Regra de Ruffini: Exercícios Resolvidos

\[ x^2 - 5x + 6 \]

Estratégia de resolução

O divisor é um binómio do primeiro grau da forma \(x - a\): nestes casos a regra de Ruffini é o instrumento mais eficiente. Em vez de efectuar a divisão entre polinómios na forma desenvolvida, trabalha-se exclusivamente sobre os coeficientes do dividendo, reduzindo consideravelmente o número de operações.

Identificação do valor a utilizar

O divisor é \(x - 1\). Na regra de Ruffini utiliza-se o valor que anula o divisor: \[ x - 1 = 0 \;\Rightarrow\; x = 1 \] Portanto: \[ a = 1 \]

Escrita dos coeficientes

O polinómio já se encontra ordenado por potências decrescentes: \[ x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \] Os coeficientes associados são: \[ 1 \quad -6 \quad 11 \quad -6 \]

Construção do esquema de Ruffini

Coloca-se o valor \(a = 1\) à esquerda e escrevem-se os coeficientes na linha superior:

\[ \begin{array}{r|rrrr} 1 & 1 & -6 & 11 & -6 \end{array} \]

Aplicação passo a passo da regra

Passo 1: transcreve-se o primeiro coeficiente para a linha inferior sem o modificar.

\[ 1 \]

Passo 2: multiplica-se o valor que se acabou de escrever por \(a = 1\) e coloca-se o resultado por baixo do coeficiente seguinte:

\[ 1 \cdot 1 = 1 \]

Passo 3: somam-se os valores presentes na coluna:

\[ -6 + 1 = -5 \]

Passo 4: repete-se o procedimento: multiplica-se o valor obtido por \(1\) e soma-se:

\[ -5 \cdot 1 = -5 \] \[ 11 + (-5) = 6 \]

Passo 5: executa-se o último passo:

\[ 6 \cdot 1 = 6 \] \[ -6 + 6 = 0 \]

Esquema completo

\[ \begin{array}{r|rrrr} 1 & 1 & -6 & 11 & -6 \\ & & 1 & -5 & 6 \\ \hline & 1 & -5 & 6 & 0 \end{array} \]

Interpretação do resultado

Os valores obtidos na linha inferior, exceptuando o último, representam os coeficientes do polinómio quociente: \[ x^2 - 5x + 6 \]

O último valor é o resto da divisão: \[ r = 0 \] Como o resto é nulo, a divisão é exacta.

Resultado

\[ \boxed{x^2 - 5x + 6} \]

Conclusão

Sendo o resto nulo, o polinómio inicial é divisível por \(x - 1\) e pode escrever-se como: \[ x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x^2 - 5x + 6) \]

\[ x^2 - 5x + 4 \]

Estratégia de resolução

Reconhecemos que o divisor é um binómio linear da forma \(x - a\). Isto permite-nos aplicar o regra de Ruffini: em vez de desenvolver a divisão coluna a coluna entre polinómios, basta dispor os coeficientes do dividendo numa tabela e executar uma sequência alternada de multiplicações e adições.

Identificação do valor a utilizar

O divisor é \(x - 2\), já escrito na forma canónica \(x - a\): não é necessária qualquer reescrita. O valor que anula o divisor obtém-se directamente: \[ x - 2 = 0 \;\Rightarrow\; x = 2 \] Portanto: \[ a = 2 \]

Escrita dos coeficientes

O polinómio já se encontra ordenado por potências decrescentes: \[ x^3 - 7x^2 + 14x - 8 \] Os coeficientes associados são: \[ 1 \quad -7 \quad 14 \quad -8 \]

Construção do esquema de Ruffini

Coloca-se o valor \(a = 2\) à esquerda e escrevem-se os coeficientes na linha superior:

\[ \begin{array}{r|rrrr} 2 & 1 & -7 & 14 & -8 \end{array} \]

Aplicação passo a passo da regra

Passo 1: transcreve-se o primeiro coeficiente para a linha inferior sem o modificar.

\[ 1 \]

Passo 2: multiplica-se o valor que se acabou de escrever por \(a = 2\) e coloca-se o resultado por baixo do coeficiente seguinte:

\[ 1 \cdot 2 = 2 \]

Passo 3: somam-se os valores presentes na coluna:

\[ -7 + 2 = -5 \]

Passo 4: repete-se o procedimento: multiplica-se o valor obtido por \(2\) e soma-se:

\[ -5 \cdot 2 = -10 \] \[ 14 + (-10) = 4 \]

Passo 5: executa-se o último passo:

\[ 4 \cdot 2 = 8 \] \[ -8 + 8 = 0 \]

Esquema completo

\[ \begin{array}{r|rrrr} 2 & 1 & -7 & 14 & -8 \\ & & 2 & -10 & 8 \\ \hline & 1 & -5 & 4 & 0 \end{array} \]

Interpretação do resultado

Os valores obtidos na linha inferior, exceptuando o último, representam os coeficientes do polinómio quociente: \[ x^2 - 5x + 4 \]

O último valor é o resto da divisão: \[ r = 0 \] Como o resto é nulo, a divisão é exacta.

Resultado

\[ \boxed{x^2 - 5x + 4} \]

Conclusão

Sendo o resto nulo, o polinómio inicial é divisível por \(x - 2\) e pode escrever-se como: \[ x^3 - 7x^2 + 14x - 8 = (x - 2)(x^2 - 5x + 4) \]

\[ x^2 - x - 2 \]

Estratégia de resolução

O divisor é um binómio linear. Antes de aplicar a regra de Ruffini convém prestar atenção ao sinal: o divisor não é da forma \(x - a\) com \(a\) positivo, mas sim \(x + 3\). Torna-se assim necessário identificar correctamente a raiz do divisor, ou seja, o valor de \(x\) que o anula, para não cometer erros de sinal durante o procedimento.

Identificação do valor a utilizar

O divisor é \(x + 3\). Visto que a regra de Ruffini exige a forma \(x - a\), reescrevemos o divisor evidenciando o sinal: \[ x + 3 = x - (-3) \] O valor que anula o divisor é então: \[ x + 3 = 0 \;\Rightarrow\; x = -3 \] Portanto: \[ a = -3 \]

Escrita dos coeficientes

O polinómio já se encontra ordenado por potências decrescentes: \[ x^3 + 2x^2 - 5x - 6 \] Os coeficientes associados são: \[ 1 \quad 2 \quad -5 \quad -6 \]

Construção do esquema de Ruffini

Coloca-se o valor \(a = -3\) à esquerda e escrevem-se os coeficientes na linha superior:

\[ \begin{array}{r|rrrr} -3 & 1 & 2 & -5 & -6 \end{array} \]

Aplicação passo a passo da regra

Passo 1: transcreve-se o primeiro coeficiente para a linha inferior sem o modificar.

\[ 1 \]

Passo 2: multiplica-se o valor que se acabou de escrever por \(a = -3\) e coloca-se o resultado por baixo do coeficiente seguinte:

\[ 1 \cdot (-3) = -3 \]

Passo 3: somam-se os valores presentes na coluna:

\[ 2 + (-3) = -1 \]

Passo 4: repete-se o procedimento: multiplica-se o valor obtido por \(-3\) e soma-se:

\[ -1 \cdot (-3) = 3 \] \[ -5 + 3 = -2 \]

Passo 5: executa-se o último passo:

\[ -2 \cdot (-3) = 6 \] \[ -6 + 6 = 0 \]

Esquema completo

\[ \begin{array}{r|rrrr} -3 & 1 & 2 & -5 & -6 \\ & & -3 & 3 & 6 \\ \hline & 1 & -1 & -2 & 0 \end{array} \]

Interpretação do resultado

Os valores obtidos na linha inferior, exceptuando o último, representam os coeficientes do polinómio quociente: \[ x^2 - x - 2 \]

O último valor é o resto da divisão: \[ r = 0 \] Como o resto é nulo, a divisão é exacta.

Resultado

\[ \boxed{x^2 - x - 2} \]

Conclusão

Sendo o resto nulo, o polinómio inicial é divisível por \(x + 3\) e pode escrever-se como: \[ x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = (x + 3)(x^2 - x - 2) \]

\[ x^2 - 4x + 3 \]

Estratégia de resolução

Também neste caso o divisor é linear com sinal positivo à frente da constante, exactamente como no exercício anterior. Recordamos que a regra de Ruffini exige introduzir no esquema não o termo independente do divisor, mas sim a raiz do divisor, ou seja, o valor de \(x\) que o anula: um erro de sinal nesta fase propagar-se-ia a todos os passos seguintes.

Identificação do valor a utilizar

O divisor é \(x + 2\). Reescrevemo-lo na forma \(x - a\): \[ x + 2 = x - (-2) \] O valor que anula o divisor é: \[ x + 2 = 0 \;\Rightarrow\; x = -2 \] Portanto: \[ a = -2 \]

Escrita dos coeficientes

O polinómio já se encontra ordenado por potências decrescentes: \[ x^3 - 2x^2 - 5x + 6 \] Os coeficientes associados são: \[ 1 \quad -2 \quad -5 \quad 6 \]

Construção do esquema de Ruffini

Coloca-se o valor \(a = -2\) à esquerda e escrevem-se os coeficientes na linha superior:

\[ \begin{array}{r|rrrr} -2 & 1 & -2 & -5 & 6 \end{array} \]

Aplicação passo a passo da regra

Passo 1: transcreve-se o primeiro coeficiente para a linha inferior sem o modificar.

\[ 1 \]

Passo 2: multiplica-se o valor que se acabou de escrever por \(a = -2\) e coloca-se o resultado por baixo do coeficiente seguinte:

\[ 1 \cdot (-2) = -2 \]

Passo 3: somam-se os valores presentes na coluna:

\[ -2 + (-2) = -4 \]

Passo 4: repete-se o procedimento: multiplica-se o valor obtido por \(-2\) e soma-se:

\[ -4 \cdot (-2) = 8 \] \[ -5 + 8 = 3 \]

Passo 5: executa-se o último passo:

\[ 3 \cdot (-2) = -6 \] \[ 6 + (-6) = 0 \]

Esquema completo

\[ \begin{array}{r|rrrr} -2 & 1 & -2 & -5 & 6 \\ & & -2 & 8 & -6 \\ \hline & 1 & -4 & 3 & 0 \end{array} \]

Interpretação do resultado

Os valores obtidos na linha inferior, exceptuando o último, representam os coeficientes do polinómio quociente: \[ x^2 - 4x + 3 \]

O último valor é o resto da divisão: \[ r = 0 \] Como o resto é nulo, a divisão é exacta.

Resultado

\[ \boxed{x^2 - 4x + 3} \]

Conclusão

Sendo o resto nulo, o polinómio inicial é divisível por \(x + 2\) e pode escrever-se como: \[ x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x + 2)(x^2 - 4x + 3) \]

\[ 2x^2 + x - 6 \]

Estratégia de resolução

O divisor é da forma \(x - a\), pelo que se pode aplicar a regra de Ruffini. Vale a pena notar que o coeficiente director do dividendo é \(2\) e não \(1\): isto não constitui qualquer obstáculo, dado que a regra opera sobre os coeficientes tal como se apresentam, qualquer que seja o seu valor. Bastará escrevê-los todos correctamente no esquema.

Identificação do valor a utilizar

O divisor é \(x - 1\), já escrito na forma canónica \(x - a\). O valor que anula o divisor é: \[ x - 1 = 0 \;\Rightarrow\; x = 1 \] Portanto: \[ a = 1 \]

Escrita dos coeficientes

O polinómio já se encontra ordenado por potências decrescentes: \[ 2x^3 - x^2 - 7x + 6 \] Os coeficientes associados são: \[ 2 \quad -1 \quad -7 \quad 6 \]

Construção do esquema de Ruffini

Coloca-se o valor \(a = 1\) à esquerda e escrevem-se os coeficientes na linha superior:

\[ \begin{array}{r|rrrr} 1 & 2 & -1 & -7 & 6 \end{array} \]

Aplicação passo a passo da regra

Passo 1: transcreve-se o primeiro coeficiente para a linha inferior sem o modificar.

\[ 2 \]

Passo 2: multiplica-se o valor que se acabou de escrever por \(a = 1\) e coloca-se o resultado por baixo do coeficiente seguinte:

\[ 2 \cdot 1 = 2 \]

Passo 3: somam-se os valores presentes na coluna:

\[ -1 + 2 = 1 \]

Passo 4: repete-se o procedimento: multiplica-se o valor obtido por \(1\) e soma-se:

\[ 1 \cdot 1 = 1 \] \[ -7 + 1 = -6 \]

Passo 5: executa-se o último passo:

\[ -6 \cdot 1 = -6 \] \[ 6 + (-6) = 0 \]

Esquema completo

\[ \begin{array}{r|rrrr} 1 & 2 & -1 & -7 & 6 \\ & & 2 & 1 & -6 \\ \hline & 2 & 1 & -6 & 0 \end{array} \]

Interpretação do resultado

Os valores obtidos na linha inferior, exceptuando o último, representam os coeficientes do polinómio quociente. Sendo o dividendo de grau 3 com coeficiente director \(2\), o quociente é de grau 2 com coeficiente director \(2\): \[ 2x^2 + x - 6 \]

O último valor é o resto da divisão: \[ r = 0 \] Como o resto é nulo, a divisão é exacta.

Resultado

\[ \boxed{2x^2 + x - 6} \]

Conclusão

Sendo o resto nulo, o polinómio inicial é divisível por \(x - 1\) e pode escrever-se como: \[ 2x^3 - x^2 - 7x + 6 = (x - 1)(2x^2 + x - 6) \]

\[ x^2 - 6x + 8 \]

Estratégia de resolução

O divisor é da forma \(x - a\), pelo que aplicamos a regra de Ruffini. É útil recordar que o grau do polinómio quociente é sempre exactamente uma unidade inferior ao grau do dividendo: ao dividir um polinómio de grau 3 por um binómio de grau 1, esperamos um quociente de grau 2. Isto permite-nos verificar imediatamente que o resultado seja plausível.

Identificação do valor a utilizar

O divisor é \(x - 3\), já escrito na forma canónica \(x - a\). O valor que anula o divisor é: \[ x - 3 = 0 \;\Rightarrow\; x = 3 \] Portanto: \[ a = 3 \]

Escrita dos coeficientes

O polinómio já se encontra ordenado por potências decrescentes: \[ x^3 - 9x^2 + 26x - 24 \] Os coeficientes associados são: \[ 1 \quad -9 \quad 26 \quad -24 \]

Construção do esquema de Ruffini

Coloca-se o valor \(a = 3\) à esquerda e escrevem-se os coeficientes na linha superior:

\[ \begin{array}{r|rrrr} 3 & 1 & -9 & 26 & -24 \end{array} \]

Aplicação passo a passo da regra

Passo 1: transcreve-se o primeiro coeficiente para a linha inferior sem o modificar.

\[ 1 \]

Passo 2: multiplica-se o valor que se acabou de escrever por \(a = 3\) e coloca-se o resultado por baixo do coeficiente seguinte:

\[ 1 \cdot 3 = 3 \]

Passo 3: somam-se os valores presentes na coluna:

\[ -9 + 3 = -6 \]

Passo 4: repete-se o procedimento: multiplica-se o valor obtido por \(3\) e soma-se:

\[ -6 \cdot 3 = -18 \] \[ 26 + (-18) = 8 \]

Passo 5: executa-se o último passo:

\[ 8 \cdot 3 = 24 \] \[ -24 + 24 = 0 \]

Esquema completo

\[ \begin{array}{r|rrrr} 3 & 1 & -9 & 26 & -24 \\ & & 3 & -18 & 24 \\ \hline & 1 & -6 & 8 & 0 \end{array} \]

Interpretação do resultado

Os valores obtidos na linha inferior, exceptuando o último, representam os coeficientes do polinómio quociente: \[ x^2 - 6x + 8 \]

O último valor é o resto da divisão: \[ r = 0 \] Como o resto é nulo, a divisão é exacta.

Resultado

\[ \boxed{x^2 - 6x + 8} \]

Conclusão

Sendo o resto nulo, o polinómio inicial é divisível por \(x - 3\) e pode escrever-se como: \[ x^3 - 9x^2 + 26x - 24 = (x - 3)(x^2 - 6x + 8) \]

\[ x^2 + 3x - 4 \]

Estratégia de resolução

O divisor é \(x + 1\), um caso particular em que a raiz vale \(-1\). Na regra de Ruffini isto significa que em cada passo se multiplica por \(-1\), ou seja, basta trocar o sinal do valor corrente antes de o somar ao coeficiente seguinte. É um caso computacionalmente cómodo, mas exige na mesma atenção: a alternância de sinais pode gerar erros se se proceder com pressa.

Identificação do valor a utilizar

O divisor é \(x + 1 = x - (-1)\). O valor que anula o divisor é: \[ x + 1 = 0 \;\Rightarrow\; x = -1 \] Portanto: \[ a = -1 \]

Escrita dos coeficientes

O polinómio já se encontra ordenado por potências decrescentes: \[ x^3 + 4x^2 - x - 4 \] Os coeficientes associados são: \[ 1 \quad 4 \quad -1 \quad -4 \]

Construção do esquema de Ruffini

Coloca-se o valor \(a = -1\) à esquerda e escrevem-se os coeficientes na linha superior:

\[ \begin{array}{r|rrrr} -1 & 1 & 4 & -1 & -4 \end{array} \]

Aplicação passo a passo da regra

Passo 1: transcreve-se o primeiro coeficiente para a linha inferior sem o modificar.

\[ 1 \]

Passo 2: multiplica-se o valor que se acabou de escrever por \(a = -1\) e coloca-se o resultado por baixo do coeficiente seguinte:

\[ 1 \cdot (-1) = -1 \]

Passo 3: somam-se os valores presentes na coluna:

\[ 4 + (-1) = 3 \]

Passo 4: repete-se o procedimento: multiplica-se o valor obtido por \(-1\) e soma-se:

\[ 3 \cdot (-1) = -3 \] \[ -1 + (-3) = -4 \]

Passo 5: executa-se o último passo:

\[ -4 \cdot (-1) = 4 \] \[ -4 + 4 = 0 \]

Esquema completo

\[ \begin{array}{r|rrrr} -1 & 1 & 4 & -1 & -4 \\ & & -1 & -3 & 4 \\ \hline & 1 & 3 & -4 & 0 \end{array} \]

Interpretação do resultado

Os valores obtidos na linha inferior, exceptuando o último, representam os coeficientes do polinómio quociente: \[ x^2 + 3x - 4 \]

O último valor é o resto da divisão: \[ r = 0 \] Como o resto é nulo, a divisão é exacta.

Resultado

\[ \boxed{x^2 + 3x - 4} \]

Conclusão

Sendo o resto nulo, o polinómio inicial é divisível por \(x + 1\) e pode escrever-se como: \[ x^3 + 4x^2 - x - 4 = (x + 1)(x^2 + 3x - 4) \]

\[ x^2 - x - 6 \]

Estratégia de resolução

A presença de um binómio linear no denominador sugere o uso da regra de Ruffini. Vale a pena compará-la mentalmente com a divisão longa entre polinómios: esta última exigiria reescrever várias vezes os termos do dividendo e subtrair polinómios inteiros, ao passo que Ruffini reduz tudo a uma linha de multiplicações e adições escalares. A compactidade do esquema é particularmente vantajosa quando os coeficientes são numericamente elevados.

Identificação do valor a utilizar

O divisor é \(x - 4\), já escrito na forma canónica \(x - a\). O valor que anula o divisor é: \[ x - 4 = 0 \;\Rightarrow\; x = 4 \] Portanto: \[ a = 4 \]

Escrita dos coeficientes

O polinómio já se encontra ordenado por potências decrescentes: \[ x^3 - 5x^2 - 2x + 24 \] Os coeficientes associados são: \[ 1 \quad -5 \quad -2 \quad 24 \]

Construção do esquema de Ruffini

Coloca-se o valor \(a = 4\) à esquerda e escrevem-se os coeficientes na linha superior:

\[ \begin{array}{r|rrrr} 4 & 1 & -5 & -2 & 24 \end{array} \]

Aplicação passo a passo da regra

Passo 1: transcreve-se o primeiro coeficiente para a linha inferior sem o modificar.

\[ 1 \]

Passo 2: multiplica-se o valor que se acabou de escrever por \(a = 4\) e coloca-se o resultado por baixo do coeficiente seguinte:

\[ 1 \cdot 4 = 4 \]

Passo 3: somam-se os valores presentes na coluna:

\[ -5 + 4 = -1 \]

Passo 4: repete-se o procedimento: multiplica-se o valor obtido por \(4\) e soma-se:

\[ -1 \cdot 4 = -4 \] \[ -2 + (-4) = -6 \]

Passo 5: executa-se o último passo:

\[ -6 \cdot 4 = -24 \] \[ 24 + (-24) = 0 \]

Esquema completo

\[ \begin{array}{r|rrrr} 4 & 1 & -5 & -2 & 24 \\ & & 4 & -4 & -24 \\ \hline & 1 & -1 & -6 & 0 \end{array} \]

Interpretação do resultado

Os valores obtidos na linha inferior, exceptuando o último, representam os coeficientes do polinómio quociente: \[ x^2 - x - 6 \]

O último valor é o resto da divisão: \[ r = 0 \] Como o resto é nulo, a divisão é exacta.

Resultado

\[ \boxed{x^2 - x - 6} \]

Conclusão

Sendo o resto nulo, o polinómio inicial é divisível por \(x - 4\) e pode escrever-se como: \[ x^3 - 5x^2 - 2x + 24 = (x - 4)(x^2 - x - 6) \]

\[ x^2 - x - 6 \]

Estratégia de resolução

O divisor \(x + 4\) tem sinal positivo à frente da constante, tal como nos casos \(x + 3\) e \(x + 2\) já encontrados. A regra de Ruffini aplica-se de modo idêntico, mas convém reiterar o raciocínio: não se introduz \(+4\) no esquema, mas sim a raiz do divisor, ou seja, o valor \(x = -4\) que o anula. Confundir o termo independente do divisor com a sua raiz é o erro mais frequente na aplicação desta técnica.

Identificação do valor a utilizar

O divisor é \(x + 4 = x - (-4)\). O valor que anula o divisor é: \[ x + 4 = 0 \;\Rightarrow\; x = -4 \] Portanto: \[ a = -4 \]

Escrita dos coeficientes

O polinómio já se encontra ordenado por potências decrescentes: \[ x^3 + 3x^2 - 10x - 24 \] Os coeficientes associados são: \[ 1 \quad 3 \quad -10 \quad -24 \]

Construção do esquema de Ruffini

Coloca-se o valor \(a = -4\) à esquerda e escrevem-se os coeficientes na linha superior:

\[ \begin{array}{r|rrrr} -4 & 1 & 3 & -10 & -24 \end{array} \]

Aplicação passo a passo da regra

Passo 1: transcreve-se o primeiro coeficiente para a linha inferior sem o modificar.

\[ 1 \]

Passo 2: multiplica-se o valor que se acabou de escrever por \(a = -4\) e coloca-se o resultado por baixo do coeficiente seguinte:

\[ 1 \cdot (-4) = -4 \]

Passo 3: somam-se os valores presentes na coluna:

\[ 3 + (-4) = -1 \]

Passo 4: repete-se o procedimento: multiplica-se o valor obtido por \(-4\) e soma-se:

\[ -1 \cdot (-4) = 4 \] \[ -10 + 4 = -6 \]

Passo 5: executa-se o último passo:

\[ -6 \cdot (-4) = 24 \] \[ -24 + 24 = 0 \]

Esquema completo

\[ \begin{array}{r|rrrr} -4 & 1 & 3 & -10 & -24 \\ & & -4 & 4 & 24 \\ \hline & 1 & -1 & -6 & 0 \end{array} \]

Interpretação do resultado

Os valores obtidos na linha inferior, exceptuando o último, representam os coeficientes do polinómio quociente: \[ x^2 - x - 6 \]

O último valor é o resto da divisão: \[ r = 0 \] Como o resto é nulo, a divisão é exacta.

Resultado

\[ \boxed{x^2 - x - 6} \]

Conclusão

Sendo o resto nulo, o polinómio inicial é divisível por \(x + 4\) e pode escrever-se como: \[ x^3 + 3x^2 - 10x - 24 = (x + 4)(x^2 - x - 6) \]

\[ 2x^2 + 7x + 3 \]

Estratégia de resolução

O divisor é da forma \(x - a\), pelo que se pode aplicar a regra de Ruffini. O dividendo tem coeficiente director \(2\): vale a pena observar que tal valor se transfere inalterado como primeiro elemento da linha inferior do esquema, e determina o coeficiente director do quociente. Por outras palavras, o quociente de um polinómio com coeficiente director \(k\) dividido por um binómio mónico terá igualmente coeficiente director \(k\).

Identificação do valor a utilizar

O divisor é \(x - 2\), já escrito na forma canónica \(x - a\). O valor que anula o divisor é: \[ x - 2 = 0 \;\Rightarrow\; x = 2 \] Portanto: \[ a = 2 \]

Escrita dos coeficientes

O polinómio já se encontra ordenado por potências decrescentes: \[ 2x^3 + 3x^2 - 11x - 6 \] Os coeficientes associados são: \[ 2 \quad 3 \quad -11 \quad -6 \]

Construção do esquema de Ruffini

Coloca-se o valor \(a = 2\) à esquerda e escrevem-se os coeficientes na linha superior:

\[ \begin{array}{r|rrrr} 2 & 2 & 3 & -11 & -6 \end{array} \]

Aplicação passo a passo da regra

Passo 1: transcreve-se o primeiro coeficiente para a linha inferior sem o modificar.

\[ 2 \]

Passo 2: multiplica-se o valor que se acabou de escrever por \(a = 2\) e coloca-se o resultado por baixo do coeficiente seguinte:

\[ 2 \cdot 2 = 4 \]

Passo 3: somam-se os valores presentes na coluna:

\[ 3 + 4 = 7 \]

Passo 4: repete-se o procedimento: multiplica-se o valor obtido por \(2\) e soma-se:

\[ 7 \cdot 2 = 14 \] \[ -11 + 14 = 3 \]

Passo 5: executa-se o último passo:

\[ 3 \cdot 2 = 6 \] \[ -6 + 6 = 0 \]

Esquema completo

\[ \begin{array}{r|rrrr} 2 & 2 & 3 & -11 & -6 \\ & & 4 & 14 & 6 \\ \hline & 2 & 7 & 3 & 0 \end{array} \]

Interpretação do resultado

Os valores obtidos na linha inferior, exceptuando o último, representam os coeficientes do polinómio quociente. O coeficiente director \(2\) do dividendo aparece inalterado como primeiro coeficiente do quociente: \[ 2x^2 + 7x + 3 \]

O último valor é o resto da divisão: \[ r = 0 \] Como o resto é nulo, a divisão é exacta.

Resultado

\[ \boxed{2x^2 + 7x + 3} \]

Conclusão

Sendo o resto nulo, o polinómio inicial é divisível por \(x - 2\) e pode escrever-se como: \[ 2x^3 + 3x^2 - 11x - 6 = (x - 2)(2x^2 + 7x + 3) \]

\[ x^2 + 2x - 8 \]

Estratégia de resolução

Antes de aplicar a regra de Ruffini, é útil recordar o teorema em que ela se baseia: o teorema do resto afirma que o resto da divisão de um polinómio \(p(x)\) por \((x - a)\) é igual a \(p(a)\). Em particular, se \(p(a) = 0\), então o resto é nulo e \((x - a)\) é um divisor exacto. Ruffini limita-se a tornar mecânico e compacto o cálculo do quociente e do resto que este teorema garante.

Identificação do valor a utilizar

O divisor é \(x - 3\), já escrito na forma canónica \(x - a\). O valor que anula o divisor é: \[ x - 3 = 0 \;\Rightarrow\; x = 3 \] Portanto: \[ a = 3 \]

Escrita dos coeficientes

O polinómio já se encontra ordenado por potências decrescentes: \[ x^3 - x^2 - 14x + 24 \] Os coeficientes associados são: \[ 1 \quad -1 \quad -14 \quad 24 \]

Construção do esquema de Ruffini

Coloca-se o valor \(a = 3\) à esquerda e escrevem-se os coeficientes na linha superior:

\[ \begin{array}{r|rrrr} 3 & 1 & -1 & -14 & 24 \end{array} \]

Aplicação passo a passo da regra

Passo 1: transcreve-se o primeiro coeficiente para a linha inferior sem o modificar.

\[ 1 \]

Passo 2: multiplica-se o valor que se acabou de escrever por \(a = 3\) e coloca-se o resultado por baixo do coeficiente seguinte:

\[ 1 \cdot 3 = 3 \]

Passo 3: somam-se os valores presentes na coluna:

\[ -1 + 3 = 2 \]

Passo 4: repete-se o procedimento: multiplica-se o valor obtido por \(3\) e soma-se:

\[ 2 \cdot 3 = 6 \] \[ -14 + 6 = -8 \]

Passo 5: executa-se o último passo:

\[ -8 \cdot 3 = -24 \] \[ 24 + (-24) = 0 \]

Esquema completo

\[ \begin{array}{r|rrrr} 3 & 1 & -1 & -14 & 24 \\ & & 3 & 6 & -24 \\ \hline & 1 & 2 & -8 & 0 \end{array} \]

Interpretação do resultado

Os valores obtidos na linha inferior, exceptuando o último, representam os coeficientes do polinómio quociente: \[ x^2 + 2x - 8 \]

O último valor é o resto da divisão: \[ r = 0 \] Como o resto é nulo, a divisão é exacta.

Resultado

\[ \boxed{x^2 + 2x - 8} \]

Conclusão

Sendo o resto nulo, o polinómio inicial é divisível por \(x - 3\) e pode escrever-se como: \[ x^3 - x^2 - 14x + 24 = (x - 3)(x^2 + 2x - 8) \]

\[ x^2 - 6x + 5 \]

Estratégia de resolução

Aplicamos a regra de Ruffini e, no final, verificaremos o resultado da forma mais directa possível: desenvolvendo o produto \((x + 2)(x^2 - 6x + 5)\) e confirmando que se obtém o polinómio de partida. Este hábito de verificação — rápido de executar — permite identificar imediatamente eventuais erros de cálculo cometidos durante o esquema.

Identificação do valor a utilizar

O divisor é \(x + 2 = x - (-2)\). O valor que anula o divisor é: \[ x + 2 = 0 \;\Rightarrow\; x = -2 \] Portanto: \[ a = -2 \]

Escrita dos coeficientes

O polinómio já se encontra ordenado por potências decrescentes: \[ x^3 - 4x^2 - 7x + 10 \] Os coeficientes associados são: \[ 1 \quad -4 \quad -7 \quad 10 \]

Construção do esquema de Ruffini

Coloca-se o valor \(a = -2\) à esquerda e escrevem-se os coeficientes na linha superior:

\[ \begin{array}{r|rrrr} -2 & 1 & -4 & -7 & 10 \end{array} \]

Aplicação passo a passo da regra

Passo 1: transcreve-se o primeiro coeficiente para a linha inferior sem o modificar.

\[ 1 \]

Passo 2: multiplica-se o valor que se acabou de escrever por \(a = -2\) e coloca-se o resultado por baixo do coeficiente seguinte:

\[ 1 \cdot (-2) = -2 \]

Passo 3: somam-se os valores presentes na coluna:

\[ -4 + (-2) = -6 \]

Passo 4: repete-se o procedimento: multiplica-se o valor obtido por \(-2\) e soma-se:

\[ -6 \cdot (-2) = 12 \] \[ -7 + 12 = 5 \]

Passo 5: executa-se o último passo:

\[ 5 \cdot (-2) = -10 \] \[ 10 + (-10) = 0 \]

Esquema completo

\[ \begin{array}{r|rrrr} -2 & 1 & -4 & -7 & 10 \\ & & -2 & 12 & -10 \\ \hline & 1 & -6 & 5 & 0 \end{array} \]

Interpretação do resultado

Os valores obtidos na linha inferior, exceptuando o último, representam os coeficientes do polinómio quociente: \[ x^2 - 6x + 5 \]

O último valor é o resto da divisão: \[ r = 0 \] Como o resto é nulo, a divisão é exacta.

Resultado

\[ \boxed{x^2 - 6x + 5} \]

Conclusão

Sendo o resto nulo, o polinómio inicial é divisível por \(x + 2\) e pode escrever-se como: \[ x^3 - 4x^2 - 7x + 10 = (x + 2)(x^2 - 6x + 5) \]

\[ 3x^2 + x - 2 \]

Estratégia de resolução

Também neste caso o divisor é da forma \(x - a\) e aplica-se a regra de Ruffini. O coeficiente director do dividendo é \(3\): nos passos intermédios os produtos serão múltiplos de \(3\), o que não aumenta a dificuldade do método, mas exige não descurar nenhum factor. É boa prática, com coeficientes não unitários, reler cada multiplicação antes de avançar para o passo seguinte.

Identificação do valor a utilizar

O divisor é \(x - 2\), já escrito na forma canónica \(x - a\). O valor que anula o divisor é: \[ x - 2 = 0 \;\Rightarrow\; x = 2 \] Portanto: \[ a = 2 \]

Escrita dos coeficientes

O polinómio já se encontra ordenado por potências decrescentes: \[ 3x^3 - 5x^2 - 4x + 4 \] Os coeficientes associados são: \[ 3 \quad -5 \quad -4 \quad 4 \]

Construção do esquema de Ruffini

Coloca-se o valor \(a = 2\) à esquerda e escrevem-se os coeficientes na linha superior:

\[ \begin{array}{r|rrrr} 2 & 3 & -5 & -4 & 4 \end{array} \]

Aplicação passo a passo da regra

Passo 1: transcreve-se o primeiro coeficiente para a linha inferior sem o modificar.

\[ 3 \]

Passo 2: multiplica-se o valor que se acabou de escrever por \(a = 2\) e coloca-se o resultado por baixo do coeficiente seguinte:

\[ 3 \cdot 2 = 6 \]

Passo 3: somam-se os valores presentes na coluna:

\[ -5 + 6 = 1 \]

Passo 4: repete-se o procedimento: multiplica-se o valor obtido por \(2\) e soma-se:

\[ 1 \cdot 2 = 2 \] \[ -4 + 2 = -2 \]

Passo 5: executa-se o último passo:

\[ -2 \cdot 2 = -4 \] \[ 4 + (-4) = 0 \]

Esquema completo

\[ \begin{array}{r|rrrr} 2 & 3 & -5 & -4 & 4 \\ & & 6 & 2 & -4 \\ \hline & 3 & 1 & -2 & 0 \end{array} \]

Interpretação do resultado

Os valores obtidos na linha inferior, exceptuando o último, representam os coeficientes do polinómio quociente. O coeficiente director \(3\) do dividendo reaparece inalterado como primeiro coeficiente do quociente: \[ 3x^2 + x - 2 \]

O último valor é o resto da divisão: \[ r = 0 \] Como o resto é nulo, a divisão é exacta.

Resultado

\[ \boxed{3x^2 + x - 2} \]

Conclusão

Sendo o resto nulo, o polinómio inicial é divisível por \(x - 2\) e pode escrever-se como: \[ 3x^3 - 5x^2 - 4x + 4 = (x - 2)(3x^2 + x - 2) \]

\[ x^2 + x - 2 \]

Estratégia de resolução

O divisor é \(x + 4\), com termo independente de valor absoluto maior do que nos casos anteriores. Na regra de Ruffini isto traduz-se em produtos intermédios mais elevados: convém efectuar cada multiplicação com cuidado, dado que um erro sobre um valor grande gera desvios mais visíveis na linha final. Do ponto de vista do procedimento nada muda: identifica-se a raiz \(a = -4\) e prossegue-se como de costume.

Identificação do valor a utilizar

O divisor é \(x + 4 = x - (-4)\). O valor que anula o divisor é: \[ x + 4 = 0 \;\Rightarrow\; x = -4 \] Portanto: \[ a = -4 \]

Escrita dos coeficientes

O polinómio já se encontra ordenado por potências decrescentes: \[ x^3 + 5x^2 + 2x - 8 \] Os coeficientes associados são: \[ 1 \quad 5 \quad 2 \quad -8 \]

Construção do esquema de Ruffini

Coloca-se o valor \(a = -4\) à esquerda e escrevem-se os coeficientes na linha superior:

\[ \begin{array}{r|rrrr} -4 & 1 & 5 & 2 & -8 \end{array} \]

Aplicação passo a passo da regra

Passo 1: transcreve-se o primeiro coeficiente para a linha inferior sem o modificar.

\[ 1 \]

Passo 2: multiplica-se o valor que se acabou de escrever por \(a = -4\) e coloca-se o resultado por baixo do coeficiente seguinte:

\[ 1 \cdot (-4) = -4 \]

Passo 3: somam-se os valores presentes na coluna:

\[ 5 + (-4) = 1 \]

Passo 4: repete-se o procedimento: multiplica-se o valor obtido por \(-4\) e soma-se:

\[ 1 \cdot (-4) = -4 \] \[ 2 + (-4) = -2 \]

Passo 5: executa-se o último passo:

\[ -2 \cdot (-4) = 8 \] \[ -8 + 8 = 0 \]

Esquema completo

\[ \begin{array}{r|rrrr} -4 & 1 & 5 & 2 & -8 \\ & & -4 & -4 & 8 \\ \hline & 1 & 1 & -2 & 0 \end{array} \]

Interpretação do resultado

Os valores obtidos na linha inferior, exceptuando o último, representam os coeficientes do polinómio quociente: \[ x^2 + x - 2 \]

O último valor é o resto da divisão: \[ r = 0 \] Como o resto é nulo, a divisão é exacta.

Resultado

\[ \boxed{x^2 + x - 2} \]

Conclusão

Sendo o resto nulo, o polinómio inicial é divisível por \(x + 4\) e pode escrever-se como: \[ x^3 + 5x^2 + 2x - 8 = (x + 4)(x^2 + x - 2) \]

\[ 2x^2 - 3x - 2 \]

Estratégia de resolução

Para além de fornecer quociente e resto, a regra de Ruffini é um instrumento de factorização: sempre que o resto é nulo, o polinómio escreve-se como produto do divisor pelo quociente. Se também o quociente obtido for ulteriormente factorizável — por exemplo através da fórmula resolvente — obtém-se a decomposição completa em factores irredutíveis do polinómio de partida. Neste exercício o quociente \(2x^2 - 3x - 2\) é um trinómio que pode ser factorizado posteriormente, mas isso ultrapassa o objectivo presente.

Identificação do valor a utilizar

O divisor é \(x - 3\), já escrito na forma canónica \(x - a\). O valor que anula o divisor é: \[ x - 3 = 0 \;\Rightarrow\; x = 3 \] Portanto: \[ a = 3 \]

Escrita dos coeficientes

O polinómio já se encontra ordenado por potências decrescentes: \[ 2x^3 - 9x^2 + 7x + 6 \] Os coeficientes associados são: \[ 2 \quad -9 \quad 7 \quad 6 \]

Construção do esquema de Ruffini

Coloca-se o valor \(a = 3\) à esquerda e escrevem-se os coeficientes na linha superior:

\[ \begin{array}{r|rrrr} 3 & 2 & -9 & 7 & 6 \end{array} \]

Aplicação passo a passo da regra

Passo 1: transcreve-se o primeiro coeficiente para a linha inferior sem o modificar.

\[ 2 \]

Passo 2: multiplica-se o valor que se acabou de escrever por \(a = 3\) e coloca-se o resultado por baixo do coeficiente seguinte:

\[ 2 \cdot 3 = 6 \]

Passo 3: somam-se os valores presentes na coluna:

\[ -9 + 6 = -3 \]

Passo 4: repete-se o procedimento: multiplica-se o valor obtido por \(3\) e soma-se:

\[ -3 \cdot 3 = -9 \] \[ 7 + (-9) = -2 \]

Passo 5: executa-se o último passo:

\[ -2 \cdot 3 = -6 \] \[ 6 + (-6) = 0 \]

Esquema completo

\[ \begin{array}{r|rrrr} 3 & 2 & -9 & 7 & 6 \\ & & 6 & -9 & -6 \\ \hline & 2 & -3 & -2 & 0 \end{array} \]

Interpretação do resultado

Os valores obtidos na linha inferior, exceptuando o último, representam os coeficientes do polinómio quociente: \[ 2x^2 - 3x - 2 \]

O último valor é o resto da divisão: \[ r = 0 \] Como o resto é nulo, a divisão é exacta.

Resultado

\[ \boxed{2x^2 - 3x - 2} \]

Conclusão

Sendo o resto nulo, o polinómio inicial é divisível por \(x - 3\) e pode escrever-se como: \[ 2x^3 - 9x^2 + 7x + 6 = (x - 3)(2x^2 - 3x - 2) \]

\[ x^2 + x - 6 \]

Estratégia de resolução

O dividendo \(x^3 - 7x + 6\) não contém o termo em \(x^2\): trata-se de um polinómio com um termo em falta. Antes de aplicar a regra de Ruffini é indispensável tornar explícito o coeficiente nulo correspondente, introduzindo \(0\) na posição de \(x^2\) dentro do esquema. Esquecer este passo levaria a associar cada coeficiente à potência errada, invalidando todo o cálculo.

Identificação do valor a utilizar

O divisor é \(x - 1\), já escrito na forma canónica \(x - a\). O valor que anula o divisor é: \[ x - 1 = 0 \;\Rightarrow\; x = 1 \] Portanto: \[ a = 1 \]

Escrita dos coeficientes

O polinómio escrito na forma completa, com o termo em falta explicitado, é: \[ x^3 + 0x^2 - 7x + 6 \] Os coeficientes associados, por ordem, são: \[ 1 \quad 0 \quad -7 \quad 6 \]

Construção do esquema de Ruffini

Coloca-se o valor \(a = 1\) à esquerda e escrevem-se todos os quatro coeficientes — incluindo o zero — na linha superior:

\[ \begin{array}{r|rrrr} 1 & 1 & 0 & -7 & 6 \end{array} \]

Aplicação passo a passo da regra

Passo 1: transcreve-se o primeiro coeficiente para a linha inferior sem o modificar.

\[ 1 \]

Passo 2: multiplica-se o valor que se acabou de escrever por \(a = 1\) e coloca-se o resultado por baixo do coeficiente seguinte:

\[ 1 \cdot 1 = 1 \]

Passo 3: somam-se os valores presentes na coluna:

\[ 0 + 1 = 1 \]

Passo 4: repete-se o procedimento: multiplica-se o valor obtido por \(1\) e soma-se:

\[ 1 \cdot 1 = 1 \] \[ -7 + 1 = -6 \]

Passo 5: executa-se o último passo:

\[ -6 \cdot 1 = -6 \] \[ 6 + (-6) = 0 \]

Esquema completo

\[ \begin{array}{r|rrrr} 1 & 1 & 0 & -7 & 6 \\ & & 1 & 1 & -6 \\ \hline & 1 & 1 & -6 & 0 \end{array} \]

Interpretação do resultado

Os valores obtidos na linha inferior, exceptuando o último, representam os coeficientes do polinómio quociente: \[ x^2 + x - 6 \]

O último valor é o resto da divisão: \[ r = 0 \] Como o resto é nulo, a divisão é exacta.

Resultado

\[ \boxed{x^2 + x - 6} \]

Conclusão

Sendo o resto nulo, o polinómio inicial é divisível por \(x - 1\) e pode escrever-se como: \[ x^3 - 7x + 6 = (x - 1)(x^2 + x - 6) \]

\[ x^2 - 5x + 6 \]

Estratégia de resolução

Antes de iniciar o esquema, convém verificar rapidamente que \(x + 3\) é efectivamente um divisor exacto, calculando \(p(-3)\) mentalmente: \((-3)^3 - 2(-3)^2 - 9(-3) + 18 = -27 - 18 + 27 + 18 = 0\). Esta pré-verificação, possibilitada pelo teorema do resto, demora apenas alguns segundos e garante-nos que o esquema de Ruffini produzirá resto nulo. Pelo contrário, se o resultado fosse diferente de zero, saberíamos desde logo que a divisão não é exacta, sem ter de completar todo o esquema.

Identificação do valor a utilizar

O divisor é \(x + 3 = x - (-3)\). O valor que anula o divisor é: \[ x + 3 = 0 \;\Rightarrow\; x = -3 \] Portanto: \[ a = -3 \]

Escrita dos coeficientes

O polinómio já se encontra ordenado por potências decrescentes: \[ x^3 - 2x^2 - 9x + 18 \] Os coeficientes associados são: \[ 1 \quad -2 \quad -9 \quad 18 \]

Construção do esquema de Ruffini

Coloca-se o valor \(a = -3\) à esquerda e escrevem-se os coeficientes na linha superior:

\[ \begin{array}{r|rrrr} -3 & 1 & -2 & -9 & 18 \end{array} \]

Aplicação passo a passo da regra

Passo 1: transcreve-se o primeiro coeficiente para a linha inferior sem o modificar.

\[ 1 \]

Passo 2: multiplica-se o valor que se acabou de escrever por \(a = -3\) e coloca-se o resultado por baixo do coeficiente seguinte:

\[ 1 \cdot (-3) = -3 \]

Passo 3: somam-se os valores presentes na coluna:

\[ -2 + (-3) = -5 \]

Passo 4: repete-se o procedimento: multiplica-se o valor obtido por \(-3\) e soma-se:

\[ -5 \cdot (-3) = 15 \] \[ -9 + 15 = 6 \]

Passo 5: executa-se o último passo:

\[ 6 \cdot (-3) = -18 \] \[ 18 + (-18) = 0 \]

Esquema completo

\[ \begin{array}{r|rrrr} -3 & 1 & -2 & -9 & 18 \\ & & -3 & 15 & -18 \\ \hline & 1 & -5 & 6 & 0 \end{array} \]

Interpretação do resultado

Os valores obtidos na linha inferior, exceptuando o último, representam os coeficientes do polinómio quociente: \[ x^2 - 5x + 6 \]

O último valor é o resto da divisão: \[ r = 0 \] Como o resto é nulo, a divisão é exacta, tal como antecipava a pré-verificação.

Resultado

\[ \boxed{x^2 - 5x + 6} \]

Conclusão

Sendo o resto nulo, o polinómio inicial é divisível por \(x + 3\) e pode escrever-se como: \[ x^3 - 2x^2 - 9x + 18 = (x + 3)(x^2 - 5x + 6) \]

\[ 2x^2 - 5x + 2 \]

Estratégia de resolução

Este exercício combina dois elementos já encontrados em separado: um divisor da forma \(x + k\) com \(k > 0\) — que obriga a deduzir uma raiz negativa — e um coeficiente director do dividendo diferente de \(1\). A regra de Ruffini trata ambas as situações sem alterações ao procedimento; o que muda é apenas a maior atenção exigida na execução de produtos que envolvem simultaneamente números negativos e coeficientes inteiros superiores à unidade.

Identificação do valor a utilizar

O divisor é \(x + 3 = x - (-3)\). O valor que anula o divisor é: \[ x + 3 = 0 \;\Rightarrow\; x = -3 \] Portanto: \[ a = -3 \]

Escrita dos coeficientes

O polinómio já se encontra ordenado por potências decrescentes: \[ 2x^3 + x^2 - 13x + 6 \] Os coeficientes associados são: \[ 2 \quad 1 \quad -13 \quad 6 \]

Construção do esquema de Ruffini

Coloca-se o valor \(a = -3\) à esquerda e escrevem-se os coeficientes na linha superior:

\[ \begin{array}{r|rrrr} -3 & 2 & 1 & -13 & 6 \end{array} \]

Aplicação passo a passo da regra

Passo 1: transcreve-se o primeiro coeficiente para a linha inferior sem o modificar.

\[ 2 \]

Passo 2: multiplica-se o valor que se acabou de escrever por \(a = -3\) e coloca-se o resultado por baixo do coeficiente seguinte:

\[ 2 \cdot (-3) = -6 \]

Passo 3: somam-se os valores presentes na coluna:

\[ 1 + (-6) = -5 \]

Passo 4: repete-se o procedimento: multiplica-se o valor obtido por \(-3\) e soma-se:

\[ -5 \cdot (-3) = 15 \] \[ -13 + 15 = 2 \]

Passo 5: executa-se o último passo:

\[ 2 \cdot (-3) = -6 \] \[ 6 + (-6) = 0 \]

Esquema completo

\[ \begin{array}{r|rrrr} -3 & 2 & 1 & -13 & 6 \\ & & -6 & 15 & -6 \\ \hline & 2 & -5 & 2 & 0 \end{array} \]

Interpretação do resultado

Os valores obtidos na linha inferior, exceptuando o último, representam os coeficientes do polinómio quociente. O coeficiente director \(2\) do dividendo aparece como primeiro coeficiente do quociente: \[ 2x^2 - 5x + 2 \]

O último valor é o resto da divisão: \[ r = 0 \] Como o resto é nulo, a divisão é exacta.

Resultado

\[ \boxed{2x^2 - 5x + 2} \]

Conclusão

Sendo o resto nulo, o polinómio inicial é divisível por \(x + 3\) e pode escrever-se como: \[ 2x^3 + x^2 - 13x + 6 = (x + 3)(2x^2 - 5x + 2) \]

\[ x^2 + 2x - 3 \]

Estratégia de resolução

Aplicar a regra de Ruffini não se limita a obter quociente e resto: quando o resto é nulo, \(a\) é uma raiz do polinómio dividendo. Neste exercício obteremos o quociente \(x^2 + 2x - 3\), que também é factorizável como \((x - 1)(x + 3)\). Isto significa que \(x = 1\) é uma raiz dupla e \(x = -3\) é mais uma raiz, e a decomposição completa do polinómio inicial é \((x-1)^2(x+3)\). Ruffini é assim o primeiro passo de uma cadeia de factorizações.

Identificação do valor a utilizar

O divisor é \(x - 1\), já escrito na forma canónica \(x - a\). O valor que anula o divisor é: \[ x - 1 = 0 \;\Rightarrow\; x = 1 \] Portanto: \[ a = 1 \]

Escrita dos coeficientes

O polinómio já se encontra ordenado por potências decrescentes: \[ x^3 + x^2 - 5x + 3 \] Os coeficientes associados são: \[ 1 \quad 1 \quad -5 \quad 3 \]

Construção do esquema de Ruffini

Coloca-se o valor \(a = 1\) à esquerda e escrevem-se os coeficientes na linha superior:

\[ \begin{array}{r|rrrr} 1 & 1 & 1 & -5 & 3 \end{array} \]

Aplicação passo a passo da regra

Passo 1: transcreve-se o primeiro coeficiente para a linha inferior sem o modificar.

\[ 1 \]

Passo 2: multiplica-se o valor que se acabou de escrever por \(a = 1\) e coloca-se o resultado por baixo do coeficiente seguinte:

\[ 1 \cdot 1 = 1 \]

Passo 3: somam-se os valores presentes na coluna:

\[ 1 + 1 = 2 \]

Passo 4: repete-se o procedimento: multiplica-se o valor obtido por \(1\) e soma-se:

\[ 2 \cdot 1 = 2 \] \[ -5 + 2 = -3 \]

Passo 5: executa-se o último passo:

\[ -3 \cdot 1 = -3 \] \[ 3 + (-3) = 0 \]

Esquema completo

\[ \begin{array}{r|rrrr} 1 & 1 & 1 & -5 & 3 \\ & & 1 & 2 & -3 \\ \hline & 1 & 2 & -3 & 0 \end{array} \]

Interpretação do resultado

Os valores obtidos na linha inferior, exceptuando o último, representam os coeficientes do polinómio quociente: \[ x^2 + 2x - 3 \]

O último valor é o resto da divisão: \[ r = 0 \] Como o resto é nulo, a divisão é exacta.

Resultado

\[ \boxed{x^2 + 2x - 3} \]

Conclusão

Sendo o resto nulo, o polinómio inicial é divisível por \(x - 1\) e pode escrever-se como: \[ x^3 + x^2 - 5x + 3 = (x - 1)(x^2 + 2x - 3) \] Factorizando ulteriormente o quociente, obtém-se a decomposição completa: \[ x^3 + x^2 - 5x + 3 = (x - 1)^2(x + 3) \]

\[ 3x^2 + 5x - 2 \]

Estratégia de resolução

Chegados ao vigésimo exercício, podemos fazer um balanço do método. A regra de Ruffini demonstrou ser aplicável de modo uniforme, independentemente do sinal da raiz, do valor absoluto dos coeficientes ou do coeficiente director do dividendo. A única condição necessária permanece que o divisor seja um binómio mónico do primeiro grau \(x - a\): quando esta condição se verifica, o esquema a três linhas fornece sempre quociente e resto de forma rápida e controlável.

Identificação do valor a utilizar

O divisor é \(x - 1\), já escrito na forma canónica \(x - a\). O valor que anula o divisor é: \[ x - 1 = 0 \;\Rightarrow\; x = 1 \] Portanto: \[ a = 1 \]

Escrita dos coeficientes

O polinómio já se encontra ordenado por potências decrescentes: \[ 3x^3 + 2x^2 - 7x + 2 \] Os coeficientes associados são: \[ 3 \quad 2 \quad -7 \quad 2 \]

Construção do esquema de Ruffini

Coloca-se o valor \(a = 1\) à esquerda e escrevem-se os coeficientes na linha superior:

\[ \begin{array}{r|rrrr} 1 & 3 & 2 & -7 & 2 \end{array} \]

Aplicação passo a passo da regra

Passo 1: transcreve-se o primeiro coeficiente para a linha inferior sem o modificar.

\[ 3 \]

Passo 2: multiplica-se o valor que se acabou de escrever por \(a = 1\) e coloca-se o resultado por baixo do coeficiente seguinte:

\[ 3 \cdot 1 = 3 \]

Passo 3: somam-se os valores presentes na coluna:

\[ 2 + 3 = 5 \]

Passo 4: repete-se o procedimento: multiplica-se o valor obtido por \(1\) e soma-se:

\[ 5 \cdot 1 = 5 \] \[ -7 + 5 = -2 \]

Passo 5: executa-se o último passo:

\[ -2 \cdot 1 = -2 \] \[ 2 + (-2) = 0 \]

Esquema completo

\[ \begin{array}{r|rrrr} 1 & 3 & 2 & -7 & 2 \\ & & 3 & 5 & -2 \\ \hline & 3 & 5 & -2 & 0 \end{array} \]

Interpretação do resultado

Os valores obtidos na linha inferior, exceptuando o último, representam os coeficientes do polinómio quociente. O coeficiente director \(3\) do dividendo conserva-se inalterado como primeiro coeficiente do quociente: \[ 3x^2 + 5x - 2 \]

O último valor é o resto da divisão: \[ r = 0 \] Como o resto é nulo, a divisão é exacta.

Resultado

\[ \boxed{3x^2 + 5x - 2} \]

Conclusão

Sendo o resto nulo, o polinómio inicial é divisível por \(x - 1\) e pode escrever-se como: \[ 3x^3 + 2x^2 - 7x + 2 = (x - 1)(3x^2 + 5x - 2) \]