Uma colecção progressiva de 20 exercícios resolvidos sobre sistemas de equações do segundo grau, concebida para aprender a resolver sistemas não lineares mediante substituição, comparação e utilização de identidades algébricas.
Os exercícios estão ordenados de forma gradual: começa-se por sistemas muito simples até chegar a problemas mais elaborados com múltiplas soluções, radicais e sistemas impossíveis.
Em cada resolução serão apresentados todos os passos fundamentais, prestando atenção tanto aos cálculos como à verificação final das soluções obtidas.
Exercício 1 — nível ★☆☆☆☆
Resolver o sistema:
\[ \begin{cases} y=x^2,\\ y=4. \end{cases} \]
Resultado
\[ S=\{(-2,4),(2,4)\}. \]
Resolução
Ambas as equações exprimem o valor de \(y\). Para que o sistema seja satisfeito, os dois valores devem coincidir.
Igualamos portanto os segundos membros:
\[ x^2=4. \]
Procuramos os números cujo quadrado é igual a \(4\). Obtemos:
\[ x=2 \qquad \text{ou} \qquad x=-2. \]
Da segunda equação sabemos que:
\[ y=4. \]
Portanto os pares solução são:
\[ (2,4) \qquad \text{e} \qquad (-2,4). \]
Assim:
\[ S=\{(-2,4),(2,4)\}. \]
Exercício 2 — nível ★☆☆☆☆
Resolver o sistema:
\[ \begin{cases} y=x^2,\\ y=x+2. \end{cases} \]
Resultado
\[ S=\{(-1,1),(2,4)\}. \]
Resolução
Também neste caso ambas as equações fornecem o valor de \(y\). Igualamos portanto os segundos membros:
\[ x^2=x+2. \]
Passamos tudo para o primeiro membro:
\[ x^2-x-2=0. \]
Factorizamos o trinómio:
\[ x^2-x-2=(x-2)(x+1). \]
Obtemos assim:
\[ (x-2)(x+1)=0. \]
Um produto é nulo quando pelo menos um dos factores é nulo. Logo:
\[ x=2 \qquad \text{ou} \qquad x=-1. \]
Calculamos agora o valor de \(y\) usando:
\[ y=x+2. \]
Se \(x=2\), obtemos:
\[ y=2+2=4. \]
Se \(x=-1\), obtemos:
\[ y=-1+2=1. \]
Portanto:
\[ S=\{(-1,1),(2,4)\}. \]
Exercício 3 — nível ★☆☆☆☆
Resolver o sistema:
\[ \begin{cases} x+y=5,\\ xy=6. \end{cases} \]
Resultado
\[ S=\{(2,3),(3,2)\}. \]
Resolução
Da primeira equação deduzimos \(y\):
\[ y=5-x. \]
Substituímos esta expressão na segunda equação:
\[ x(5-x)=6. \]
Desenvolvemos o produto:
\[ 5x-x^2=6. \]
Passamos tudo para o primeiro membro:
\[ x^2-5x+6=0. \]
Factorizamos:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Logo:
\[ x=2 \qquad \text{ou} \qquad x=3. \]
Determinamos os valores correspondentes de \(y\).
Se \(x=2\):
\[ y=5-2=3. \]
Se \(x=3\):
\[ y=5-3=2. \]
Portanto:
\[ S=\{(2,3),(3,2)\}. \]
Exercício 4 — nível ★☆☆☆☆
Resolver o sistema:
\[ \begin{cases} x-y=1,\\ xy=12. \end{cases} \]
Resultado
\[ S=\{(-3,-4),(4,3)\}. \]
Resolução
Da primeira equação obtemos:
\[ x=y+1. \]
Substituímos na segunda equação:
\[ (y+1)y=12. \]
Desenvolvendo obtemos:
\[ y^2+y=12. \]
Passamos tudo para o primeiro membro:
\[ y^2+y-12=0. \]
Factorizamos:
\[ y^2+y-12=(y+4)(y-3). \]
Logo:
\[ y=-4 \qquad \text{ou} \qquad y=3. \]
Calculamos agora \(x\).
Se \(y=-4\):
\[ x=-4+1=-3. \]
Se \(y=3\):
\[ x=3+1=4. \]
Portanto:
\[ S=\{(-3,-4),(4,3)\}. \]
Exercício 5 — nível ★★☆☆☆
Resolver o sistema:
\[ \begin{cases} x^2+y^2=25,\\ x+y=7. \end{cases} \]
Resultado
\[ S=\{(3,4),(4,3)\}. \]
Resolução
Da segunda equação obtemos:
\[ y=7-x. \]
Substituímos na primeira:
\[ x^2+(7-x)^2=25. \]
Desenvolvemos o quadrado:
\[ (7-x)^2=x^2-14x+49. \]
Obtemos assim:
\[ x^2+x^2-14x+49=25. \]
Simplificamos:
\[ 2x^2-14x+49=25. \]
Passamos tudo para o primeiro membro:
\[ 2x^2-14x+24=0. \]
Dividimos por \(2\):
\[ x^2-7x+12=0. \]
Factorizamos:
\[ x^2-7x+12=(x-3)(x-4). \]
Donde:
\[ x=3 \qquad \text{ou} \qquad x=4. \]
Determinamos os valores de \(y\).
Se \(x=3\):
\[ y=7-3=4. \]
Se \(x=4\):
\[ y=7-4=3. \]
Portanto:
\[ S=\{(3,4),(4,3)\}. \]
Exercício 6 — nível ★★☆☆☆
Resolver o sistema:
\[ \begin{cases} x^2+y=12,\\ x+y=6. \end{cases} \]
Resultado
\[ S=\{(-2,8),(3,3)\}. \]
Resolução
Da segunda equação deduzimos \(y\):
\[ y=6-x. \]
Substituímos na primeira equação:
\[ x^2+(6-x)=12. \]
Simplificando:
\[ x^2-x+6=12. \]
Passamos tudo para o primeiro membro:
\[ x^2-x-6=0. \]
Factorizamos:
\[ x^2-x-6=(x-3)(x+2). \]
Logo:
\[ x=3 \qquad \text{ou} \qquad x=-2. \]
Calculamos os valores correspondentes de \(y\).
Se \(x=3\):
\[ y=6-3=3. \]
Se \(x=-2\):
\[ y=6-(-2)=8. \]
Portanto:
\[ S=\{(-2,8),(3,3)\}. \]
Exercício 7 — nível ★★☆☆☆
Resolver o sistema:
\[ \begin{cases} y=x^2-1,\\ y=2x+2. \end{cases} \]
Resultado
\[ S=\{(-1,0),(3,8)\}. \]
Resolução
Ambas as equações exprimem \(y\). Igualamos portanto os segundos membros:
\[ x^2-1=2x+2. \]
Passamos tudo para o primeiro membro:
\[ x^2-2x-3=0. \]
Factorizamos:
\[ x^2-2x-3=(x-3)(x+1). \]
Logo:
\[ x=3 \qquad \text{ou} \qquad x=-1. \]
Calculamos \(y\) usando a equação linear:
\[ y=2x+2. \]
Se \(x=3\):
\[ y=2\cdot 3+2=8. \]
Se \(x=-1\):
\[ y=2\cdot(-1)+2=0. \]
Portanto:
\[ S=\{(-1,0),(3,8)\}. \]
Exercício 8 — nível ★★☆☆☆
Resolver o sistema:
\[ \begin{cases} x^2+y^2=13,\\ x-y=1. \end{cases} \]
Resultado
\[ S=\{(-2,-3),(3,2)\}. \]
Resolução
Da segunda equação obtemos:
\[ x=y+1. \]
Substituímos na primeira equação:
\[ (y+1)^2+y^2=13. \]
Desenvolvemos:
\[ y^2+2y+1+y^2=13. \]
Simplificamos:
\[ 2y^2+2y+1=13. \]
Passamos tudo para o primeiro membro:
\[ 2y^2+2y-12=0. \]
Dividimos por \(2\):
\[ y^2+y-6=0. \]
Factorizamos:
\[ y^2+y-6=(y+3)(y-2). \]
Logo:
\[ y=-3 \qquad \text{ou} \qquad y=2. \]
Calculamos \(x\) a partir de \(x=y+1\).
Se \(y=-3\):
\[ x=-3+1=-2. \]
Se \(y=2\):
\[ x=2+1=3. \]
Portanto:
\[ S=\{(-2,-3),(3,2)\}. \]
Exercício 9 — nível ★★☆☆☆
Resolver o sistema:
\[ \begin{cases} x^2-y=8,\\ x+y=4. \end{cases} \]
Resultado
\[ S=\{(-4,8),(3,1)\}. \]
Resolução
Da segunda equação obtemos:
\[ y=4-x. \]
Substituímos na primeira equação:
\[ x^2-(4-x)=8. \]
Prestemos atenção ao sinal menos antes do parêntesis:
\[ x^2-4+x=8. \]
Passamos tudo para o primeiro membro:
\[ x^2+x-12=0. \]
Factorizamos:
\[ x^2+x-12=(x+4)(x-3). \]
Logo:
\[ x=-4 \qquad \text{ou} \qquad x=3. \]
Calculamos \(y\) usando \(y=4-x\).
Se \(x=-4\):
\[ y=4-(-4)=8. \]
Se \(x=3\):
\[ y=4-3=1. \]
Portanto:
\[ S=\{(-4,8),(3,1)\}. \]
Exercício 10 — nível ★★☆☆☆
Resolver o sistema:
\[ \begin{cases} x^2+y^2=10,\\ y=x+2. \end{cases} \]
Resultado
\[ S=\{(-3,-1),(1,3)\}. \]
Resolução
A segunda equação dá já \(y\) em função de \(x\):
\[ y=x+2. \]
Substituímos na primeira:
\[ x^2+(x+2)^2=10. \]
Desenvolvemos o quadrado:
\[ (x+2)^2=x^2+4x+4. \]
Obtemos assim:
\[ x^2+x^2+4x+4=10. \]
Simplificamos:
\[ 2x^2+4x+4=10. \]
Passamos tudo para o primeiro membro:
\[ 2x^2+4x-6=0. \]
Dividimos por \(2\):
\[ x^2+2x-3=0. \]
Factorizamos:
\[ x^2+2x-3=(x+3)(x-1). \]
Logo:
\[ x=-3 \qquad \text{ou} \qquad x=1. \]
Determinamos \(y\).
Se \(x=-3\):
\[ y=-3+2=-1. \]
Se \(x=1\):
\[ y=1+2=3. \]
Portanto:
\[ S=\{(-3,-1),(1,3)\}. \]
Exercício 11 — nível ★★★☆☆
Resolver o sistema:
\[ \begin{cases} x^2+y^2=20,\\ x-y=2. \end{cases} \]
Resultado
\[ S=\{(-2,-4),(4,2)\}. \]
Resolução
Da segunda equação obtemos:
\[ x=y+2. \]
Substituímos na primeira equação:
\[ (y+2)^2+y^2=20. \]
Desenvolvemos o quadrado:
\[ (y+2)^2=y^2+4y+4. \]
Obtemos assim:
\[ y^2+4y+4+y^2=20. \]
Simplificamos:
\[ 2y^2+4y+4=20. \]
Passamos tudo para o primeiro membro:
\[ 2y^2+4y-16=0. \]
Dividimos por \(2\):
\[ y^2+2y-8=0. \]
Factorizamos:
\[ y^2+2y-8=(y+4)(y-2). \]
Donde:
\[ y=-4 \qquad \text{ou} \qquad y=2. \]
Determinamos \(x\) usando \(x=y+2\).
Se \(y=-4\):
\[ x=-4+2=-2. \]
Se \(y=2\):
\[ x=2+2=4. \]
Portanto:
\[ S=\{(-2,-4),(4,2)\}. \]
Exercício 12 — nível ★★★☆☆
Resolver o sistema:
\[ \begin{cases} x+y=1,\\ x^2+y^2=13. \end{cases} \]
Resultado
\[ S=\{(-2,3),(3,-2)\}. \]
Resolução
Da primeira equação obtemos:
\[ y=1-x. \]
Substituímos na segunda equação:
\[ x^2+(1-x)^2=13. \]
Desenvolvemos:
\[ (1-x)^2=x^2-2x+1. \]
Obtemos assim:
\[ x^2+x^2-2x+1=13. \]
Simplificamos:
\[ 2x^2-2x+1=13. \]
Passamos tudo para o primeiro membro:
\[ 2x^2-2x-12=0. \]
Dividimos por \(2\):
\[ x^2-x-6=0. \]
Factorizamos:
\[ x^2-x-6=(x-3)(x+2). \]
Donde:
\[ x=3 \qquad \text{ou} \qquad x=-2. \]
Calculamos \(y\) usando \(y=1-x\).
Se \(x=3\):
\[ y=1-3=-2. \]
Se \(x=-2\):
\[ y=1-(-2)=3. \]
Portanto:
\[ S=\{(-2,3),(3,-2)\}. \]
Exercício 13 — nível ★★★☆☆
Resolver o sistema:
\[ \begin{cases} y=x^2-4x,\\ y=-3. \end{cases} \]
Resultado
\[ S=\{(1,-3),(3,-3)\}. \]
Resolução
A segunda equação fornece directamente o valor de \(y\):
\[ y=-3. \]
Substituímos este valor na primeira equação:
\[ -3=x^2-4x. \]
Passamos tudo para um só membro:
\[ x^2-4x+3=0. \]
Factorizamos:
\[ x^2-4x+3=(x-1)(x-3). \]
Logo:
\[ x=1 \qquad \text{ou} \qquad x=3. \]
Em ambos os casos o valor de \(y\) é o mesmo, isto é:
\[ y=-3. \]
Obtemos assim:
\[ (1,-3) \qquad \text{e} \qquad (3,-3). \]
Portanto:
\[ S=\{(1,-3),(3,-3)\}. \]
Exercício 14 — nível ★★★☆☆
Resolver o sistema:
\[ \begin{cases} x^2+y=10,\\ y=x+4. \end{cases} \]
Resultado
\[ S=\{(-3,1),(2,6)\}. \]
Resolução
A segunda equação dá já \(y\) em função de \(x\):
\[ y=x+4. \]
Substituímos na primeira:
\[ x^2+(x+4)=10. \]
Obtemos:
\[ x^2+x+4=10. \]
Passamos tudo para o primeiro membro:
\[ x^2+x-6=0. \]
Factorizamos:
\[ x^2+x-6=(x+3)(x-2). \]
Logo:
\[ x=-3 \qquad \text{ou} \qquad x=2. \]
Calculamos os valores correspondentes de \(y\).
Se \(x=-3\):
\[ y=-3+4=1. \]
Se \(x=2\):
\[ y=2+4=6. \]
Portanto:
\[ S=\{(-3,1),(2,6)\}. \]
Exercício 15 — nível ★★★☆☆
Resolver o sistema:
\[ \begin{cases} x^2+y^2=5,\\ xy=2. \end{cases} \]
Resultado
\[ S=\{(-2,-1),(-1,-2),(1,2),(2,1)\}. \]
Resolução
O sistema contém a soma dos quadrados e o produto \(xy\). Usamos a identidade:
\[ (x+y)^2=x^2+2xy+y^2. \]
Como:
\[ x^2+y^2=5 \qquad \text{e} \qquad xy=2, \]
obtemos:
\[ (x+y)^2=5+2\cdot 2=9. \]
Logo:
\[ x+y=3 \qquad \text{ou} \qquad x+y=-3. \]
Estudamos separadamente os dois casos.
Se:
\[ x+y=3 \qquad \text{e} \qquad xy=2, \]
os dois números são \(1\) e \(2\). Obtemos assim:
\[ (1,2) \qquad \text{e} \qquad (2,1). \]
Se, pelo contrário:
\[ x+y=-3 \qquad \text{e} \qquad xy=2, \]
os dois números são \(-1\) e \(-2\). Obtemos assim:
\[ (-1,-2) \qquad \text{e} \qquad (-2,-1). \]
Portanto:
\[ S=\{(-2,-1),(-1,-2),(1,2),(2,1)\}. \]
Exercício 16 — nível ★★★☆☆
Resolver o sistema:
\[ \begin{cases} x+y=4,\\ x^2+y^2=10. \end{cases} \]
Resultado
\[ S=\{(1,3),(3,1)\}. \]
Resolução
Da primeira equação obtemos:
\[ y=4-x. \]
Substituímos esta expressão na segunda equação:
\[ x^2+(4-x)^2=10. \]
Desenvolvemos o quadrado:
\[ (4-x)^2=x^2-8x+16. \]
Obtemos assim:
\[ x^2+x^2-8x+16=10. \]
Reduzimos os termos semelhantes:
\[ 2x^2-8x+16=10. \]
Passamos tudo para o primeiro membro:
\[ 2x^2-8x+6=0. \]
Dividimos por \(2\):
\[ x^2-4x+3=0. \]
Factorizamos o trinómio:
\[ x^2-4x+3=(x-1)(x-3). \]
Portanto:
\[ x=1 \qquad \text{ou} \qquad x=3. \]
Calculamos os valores correspondentes de \(y\) usando \(y=4-x\).
Se \(x=1\):
\[ y=4-1=3. \]
Se \(x=3\):
\[ y=4-3=1. \]
Logo:
\[ S=\{(1,3),(3,1)\}. \]
Exercício 17 — nível ★★★★☆
Resolver o sistema:
\[ \begin{cases} x^2+y^2=25,\\ xy=12. \end{cases} \]
Resultado
\[ S=\{(-4,-3),(-3,-4),(3,4),(4,3)\}. \]
Resolução
O sistema contém \(x^2+y^2\) e \(xy\). Para obter informação sobre a soma \(x+y\), usamos a identidade:
\[ (x+y)^2=x^2+2xy+y^2. \]
Do sistema sabemos que:
\[ x^2+y^2=25 \qquad \text{e} \qquad xy=12. \]
Logo:
\[ (x+y)^2=25+2\cdot 12=49. \]
Donde obtemos duas possibilidades:
\[ x+y=7 \qquad \text{ou} \qquad x+y=-7. \]
Estudamos separadamente os dois casos.
Se:
\[ x+y=7 \qquad \text{e} \qquad xy=12, \]
os dois números são \(3\) e \(4\). Obtemos assim:
\[ (3,4) \qquad \text{e} \qquad (4,3). \]
Se, pelo contrário:
\[ x+y=-7 \qquad \text{e} \qquad xy=12, \]
os dois números são \(-3\) e \(-4\). Obtemos assim:
\[ (-3,-4) \qquad \text{e} \qquad (-4,-3). \]
Portanto:
\[ S=\{(-4,-3),(-3,-4),(3,4),(4,3)\}. \]
Exercício 18 — nível ★★★★☆
Resolver o sistema:
\[ \begin{cases} x^2+y^2=8,\\ x-y=2. \end{cases} \]
Resultado
\[ S= \left\{ \left(1+\sqrt{3},-1+\sqrt{3}\right), \left(1-\sqrt{3},-1-\sqrt{3}\right) \right\}. \]
Resolução
Da segunda equação obtemos:
\[ x=y+2. \]
Substituímos na primeira equação:
\[ (y+2)^2+y^2=8. \]
Desenvolvemos o quadrado:
\[ (y+2)^2=y^2+4y+4. \]
Obtemos assim:
\[ y^2+4y+4+y^2=8. \]
Simplificamos:
\[ 2y^2+4y+4=8. \]
Passamos tudo para o primeiro membro:
\[ 2y^2+4y-4=0. \]
Dividimos por \(2\):
\[ y^2+2y-2=0. \]
Esta equação não se factoriza com números inteiros, pelo que usamos a fórmula resolvente:
\[ y=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot 1\cdot(-2)}}{2}. \]
Calculamos o discriminante:
\[ \Delta=4+8=12. \]
Logo:
\[ y=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}. \]
Como \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), obtemos:
\[ y=\frac{-2\pm 2\sqrt{3}}{2} = -1\pm\sqrt{3}. \]
Determinamos agora \(x\) usando \(x=y+2\).
Se:
\[ y=-1+\sqrt{3}, \]
então:
\[ x=-1+\sqrt{3}+2=1+\sqrt{3}. \]
Se:
\[ y=-1-\sqrt{3}, \]
então:
\[ x=-1-\sqrt{3}+2=1-\sqrt{3}. \]
Portanto:
\[ S= \left\{ \left(1+\sqrt{3},-1+\sqrt{3}\right), \left(1-\sqrt{3},-1-\sqrt{3}\right) \right\}. \]
Exercício 19 — nível ★★★★☆
Resolver o sistema:
\[ \begin{cases} x^2+y^2=1,\\ x+y=3. \end{cases} \]
Resultado
\[ S=\varnothing. \]
Resolução
Da segunda equação obtemos:
\[ y=3-x. \]
Substituímos na primeira equação:
\[ x^2+(3-x)^2=1. \]
Desenvolvemos o quadrado:
\[ (3-x)^2=x^2-6x+9. \]
Obtemos assim:
\[ x^2+x^2-6x+9=1. \]
Simplificamos:
\[ 2x^2-6x+9=1. \]
Passamos tudo para o primeiro membro:
\[ 2x^2-6x+8=0. \]
Dividimos por \(2\):
\[ x^2-3x+4=0. \]
Calculamos o discriminante:
\[ \Delta=(-3)^2-4\cdot 1\cdot 4=9-16=-7. \]
Como \(\Delta<0\), a equação não tem soluções reais.
Por conseguinte, o sistema não admite soluções reais:
\[ S=\varnothing. \]
Exercício 20 — nível ★★★★★
Resolver o sistema:
\[ \begin{cases} x^2+y^2=13,\\ x^2-y^2=5. \end{cases} \]
Resultado
\[ S=\{(-3,-2),(-3,2),(3,-2),(3,2)\}. \]
Resolução
Neste sistema aparecem \(x^2+y^2\) e \(x^2-y^2\). Convém somar e subtrair as duas equações entre si, de modo a obter separadamente \(x^2\) e \(y^2\).
Somamos membro a membro:
\[ (x^2+y^2)+(x^2-y^2)=13+5. \]
No primeiro membro \(+y^2\) e \(-y^2\) eliminam-se:
\[ 2x^2=18. \]
Logo:
\[ x^2=9. \]
Donde:
\[ x=3 \qquad \text{ou} \qquad x=-3. \]
Agora subtraímos a segunda equação da primeira:
\[ (x^2+y^2)-(x^2-y^2)=13-5. \]
No primeiro membro \(x^2\) elimina-se e obtemos:
\[ 2y^2=8. \]
Logo:
\[ y^2=4. \]
Donde:
\[ y=2 \qquad \text{ou} \qquad y=-2. \]
Como as equações dependem apenas de \(x^2\) e \(y^2\), todas as combinações de sinais são admissíveis.
Portanto:
\[ S=\{(-3,-2),(-3,2),(3,-2),(3,2)\}. \]