Um sistema de equações é um conjunto de duas ou mais equações que devem ser satisfeitas simultaneamente.
Resolver um sistema significa, portanto, determinar os valores das incógnitas que tornam verdadeiras todas as equações do sistema ao mesmo tempo.
Os sistemas representam um dos instrumentos fundamentais da álgebra, pois permitem modelizar condições simultâneas e surgem em inúmeros contextos matemáticos, geométricos e aplicados.
Do ponto de vista geométrico, um sistema linear a duas incógnitas descreve, em geral, a intersecção de duas rectas no plano cartesiano.
Índice
- O que é um sistema de equações
- Forma geral de um sistema linear
- Sistema determinado, impossível e indeterminado
- Método de substituição
- Método de redução (ou eliminação)
- Algoritmo de eliminação gaussiana
- Sistemas lineares a três incógnitas
- Interpretação geométrica
- Determinante do sistema e Teorema de Cramer
- Sistemas com parâmetro
- Sistemas não lineares
- Erros comuns
O que é um sistema de equações
Consideremos duas equações nas mesmas incógnitas:
\[ \begin{cases} x+y=5\\ x-y=1 \end{cases} \]
Nenhuma das duas equações deve ser estudada separadamente: pretendemos encontrar os valores de \(x\) e \(y\) que satisfaçam ambas simultaneamente.
Neste caso:
\[ x=3,\qquad y=2 \]
porque:
\[ 3+2=5 \]
e simultaneamente:
\[ 3-2=1. \]
O par:
\[ (3,2) \]
é, portanto, a solução do sistema.
Em geral, uma solução de um sistema é um par, um trio ou um conjunto de valores que torna verdadeiras todas as equações do sistema.
Forma geral de um sistema linear
Um sistema linear a duas incógnitas tem geralmente a forma:
\[ \begin{cases} a_1x+b_1y=c_1\\ a_2x+b_2y=c_2 \end{cases} \]
onde:
- \(x\) e \(y\) são as incógnitas;
- \(a_1,a_2,b_1,b_2\) são os coeficientes;
- \(c_1,c_2\) são os termos independentes.
Fala-se de sistema linear porque as incógnitas surgem apenas no primeiro grau.
Por exemplo:
\[ \begin{cases} 2x+3y=7\\ x-y=4 \end{cases} \]
é um sistema linear.
Pelo contrário:
\[ \begin{cases} x+y=5\\ x^2+y^2=13 \end{cases} \]
não é linear, pois surge o termo:
\[ x^2. \]
Sistema determinado, impossível e indeterminado
Um sistema pode ter:
- uma única solução;
- nenhuma solução;
- infinitas soluções.
Sistema determinado
Um sistema é determinado quando possui uma única solução.
Por exemplo:
\[ \begin{cases} x+y=5\\ x-y=1 \end{cases} \]
tem solução única:
\[ x=3,\qquad y=2. \]
Sistema impossível
Um sistema é impossível quando não possui soluções.
Por exemplo:
\[ \begin{cases} x+y=2\\ x+y=5 \end{cases} \]
é impossível, porque uma mesma soma não pode ser simultaneamente igual a \(2\) e a \(5\).
Sistema indeterminado
Um sistema é indeterminado quando possui infinitas soluções.
Por exemplo:
\[ \begin{cases} x+y=4\\ 2x+2y=8 \end{cases} \]
contém na realidade duas equações equivalentes.
Todos os pares que satisfazem:
\[ x+y=4 \]
são, portanto, soluções do sistema.
Método de substituição
O método de substituição consiste em isolar uma variável numa das equações e substituí-la na outra.
Exemplo
Resolvamos:
\[ \begin{cases} x-2y=0\\ x+y=6 \end{cases} \]
Da primeira equação:
\[ x=2y. \]
Substituindo na segunda:
\[ 2y+y=6. \]
Obtemos:
\[ 3y=6. \]
logo:
\[ y=2. \]
Por fim:
\[ x=2\cdot 2=4. \]
A solução do sistema é:
\[ (x,y)=(4,2). \]
Quando convém utilizar este método
O método de substituição é particularmente vantajoso quando uma variável tem coeficiente \(1\) ou \(-1\), pois pode ser isolada com rapidez.
Método de redução (ou eliminação)
O método de redução (também designado método de eliminação) consiste em tornar iguais ou opostos os coeficientes de uma variável mediante princípios de equivalência, de modo a eliminá-la somando ou subtraindo as equações membro a membro.
Exemplo
Resolvamos:
\[ \begin{cases} 3x+2y=12\\ 5x-2y=4 \end{cases} \]
Os coeficientes de \(y\) já são opostos:
\[ 2y \qquad \text{e} \qquad -2y. \]
Somando membro a membro:
\[ (3x+2y)+(5x-2y)=12+4. \]
obtemos:
\[ 8x=16. \]
donde:
\[ x=2. \]
Substituindo na primeira equação:
\[ 3\cdot 2+2y=12. \]
isto é:
\[ 6+2y=12. \]
Obtemos:
\[ y=3. \]
Dupla multiplicação
Se os coeficientes não forem já opostos, pode multiplicar-se cada equação por números convenientes não nulos.
Por exemplo:
\[ \begin{cases} 4x+3y=17\\ 5x-2y=4 \end{cases} \]
podemos multiplicar:
- a primeira equação por \(2\);
- a segunda equação por \(3\).
Obtemos:
\[ \begin{cases} 8x+6y=34\\ 15x-6y=12 \end{cases} \]
Somando:
\[ 23x=46. \]
logo:
\[ x=2. \]
Algoritmo de eliminação gaussiana
Quando os sistemas apresentam três ou mais incógnitas, a aplicação avulsa da redução pode tornar-se complexa. Recorre-se então ao algoritmo de eliminação gaussiana, um método sistemático que transforma progressivamente o sistema num outro equivalente de forma «triangular» (em escada), eliminando ordenadamente as variáveis.
Sistemas lineares a três incógnitas
Um sistema linear a três incógnitas tem geralmente a forma:
\[ \begin{cases} a_1x+b_1y+c_1z=d_1\\ a_2x+b_2y+c_2z=d_2\\ a_3x+b_3y+c_3z=d_3 \end{cases} \]
Em geral, o algoritmo prevê combinar as equações duas a duas para eliminar a mesma variável e reduzir-se a um sistema mais simples. Contudo, em casos com simetrias particulares, os cálculos podem simplificar-se consideravelmente, eliminando várias incógnitas em simultâneo.
Exemplo
Consideremos o seguinte sistema simétrico:
\[ \begin{cases} x+y+z=6\\ x-y+z=2\\ x+y-z=0 \end{cases} \]
Subtraindo a segunda equação à primeira, as incógnitas \(x\) e \(z\) eliminam-se mutuamente:
\[ (x+y+z) - (x-y+z) = 6 - 2 \implies 2y=4. \]
Portanto:
\[ y=2. \]
Do mesmo modo, subtraindo a terceira equação à primeira:
\[ (x+y+z) - (x+y-z) = 6 - 0 \implies 2z=6. \]
donde:
\[ z=3. \]
Basta agora substituir os valores encontrados de \(y\) e \(z\) na primeira equação original para determinar a última incógnita:
\[ x+2+3=6. \]
Obtemos:
\[ x=1. \]
A solução do sistema é o trio ordenado:
\[ (x,y,z)=(1,2,3). \]
Interpretação geométrica
Nos sistemas lineares a duas incógnitas, cada equação de primeiro grau representa uma recta no plano cartesiano. Resolver o sistema significa determinar a intersecção geométrica entre essas rectas.
Rectas secantes
Se as rectas têm coeficientes angulares distintos, intersectam-se num único ponto. As coordenadas desse ponto representam a única solução comum: o sistema é, portanto, determinado.
Rectas paralelas e distintas
Se as rectas têm o mesmo coeficiente angular mas ordenadas na origem diferentes, são paralelas e não têm pontos em comum. O sistema não admite soluções e é, portanto, impossível.
Rectas coincidentes
Se as equações são equivalentes, as duas rectas coincidem, tendo infinitos pontos em comum. O sistema admite infinitas soluções e é, portanto, indeterminado.
Determinante do sistema e Teorema de Cramer
Consideremos um sistema linear escrito em forma normal:
\[ \begin{cases} a_1x+b_1y=c_1\\ a_2x+b_2y=c_2 \end{cases} \]
Define-se como determinante do sistema (ou determinante principal \(\Delta\)) o valor associado à matriz dos coeficientes:
\[ \Delta= \begin{vmatrix} a_1 & b_1\\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} =a_1b_2-a_2b_1. \]
Para analisar o sistema de forma completa sem proceder por tentativas, introduzimos também os determinantes parciais \(\Delta_x\) e \(\Delta_y\), obtidos substituindo a coluna dos coeficientes da variável correspondente pela coluna dos termos independentes:
\[ \Delta_x= \begin{vmatrix} c_1 & b_1\\ c_2 & b_2 \end{vmatrix} =c_1b_2-c_2b_1 \qquad \text{e} \qquad \Delta_y= \begin{vmatrix} a_1 & c_1\\ a_2 & c_2 \end{vmatrix} =a_1c_2-a_2c_1 \]
O Teorema de Cramer permite classificar o sistema em função dos valores destes determinantes:
- Se \(\Delta \neq 0\): o sistema é sempre determinado e a única solução obtém-se pelas fórmulas: \[ x = \frac{\Delta_x}{\Delta}, \qquad y = \frac{\Delta_y}{\Delta} \]
- Se \(\Delta = 0\) e pelo menos um entre \(\Delta_x\) e \(\Delta_y\) é diferente de zero: o sistema é impossível (rectas paralelas e distintas).
- Se \(\Delta = 0\), \(\Delta_x = 0\) e \(\Delta_y = 0\): o sistema é indeterminado (rectas coincidentes).
Sistemas com parâmetro
Em certos sistemas surge um parâmetro, isto é, uma letra que representa um número real arbitrário e não especificado. Discutir um sistema literal significa estabelecer como varia a natureza do sistema em função do parâmetro.
Por exemplo:
\[ \begin{cases} x+y=6\\ 2x+ky=12 \end{cases} \]
Isolando \(x\) na primeira equação:
\[ x=6-y. \]
Substituindo na segunda:
\[ 2(6-y)+ky=12. \]
Desenvolvendo os cálculos:
\[ 12-2y+ky=12. \]
Agrupando os termos relativos à incógnita \(y\):
\[ (k-2)y=0. \]
Procede-se então à discussão matemática:
- se \(k\neq 2\), o coeficiente de \(y\) é diferente de zero, pelo que podemos dividir ambos os membros e obter uma única solução. O sistema é determinado;
- se \(k=2\), a equação torna-se \(0y=0\), que é sempre verdadeira (\(0=0\)). O sistema admite infinitas soluções e é, portanto, indeterminado.
Sistemas não lineares
Um sistema diz-se não linear quando pelo menos uma das equações que o compõem não é de primeiro grau (isto é, apresenta incógnitas multiplicadas entre si ou elevadas a potências superiores à unidade).
Por exemplo:
\[ \begin{cases} x+y=5\\ x^2+y^2=13 \end{cases} \]
Nestes casos, o método de substituição revela-se quase sempre a abordagem mais directa e segura.
Da primeira equação extraímos:
\[ y=5-x. \]
Substituindo a expressão na segunda equação de segundo grau:
\[ x^2+(5-x)^2=13. \]
Desenvolvendo o quadrado do binómio:
\[ x^2+25-10x+x^2=13. \]
Recolhendo e colocando em forma normal a equação de segundo grau obtida:
\[ 2x^2-10x+12=0. \]
Dividindo todos os termos pelo factor comum \(2\):
\[ x^2-5x+6=0. \]
Factorizando o trinómio especial (procurando dois números cuja soma seja \(-5\) e o produto \(6\)):
\[ (x-2)(x-3)=0. \]
Pela lei de anulamento do produto obtemos dois valores distintos para \(x\):
\[ x=2 \qquad \text{ou} \qquad x=3. \]
Substituindo cada valor na expressão \(y=5-x\), obtemos as respectivas ordenadas. As soluções distintas do sistema são os pares:
\[ (2,3) \qquad \text{e} \qquad (3,2). \]
Erros comuns
Erros de sinal
Os erros mais frequentes ocorrem durante as passagens em que se transferem termos de um membro para o outro, ou na gestão dos sinais menos à frente dos parênteses nas substituições.
Eliminação incompleta (Princípio de igualdade)
Quando se aplica o segundo princípio de equivalência para multiplicar uma equação inteira, esquece-se com frequência de multiplicar também o termo independente no segundo membro.
Substituição incorrecta sem parênteses
Quando se substitui uma expressão composta (um binómio ou trinómio) no lugar de uma variável, é indispensável colocá-la provisoriamente entre parênteses para não errar os cálculos com os coeficientes externos.
Por exemplo, se:
\[ x=2y+1, \]
a expressão inteira deve surgir protegida desta forma:
\[ (2y+1). \]
Falta de verificação final
A terminar os cálculos, é sempre recomendável efectuar uma prova substituindo os valores numéricos encontrados em ambas as equações de partida, para verificar a correcção da identidade.
Sistemas impossíveis ou indeterminados não reconhecidos
Se durante os passos algébricos as variáveis se anulam completamente e se chega a uma igualdade manifestamente falsa do tipo:
\[ 0=5, \]
o sistema não admite soluções e é impossível.
Se, pelo contrário, se chega a uma identidade sempre verificada do tipo:
\[ 0=0, \]
o sistema admite infinitas soluções e é indeterminado.
Em conclusão, os sistemas de equações constituem um dos instrumentos fundamentais da álgebra, pois permitem descrever condições simultâneas e interpretar geometricamente intersecções entre rectas, planos e curvas. O domínio dos métodos de substituição, de redução e a abordagem sistemática de Gauss ou Cramer é essencial tanto no estudo escolar como nos desenvolvimentos posteriores da álgebra linear e da análise matemática.