultado
\[ 2 \]
Resolução
Aplicamos a fórmula da mudança de base:
\[ \log_3 5 = \frac{\ln 5}{\ln 3}, \quad \log_5 9 = \frac{\ln 9}{\ln 5} \]
Multiplicamos as expressões:
\[ \frac{\ln 5}{\ln 3} \cdot \frac{\ln 9}{\ln 5} \]
Simplificamos o fator comum \(\ln 5\):
\[ \frac{\ln 9}{\ln 3} \]
Como \(9 = 3^2\), obtemos:
\[ \log_3 9 = 2 \]
Exercício 19 — nível ★★★★★
\[ \ln\left(\frac{e^x}{1+e^x}\right) \]
Resultado
\[ x - \ln(1+e^x) \]
Resolução
Aplicamos a propriedade do logaritmo de um quociente:
\[ \ln\left(\frac{e^x}{1+e^x}\right) = \ln(e^x) - \ln(1+e^x) \]
Simplificamos o primeiro termo:
\[ \ln(e^x) = x \]
Obtemos assim:
\[ x - \ln(1+e^x) \]
Exercício 20 — nível ★★★★★
\[ \log_b\left(\frac{1}{\sqrt[n]{b^m}}\right) \]
Resultado
\[ -\frac{m}{n} \]
Resolução
Reescrevemos a raiz como potência:
\[ \sqrt[n]{b^m} = b^{m/n} \]
Logo:
\[ \frac{1}{\sqrt[n]{b^m}} = b^{-m/n} \]
Aplicamos o logaritmo:
\[ \log_b(b^{-m/n}) = -\frac{m}{n} \]