Coletânea de exercícios sobre sistemas de equações com os métodos de substituição, adição (eliminação) e escalonamento. Inclui sistemas com 2 e 3 incógnitas, casos particulares, como sistemas possíveis indeterminados e sistemas impossíveis, e alguns sistemas não lineares simples.
Antes de começar, lembre-se dos principais métodos:
• Substituição: isole uma das variáveis e substitua-a na outra equação.
• Adição (eliminação): multiplique as equações de modo que os coeficientes de uma variável fiquem iguais ou opostos e, em seguida, some ou subtraia as equações.
• Escalonamento: reduza o sistema à forma escalonada (técnica útil em sistemas com três variáveis).
Verifique sempre as soluções substituindo-as nas equações originais.
Exercício 1 — nível ★★☆☆☆
\[ \begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases} \]
Resultado
\( x = 3 \quad y = 2 \)
Resolução
Método da adição
Somando membro a membro, eliminamos \( y \):
\( (x + y) + (x - y) = 5 + 1 \implies 2x = 6 \implies x = 3 \)
Substituindo na primeira equação: \( 3 + y = 5 \implies y = 2 \).
Verificação
\( 3 + 2 = 5 \) e \( 3 - 2 = 1 \)
Resultado: \(\boxed{x = 3 \quad y = 2}\)
Exercício 2 — nível ★★☆☆☆
\[ \begin{cases} x - 2y = 0 \\ x + y = 6 \end{cases} \]
Resultado
\( x = 4 \quad y = 2 \)
Resolução
Método da substituição
Da primeira equação obtemos \( x = 2y \). Substituindo na segunda:
\( 2y + y = 6 \implies 3y = 6 \implies y = 2 \), de modo que \( x = 4 \).
Verificação
\( 4 - 4 = 0 \) e \( 4 + 2 = 6 \)
Resultado: \(\boxed{x = 4 \quad y = 2}\)
Exercício 3 — nível ★★☆☆☆
\[ \begin{cases} 3x + y = 10 \\ x + 3y = 6 \end{cases} \]
Resultado
\( x = 3 \quad y = 1 \)
Resolução
Método da substituição
Isolando \( y \) na primeira: \( y = 10 - 3x \). Substituindo na segunda:
\( x + 3(10 - 3x) = 6 \implies x + 30 - 9x = 6 \implies -8x = -24 \implies x = 3 \)
Em seguida, \( y = 10 - 9 = 1 \).
Verificação
\( 9 + 1 = 10 \) e \( 3 + 3 = 6 \)
Resultado: \(\boxed{x = 3 \quad y = 1}\)
Exercício 4 — nível ★★☆☆☆
\[ \begin{cases} 5x + 2y = 14 \\ x + y = 4 \end{cases} \]
Resultado
\( x = 2 \quad y = 2 \)
Resolução
Método da substituição
Da segunda: \( x = 4 - y \). Substituindo na primeira:
\( 5(4 - y) + 2y = 14 \implies 20 - 5y + 2y = 14 \implies -3y = -6 \implies y = 2 \)
Logo, \( x = 4 - 2 = 2 \).
Verificação
\( 10 + 4 = 14 \) e \( 2 + 2 = 4 \)
Resultado: \(\boxed{x = 2 \quad y = 2}\)
Exercício 5 — nível ★★★☆☆
\[ \begin{cases} 2x - 3y = 1 \\ 4x + y = 9 \end{cases} \]
Resultado
\( x = 2 \quad y = 1 \)
Resolução
Método da adição
Multiplicamos a segunda equação por 3 para que os coeficientes de \( y \) fiquem opostos:
\( \begin{cases} 2x - 3y = 1 \\ 12x + 3y = 27 \end{cases} \)
Somando: \( 14x = 28 \implies x = 2 \). Em seguida, \( y = 1 \).
Verificação
\( 4 - 3 = 1 \) e \( 8 + 1 = 9 \)
Resultado: \(\boxed{x = 2 \quad y = 1}\)
Exercício 6 — nível ★★★☆☆
\[ \begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ 5x - 2y = 4 \end{cases} \]
Resultado
\( x = 2 \quad y = 3 \)
Resolução
Método da adição
Os coeficientes de \( y \) já são opostos. Somando as equações:
\( 8x = 16 \implies x = 2 \). Em seguida, \( y = 3 \).
Verificação
\( 6 + 6 = 12 \) e \( 10 - 6 = 4 \)
Resultado: \(\boxed{x = 2 \quad y = 3}\)
Exercício 7 — nível ★★★☆☆
\[ \begin{cases} \dfrac{x}{3} + y = 3 \\ x + \dfrac{y}{2} = 4 \end{cases} \]
Resultado
\( x = 3 \quad y = 2 \)
Resolução
Eliminação dos denominadores
Primeira equação ×3: \( x + 3y = 9 \)
Segunda equação ×2: \( 2x + y = 8 \)
Da primeira: \( x = 9 - 3y \). Substituindo: \( 2(9 - 3y) + y = 8 \implies y = 2 \), portanto \( x = 3 \).
Verificação
\( 1 + 2 = 3 \) e \( 3 + 1 = 4 \)
Resultado: \(\boxed{x = 3 \quad y = 2}\)
Exercício 8 — nível ★★★☆☆
\[ \begin{cases} 4x - 3y = -1 \\ 2x + 5y = 19 \end{cases} \]
Resultado
\( x = 2 \quad y = 3 \)
Resolução
Método da adição
Segunda equação ×2: \( 4x + 10y = 38 \). Subtraindo a primeira:
\( 13y = 39 \implies y = 3 \). Em seguida, \( x = 2 \).
Verificação
\( 8 - 9 = -1 \) e \( 4 + 15 = 19 \)
Resultado: \(\boxed{x = 2 \quad y = 3}\)
Exercício 9 — nível ★★★☆☆
\[ \begin{cases} 2x + 3y = 6 \\ 4x + 6y = 12 \end{cases} \]
Resultado
Infinitas soluções
Resolução
Análise do sistema
Multiplicando a primeira equação por 2 obtemos a segunda: as duas equações são equivalentes (representam a mesma reta).
Trata-se de um sistema possível e indeterminado (SPI). Soluções: \( x = \frac{6 - 3t}{2} \), \( y = t \) com \( t \in \mathbb{R} \).
Resultado: \(\boxed{\text{Infinitas soluções: } x = \dfrac{6-3t}{2},\ y = t \ (t \in \mathbb{R})}\)
Exercício 10 — nível ★★★☆☆
\[ \begin{cases} 3x - y = 5 \\ 6x - 2y = 8 \end{cases} \]
Resultado
Sem solução
Resolução
Análise do sistema
Multiplicando a primeira por 2: \( 6x - 2y = 10 \), o que contradiz a segunda equação.
As retas são paralelas e distintas → sistema impossível (SI).
Resultado: \(\boxed{\text{Sistema impossível — não admite solução}}\)
Exercício 11 — nível ★★★☆☆
\[ \begin{cases} \dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} = 4 \\ \dfrac{x}{4} - \dfrac{y}{6} = 0 \end{cases} \]
Resultado
\( x = 4 \quad y = 6 \)
Resolução
Eliminação dos denominadores
Primeira equação ×6: \( 3x + 2y = 24 \)
Segunda equação ×12: \( 3x - 2y = 0 \)
Método da adição
Somando as duas equações, eliminamos \( y \):
\( 6x = 24 \implies x = 4 \)
Substituindo na segunda: \( 12 - 2y = 0 \implies y = 6 \).
Verificação
\( \dfrac{4}{2} + \dfrac{6}{3} = 2 + 2 = 4 \) e \( \dfrac{4}{4} - \dfrac{6}{6} = 1 - 1 = 0 \)
Resultado: \(\boxed{x = 4 \quad y = 6}\)
Exercício 12 — nível ★★★☆☆
\[ \begin{cases} 7x - 2y = 16 \\ 3x + 4y = 2 \end{cases} \]
Resultado
\( x = 2 \quad y = -1 \)
Resolução
Método da adição
Multiplicamos a primeira equação por 2 para tornar opostos os coeficientes de \( y \):
\( \begin{cases} 14x - 4y = 32 \\ 3x + 4y = 2 \end{cases} \)
Somando: \( 17x = 34 \implies x = 2 \).
Substituindo na segunda: \( 6 + 4y = 2 \implies y = -1 \).
Verificação
\( 14 + 2 = 16 \) e \( 6 - 4 = 2 \)
Resultado: \(\boxed{x = 2 \quad y = -1}\)
Exercício 13 — nível ★★★☆☆
\[ \begin{cases} 4x + 3y = 17 \\ 5x - 2y = 4 \end{cases} \]
Resultado
\( x = 2 \quad y = 3 \)
Resolução
Método da adição (dupla multiplicação)
Para eliminar \( y \), multiplicamos a primeira equação por 2 e a segunda por 3:
\( \begin{cases} 8x + 6y = 34 \\ 15x - 6y = 12 \end{cases} \)
Somando: \( 23x = 46 \implies x = 2 \).
Substituindo na primeira: \( 8 + 3y = 17 \implies y = 3 \).
Verificação
\( 8 + 9 = 17 \) e \( 10 - 6 = 4 \)
Resultado: \(\boxed{x = 2 \quad y = 3}\)
Exercício 14 — nível ★★★☆☆
\[ \begin{cases} 2(x + 1) - y = 5 \\ x - (y - 3) = 4 \end{cases} \]
Resultado
\( x = 2 \quad y = 1 \)
Resolução
Simplificação prévia
Desenvolvendo os parênteses:
\( 2x + 2 - y = 5 \implies 2x - y = 3 \)
\( x - y + 3 = 4 \implies x - y = 1 \)
Método da adição
Subtraindo a segunda da primeira:
\( (2x - y) - (x - y) = 3 - 1 \implies x = 2 \)
Em seguida, \( y = x - 1 = 1 \).
Verificação
\( 2(3) - 1 = 5 \) e \( 2 - (1 - 3) = 4 \)
Resultado: \(\boxed{x = 2 \quad y = 1}\)
Exercício 15 — nível ★★★☆☆
\[ \begin{cases} -2x + 3y = -1 \\ 5x - y = 9 \end{cases} \]
Resultado
\( x = 2 \quad y = 1 \)
Resolução
Método da substituição
Da segunda equação: \( y = 5x - 9 \). Substituindo na primeira:
\( -2x + 3(5x - 9) = -1 \implies -2x + 15x - 27 = -1 \implies 13x = 26 \implies x = 2 \)
Em seguida, \( y = 10 - 9 = 1 \).
Verificação
\( -4 + 3 = -1 \) e \( 10 - 1 = 9 \)
Resultado: \(\boxed{x = 2 \quad y = 1}\)
Exercício 16 — nível ★★★★☆
Um pai tem 30 anos a mais que o filho. Daqui a 10 anos, a idade do pai será o dobro da idade do filho. Determine as idades atuais.
Resultado
Pai: 50 anos; filho: 20 anos
Resolução
Modelagem do sistema
Sejam \( p \) a idade do pai e \( f \) a idade do filho:
\[ \begin{cases} p = f + 30 \\ p + 10 = 2(f + 10) \end{cases} \]
Método da substituição
Substituindo \( p = f + 30 \) na segunda equação:
\( (f + 30) + 10 = 2f + 20 \implies f + 40 = 2f + 20 \implies f = 20 \)
Logo, \( p = 20 + 30 = 50 \).
Verificação
Diferença atual: \( 50 - 20 = 30 \). Daqui a 10 anos: \( 60 = 2 \cdot 30 \) ✓
Resultado: \(\boxed{\text{Pai: } 50 \text{ anos; filho: } 20 \text{ anos}}\)
Exercício 17 — nível ★★★★☆
\[ \begin{cases} 7x + 3y = 27 \\ 2x + 5y = 16 \end{cases} \]
Resultado
\( x = 3 \quad y = 2 \)
Resolução
Método da adição (dupla multiplicação)
Para eliminar \( y \), multiplicamos a primeira equação por 5 e a segunda por 3:
\( \begin{cases} 35x + 15y = 135 \\ 6x + 15y = 48 \end{cases} \)
Subtraindo: \( 29x = 87 \implies x = 3 \).
Substituindo na primeira equação original: \( 21 + 3y = 27 \implies y = 2 \).
Verificação
\( 21 + 6 = 27 \) e \( 6 + 10 = 16 \)
Resultado: \(\boxed{x = 3 \quad y = 2}\)
Exercício 18 — nível ★★★★☆
\[ \begin{cases} x + y + z = 6 \\ x - y + z = 2 \\ x + y - z = 0 \end{cases} \]
Resultado
\( x = 1 \quad y = 2 \quad z = 3 \)
Resolução
Método da adição
Subtraindo a segunda da primeira:
\( (x + y + z) - (x - y + z) = 6 - 2 \implies 2y = 4 \implies y = 2 \)
Subtraindo a terceira da primeira:
\( (x + y + z) - (x + y - z) = 6 - 0 \implies 2z = 6 \implies z = 3 \)
Substituindo na primeira: \( x + 2 + 3 = 6 \implies x = 1 \).
Verificação
\( 1 + 2 + 3 = 6 \) ✓, \( 1 - 2 + 3 = 2 \) ✓, \( 1 + 2 - 3 = 0 \) ✓
Resultado: \(\boxed{x = 1 \quad y = 2 \quad z = 3}\)
Exercício 19 — nível ★★★★☆
\[ \begin{cases} x + 2y + z = 7 \\ 2x + y + z = 8 \\ x + y + 2z = 9 \end{cases} \]
Resultado
\( x = 2 \quad y = 1 \quad z = 3 \)
Resolução
Método da adição
Subtraindo a primeira da segunda:
\( x - y = 1 \quad (\text{A}) \)
Subtraindo a primeira da terceira:
\( -y + z = 2 \implies z = y + 2 \quad (\text{B}) \)
Substituindo \( z = y + 2 \) e \( x = y + 1 \) (de A) na primeira equação:
\( (y + 1) + 2y + (y + 2) = 7 \implies 4y + 3 = 7 \implies y = 1 \)
Logo, \( x = 2 \) e \( z = 3 \).
Verificação
\( 2 + 2 + 3 = 7 \) ✓, \( 4 + 1 + 3 = 8 \) ✓, \( 2 + 1 + 6 = 9 \) ✓
Resultado: \(\boxed{x = 2 \quad y = 1 \quad z = 3}\)
Exercício 20 — nível ★★★★☆
\[ \begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x + y - z = 1 \\ x - y + 2z = 5 \end{cases} \]
Resultado
\( x = 1 \quad y = 2 \quad z = 3 \)
Resolução
Método do escalonamento
Subtraindo a primeira da segunda:
\( x - 2z = -5 \implies x = 2z - 5 \quad (\text{A}) \)
Somando a primeira e a terceira:
\( 2x + 3z = 11 \quad (\text{B}) \)
Substituindo (A) em (B): \( 2(2z - 5) + 3z = 11 \implies 7z = 21 \implies z = 3 \).
Então \( x = 6 - 5 = 1 \) e, da primeira equação, \( y = 6 - 1 - 3 = 2 \).
Verificação
\( 1 + 2 + 3 = 6 \) ✓, \( 2 + 2 - 3 = 1 \) ✓, \( 1 - 2 + 6 = 5 \) ✓
Resultado: \(\boxed{x = 1 \quad y = 2 \quad z = 3}\)
Exercício 21 — nível ★★★★☆
\[ \begin{cases} x + 2y + z = 8 \\ 2x + y + 3z = 9 \\ 3x + 4y + 2z = 20 \end{cases} \]
Resultado
\( x = 4 \quad y = \dfrac{11}{5} \quad z = -\dfrac{2}{5} \)
Resolução
Eliminação de \( x \)
Calculamos \( 2 \cdot \text{Eq.}_1 - \text{Eq.}_2 \) para eliminar \( x \):
\( 2(x + 2y + z) - (2x + y + 3z) = 16 - 9 \implies 3y - z = 7 \quad (\text{A}) \)
Calculamos \( 3 \cdot \text{Eq.}_1 - \text{Eq.}_3 \):
\( 3(x + 2y + z) - (3x + 4y + 2z) = 24 - 20 \implies 2y + z = 4 \quad (\text{B}) \)
Resolução do sistema 2×2
Somando (A) e (B):
\( 5y = 11 \implies y = \dfrac{11}{5} \)
De (B): \( z = 4 - 2 \cdot \dfrac{11}{5} = \dfrac{20 - 22}{5} = -\dfrac{2}{5} \).
Da primeira equação original: \( x = 8 - 2y - z = 8 - \dfrac{22}{5} + \dfrac{2}{5} = 8 - 4 = 4 \).
Verificação
Eq. 1: \( 4 + \dfrac{22}{5} - \dfrac{2}{5} = 4 + 4 = 8 \) ✓
Eq. 2: \( 8 + \dfrac{11}{5} - \dfrac{6}{5} = 8 + 1 = 9 \) ✓
Eq. 3: \( 12 + \dfrac{44}{5} - \dfrac{4}{5} = 12 + 8 = 20 \) ✓
Resultado: \(\boxed{x = 4 \quad y = \dfrac{11}{5} \quad z = -\dfrac{2}{5}}\)
Exercício 22 — nível ★★★★★
\[ \begin{cases} 2x + y - z = 5 \\ x + 3y + 2z = 8 \\ 3x + 2y + 4z = 15 \end{cases} \]
Resultado
\( x = \dfrac{67}{25} \quad y = \dfrac{23}{25} \quad z = \dfrac{32}{25} \)
Resolução
Eliminação de \( z \)
Calculamos \( 2 \cdot \text{Eq.}_1 + \text{Eq.}_2 \) para eliminar \( z \):
\( 2(2x + y - z) + (x + 3y + 2z) = 10 + 8 \implies 5x + 5y = 18 \quad (\text{A}) \)
Calculamos \( 4 \cdot \text{Eq.}_1 + \text{Eq.}_3 \):
\( 4(2x + y - z) + (3x + 2y + 4z) = 20 + 15 \implies 11x + 6y = 35 \quad (\text{B}) \)
Resolução do sistema 2×2
De (A): \( x + y = \dfrac{18}{5} \), portanto \( y = \dfrac{18}{5} - x \).
Substituindo em (B):
\( 11x + 6\left(\dfrac{18}{5} - x\right) = 35 \implies 11x + \dfrac{108}{5} - 6x = 35 \implies 5x = 35 - \dfrac{108}{5} = \dfrac{67}{5} \)
Logo, \( x = \dfrac{67}{25} \).
Em seguida, \( y = \dfrac{18}{5} - \dfrac{67}{25} = \dfrac{90 - 67}{25} = \dfrac{23}{25} \).
Da primeira equação: \( z = 2x + y - 5 = \dfrac{134}{25} + \dfrac{23}{25} - \dfrac{125}{25} = \dfrac{32}{25} \).
Verificação
Eq. 2: \( \dfrac{67}{25} + \dfrac{69}{25} + \dfrac{64}{25} = \dfrac{200}{25} = 8 \) ✓
Eq. 3: \( \dfrac{201}{25} + \dfrac{46}{25} + \dfrac{128}{25} = \dfrac{375}{25} = 15 \) ✓
Resultado: \(\boxed{x = \dfrac{67}{25} \quad y = \dfrac{23}{25} \quad z = \dfrac{32}{25}}\)
Exercício 23 — nível ★★★★★
\[ \begin{cases} x + y = 6 \\ 2x + ky = 12 \end{cases} \]
Resultado
Depende do valor de \( k \)
Resolução
Discussão com parâmetro
Substituindo \( x = 6 - y \): \( (k - 2)y = 0 \).
- Se \( k \neq 2 \): solução única \( x = 6 \), \( y = 0 \) (sistema possível e determinado)
- Se \( k = 2 \): infinitas soluções \( (x = 6 - t,\ y = t) \) (sistema possível e indeterminado)
Resultado: \(\boxed{\text{SPD se } k \neq 2;\ \text{SPI se } k=2}\)
Exercício 24 — nível ★★★★★
\[ \begin{cases} x + y = 5 \\ x^2 + y^2 = 13 \end{cases} \]
Resultado
\( (x,y) = (2,3) \) ou \( (3,2) \)
Resolução
Método combinado
Da primeira equação, \( y = 5 - x \). Substituindo na segunda: \( x^2 + (5 - x)^2 = 13 \implies x^2 - 5x + 6 = 0 \).
Soluções: \( x=2 \) (\( y=3 \)) e \( x=3 \) (\( y=2 \)).
Resultado: \(\boxed{(x,y)=(2,3)\ \text{ou}\ (3,2)}\)
Exercício 25 — nível ★★★★★
\[ \begin{cases} x + y + 2z = 9 \\ 2x - y + z = 8 \\ x + 2y - z = 6 \end{cases} \]
Resultado
\( x = \dfrac{49}{12} \quad y = \dfrac{7}{4} \quad z = \dfrac{19}{12} \)
Resolução
Eliminação de \( y \)
Somando \( \text{Eq.}_1 + \text{Eq.}_2 \), eliminamos \( y \):
\( (x + y + 2z) + (2x - y + z) = 9 + 8 \implies 3x + 3z = 17 \quad (\text{A}) \)
Calculamos \( 2 \cdot \text{Eq.}_2 + \text{Eq.}_3 \) para eliminar novamente \( y \):
\( 2(2x - y + z) + (x + 2y - z) = 16 + 6 \implies 5x + z = 22 \quad (\text{B}) \)
Resolução do sistema 2×2
De (A): \( z = \dfrac{17 - 3x}{3} \). Substituindo em (B):
\( 5x + \dfrac{17 - 3x}{3} = 22 \implies 15x + 17 - 3x = 66 \implies 12x = 49 \implies x = \dfrac{49}{12} \)
Então \( z = \dfrac{17 - \frac{49}{4}}{3} = \dfrac{\frac{68 - 49}{4}}{3} = \dfrac{19}{12} \).
Da primeira equação original:
\( y = 9 - x - 2z = 9 - \dfrac{49}{12} - \dfrac{38}{12} = \dfrac{108 - 87}{12} = \dfrac{21}{12} = \dfrac{7}{4} \)
Verificação
Eq. 2: \( \dfrac{98}{12} - \dfrac{21}{12} + \dfrac{19}{12} = \dfrac{96}{12} = 8 \) ✓
Eq. 3: \( \dfrac{49}{12} + \dfrac{42}{12} - \dfrac{19}{12} = \dfrac{72}{12} = 6 \) ✓
Resultado: \(\boxed{x = \dfrac{49}{12} \quad y = \dfrac{7}{4} \quad z = \dfrac{19}{12}}\)