Nesta página apresentamos 20 exercícios resolvidos sobre subsucessões, explicados passo a passo e pensados para consolidar tanto a definição formal como o significado essencial desta ferramenta fundamental no estudo das sucessões numéricas.
Os exercícios conduzem progressivamente do reconhecimento de uma subsucessão à escolha correta dos índices e, por fim, ao estudo do comportamento no limite. Em particular, veremos como verificar se uma sucessão é subsucessão de outra, como calcular subsucessões dadas e como utilizar duas subsucessões com limites diferentes para demonstrar a não convergência de uma sucessão.
Recordemos que uma subsucessão de \((a_n)\) é uma sucessão da forma
\[ (a_{k_n}), \]
onde \((k_n)\) é uma sucessão estritamente crescente de índices naturais, isto é,
\[ k_n<k_{n+1} \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). Admitiremos, como na teoria, que \(\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}\).
O objetivo não é apenas aplicar mecanicamente uma definição, mas compreender por que razão a ordem dos índices é essencial, por que razão qualquer subsucessão de uma sucessão convergente tem o mesmo limite que a sucessão original e por que razão as subsucessões permitem muitas vezes identificar de forma rigorosa oscilações, divergências e ausência de convergência.
Exercício 1 — nível ★☆☆☆☆
Consideremos a sucessão
\[ a_n=n^2. \]
Determinar a subsucessão obtida escolhendo os índices pares, isto é, tomando
\[ k_n=2n. \]
Resultado
A subsucessão é
\[ a_{2n}=4n^2. \]
Portanto,
\[ (a_{2n})=(0,4,16,36,\dots). \]
Resolução
Uma subsucessão obtém-se escolhendo uma sucessão estritamente crescente de índices naturais \((k_n)\) e considerando os termos correspondentes \(a_{k_n}\).
Neste caso, os índices escolhidos são
\[ k_n=2n. \]
Como \(n\in\mathbb{N}\), os índices são
\[ 0,2,4,6,\dots \]
e são estritamente crescentes. Com efeito, para todo \(n\in\mathbb{N}\),
\[ 2n<2n+2. \]
Logo, podemos efetivamente construir uma subsucessão.
A sucessão de partida é
\[ a_n=n^2. \]
Para obter a subsucessão correspondente aos índices \(2n\), substituímos \(n\) por \(2n\):
\[ a_{2n}=(2n)^2. \]
Desenvolvendo o quadrado, obtemos
\[ a_{2n}=4n^2. \]
Escrevamos os primeiros termos para interpretar o resultado:
\[ a_0=0^2=0,\qquad a_2=2^2=4,\qquad a_4=4^2=16,\qquad a_6=6^2=36. \]
Portanto, a subsucessão é
\[ (a_{2n})=(0,4,16,36,\dots). \]
Em essência, não se trata de uma sucessão nova e arbitrária: trata-se apenas de observar a sucessão original ao longo dos índices pares.
Exercício 2 — nível ★☆☆☆☆
Consideremos a sucessão
\[ a_n=3n+1. \]
Determinar a subsucessão obtida escolhendo os índices ímpares, isto é, tomando
\[ k_n=2n+1. \]
Resultado
A subsucessão é
\[ a_{2n+1}=6n+4. \]
Portanto,
\[ (a_{2n+1})=(4,10,16,22,\dots). \]
Resolução
Os índices ímpares são descritos pela fórmula
\[ k_n=2n+1. \]
Com efeito, ao variar \(n\in\mathbb{N}\), obtém-se
\[ 1,3,5,7,\dots \]
Antes de calcular a subsucessão, verifiquemos que estes índices são estritamente crescentes. Tem-se
\[ k_{n+1}=2(n+1)+1=2n+3. \]
Como
\[ 2n+1<2n+3, \]
segue-se que
\[ k_n<k_{n+1}. \]
Portanto, os índices escolhidos são adequados para definir uma subsucessão.
A sucessão de partida é
\[ a_n=3n+1. \]
A subsucessão correspondente aos índices \(2n+1\) é
\[ a_{2n+1}. \]
Substituímos, então, \(n\) por \(2n+1\) na fórmula de \(a_n\):
\[ a_{2n+1}=3(2n+1)+1. \]
Efetuando os cálculos, obtemos
\[ a_{2n+1}=6n+3+1=6n+4. \]
Escrevamos os primeiros termos:
\[ a_1=4,\qquad a_3=10,\qquad a_5=16,\qquad a_7=22. \]
Logo,
\[ (a_{2n+1})=(4,10,16,22,\dots). \]
Exercício 3 — nível ★☆☆☆☆
Seja \((a_n)\) uma sucessão qualquer. Verificar se os termos
\[ a_5,\ a_2,\ a_8 \]
podem constituir o início de uma subsucessão de \((a_n)\).
Resultado
Não. Os termos
\[ a_5,\ a_2,\ a_8 \]
não podem constituir o início de uma subsucessão, porque os índices \(5,2,8\) não são estritamente crescentes.
Resolução
Para formar uma subsucessão não basta escolher alguns termos da sucessão original. É necessário que os índices escolhidos sejam estritamente crescentes.
Neste caso, os termos indicados são
\[ a_5,\ a_2,\ a_8. \]
Os índices correspondentes são
\[ 5,\ 2,\ 8. \]
Para constituírem o início de uma subsucessão, deveríamos ter
\[ 5<2<8. \]
Mas a primeira desigualdade é falsa, pois \(5\) não é menor do que \(2\).
Portanto, os índices não respeitam a ordem natural pela qual os termos aparecem na sucessão de partida.
Por conseguinte,
\[ a_5,\ a_2,\ a_8 \]
não podem constituir o início de uma subsucessão.
O ponto essencial é fundamental: uma subsucessão pode saltar alguns termos, mas não pode retroceder nos índices. A ordem dos termos da sucessão original deve ser preservada.
Em contrapartida, por exemplo,
\[ a_2,\ a_5,\ a_8 \]
já poderia constituir o início de uma subsucessão, porque
\[ 2<5<8. \]
Exercício 4 — nível ★★☆☆☆
Consideremos a sucessão
\[ a_n=(-1)^n. \]
Determinar a subsucessão dos índices pares e a dos índices ímpares.
Resultado
A subsucessão dos índices pares é
\[ a_{2n}=1. \]
A subsucessão dos índices ímpares é
\[ a_{2n+1}=-1. \]
Resolução
Estudemos separadamente os índices pares e os índices ímpares.
Os índices pares são dados por
\[ k_n=2n. \]
A subsucessão correspondente é
\[ a_{2n}=(-1)^{2n}. \]
Como \(2n\) é sempre par, a potência \((-1)^{2n}\) é sempre igual a \(1\). Portanto,
\[ a_{2n}=1 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Logo, a subsucessão dos índices pares é
\[ (a_{2n})=(1,1,1,1,\dots). \]
Os índices ímpares, por sua vez, são dados por
\[ h_n=2n+1. \]
A subsucessão correspondente é
\[ a_{2n+1}=(-1)^{2n+1}. \]
Como \(2n+1\) é sempre ímpar, a potência \((-1)^{2n+1}\) é sempre igual a \(-1\). Portanto,
\[ a_{2n+1}=-1 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Logo, a subsucessão dos índices ímpares é
\[ (a_{2n+1})=(-1,-1,-1,-1,\dots). \]
Este exercício evidencia algo muito importante: uma mesma sucessão pode ter subsucessões com comportamentos diferentes. Aqui, uma subsucessão é constantemente igual a \(1\), enquanto a outra é constantemente igual a \(-1\).
Exercício 5 — nível ★★☆☆☆
Consideremos a sucessão
\[ a_n=n^2. \]
Verificar se a sucessão
\[ b_n=(n+2)^2 \]
é uma subsucessão de \((a_n)\).
Resultado
Sim. A sucessão
\[ b_n=(n+2)^2 \]
é uma subsucessão de
\[ a_n=n^2. \]
Com efeito,
\[ b_n=a_{n+2}. \]
Resolução
Para verificar se \((b_n)\) é uma subsucessão de \((a_n)\), devemos averiguar se existe uma sucessão estritamente crescente de índices naturais \((k_n)\) tal que
\[ b_n=a_{k_n} \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
A sucessão de partida é
\[ a_n=n^2. \]
A sucessão que pretendemos reconhecer como subsucessão é
\[ b_n=(n+2)^2. \]
Observamos que \((n+2)^2\) se obtém da fórmula \(a_n=n^2\) substituindo \(n\) por \(n+2\). Por isso, escolhemos
\[ k_n=n+2. \]
Então
\[ a_{k_n}=a_{n+2}=(n+2)^2. \]
Mas
\[ b_n=(n+2)^2. \]
Portanto,
\[ b_n=a_{k_n}. \]
Resta agora verificar que \((k_n)\) é estritamente crescente. Temos
\[ k_n=n+2 \]
e
\[ k_{n+1}=n+3. \]
Como
\[ n+2<n+3, \]
segue-se que
\[ k_n<k_{n+1}. \]
Logo, \((k_n)\) é uma sucessão estritamente crescente de índices naturais.
Por conseguinte, \((b_n)\) é uma subsucessão de \((a_n)\).
Em termos intuitivos, a sucessão \((b_n)\) obtém-se a partir de \((a_n)\) eliminando os dois primeiros termos e conservando todos os restantes na mesma ordem.
Exercício 6 — nível ★★☆☆☆
Consideremos a sucessão
\[ a_n=n. \]
Verificar se a sucessão
\[ b_n=-n \]
é uma subsucessão de \((a_n)\).
Resultado
Não. A sucessão
\[ b_n=-n \]
não é uma subsucessão de
\[ a_n=n. \]
Com efeito, não existe nenhuma sucessão estritamente crescente de índices naturais \((k_n)\) tal que
\[ b_n=a_{k_n} \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Resolução
Para verificar se \((b_n)\) é uma subsucessão de \((a_n)\), devemos averiguar se existe uma sucessão estritamente crescente de índices naturais \((k_n)\) tal que
\[ b_n=a_{k_n} \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
A sucessão de partida é
\[ a_n=n. \]
Como \(n\in\mathbb{N}\), os termos de \((a_n)\) são
\[ 0,1,2,3,\dots. \]
Portanto, todos os termos da sucessão \((a_n)\) são números naturais.
A sucessão proposta, por sua vez, é
\[ b_n=-n. \]
Os seus primeiros termos são
\[ 0,-1,-2,-3,\dots. \]
Para todo \(n\ge 1\), o termo \(b_n\) é negativo.
Mas nenhum termo da sucessão \((a_n)\) é negativo. Com efeito, para qualquer índice natural \(k\), tem-se
\[ a_k=k\ge 0. \]
Por conseguinte, por exemplo, o termo \(b_1=-1\) não pode coincidir com nenhum termo da sucessão \((a_n)\).
Portanto, não pode existir nenhuma sucessão de índices naturais \((k_n)\) tal que
\[ b_n=a_{k_n} \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Por conseguinte, \((b_n)\) não é uma subsucessão de \((a_n)\).
O ponto essencial é este: uma subsucessão deve ser formada escolhendo termos que já estão presentes na sucessão original. Aqui, pelo contrário, \((b_n)\) contém termos negativos que nunca aparecem na sucessão \((a_n)\).
Exercício 7 — nível ★★☆☆☆
Consideremos a sucessão
\[ a_n=\frac{1}{n+1}. \]
Verificar se a sucessão
\[ b_n=\frac{1}{n^2+1} \]
é uma subsucessão de \((a_n)\).
Resultado
Sim. A sucessão
\[ b_n=\frac{1}{n^2+1} \]
é uma subsucessão de
\[ a_n=\frac{1}{n+1}. \]
Com efeito,
\[ b_n=a_{n^2}. \]
Resolução
Para verificar se \((b_n)\) é uma subsucessão de \((a_n)\), devemos procurar uma sucessão estritamente crescente de índices naturais \((k_n)\) tal que
\[ b_n=a_{k_n}. \]
A sucessão de partida é
\[ a_n=\frac{1}{n+1}. \]
Se substituirmos \(n\) por um índice genérico \(k_n\), obtemos
\[ a_{k_n}=\frac{1}{k_n+1}. \]
Queremos que este termo coincida com
\[ b_n=\frac{1}{n^2+1}. \]
Impomos, então,
\[ \frac{1}{k_n+1}=\frac{1}{n^2+1}. \]
Como os denominadores são positivos, esta igualdade equivale a
\[ k_n+1=n^2+1. \]
Subtraindo \(1\) a ambos os membros, obtemos
\[ k_n=n^2. \]
Logo, o candidato natural é
\[ k_n=n^2. \]
Verifiquemos que \((k_n)\) é estritamente crescente. Para todo \(n\in\mathbb{N}\), tem-se
\[ k_{n+1}-k_n=(n+1)^2-n^2. \]
Desenvolvendo,
\[ k_{n+1}-k_n=n^2+2n+1-n^2=2n+1. \]
Como
\[ 2n+1>0 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\), segue-se que
\[ k_{n+1}>k_n. \]
Logo, \((k_n)\) é estritamente crescente.
Além disso, \(k_n=n^2\in\mathbb{N}\) para todo \(n\in\mathbb{N}\), pelo que os índices escolhidos são efetivamente índices naturais.
Temos então
\[ a_{k_n}=a_{n^2}=\frac{1}{n^2+1}=b_n. \]
Por conseguinte, \((b_n)\) é uma subsucessão de \((a_n)\).
Exercício 8 — nível ★★☆☆☆
Seja \((k_n)\) definida por
\[ k_n=n^2+n. \]
Verificar que \((k_n)\) pode ser usada como sucessão de índices para construir uma subsucessão.
Resultado
Sim. A sucessão
\[ k_n=n^2+n \]
pode ser usada como sucessão de índices, porque é formada por números naturais e é estritamente crescente.
Resolução
Uma sucessão \((k_n)\) pode ser usada como sucessão de índices para construir uma subsucessão se satisfizer duas condições.
A primeira condição é que cada \(k_n\) seja um número natural.
A segunda condição é que \((k_n)\) seja estritamente crescente, isto é,
\[ k_n<k_{n+1} \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
No nosso caso
\[ k_n=n^2+n. \]
Como \(n\in\mathbb{N}\), também \(n^2+n\in\mathbb{N}\). Logo, cada \(k_n\) é um número natural.
Verifiquemos agora que \((k_n)\) é estritamente crescente. Calculamos \(k_{n+1}\):
\[ k_{n+1}=(n+1)^2+(n+1). \]
Desenvolvendo,
\[ k_{n+1}=n^2+2n+1+n+1=n^2+3n+2. \]
Calculamos a diferença:
\[ k_{n+1}-k_n=(n^2+3n+2)-(n^2+n). \]
Simplificando,
\[ k_{n+1}-k_n=2n+2. \]
Como
\[ 2n+2>0 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\), obtemos
\[ k_{n+1}>k_n. \]
Portanto, \((k_n)\) é estritamente crescente.
Por conseguinte, a sucessão
\[ k_n=n^2+n \]
pode ser usada para construir uma subsucessão \((a_{k_n})\) de uma sucessão qualquer \((a_n)\).
Em essência, os índices \(0,2,6,12,20,\dots\) selecionam alguns termos da sucessão original, omitindo outros, mas sem nunca retroceder.
Exercício 9 — nível ★★★☆☆
Seja \((a_n)\) uma sucessão qualquer. Verificar se os termos
\[ a_1,\ a_3,\ a_6,\ a_{10},\dots \]
podem formar uma subsucessão de \((a_n)\).
Resultado
Sim. Os termos
\[ a_1,\ a_3,\ a_6,\ a_{10},\dots \]
podem formar uma subsucessão, porque os índices
\[ 1,3,6,10,\dots \]
são estritamente crescentes.
Resolução
Para verificar se os termos indicados podem formar uma subsucessão, devemos observar os índices.
Os termos são
\[ a_1,\ a_3,\ a_6,\ a_{10},\dots \]
de modo que os índices são
\[ 1,\ 3,\ 6,\ 10,\dots. \]
Estes índices estão dispostos em ordem estritamente crescente, porque
\[ 1<3<6<10<\dots. \]
Isto basta para afirmar que os termos indicados podem formar uma subsucessão.
Podemos ainda reconhecer uma fórmula explícita para os índices. São dados por
\[ k_n=\frac{(n+1)(n+2)}{2}. \]
Com efeito:
\[ k_0=1,\qquad k_1=3,\qquad k_2=6,\qquad k_3=10. \]
Verifiquemos que esta sucessão de índices é estritamente crescente. Calculamos
\[ k_{n+1}-k_n = \frac{(n+2)(n+3)}{2}-\frac{(n+1)(n+2)}{2}. \]
Colocando em evidência o fator comum \(\displaystyle\frac{n+2}{2}\), obtemos
\[ k_{n+1}-k_n = \frac{n+2}{2}\bigl((n+3)-(n+1)\bigr). \]
Como
\[ (n+3)-(n+1)=2, \]
tem-se
\[ k_{n+1}-k_n=\frac{n+2}{2}\cdot 2=n+2. \]
Ora,
\[ n+2>0 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). Portanto,
\[ k_{n+1}>k_n. \]
Logo, os índices são estritamente crescentes.
Por conseguinte, os termos
\[ a_1,\ a_3,\ a_6,\ a_{10},\dots \]
podem formar uma subsucessão de \((a_n)\).
Exercício 10 — nível ★★★☆☆
Consideremos a sucessão
\[ a_n=\frac{n}{n+1}. \]
Determinar o limite da subsucessão \((a_{2n})\).
Resultado
Tem-se
\[ a_{2n}=\frac{2n}{2n+1} \]
e, portanto,
\[ a_{2n}\to 1. \]
Resolução
A subsucessão \((a_{2n})\) obtém-se escolhendo os índices pares, isto é, tomando
\[ k_n=2n. \]
Antes de prosseguir, observemos que os índices \(2n\) são estritamente crescentes, porque
\[ 2n<2n+2. \]
Portanto, \((a_{2n})\) é efetivamente uma subsucessão de \((a_n)\).
A sucessão de partida é
\[ a_n=\frac{n}{n+1}. \]
Substituindo \(n\) por \(2n\), obtemos
\[ a_{2n}=\frac{2n}{2n+1}. \]
Devemos calcular
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2n}{2n+1}. \]
Para estudar este limite, podemos supor \(n\ge 1\) e dividir o numerador e o denominador por \(n\):
\[ \frac{2n}{2n+1} = \frac{2}{2+\frac{1}{n}}. \]
Como
\[ \frac{1}{n}\to 0, \]
obtemos
\[ \frac{2}{2+\frac{1}{n}}\to \frac{2}{2+0}=1. \]
Portanto,
\[ a_{2n}\to 1. \]
Este resultado está de acordo com o teorema geral sobre subsucessões: com efeito, a sucessão original \((a_n)\) converge para \(1\), e qualquer subsucessão de uma sucessão convergente converge para o mesmo limite.
Exercício 11 — nível ★★★☆☆
Consideremos a sucessão
\[ a_n=\frac{1}{n+1}. \]
Demonstrar que qualquer subsucessão de \((a_n)\) converge para \(0\).
Resultado
Qualquer subsucessão de
\[ a_n=\frac{1}{n+1} \]
converge para \(0\).
Resolução
Seja \((a_{k_n})\) uma subsucessão qualquer de \((a_n)\). Por definição de subsucessão, \((k_n)\) é uma sucessão estritamente crescente de índices naturais.
Como
\[ a_n=\frac{1}{n+1}, \]
substituindo \(n\) por \(k_n\), obtemos
\[ a_{k_n}=\frac{1}{k_n+1}. \]
Como \((k_n)\) é estritamente crescente e toma valores em \(\mathbb{N}\), tem-se
\[ k_n\ge n \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). Com efeito, \(k_0\ge 0\) e, como os índices são naturais e crescem estritamente, de \(k_n<k_{n+1}\) resulta \(k_{n+1}\ge k_n+1\). Por indução obtém-se, então, \(k_n\ge n\).
De
\[ k_n\ge n \]
resulta
\[ k_n+1\ge n+1. \]
Como \(k_n+1\) e \(n+1\) são números positivos, ao passar aos inversos a desigualdade inverte o sentido. Portanto,
\[ \frac{1}{k_n+1}\le \frac{1}{n+1}. \]
Além disso,
\[ \frac{1}{k_n+1}>0. \]
Temos, assim, a estimativa
\[ 0<\frac{1}{k_n+1}\le \frac{1}{n+1}. \]
Ora, sabemos que
\[ \frac{1}{n+1}\to 0. \]
Pelo teorema do confronto, resulta que
\[ \frac{1}{k_n+1}\to 0. \]
Mas
\[ a_{k_n}=\frac{1}{k_n+1}. \]
Portanto,
\[ a_{k_n}\to 0. \]
Uma vez que \((a_{k_n})\) era uma subsucessão qualquer, fica demonstrado que qualquer subsucessão de \((a_n)\) converge para \(0\).
O significado essencial é o seguinte: uma subsucessão pode saltar alguns termos, mas não pode escapar ao comportamento final da sucessão. Como os termos de \((a_n)\) se tornam cada vez mais próximos de \(0\), qualquer subsucessão deve também tornar-se cada vez mais próxima de \(0\).
Exercício 12 — nível ★★★☆☆
Consideremos a sucessão
\[ a_n=2+\frac{1}{n+1}. \]
Demonstrar que a subsucessão \((a_{n^2})\) converge para \(2\).
Resultado
Tem-se
\[ a_{n^2}=2+\frac{1}{n^2+1} \]
e, portanto,
\[ a_{n^2}\to 2. \]
Resolução
A subsucessão \((a_{n^2})\) obtém-se escolhendo os índices
\[ k_n=n^2. \]
Antes de calcular o limite, verifiquemos que estes índices definem efetivamente uma subsucessão.
Para todo \(n\in\mathbb{N}\), \(n^2\in\mathbb{N}\). Além disso
\[ k_{n+1}-k_n=(n+1)^2-n^2=2n+1. \]
Como
\[ 2n+1>0 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\), segue-se que
\[ k_{n+1}>k_n. \]
Portanto, \((n^2)\) é uma sucessão estritamente crescente de índices naturais.
Calculamos agora a subsucessão. Como
\[ a_n=2+\frac{1}{n+1}, \]
substituindo \(n\) por \(n^2\) obtemos
\[ a_{n^2}=2+\frac{1}{n^2+1}. \]
Devemos, portanto, calcular
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(2+\frac{1}{n^2+1}\right). \]
Como
\[ n^2+1\to+\infty, \]
tem-se
\[ \frac{1}{n^2+1}\to 0. \]
Portanto,
\[ 2+\frac{1}{n^2+1}\to 2+0=2. \]
Por conseguinte,
\[ a_{n^2}\to 2. \]
Este resultado está de acordo com o teorema geral: a sucessão original converge para \(2\), pelo que qualquer subsucessão sua deve convergir para o mesmo limite.
Exercício 13 — nível ★★★☆☆
Consideremos a sucessão
\[ a_n=(-1)^n. \]
Usar as subsucessões para demonstrar que \((a_n)\) não converge.
Resultado
A sucessão \((a_n)\) não converge, porque possui duas subsucessões convergentes para limites diferentes:
\[ a_{2n}\to 1 \qquad\text{e}\qquad a_{2n+1}\to -1. \]
Resolução
Para demonstrar que uma sucessão não converge, podemos procurar duas subsucessões que convergem para limites diferentes.
Com efeito, se uma sucessão convergisse para um limite real \(\ell\), então qualquer subsucessão sua deveria convergir para o mesmo limite \(\ell\).
Consideremos primeiro os índices pares:
\[ k_n=2n. \]
A subsucessão correspondente é
\[ a_{2n}=(-1)^{2n}. \]
Como \(2n\) é par, tem-se
\[ (-1)^{2n}=1. \]
Portanto,
\[ a_{2n}=1 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). Por conseguinte,
\[ a_{2n}\to 1. \]
Consideremos agora os índices ímpares:
\[ h_n=2n+1. \]
A subsucessão correspondente é
\[ a_{2n+1}=(-1)^{2n+1}. \]
Como \(2n+1\) é ímpar, tem-se
\[ (-1)^{2n+1}=-1. \]
Portanto,
\[ a_{2n+1}=-1 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). Por conseguinte,
\[ a_{2n+1}\to -1. \]
Obtivemos duas subsucessões da mesma sucessão:
\[ (a_{2n}) \qquad\text{e}\qquad (a_{2n+1}), \]
tais que
\[ a_{2n}\to 1 \qquad\text{e}\qquad a_{2n+1}\to -1. \]
Os dois limites são diferentes, porque
\[ 1\ne -1. \]
Logo, a sucessão \((a_n)\) não pode convergir.
A razão essencial é decisiva: uma sucessão convergente deve aproximar-se de um único valor final. Aqui, pelo contrário, ao longo dos índices pares a sucessão mantém-se sempre igual a \(1\), enquanto ao longo dos índices ímpares se mantém sempre igual a \(-1\).
Exercício 14 — nível ★★★☆☆
Consideremos a sucessão
\[ a_n=\frac{1+(-1)^n}{2}. \]
Usar as subsucessões para demonstrar que \((a_n)\) não converge.
Resultado
A sucessão \((a_n)\) não converge, porque
\[ a_{2n}\to 1 \qquad\text{e}\qquad a_{2n+1}\to 0. \]
As duas subsucessões convergem para limites diferentes.
Resolução
Estudemos separadamente a sucessão ao longo dos índices pares e dos índices ímpares.
Consideremos primeiro os índices pares. Substituindo \(n\) por \(2n\), obtemos
\[ a_{2n}=\frac{1+(-1)^{2n}}{2}. \]
Como
\[ (-1)^{2n}=1, \]
tem-se
\[ a_{2n}=\frac{1+1}{2}=\frac{2}{2}=1. \]
Portanto, a subsucessão dos índices pares é constante e igual a \(1\). Por conseguinte,
\[ a_{2n}\to 1. \]
Consideremos agora os índices ímpares. Substituindo \(n\) por \(2n+1\), obtemos
\[ a_{2n+1}=\frac{1+(-1)^{2n+1}}{2}. \]
Como
\[ (-1)^{2n+1}=-1, \]
tem-se
\[ a_{2n+1}=\frac{1-1}{2}=\frac{0}{2}=0. \]
Portanto, a subsucessão dos índices ímpares é constante e igual a \(0\). Por conseguinte,
\[ a_{2n+1}\to 0. \]
Obtivemos duas subsucessões convergentes:
\[ a_{2n}\to 1 \qquad\text{e}\qquad a_{2n+1}\to 0. \]
Como
\[ 1\ne 0, \]
as duas subsucessões convergem para limites diferentes.
Logo, a sucessão \((a_n)\) não converge.
Em essência, a sucessão alterna continuamente entre os valores \(1\) e \(0\). Não se estabiliza em torno de um único número real, e isso impede a convergência.
Exercício 15 — nível ★★★★☆
Consideremos a sucessão
\[ a_n=(-1)^n+\frac{1}{n+1}. \]
Estudar as subsucessões dos índices pares e ímpares e deduzir se \((a_n)\) converge.
Resultado
Tem-se
\[ a_{2n}\to 1 \qquad\text{e}\qquad a_{2n+1}\to -1. \]
Como as duas subsucessões convergem para limites diferentes, a sucessão \((a_n)\) não converge.
Resolução
A sucessão é
\[ a_n=(-1)^n+\frac{1}{n+1}. \]
É composta por duas partes: o termo oscilante \((-1)^n\), que alterna entre \(1\) e \(-1\), e o termo \(\displaystyle\frac{1}{n+1}\), que tende para \(0\).
Estudemos primeiro a subsucessão dos índices pares. Substituindo \(n\) por \(2n\), obtemos
\[ a_{2n}=(-1)^{2n}+\frac{1}{2n+1}. \]
Como
\[ (-1)^{2n}=1, \]
segue-se que
\[ a_{2n}=1+\frac{1}{2n+1}. \]
Ora,
\[ \frac{1}{2n+1}\to 0. \]
Portanto,
\[ a_{2n}=1+\frac{1}{2n+1}\to 1+0=1. \]
Por conseguinte,
\[ a_{2n}\to 1. \]
Estudemos agora a subsucessão dos índices ímpares. Substituindo \(n\) por \(2n+1\), obtemos
\[ a_{2n+1}=(-1)^{2n+1}+\frac{1}{2n+2}. \]
Como
\[ (-1)^{2n+1}=-1, \]
segue-se que
\[ a_{2n+1}=-1+\frac{1}{2n+2}. \]
Ora,
\[ \frac{1}{2n+2}\to 0. \]
Portanto,
\[ a_{2n+1}=-1+\frac{1}{2n+2}\to -1+0=-1. \]
Por conseguinte,
\[ a_{2n+1}\to -1. \]
Obtivemos duas subsucessões da mesma sucessão:
\[ a_{2n}\to 1 \qquad\text{e}\qquad a_{2n+1}\to -1. \]
Como os limites são diferentes, a sucessão \((a_n)\) não converge.
Este exemplo é importante porque mostra que um termo infinitésimo, como \(\displaystyle\frac{1}{n+1}\), não é suficiente para eliminar a oscilação principal produzida por \((-1)^n\). A sucessão continua a aproximar-se de dois valores diferentes ao longo de duas subsucessões diferentes.
Exercício 16 — nível ★★★★☆
Consideremos a sucessão
\[ a_n=n. \]
Demonstrar que a subsucessão \((a_{n^2+1})\) diverge para \(+\infty\).
Resultado
Tem-se
\[ a_{n^2+1}=n^2+1. \]
Portanto,
\[ a_{n^2+1}\to+\infty. \]
Resolução
A sucessão de partida é
\[ a_n=n. \]
A subsucessão \((a_{n^2+1})\) obtém-se escolhendo os índices
\[ k_n=n^2+1. \]
Antes de estudar o seu limite, verifiquemos que estes índices definem efetivamente uma subsucessão.
Para todo \(n\in\mathbb{N}\), tem-se \(n^2+1\in\mathbb{N}\). Além disso
\[ k_{n+1}-k_n=((n+1)^2+1)-(n^2+1). \]
Desenvolvendo,
\[ k_{n+1}-k_n=n^2+2n+1+1-n^2-1=2n+1. \]
Como
\[ 2n+1>0 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\), segue-se que
\[ k_{n+1}>k_n. \]
Portanto, \((k_n)\) é uma sucessão estritamente crescente de índices naturais.
Calculamos agora a subsucessão. Como \(a_n=n\), substituindo \(n\) por \(n^2+1\) obtemos
\[ a_{n^2+1}=n^2+1. \]
Devemos demonstrar que
\[ n^2+1\to+\infty. \]
Usamos a definição de divergência para \(+\infty\). Devemos provar que, para todo \(M\in\mathbb{R}\), existe \(N\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\ge N\),
\[ n^2+1>M. \]
Se \(M<0\), então para todo \(n\in\mathbb{N}\) tem-se
\[ n^2+1\ge 1>0>M. \]
Portanto, neste caso a desigualdade verifica-se para todos os índices.
Suponhamos agora \(M\ge 0\). Escolhemos \(N\in\mathbb{N}\) tal que
\[ N>\sqrt{M}. \]
Então, para todo \(n\ge N\), tem-se
\[ n\ge N>\sqrt{M}. \]
Elevando ao quadrado, obtemos
\[ n^2>M. \]
Por conseguinte,
\[ n^2+1>M. \]
Fica assim demonstrado que, para todo \(M\in\mathbb{R}\), os termos da subsucessão acabam por ser maiores do que \(M\).
Por conseguinte,
\[ a_{n^2+1}\to+\infty. \]
Em essência, a sucessão original \(a_n=n\) diverge para \(+\infty\). Uma subsucessão pode saltar alguns termos, mas não pode impedir que os índices tendam para infinito; por isso, também a subsucessão diverge para \(+\infty\).
Exercício 17 — nível ★★★★☆
Consideremos a sucessão
\[ a_n=-n^2. \]
Demonstrar que a subsucessão \((a_{2n+1})\) diverge para \(-\infty\).
Resultado
Tem-se
\[ a_{2n+1}=-(2n+1)^2. \]
Portanto,
\[ a_{2n+1}\to-\infty. \]
Resolução
A sucessão de partida é
\[ a_n=-n^2. \]
A subsucessão \((a_{2n+1})\) obtém-se escolhendo os índices ímpares:
\[ k_n=2n+1. \]
Os índices \(2n+1\) são naturais e estritamente crescentes. Com efeito,
\[ k_{n+1}=2(n+1)+1=2n+3, \]
e, portanto,
\[ k_n=2n+1<2n+3=k_{n+1}. \]
Logo, \((a_{2n+1})\) é efetivamente uma subsucessão de \((a_n)\).
Vamos agora calculá-la explicitamente. Substituindo \(n\) por \(2n+1\) na fórmula \(a_n=-n^2\), obtemos
\[ a_{2n+1}=-(2n+1)^2. \]
Desenvolvendo o quadrado,
\[ (2n+1)^2=4n^2+4n+1. \]
Portanto,
\[ a_{2n+1}=-(4n^2+4n+1)=-4n^2-4n-1. \]
Esta expressão torna-se arbitrariamente grande em valor negativo à medida que \(n\) cresce. Vamos demonstrá-lo usando a definição de divergência para \(-\infty\).
Devemos provar que, para todo \(m\in\mathbb{R}\), existe \(N\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\ge N\),
\[ a_{2n+1}<m. \]
Como
\[ a_{2n+1}=-(2n+1)^2, \]
distinguimos dois casos.
Se \(m>0\), então para todo \(n\in\mathbb{N}\) tem-se
\[ -(2n+1)^2<0<m. \]
Portanto, a desigualdade verifica-se para todos os índices.
Suponhamos agora \(m\le 0\). Escolhemos \(N\in\mathbb{N}\) tal que
\[ 2N+1>\sqrt{-m}. \]
Então, para todo \(n\ge N\),
\[ 2n+1\ge 2N+1>\sqrt{-m}. \]
Elevando ao quadrado, obtemos
\[ (2n+1)^2>-m. \]
Multiplicando ambos os membros por \(-1\), a desigualdade inverte o sentido:
\[ -(2n+1)^2<m. \]
Ou seja,
\[ a_{2n+1}<m. \]
Fica assim demonstrado que
\[ a_{2n+1}\to-\infty. \]
O resultado está de acordo com o teorema geral: como \(a_n=-n^2\to-\infty\), qualquer subsucessão sua diverge para \(-\infty\).
Exercício 18 — nível ★★★★☆
Consideremos a sucessão
\[ a_n=\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right). \]
Usar duas subsucessões para demonstrar que \((a_n)\) não converge.
Resultado
A sucessão \((a_n)\) não converge, porque
\[ a_{4n+1}\to 1 \qquad\text{e}\qquad a_{4n+3}\to -1. \]
Resolução
Estudemos alguns termos da sucessão:
\[ a_0=\sin 0=0, \]
\[ a_1=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1, \]
\[ a_2=\sin(\pi)=0, \]
\[ a_3=\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-1, \]
\[ a_4=\sin(2\pi)=0. \]
Vê-se, então, que a sucessão toma ciclicamente os valores
\[ 0,\ 1,\ 0,\ -1,\ 0,\ 1,\ 0,\ -1,\dots. \]
Para demonstrar que a sucessão não converge, procuramos duas subsucessões convergentes para limites diferentes.
Consideremos os índices
\[ k_n=4n+1. \]
São estritamente crescentes, porque
\[ k_{n+1}=4(n+1)+1=4n+5 \]
e, portanto,
\[ 4n+1<4n+5. \]
A subsucessão correspondente é
\[ a_{4n+1} = \sin\left(\frac{(4n+1)\pi}{2}\right). \]
Como
\[ \frac{(4n+1)\pi}{2}=2n\pi+\frac{\pi}{2}, \]
obtemos
\[ a_{4n+1} = \sin\left(2n\pi+\frac{\pi}{2}\right)=1. \]
Portanto,
\[ a_{4n+1}\to 1. \]
Consideremos agora os índices
\[ h_n=4n+3. \]
Também estes são estritamente crescentes, porque
\[ h_{n+1}=4(n+1)+3=4n+7 \]
e, portanto,
\[ 4n+3<4n+7. \]
A subsucessão correspondente é
\[ a_{4n+3} = \sin\left(\frac{(4n+3)\pi}{2}\right). \]
Como
\[ \frac{(4n+3)\pi}{2}=2n\pi+\frac{3\pi}{2}, \]
obtemos
\[ a_{4n+3} = \sin\left(2n\pi+\frac{3\pi}{2}\right)=-1. \]
Portanto,
\[ a_{4n+3}\to -1. \]
Obtivemos duas subsucessões da mesma sucessão tais que
\[ a_{4n+1}\to 1 \qquad\text{e}\qquad a_{4n+3}\to -1. \]
Como
\[ 1\ne -1, \]
a sucessão \((a_n)\) não converge.
Em essência, a sucessão não se aproxima de um único valor final: pelo contrário, continua a repetir ciclicamente valores diferentes.
Exercício 19 — nível ★★★★☆
Consideremos a sucessão
\[ a_n=(-1)^n n. \]
Estudar as subsucessões dos índices pares e ímpares e deduzir o comportamento da sucessão.
Resultado
Tem-se
\[ a_{2n}=2n\to+\infty \]
e
\[ a_{2n+1}=-(2n+1)\to-\infty. \]
Portanto, a sucessão não tem limite, nem finito nem infinito.
Resolução
A sucessão é
\[ a_n=(-1)^n n. \]
O fator \((-1)^n\) muda de sinal conforme a paridade de \(n\), enquanto o fator \(n\) cresce indefinidamente.
Estudemos primeiro os índices pares:
\[ k_n=2n. \]
A subsucessão correspondente é
\[ a_{2n}=(-1)^{2n}\cdot 2n. \]
Como
\[ (-1)^{2n}=1, \]
obtemos
\[ a_{2n}=2n. \]
Portanto,
\[ a_{2n}\to+\infty. \]
Estudemos agora os índices ímpares:
\[ h_n=2n+1. \]
A subsucessão correspondente é
\[ a_{2n+1}=(-1)^{2n+1}(2n+1). \]
Como
\[ (-1)^{2n+1}=-1, \]
obtemos
\[ a_{2n+1}=-(2n+1). \]
Portanto,
\[ a_{2n+1}\to-\infty. \]
Neste ponto, podemos deduzir o comportamento da sucessão original.
A sucessão \((a_n)\) não converge para um limite real, porque possui uma subsucessão que diverge para \(+\infty\) e outra que diverge para \(-\infty\).
Além disso, \((a_n)\) não diverge para \(+\infty\). Com efeito, se \(a_n\to+\infty\), então qualquer subsucessão sua deveria divergir para \(+\infty\). Mas a subsucessão \((a_{2n+1})\) diverge para \(-\infty\).
De modo análogo, \((a_n)\) não diverge para \(-\infty\). Com efeito, se \(a_n\to-\infty\), então qualquer subsucessão sua deveria divergir para \(-\infty\). Mas a subsucessão \((a_{2n})\) diverge para \(+\infty\).
Por conseguinte, a sucessão \((a_n)\) não tem limite, nem finito nem infinito.
O ponto essencial é que os termos não só oscilam de sinal, como também se afastam cada vez mais: os de índice par crescem para \(+\infty\), enquanto os de índice ímpar descem para \(-\infty\).
Exercício 20 — nível ★★★★★
Seja \((a_n)\) uma sucessão real convergente para um número real \(\ell\). Seja \((a_{k_n})\) uma subsucessão sua. Demonstrar diretamente, usando a definição de limite, que
\[ a_{k_n}\to \ell. \]
Resultado
Qualquer subsucessão de uma sucessão convergente converge para o mesmo limite que a sucessão original. Portanto,
\[ a_{k_n}\to \ell. \]
Resolução
Sabemos que a sucessão \((a_n)\) converge para \(\ell\). Isto significa que
\[ a_n\to \ell. \]
Por definição de limite, para todo \(\varepsilon>0\) existe \(N\in\mathbb{N}\) tal que, para todo índice \(m\ge N\), tem-se
\[ |a_m-\ell|<\varepsilon. \]
Usamos a letra \(m\) para designar um índice genérico da sucessão original, evitando assim confundi-lo com o índice \(n\) da subsucessão.
Consideremos agora uma subsucessão qualquer \((a_{k_n})\). Por definição de subsucessão, \((k_n)\) é uma sucessão estritamente crescente de índices naturais.
Pela propriedade fundamental dos índices de uma subsucessão, sabemos que
\[ k_n\ge n \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Tomemos agora \(n\ge N\). Então, usando \(k_n\ge n\), obtemos
\[ k_n\ge n\ge N. \]
Portanto, o índice \(k_n\) é suficientemente grande para se poder aplicar a definição de limite da sucessão original.
Com efeito, uma vez que a definição de limite nos diz que
\[ |a_m-\ell|<\varepsilon \]
para todo \(m\ge N\), podemos escolher em particular
\[ m=k_n. \]
Como \(k_n\ge N\), obtemos
\[ |a_{k_n}-\ell|<\varepsilon. \]
Fica assim demonstrado que, para todo \(\varepsilon>0\), existe \(N\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\ge N\), se verifica
\[ |a_{k_n}-\ell|<\varepsilon. \]
Esta é precisamente a definição de convergência da subsucessão \((a_{k_n})\) para o limite \(\ell\).
Por conseguinte,
\[ a_{k_n}\to \ell. \]
O ponto essencial decisivo é este: uma subsucessão pode saltar alguns termos, mas os seus índices \(k_n\) crescem, ainda assim, para infinito. Por isso, quando a sucessão original está, a partir de certa ordem, próxima de \(\ell\), também a subsucessão o está.