A regra de Ruffini é um procedimento que permite dividir rapidamente um polinómio por um binómio de primeiro grau da forma \(x-a\). À primeira vista pode parecer apenas um algoritmo abreviado de cálculo, mas o seu significado é muito mais profundo: constitui uma forma compacta da divisão de polinómios e, ao mesmo tempo, uma ferramenta que relaciona o valor de um polinómio num ponto, o resto da divisão e a presença de factores lineares.
Por este motivo, a regra de Ruffini não deve ser estudada como uma simples técnica mecânica. Ela permite compreender de forma concreta três ideias fundamentais da álgebra: a divisão de polinómios, o teorema do resto e o teorema do factor.
- Divisão de um polinómio por \(x-a\)
- Ideia fundamental da regra de Ruffini
- Enunciado da regra de Ruffini
- Exemplo de aplicação da regra de Ruffini
- Demonstração da regra de Ruffini
- Teorema do resto
- Teorema do factor
- Utilização da regra de Ruffini para factorizar um polinómio
- O caso dos coeficientes nulos
- Ruffini e as raízes racionais
- Ruffini não encontra todas as raízes
- Divisão por \(ax+b\)
- Exemplo com divisor não mónico
Divisão de um polinómio por \(x-a\)
Seja \(P(x)\) um polinómio com coeficientes reais, ou mais geralmente com coeficientes num corpo, e seja \(a\) um número fixo. Dividir \(P(x)\) por \(x-a\) significa determinar um polinómio \(Q(x)\) e uma constante \(r\) tais que
\[ P(x)=(x-a)Q(x)+r. \]
Como \(x-a\) tem grau \(1\), o resto deve ter grau inferior a \(1\), sendo portanto necessariamente uma constante. A regra de Ruffini permite determinar de forma eficiente o quociente \(Q(x)\) e o resto \(r\) sem necessidade de efectuar a divisão longa de polinómios de cada vez, desde que o divisor seja um binómio de primeiro grau mónico.
Ideia fundamental da regra de Ruffini
Consideremos um polinómio de grau \(n\):
\[ P(x)=c_nx^n+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots+c_1x+c_0, \]
com \(c_n\neq 0\). Ao dividir \(P(x)\) por \(x-a\), o quociente terá grau \(n-1\). Escrevemo-lo na forma
\[ Q(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots+b_1x+b_0. \]
Substituindo esta expressão de \(Q(x)\) na relação \(P(x)=(x-a)Q(x)+r\) e desenvolvendo o produto, obtém-se:
\[ \begin{aligned} P(x)= {} & b_{n-1}x^n+(b_{n-2}-ab_{n-1})x^{n-1} \\ & +(b_{n-3}-ab_{n-2})x^{n-2}+\cdots \\ & +(b_0-ab_1)x+(r-ab_0). \end{aligned} \]
Identificando os coeficientes com os de \(P(x)\), obtém-se o sistema de relações de recorrência
\[ \begin{cases} b_{n-1}=c_n,\\ b_{n-2}=c_{n-1}+ab_{n-1},\\ b_{n-3}=c_{n-2}+ab_{n-2},\\ \quad \vdots\\ b_0=c_1+ab_1,\\ r=c_0+ab_0. \end{cases} \]
Estas relações constituem o núcleo da regra de Ruffini. O procedimento consiste em baixar o primeiro coeficiente e, em seguida, multiplicar cada coeficiente obtido por \(a\) e somar o resultado ao coeficiente seguinte.
Enunciado da regra de Ruffini
Seja \(P(x)=c_nx^n+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots+c_1x+c_0\) um polinómio de grau \(n\). Para dividir \(P(x)\) por \(x-a\), consideram-se ordenadamente os coeficientes \(c_n,\ c_{n-1},\ \ldots,\ c_1,\ c_0\) e constrói-se a sucessão
\[ \begin{cases} b_{n-1}=c_n,\\ b_{k-1}=c_k+ab_k \quad \text{para } k=n-1,n-2,\ldots,1,\\ r=c_0+ab_0. \end{cases} \]
Então \(P(x)=(x-a)Q(x)+r\), onde
\[ Q(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots+b_1x+b_0. \]
O número \(r\) é o resto da divisão.
Exemplo de aplicação da regra de Ruffini
Dividamos \(P(x)=2x^3-3x^2+4x-5\) por \(x-2\). Neste caso \(a=2\) e os coeficientes do polinómio são \(2,\ -3,\ 4,\ -5\). Aplicando a regra:
\[ \begin{array}{c|rrrr} 2 & 2 & -3 & 4 & -5\\ & & 4 & 2 & 12\\ \hline & 2 & 1 & 6 & 7 \end{array} \]
Os três primeiros números da última linha são os coeficientes do quociente, sendo o último o resto. Portanto \(Q(x)=2x^2+x+6\) e \(r=7\), ou seja,
\[ 2x^3-3x^2+4x-5=(x-2)(2x^2+x+6)+7. \]
Demonstração da regra de Ruffini
A regra de Ruffini não é um truque: é a escrita abreviada da identificação de coeficientes na divisão \(P(x)=(x-a)Q(x)+r\).
Pelo teorema da divisão de polinómios, existem um único quociente \(Q(x)\) e um único resto \(r\) tais que \(P(x)=(x-a)Q(x)+r\). Como o divisor tem grau \(1\), o quociente tem grau \(n-1\). Escrevemos, pois,
\[ Q(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots+b_1x+b_0. \]
Desenvolvendo \((x-a)Q(x)\):
\[ \begin{aligned} (x-a)Q(x) ={}& xQ(x)-aQ(x)\\ ={}& b_{n-1}x^n+b_{n-2}x^{n-1}+\cdots+b_1x^2+b_0x\\ &-ab_{n-1}x^{n-1}-ab_{n-2}x^{n-2}-\cdots-ab_1x-ab_0. \end{aligned} \]
Adicionando o resto \(r\), obtemos
\[ \begin{aligned} P(x)= {} & b_{n-1}x^n+(b_{n-2}-ab_{n-1})x^{n-1}\\ & +(b_{n-3}-ab_{n-2})x^{n-2}+\cdots\\ & +(b_0-ab_1)x+(r-ab_0). \end{aligned} \]
Como dois polinómios são iguais se e só se todos os seus coeficientes correspondentes são iguais, comparando com \(P(x)=c_nx^n+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots+c_0\) obtém-se:
\[ \begin{cases} c_n=b_{n-1},\\ c_{n-1}=b_{n-2}-ab_{n-1},\\ c_{n-2}=b_{n-3}-ab_{n-2},\\ \quad \vdots\\ c_1=b_0-ab_1,\\ c_0=r-ab_0. \end{cases} \]
Resolvendo em ordem às \(b_k\) recuperam-se precisamente as relações de recorrência da regra de Ruffini.
Teorema do resto
O teorema do resto afirma que o resto da divisão de \(P(x)\) por \(x-a\) é igual a \(P(a)\).
Demonstração. De \(P(x)=(x-a)Q(x)+r\), fazendo \(x=a\) obtém-se \(P(a)=(a-a)Q(a)+r=r\). Logo o resto coincide com o valor do polinómio no ponto \(a\).
Teorema do factor
Do teorema do resto obtém-se imediatamente o teorema do factor: \(x-a\) divide \(P(x)\) se e só se \(P(a)=0\).
\[ x-a \text{ divide } P(x) \quad \Longleftrightarrow \quad P(a)=0. \]
Demonstração. De \(P(x)=(x-a)Q(x)+r\) e do teorema do resto sabemos que \(r=P(a)\). Se \(x-a\) divide \(P(x)\), então \(r=0\) e portanto \(P(a)=0\). Reciprocamente, se \(P(a)=0\), então \(r=0\) e consequentemente \(P(x)=(x-a)Q(x)\), ou seja, \(x-a\) é um factor de \(P(x)\). As duas implicações demonstram a equivalência.
Utilização da regra de Ruffini para factorizar um polinómio
Uma das principais aplicações da regra de Ruffini é a factorização de polinómios. Se se encontrar um número \(a\) tal que \(P(a)=0\), então pelo teorema do factor \(x-a\) divide \(P(x)\). A regra de Ruffini permite depois obter o quociente, isto é, o factor complementar na factorização.
Consideremos \(P(x)=x^3-4x^2+x+6\). Testando \(x=2\):
\[ P(2)=8-16+2+6=0. \]
Logo \(x-2\) é um factor. Aplicamos Ruffini:
\[ \begin{array}{c|rrrr} 2 & 1 & -4 & 1 & 6\\ & & 2 & -4 & -6\\ \hline & 1 & -2 & -3 & 0 \end{array} \]
Obtém-se \(P(x)=(x-2)(x^2-2x-3)\). Como \(x^2-2x-3=(x-3)(x+1)\), a factorização completa é
\[ x^3-4x^2+x+6=(x-2)(x-3)(x+1). \]
O caso dos coeficientes nulos
Ao aplicar a regra de Ruffini, é indispensável escrever todos os coeficientes do polinómio, incluindo os dos termos ausentes. Um termo que não figure no polinómio corresponde a um coeficiente nulo.
Consideremos o polinómio \(P(x)=x^4-3x^2+2x-1\), no qual falta o termo de grau \(3\). Para aplicar correctamente a regra de Ruffini é necessário escrever
\[ P(x)=x^4+0x^3-3x^2+2x-1, \]
com coeficientes \(1,\ 0,\ -3,\ 2,\ -1\). Omitir o zero implicaria deslocar a posição dos restantes coeficientes, conduzindo a um resultado errado.
Ruffini e as raízes racionais
Na prática, a regra de Ruffini é frequentemente utilizada em conjunto com a procura sistemática de raízes racionais de um polinómio. Quando um polinómio tem coeficientes inteiros, as suas eventuais raízes racionais não são arbitrárias: estão condicionadas pelos próprios coeficientes do polinómio.
Em concreto, se \(P(x)=c_nx^n+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots+c_0\) tem coeficientes inteiros e \(\dfrac{p}{q}\), na forma irredutível, é uma raiz racional de \(P(x)\), então \(p\) divide o termo independente \(c_0\) e \(q\) divide o coeficiente principal \(c_n\). No caso mónico (\(c_n=1\)), toda a raiz racional é necessariamente um divisor inteiro do termo independente.
Demonstração (Critério das raízes racionais). Suponhamos que \(P\!\left(\dfrac{p}{q}\right)=0\), com \(p\) e \(q\) inteiros primos entre si e \(q\neq 0\). Então
\[ c_n\left(\frac{p}{q}\right)^n+c_{n-1}\left(\frac{p}{q}\right)^{n-1}+\cdots+c_1\frac{p}{q}+c_0=0. \]
Multiplicando por \(q^n\):
\[ c_np^n+c_{n-1}p^{n-1}q+\cdots+c_1pq^{n-1}+c_0q^n=0. \]
Passando \(c_0q^n\) para o segundo membro, o primeiro membro é divisível por \(p\), pelo que \(c_0q^n\) também o é. Como \(p\) e \(q^n\) são primos entre si, conclui-se que \(p\mid c_0\). De modo análogo, isolando \(c_np^n\), obtém-se que \(q\mid c_n\).
Exemplo completo (Factorização com a regra de Ruffini). Factorizemos \(P(x)=x^3-6x^2+11x-6\). Como o polinómio é mónico, as eventuais raízes inteiras são divisores do termo independente \(-6\):
\[ \pm1,\ \pm2,\ \pm3,\ \pm6. \]
Calculando \(P(1)=1-6+11-6=0\), concluímos que \(x-1\) é um factor. Aplicamos Ruffini:
\[ \begin{array}{c|rrrr} 1 & 1 & -6 & 11 & -6\\ & & 1 & -5 & 6\\ \hline & 1 & -5 & 6 & 0 \end{array} \]
Obtém-se \(P(x)=(x-1)(x^2-5x+6)\). Como \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\), a factorização completa é
\[ x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3). \]
Ruffini não encontra todas as raízes
É importante desfazer um equívoco frequente: a regra de Ruffini não é um método universal para encontrar todas as raízes de um polinómio. Permite dividir um polinómio por um binómio da forma \(x-a\) e factorizá-lo quando se conhece uma raiz \(a\), mas não fornece qualquer meio automático para localizar raízes irracionais ou complexas.
Se um polinómio não tiver raízes racionais, a procura sistemática entre os divisores do termo independente não conduz a qualquer resultado. Por exemplo, \(x^2+1\) não tem raízes reais e não pode ser decomposto em factores lineares reais.
Divisão por \(ax+b\)
A regra de Ruffini aplica-se à divisão por um binómio mónico \(x-a\). Um binómio geral \(ax+b\) com \(a\neq 0\) pode sempre reescrever-se como
\[ ax+b=a\!\left(x-\left(-\frac{b}{a}\right)\right), \]
cuja raiz é \(x=-\dfrac{b}{a}\). Para verificar se \(ax+b\) divide \(P(x)\) basta, portanto, verificar se \(P\!\left(-\dfrac{b}{a}\right)=0\).
Convém ter presente, no entanto, que dividir por \(ax+b\) não é o mesmo que dividir por \(x+\dfrac{b}{a}\), uma vez que os dois divisores diferem no factor constante \(a\). A raiz é a mesma, mas o quociente altera-se em conformidade.
Exemplo com divisor não mónico
Dividamos \(P(x)=2x^2-3x-2\) por \(2x+1\). O divisor anula-se em \(x=-\dfrac{1}{2}\). Verificamos:
\[ P\!\left(-\frac{1}{2}\right)=2\cdot\frac{1}{4}-3\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)-2=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}-2=0. \]
Logo \(2x+1\) divide \(P(x)\), e de facto \(2x^2-3x-2=(2x+1)(x-2)\). Para aplicar a regra de Ruffini trabalha-se com o binómio mónico \(x+\dfrac{1}{2}\): o quociente obtido difere do que resulta da divisão por \(2x+1\), mas a verificação da divisibilidade efectua-se no mesmo ponto \(x=-\dfrac{1}{2}\).
A regra de Ruffini é muito mais do que um atalho de cálculo. Decorre directamente da divisão de polinómios e condensa em forma operativa a identificação de coeficientes na divisão por um binómio de primeiro grau.
O seu significado teórico manifesta-se sobretudo através do teorema do resto e do teorema do factor. Dividir um polinómio por \(x-a\), calcular \(P(a)\), determinar se \(a\) é uma raiz e verificar se \(x-a\) é um factor são facetas distintas de uma mesma estrutura algébrica.
Por isso, a regra de Ruffini não deve ser recordada apenas como uma tabela a preencher, mas como uma ponte entre o cálculo e a teoria: por um lado simplifica a divisão de polinómios; por outro permite ler a factorização de um polinómio através das suas raízes.