Os radicais surgem como operações inversas das potências e permitem representar raízes quadradas, cúbicas e, de modo mais geral, raízes de índice \(n\). O seu estudo exige, no entanto, particular atenção, pois o significado de uma raiz depende essencialmente do índice do radical e do sinal do radicando.
Nesta página apresentamos a definição rigorosa de radical nos números reais, distinguindo com precisão o caso de índice par do caso de índice ímpar. Veremos, em particular, que, quando o índice é par, o símbolo \(\sqrt[n]{a}\) não representa todas as soluções da equação \(x^n=a\), mas apenas a raiz principal não negativa, quando esta existe.
Estudaremos em seguida as condições de existência, as propriedades fundamentais dos radicais, a simplificação, as operações entre radicais e a racionalização do denominador. A parte final será dedicada aos radicais com variáveis e a uma primeira introdução às equações irracionais, nas quais é indispensável determinar o domínio e verificar as soluções obtidas.
Índice
- Definição de radical
- Condições de existência
- Propriedades fundamentais
- Simplificação de radicais
- Multiplicação e divisão
- Adição e subtração
- Potências de radicais
- Racionalização do denominador
- Radicais com variáveis
- Equações irracionais
Definição de radical
O radical de índice \(n\) de um número real \(a\) é a operação que permite obter, quando possível, um número cuja potência de expoente \(n\) seja igual a \(a\). Nos números reais, porém, a definição depende da paridade do índice \(n\).
Seja \(n\in\mathbb{N}\), com \(n\geq 2\).
Se \(n\) é par e \(a\geq0\), define-se \(\sqrt[n]{a}\) como o único número real \(b\geq0\) tal que
\[ b^n=a. \]
Em símbolos:
\[ b=\sqrt[n]{a} \quad \Longleftrightarrow \quad b^n=a,\quad b\geq0. \]
Se, pelo contrário, \(n\) é ímpar e \(a\in\mathbb{R}\), define-se \(\sqrt[n]{a}\) como o único número real \(b\) tal que
\[ b^n=a. \]
Em símbolos:
\[ b=\sqrt[n]{a} \quad \Longleftrightarrow \quad b^n=a. \]
O número \(n\) chama-se índice do radical, enquanto o número \(a\) se chama radicando.
A distinção entre índice par e índice ímpar é fundamental. Se o índice é par, o radicando deve ser não negativo e o radical representa sempre a raiz principal não negativa. Se o índice é ímpar, pelo contrário, o radical está definido para qualquer radicando real e conserva o sinal do radicando.
Raiz quadrada
O caso mais importante é o da raiz quadrada. Quando \(n=2\), o índice é omitido:
\[ \sqrt{a}=\sqrt[2]{a}. \]
A raiz quadrada está definida nos números reais apenas para \(a\geq0\) e devolve sempre o valor principal não negativo.
Em particular, para todo \(a\in\mathbb{R}\), é válida a identidade
\[ \sqrt{a^2}=|a|. \]
Não se deve, portanto, confundir \(\sqrt{a^2}\) com \(a\). Em geral, com efeito,
\[ \sqrt{a^2}\neq a. \]
Por exemplo:
\[ \sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3\neq -3. \]
Raiz de índice \(n\) e paridade do índice
| Índice \(n\) | Radicando \(a\) | Significado do radical |
|---|---|---|
| Par | \(a>0\) | existe a raiz principal positiva |
| Par | \(a=0\) | \(\sqrt[n]{0}=0\) |
| Par | \(a<0\) | não existe nos números reais |
| Ímpar | \(a\in\mathbb{R}\) | existe um único valor real, com o mesmo sinal que \(a\) |
Vejamos alguns exemplos.
\[ \sqrt[3]{-8}=-2, \]
pois
\[ (-2)^3=-8. \]
Além disso,
\[ \sqrt[4]{16}=2. \]
Com efeito, \(2^4=16\), mas o radical \(\sqrt[4]{16}\) representa a raiz principal não negativa, e não o valor \(-2\), ainda que \((-2)^4=16\).
Por fim:
\[ \sqrt[5]{-32}=-2, \]
pois
\[ (-2)^5=-32. \]
Condições de existência
As condições de existência de um radical estabelecem para que valores do radicando o radical está definido nos números reais. Também neste caso é necessário distinguir entre índice par e índice ímpar.
Se o índice \(n\) é par, o radical
\[ \sqrt[n]{a} \]
existe nos números reais se e somente se
\[ a\geq0. \]
Se, pelo contrário, o índice \(n\) é ímpar, o radical
\[ \sqrt[n]{a} \]
existe para qualquer valor real de \(a\).
Podemos resumir as condições de existência do seguinte modo:
\[ \sqrt[n]{a}\in\mathbb{R} \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} a\geq0 & \text{se } n \text{ é par},\\ a\in\mathbb{R} & \text{se } n \text{ é ímpar}. \end{cases} \]
Vejamos alguns exemplos.
O radical
\[ \sqrt{x-3} \]
tem índice par, logo existe se e somente se
\[ x-3\geq0. \]
Assim, a condição de existência é
\[ x\geq3. \]
O radical
\[ \sqrt[3]{x-3} \]
tem, pelo contrário, índice ímpar, logo existe para todo \(x\in\mathbb{R}\).
Por fim, o radical
\[ \sqrt{x^2-4} \]
tem índice par, logo devemos impor
\[ x^2-4\geq0. \]
Resolvendo a inequação, obtemos
\[ x\leq -2 \quad \text{ou} \quad x\geq2. \]
Logo, o radical \(\sqrt{x^2-4}\) existe para
\[ x\in(-\infty,-2]\cup[2,+\infty). \]
Propriedades fundamentais
As propriedades dos radicais permitem transformar e simplificar expressões que contêm raízes. Contudo, nos números reais, estas propriedades devem ser aplicadas respeitando as condições de existência e a convenção da raiz principal.
Em particular, quando o índice é par, todos os radicais envolvidos devem estar definidos nos números reais e o valor do radical é sempre não negativo. Por este motivo, algumas fórmulas que parecem imediatas exigem atenção ao sinal das quantidades envolvidas.
| Propriedade | Fórmula | Condições |
|---|---|---|
| Produto de radicais com o mesmo índice | \(\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\) | para \(n\) par: \(a\geq0\), \(b\geq0\); para \(n\) ímpar: \(a,b\in\mathbb{R}\) |
| Quociente de radicais com o mesmo índice | \(\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}\) | para \(n\) par: \(a\geq0\), \(b>0\); para \(n\) ímpar: \(a\in\mathbb{R}\), \(b\neq0\) |
| Potência de um radical | \(\left(\sqrt[n]{a}\right)^m=\sqrt[n]{a^m}\) | quando o radical \(\sqrt[n]{a}\) está definido e \(m\in\mathbb{N}^*\) |
| Radical de um radical | \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}\) | quando ambos os membros estão definidos nos números reais |
| Redução ao mesmo índice | \(\sqrt[n]{a}=\sqrt[kn]{a^k}\) | é válida com certeza para \(a\geq0\) e \(k\in\mathbb{N}^*\) |
| Simplificação com índice par | \(\sqrt[2k]{a^{2k}}=|a|\) | para todo \(a\in\mathbb{R}\) |
| Simplificação com índice ímpar | \(\sqrt[2k+1]{a^{2k+1}}=a\) | para todo \(a\in\mathbb{R}\) |
Produto e quociente
Se os radicais têm o mesmo índice, é possível multiplicá-los ou dividi-los reunindo o produto ou o quociente sob um único radical, desde que todas as expressões estejam definidas.
Por exemplo:
\[ \sqrt{3}\cdot\sqrt{12}=\sqrt{36}=6. \]
Analogamente:
\[ \sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{8}=2. \]
Para o quociente:
\[ \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{50}{2}}=\sqrt{25}=5. \]
No caso de índice par, convém, porém, recordar que os radicandos devem ser não negativos e que, no quociente, o denominador deve ser estritamente positivo.
Potências de radicais
Se o radical \(\sqrt[n]{a}\) está definido, então podemos elevar o radical a uma potência natural:
\[ \left(\sqrt[n]{a}\right)^m=\sqrt[n]{a^m}. \]
Quando \(a\geq0\), esta propriedade relaciona-se com a escrita com expoente racional:
\[ \sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}. \]
Esta escrita é particularmente útil no cálculo algébrico, mas deve ser usada com cuidado quando se trabalha nos números reais e há radicandos que podem assumir valores negativos.
Simplificação de potências perfeitas
Uma das identidades mais importantes é a seguinte:
\[ \sqrt[2k]{a^{2k}}=|a|. \]
O valor absoluto é necessário porque uma raiz de índice par devolve sempre o valor principal não negativo.
Por exemplo:
\[ \sqrt{x^2}=|x|. \]
Do mesmo modo:
\[ \sqrt[4]{x^4}=|x|. \]
Se, pelo contrário, o índice é ímpar, não aparece o valor absoluto:
\[ \sqrt[2k+1]{a^{2k+1}}=a. \]
Por exemplo:
\[ \sqrt[3]{x^3}=x. \]
Redução ao mesmo índice
A redução ao mesmo índice permite transformar radicais com índices diferentes em radicais com um índice comum. Esta transformação é particularmente útil quando é preciso multiplicar, dividir ou comparar radicais.
Se \(a\geq0\), então:
\[ \sqrt[n]{a}=\sqrt[kn]{a^k}, \qquad k\in\mathbb{N}^*. \]
Por exemplo:
\[ \sqrt{2}=\sqrt[6]{2^3}=\sqrt[6]{8}. \]
Além disso:
\[ \sqrt[3]{3}=\sqrt[6]{3^2}=\sqrt[6]{9}. \]
Esta propriedade deve ser aplicada com cautela se o radicando é negativo. Com efeito, ao passar-se a um índice par, o radical representa sempre uma raiz principal não negativa e o sinal pode mudar.
Por exemplo:
\[ \sqrt[3]{-8}=-2, \]
ao passo que
\[ \sqrt[6]{(-8)^2}=\sqrt[6]{64}=2. \]
Logo, em geral, não se pode reduzir o índice sem verificar as condições e o sinal do radicando.
Simplificação de radicais
Simplificar um radical significa transformá-lo numa forma equivalente na qual o radicando já não contém fatores que sejam potências perfeitas do índice.
A ideia consiste em separar, sempre que possível, as potências que podem ser extraídas do radical daquelas que devem permanecer sob a raiz.
Se \(a\geq0\), \(n\geq2\), \(q\in\mathbb{N}\), \(0\leq r<n\) e \(qn+r\geq1\), então
\[ \sqrt[n]{a^{qn+r}}=a^q\sqrt[n]{a^r}. \]
Esta fórmula exprime o princípio geral da simplificação: os expoentes múltiplos do índice podem ser levados para fora do radical, ao passo que o resto permanece no radicando.
Método de simplificação
Para simplificar um radical, pode proceder-se do seguinte modo.
- Decompõe-se o radicando em fatores primos, ou em fatores com expoentes.
- Escreve-se cada expoente como múltiplo do índice mais um resto.
- Levam-se para fora do radical os fatores correspondentes às potências perfeitas do índice.
Vejamos alguns exemplos.
\[ \sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt{2}. \]
Com efeito, \(36\) é um quadrado perfeito e pode ser extraído da raiz quadrada.
Além disso:
\[ \sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot2}=3\sqrt[3]{2}. \]
Neste caso, \(27=3^3\) é uma potência perfeita de índice \(3\).
Simplificação com variáveis
Quando no radicando aparecem variáveis reais, é preciso prestar particular atenção ao sinal. Em particular, com índices pares pode ser necessário introduzir o valor absoluto.
Por exemplo, para todo \(x\in\mathbb{R}\) tem-se
\[ \sqrt{x^2}=|x|. \]
Se, pelo contrário, soubermos que \(x\geq0\), então podemos escrever
\[ \sqrt{x^5}=\sqrt{x^4\cdot x}=x^2\sqrt{x}. \]
A condição \(x\geq0\) é necessária para que o radical \(\sqrt{x^5}\) esteja definido nos números reais.
Para um índice ímpar, pelo contrário, não é necessário introduzir o valor absoluto. Por exemplo:
\[ \sqrt[3]{a^8}=\sqrt[3]{a^6\cdot a^2}=a^2\sqrt[3]{a^2}. \]
Multiplicação e divisão
Para multiplicar ou dividir radicais com o mesmo índice, usa-se a propriedade do produto ou do quociente, respeitando sempre as condições de existência.
Se os radicais têm o mesmo índice, então:
\[ \sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}. \]
Por exemplo:
\[ \sqrt{3}\cdot\sqrt{12}=\sqrt{36}=6. \]
Do mesmo modo:
\[ \sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{8}=2. \]
Para o quociente, tem-se:
\[ \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}, \]
desde que o radical no denominador esteja definido e seja diferente de zero. Em particular, se o índice é par, deve exigir-se \(b>0\); se o índice é ímpar, basta exigir \(b\neq0\).
Por exemplo:
\[ \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{50}{2}}=\sqrt{25}=5. \]
Quando os radicais têm índices diferentes, antes de os multiplicar ou dividir pode recorrer-se à redução ao mesmo índice.
Por exemplo:
\[ \sqrt{2}\cdot\sqrt[3]{2} = \sqrt[6]{2^3}\cdot\sqrt[6]{2^2} = \sqrt[6]{2^5} = \sqrt[6]{32}. \]
Adição e subtração
A adição e a subtração entre radicais não se efetuam reunindo os termos sob um único radical. Só se podem somar ou subtrair diretamente os radicais semelhantes, isto é, radicais com o mesmo índice e o mesmo radicando.
Em geral:
\[ p\sqrt[n]{a}+q\sqrt[n]{a}=(p+q)\sqrt[n]{a}. \]
Analogamente:
\[ p\sqrt[n]{a}-q\sqrt[n]{a}=(p-q)\sqrt[n]{a}. \]
Por exemplo:
\[ 3\sqrt{2}+5\sqrt{2}=8\sqrt{2}. \]
Por vezes, os radicais não são semelhantes à partida, mas passam a sê-lo depois da simplificação. Por exemplo:
\[ \sqrt{12}+\sqrt{27} = 2\sqrt{3}+3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}. \]
Outro exemplo é:
\[ \sqrt{8}-\sqrt{2}+\sqrt{18} = 2\sqrt{2}-\sqrt{2}+3\sqrt{2} = 4\sqrt{2}. \]
Pelo contrário, radicais como \(\sqrt{2}\) e \(\sqrt{3}\) não são semelhantes e não podem ser somados num único radical.
Potências de radicais
As potências de radicais tratam-se aplicando as propriedades das potências e tendo em conta as condições de existência.
Se \(\sqrt[n]{a}\) está definido e \(m\in\mathbb{N}^*\), então:
\[ \left(\sqrt[n]{a}\right)^m=\sqrt[n]{a^m}. \]
Se, além disso, \(a\geq0\), podemos relacionar esta escrita com as potências de expoente racional:
\[ \sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}. \]
Quadrado de um binómio com radicais
Se \(a\geq0\) e \(b\geq0\), então:
\[ (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = a+2\sqrt{ab}+b. \]
Do mesmo modo:
\[ (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 = a-2\sqrt{ab}+b. \]
Por exemplo:
\[ (\sqrt{5}+2)^2 = 5+4\sqrt{5}+4 = 9+4\sqrt{5}. \]
Produto de expressões conjugadas
Se \(a\geq0\) e \(b\geq0\), o produto de duas expressões conjugadas permite eliminar as raízes quadradas:
\[ (\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})=a-b. \]
Por exemplo:
\[ (\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})=7-3=4. \]
Racionalização do denominador
A racionalização do denominador consiste em transformar uma fração numa fração equivalente cujo denominador não contenha radicais.
A ideia de base consiste em multiplicar o numerador e o denominador por um fator adequado que permita eliminar o radical do denominador. O valor da fração não muda, pois multiplica-se por uma quantidade igual a \(1\).
Denominador com uma única raiz quadrada
Consideremos uma fração do tipo
\[ \frac{c}{\sqrt{a}}, \]
com \(a>0\). Para eliminar a raiz do denominador, multiplicamos o numerador e o denominador por \(\sqrt{a}\):
\[ \frac{c}{\sqrt{a}} = \frac{c\sqrt{a}}{\sqrt{a}\sqrt{a}} = \frac{c\sqrt{a}}{a}. \]
Por exemplo:
\[ \frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}. \]
Denominador com um único radical de índice \(n\)
De modo mais geral, se o denominador contém um radical de índice \(n\), podemos usar a propriedade das potências.
Se o radical está definido e \(\sqrt[n]{a}\neq0\), então:
\[ \frac{c}{\sqrt[n]{a}} = \frac{c\sqrt[n]{a^{n-1}}}{a}. \]
No caso de índice par, deve exigir-se \(a>0\), ao passo que, no caso de índice ímpar, basta exigir \(a\neq0\).
Por exemplo:
\[ \frac{1}{\sqrt[3]{2}} = \frac{\sqrt[3]{2^2}}{2} = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}. \]
Denominador com duas raízes quadradas
Se o denominador contém duas raízes quadradas, usa-se o produto de duas expressões conjugadas.
Por exemplo, se \(a\geq0\), \(b\geq0\) e \(a\neq b\), então:
\[ \frac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{c(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{c(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a-b}. \]
Analogamente:
\[ \frac{c}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} = \frac{c(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{a-b}. \]
Vejamos um exemplo:
\[ \frac{4}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{4(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{3-2} = 4\sqrt{3}-4\sqrt{2}. \]
Outro exemplo é:
\[ \frac{1}{1+\sqrt{5}} = \frac{1-\sqrt{5}}{(1+\sqrt{5})(1-\sqrt{5})} = \frac{1-\sqrt{5}}{1-5} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}. \]
Denominador com raízes cúbicas
Quando o denominador contém raízes cúbicas, usam-se as identidades da soma e da diferença de cubos:
\[ x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2), \]
e
\[ x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2). \]
Por exemplo, se \(a\neq b\), então:
\[ \frac{1}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}} = \frac{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}{a-b}. \]
Com efeito, pondo \(x=\sqrt[3]{a}\) e \(y=\sqrt[3]{b}\), tem-se
\[ (x-y)(x^2+xy+y^2)=x^3-y^3=a-b. \]
Por exemplo:
\[ \frac{1}{\sqrt[3]{2}-1} = \frac{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1}{2-1} = \sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1. \]
Analogamente, se \(a\neq -b\), então:
\[ \frac{1}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}} = \frac{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}{a+b}. \]
Radicais com variáveis
Quando o radicando contém variáveis, as propriedades dos radicais devem ser aplicadas juntamente com as condições de existência. Em particular, se o índice é par, é preciso impor que o radicando seja não negativo.
Por exemplo, o radical
\[ \sqrt{x-1} \]
está definido nos números reais se e somente se
\[ x-1\geq0, \]
isto é, para
\[ x\geq1. \]
Valor absoluto na simplificação
Ao simplificar radicais com variáveis reais, o valor absoluto surge naturalmente nos radicais de índice par.
Com efeito, para todo \(x\in\mathbb{R}\),
\[ \sqrt{x^2}=|x|. \]
Do mesmo modo:
\[ \sqrt[4]{x^4}=|x|. \]
Além disso:
\[ \sqrt{x^6}=|x^3|. \]
Se, pelo contrário, o índice é ímpar, o valor absoluto não aparece. Por exemplo:
\[ \sqrt[3]{x^3}=x. \]
De modo mais geral:
\[ \sqrt[2k]{x^{2k}}=|x|,\qquad \sqrt[2k+1]{x^{2k+1}}=x. \]
Domínio de expressões com vários radicais
Se uma expressão contém vários radicais, o domínio obtém-se impondo simultaneamente todas as condições de existência. Por outras palavras, o domínio é a interseção das condições exigidas por cada radical.
Consideremos, por exemplo, a função
\[ f(x)=\sqrt{x+2}+\sqrt{4-x}. \]
O primeiro radical exige
\[ x+2\geq0, \]
isto é,
\[ x\geq -2. \]
O segundo radical exige
\[ 4-x\geq0, \]
isto é,
\[ x\leq4. \]
Portanto, o domínio é
\[ [-2,4]. \]
Equações irracionais
As equações irracionais são equações nas quais a incógnita aparece sob o sinal de raiz. Para as resolver, é necessário prestar particular atenção ao domínio e às eventuais soluções estranhas introduzidas ao longo dos passos.
Um método geral consiste nos seguintes passos.
- Determinam-se as condições de existência de todos os radicais presentes.
- Isola-se, quando possível, um dos radicais.
- Elevam-se ambos os membros à potência adequada.
- Resolve-se a equação algébrica obtida.
- Verificam-se as soluções candidatas na equação inicial.
A verificação final é indispensável, pois a elevação a potência pode introduzir soluções estranhas.
Exemplo com uma raiz quadrada
Consideremos a equação
\[ \sqrt{2x-1}=x-2. \]
Antes de elevar ao quadrado, determinemos as condições necessárias. O radical exige
\[ 2x-1\geq0, \]
isto é,
\[ x\geq\frac{1}{2}. \]
Além disso, uma vez que uma raiz quadrada é sempre não negativa, também o segundo membro deve ser não negativo:
\[ x-2\geq0. \]
Logo, devemos ter
\[ x\geq2. \]
Elevando ambos os membros ao quadrado, obtemos
\[ 2x-1=(x-2)^2. \]
Desenvolvendo:
\[ 2x-1=x^2-4x+4. \]
Passando todos os termos para o segundo membro:
\[ x^2-6x+5=0. \]
Donde
\[ x=1 \quad \text{ou} \quad x=5. \]
O valor \(x=1\) não satisfaz a condição \(x\geq2\), pelo que é descartado. Verifiquemos \(x=5\) na equação inicial:
\[ \sqrt{2\cdot5-1}=5-2. \]
Com efeito:
\[ \sqrt{9}=3. \]
Logo, a única solução é
\[ x=5. \]
Exemplo com dois radicais
Consideremos agora a equação
\[ \sqrt{x+5}-\sqrt{x}=1. \]
As condições de existência são
\[ x+5\geq0 \qquad\text{e}\qquad x\geq0. \]
Logo, o domínio é
\[ x\geq0. \]
Isolemos o primeiro radical:
\[ \sqrt{x+5}=\sqrt{x}+1. \]
Elevemos ao quadrado:
\[ x+5=(\sqrt{x}+1)^2. \]
Desenvolvendo o segundo membro:
\[ x+5=x+2\sqrt{x}+1. \]
Logo:
\[ 4=2\sqrt{x}. \]
Donde
\[ \sqrt{x}=2 \]
e, portanto,
\[ x=4. \]
Verifiquemos na equação inicial:
\[ \sqrt{4+5}-\sqrt{4}=3-2=1. \]
A solução é, portanto,
\[ x=4. \]
Para praticar com mais exemplos, pode consultar-se a coletânea dedicada: